Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

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1 Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques (SM) Module Mathématiques I Aalyse I Chapitre I : SUITES NUMERIQUES Par Saïd EL HAJJI Groupe d Aalyse Numérique et Optimisatio elhajji@fsr.ac.ma et Samir HAKAM s-hakam@fsr.ac.ma Aée

2 Chapitre I : SUITES NUMERIQUES Objectif du chapitre : ) Doer la défiitio d ue suite et utiliser les otatios adéquates ) "Détermier" le terme gééral d ue suite ) Utiliser les raisoemets par l absurde et par récurrece 4) Etudier la mootoie d ue suite. 5) Etudier la ature d ue suite 6) Résoudre certais exercices et problèmes implicat des suites. Pla du chapitre : ) Corps des réels :. : Notio de foctios et otatios.. : Costructio sommaire de R. ) Suites umériques:. : Défiitios et otatios.. : Suites particulières.. : Suites mootoes (croissace ou décroissace).4 : Nature (covergece ou divergece) d ue suite.5:etudedesuitesparticulières. ) Corps des réels :. : Notio de foctios et otatios. O suppose acquise la otio ituitive d esemble. O détermie u esemble E e explicitat ses élémets ou par compréhesio E = {x /xvérifie uepropriété(p )}. Exemple : Si E = {,,, 4} alors E = {x E /xvérifie x 5} est dite expressio par compréhesio E = {,, 4} est dite expressio explicite Soit E u esemble, o dit que A est ue partie (ou u sous esemble) de E si tout élémet de A est u élémet de E. O dit aussi que A est iclus das E et o ote A E. A E ( x, x A x E) Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI

3 Remarque : Le symbole déote l apparteace. x E {x} E. La otatio x x a pas de ses! Défiitio : Ue foctio f d u esemble A vers u esemble B, oote f : A B, est ue rélatio qui à chaque élémet de A associe au plus plus u seul élémet de B. O exprime ue foctio de A vers B sous la forme: f : A B x 7 f(x) A est appelé l esemble de départ et B l esemble d arrivée de la foctio f. De plus, l esemble des élémets de A qui possédet ue image s appelle le domaie de f (oté dom(f) ou D f ) et l esemble des élémets de B qui sot des images, s appelle image de f (oté im(f) ou Im(f)). Aisi dom(f) A et im(f) B. De faco géérale, lorsque o détermie le domaie d ue foctio, il faut exclure du dom(f) les valeurs : a) qui aulet le déomiateur de la foctio f b) qui doet ue quatité égative sous ue racie paire c)... aisi dom(f) est l esemble des élémets de A, pour lesquels f(x) existe c est àdire(otécàd ou i.e.) est calculable. Si f : A B, o ote dom(f) ={x A/f(x) existe}. Exemples : ) Soit f : x 7 f(x) = 6 x 9 x R Puisqueoepeutpasdiviserpar0 i extraire la raciue sizième d u ombre égatif, alors : dom(f) ={x R / (9 x) 6= 0et (9 x) 0} càd dom(f) ={x R / (9 x) Â 0} = {x R /x } que l o écrit sous la forme dom(f) =], [. ) Soit f : x 7 f(x) =l( x ) O a : dom(f) =!. : Costructio axiomatique de R et Propriétés de base : a) Costructio sommaire et axiomatique du corps des Réels L esemble N (otéaussin ou IN) = {0,,,,...}, dit esemble des ombres etiers aturels ou des etiers aturels, a été itroduit pour compter. L esemble Z (oté aussi Z ou IZ)= {...,,,, 0,,,,...}, dit esemble des ombres relatifs ou des etiers relatifs, a été itroduit pour résoudre l équatio : b + x = a où a et b sot des etiers aturels. L esemble Q (otéaussiq ou IQ), dit esemble des ombres ratioels, a été itroduit pour résoudre l équatio : bx= a où a et b sot des ombres relatifs Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI

4 avec b 6= 0. Par défiitio si x Q alors x = p q où p et q sot des ombres relatifs premiers etre eux avec q 6= 0(o dit que la fractio p q est irreductible). Proprièté : Si x est solutio de l équatio x =alors x/ Q. Oditquex est irratioel. Démostratio : Elle se fait par l absurde. O suppose que x = p q où p Z et q Z sot premiers etre eux avec q 6= 0. O a alors p =q. p est pair doc p est aussi pair (si p est impair alors p =k + et p =4k +4k += (k +k)+est impair). Aisi p =k doc p =4k =q. Doc k = q. Doc q est pair. Ce qui est impossible car la fractio p q est irreductible. Défiitio : O ote par R (oté aussi R ou IR ) l esemble des ombres réels. Il a été itroduit pout compléter l esemble Q des ombres ratioels. O dit que x estuombreréelsietseulemetsi: ou bie x Q, xest dit ratioel ou bie x/ Q, xest dit irratioel. Parmi les réels qui sot irratioels, o peut citer :,π,e,l(). Remarque : O peut défiir u ombre réel à partir de so développemet décimal c est à dire u réel x peut être vu, sous forme umérique, comme u etier relatif costituat sa partie etière (si x R, sa partie etière est otée E(x) ou [x] et o a E(x) =[x] =au plus grad etier iférieur ou égale à x) suivie (séparée par ue virgule) d ue ifiité de chiffres costituat sa partie décimale. Exemple : π =, Cette défiitio (ou otatio) dite représetatio arithmétique (voir cours d Aalyse Numérique au d semestre) d u ombre réel pose u certai ombre de problèmes. La costructio de l esemble des ombres réels date de 870 et repose sur les axiomes de base : ) (R, +, ) est u corps commutatif ) (R, ) est totalemet ordoée : (x,y) R o a : x y ou y x. ) La relatio d ordre (iégalité) est compatible avec les opératios de R i) La relatio d ordre est compatible avec l additio + càd x R, x R, y R et y R, six x et y y alors x + y x + y ii) La relatio d ordre est compatible avec la multiplicatio càd x R, y R et z R + ( z 0) alorsx y>0. 4) Toute partie de R o vide et majorée admet ue bore supérieure. La relatio d ordre total permet de défiir la foctio valeur absolue das R. Défiitio : La valeur absolue das IR est ue applicatio : IR IR + et o a pour tout x R, x = Propriétés : x 7 x x si x 0 x si x 0 4

5 ) a =0 a =0 ) (a, b) R, a.b = a b ) Iégalité triagulaire: (a, b) R, a + b a + b 4) x R, o a : x x x. 5) (a, b) R, a b a b. Démostratio de l iégalité triagulaire 5) Pour tout (a, b) R, o a: a = a b + b = a a b + b (d apres )) a b a b De même : b = b a + a = b a b + a = b a a b Doc a b a b. Remarque : ) L iégalité triagulaire a b a + b a + b peut être motrer e élévat au carré, ce qui doe : a a b + b a +ab + b a + a b + b ab ab ab. ) Il existe plusieurs variates de l iégalité triagulaire, par exemple : a b a b a + b obteue e chageat b e b. b) Majorat, miorat d ue partie de IR Défiitio : Soit A IR: ue partie de IR O dit que m IR est u majorat de A si et seulemet si x A, x m O dit que m IR est u miorat de A si et seulemet si x A, x m O dit que A est borée ssi elle est mioré et majoré càd m et M : x A, m x M. Exemple : ]0 + [ est miorée par 0 o dit aussi 0 est u miorat de ]0 + [) est u majorat de ], 0[ L itervalle ] 5, 4[ est boré das IR (majorée par 4 et miorée par -5). Bore iférieure, bore supérieure : Défiitio: O dit que b est la bore supérieure de A b est le plus petit des majorats de A O dit que b est la bore iférieure de A b est le plus grad des miorats de A. Exemple : 6 est la bore iférieure de ]6 + [. 5

6 Caractéristiques des bores : ) b est u majorat de A ( a A, a b) b est la bore supérieure de A. ). >0, a A : b ε<a b ) b est u miorat de A ( a A, a b) b est la bore iférieure de A. ). >0 a A, b a<b+ Propriétés des bores (admises) : Toute partie de IR o vide et majorée admet ue bore supérieure Toute partie de IR o vide et miorée admet ue bore iférieure. Propriété : IR est u corps archimédie (x, y) IR+, IN tel que x > yx > 0. Remarque : IR est u corps archimédie x>0, y R, Z tel que x y ( +)x. Démostratio : La démostratio se fait par l absurde. O suppose que IR est o archimédie càd (x o,y o ) IR+, IN : x 0 y o Soit E = {x o, IN }. O a : E 6= φ, E est ue partie deir et E est ue partie majorée de IR (par y 0 )doce admet ue bore supérieure. Soit b cette bore supérieure. O a : ε >0, e E : b ε<e b Comme e E p IN : e = px o doc ε >0, p IN : b ε<px o b Si o pred ε = b (par exemple), o aura : b <px o b px o b< (p)x o b est pas la bore supérieure de E. Rappels : Si a, b, x 0 désiget des réels tels que a<x 0 <b. O appelle segmet u esemble de la forme [a, b] ={x R : a x b}. O dit qu ue partie I de R est u itervalle si pour tout a, b I,oa [a, b] I. Les itervalles ouverts sot :]a, b[, ]a, + [, ],b[ et R. Les itervalles fermés sot : [a, b], [a, + [, ],b] et R. U voisiage de x 0 est u itervalle ouvert de la forme ]x 0 ε, x 0 + ε[, ε > 0. ) Suites Réelles :. : Défiitios et otatios : D ue faço géérale, o défiit ue suite comme ue successio ordoée d élémets pris das u esemble doé. O dit aussi qu ue suite est ue éumératio d ue ifiité de termes Défiitio : Ue suite umérique, dite aussi suite réelle, est ue foctio u dot ledomaiededéfiitio est u sous - esemble de N et dot l image est u sous-esemble de R. Aisi ue suite réelle est ue foctio : Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI & S. HAKAM 6

7 u : P IN IR 7 u O pose : u() =u et o appelle u le terme gééral de la suite. u est aussi appelétermederag. Si P = N, la suite de terme gééral u sera otée par (u ) ou (u ) N ou {u 0,u,..., u,...} (dite écriture e extesio). u p désige le p eme terme de la suite. Remarque: ) O défiit ue suite otée (u ) par so terme gééral u et par so premier terme (o suppose ici que c est u 0 ). La suite est alors détermiée par ue équatio doat u e foctio de. Uesuitepeutêtreégalemetdéfiie par la valeur du premier terme et par ue relatio de récurrece, c est-à-dire ue relatio liat plusieurs termes gééraux de rags différets. ) Toute foctio u : P N R défiieuesuiteréellec estàdireàtout etier P,elleassocieuombreréelu() que l o otera u et la suite associée est otée (u ) P Exemples: ) Soit (u ) la suite de terme gééral défiie pour tout par u =. ) Soit (u ) la suite de terme gééral défiie pour tout 0 par u = cos(π) ) Soit (u ) la suite de terme gééral défiie par : u 0 = u + =u pour tout 0 ) La foctio u : 4 u() =,défiie la suite réelle (u ) 4 de terme gééral : u =,pour tout 4. O a : dom(u) ={ N / 4} = {4, 5, 6,...} = P et im(u) =, 4, 5,... ª = 6 (u ) 4. Remarque : Soiet (u ) ue suite et f ue foctio, telles que u = f() si m où m N. Alors l étude du terme gééral u reviet à l étude de la foctio f das le domaie de la suite (u ). Exemple : ) Soit la suite défiie par u() = +00 ( ). Détermier les premiers termes de la suite. O a : dom(u) =N {}, et u 0 = 00,u = 08,u = +00 = 7 8,u 4 = = ) Soit la suite défiie par u() =si(). Détermier les premiers termes de la suite.( sur ue calculatrice, il faut choisir le mode radia). O a : dom(u) =N, et u 0 =si(0)=0,u =si()= ,u =si()= ) Détermier le terme gééral de la suite, 5, 0, 4 7,...ª. 7

8 E observat les termes de la suite, o costate que le umérateur de chaque terme correspod aux termes de la suite () et que le déomiateur correspod aux termes de la suite ( +). O peut e déduire que le terme gééral de la suite est défiie par u = +.Ceci est d ailleurs vérifié pour =,,, 4. Remarque : Pour représeter graphiquemet ue suite (u ),ilsuffit desituer das le pla cartésie les poits (, u ),où appartiet au domaie de défiitio de la suite.. : Suites particulières 4 : a) Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit P () ue propriété qui déped d u etier aturel. Pour démotrer que la propriété P () est vraie, quel que soit N (ou N ), o démotre que i) P (0) (ou P ()) estvraie ii) la propriété P () est récurrete, c est à dire, si P () est vraie pour N (ou N ), alors P ( +)est vraie (propriété d hérédité). Exemple : Démotrer, par récurrece, que N, o a = (+)(+) 6. Pour =, o a S = et (+)(+) 6 = O suppose que la relatio est vraie à l ordre et o la démotre à l ordre ( +). O a S + = (+) = S +(+) avec S = (+)(+) 6. Doc S + = (+)(+) 6 +( +) = (+)(+)+6(+) 6 = 6 ( +)[( +)+6( +)]= 6 ( +)[7 + +6] càd S + = 6 ( +)( +) +). b) Suites arithmétiques : Soit (u ) défiie par u 0 doé, u + = u + r où r R. Cette suite est dite suite arithmétique ou progressio arithmétique et r est appelé la raiso de la suite. La différece etre deux termes successifs est costate. Quels que soiet les etiers et p, o a (démostratio par recurrece) : u = u p +( p)r et, e particulier (predre p =0), o a :, u = u 0 + r. c) Suites géomètriques : Soit (u ) défiie par u 0 doé, u + = qu où q R. Cettesuiteestditesuite géométrique ou progressio géométrique et q est appelé la raiso de la suite. Le rapport de deux termes successifs est costat. Que quels que soiet les etiers et p, o a (démostratio par recurrece) : u = u p q ( p) et, e particulier (predre p =0), o a :, u = u 0 q. c) Suites récurretes 5 : 4 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI 5 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI 8

9 Défiitio : Ue suite est défiie par récurrece lorsque la valeur du premier terme ou des premiers termes est doée et que le terme gééral est défiie e foctio du terme précédet ou des termes précédets. O dit qu elle est défiie par ue relatio de récurrece c est à dire o peut calculer u e foctio de u,u,...,u (pas forcémet tous). Ue suite récurrete s écrit sous la forme u = F (u, u,...) où F est ue foctio doée ou u = G(u, u, u,...) où G est ue foctio doée. Exemple : ) Les suites arithmétiques et géomètriques sot des suites recurretes. ) Calculer les premiers termes de la suite (u ) défiie par : u 0 = u + =u pour tout 0 O a u 0 =doc u =u 0 =,u =u =4,u =u =8. ) Suites Arithmético-géométrique : Ce sot des suites (u ) dot le terme gééral est défiie par : u 0 doée u + = au + b pour tout 0 où a, b sot des réels doés. 4) Calculer les premiers termes de la suite (u ) défiie par u 0 =0 u = +u, pour tout. O a u 0 =0doc u = +u 0 =,u = +u = = ) Calculer les premiers termes de la suite de Fiboacci (u ) défiie par : u =, u =, u = u + u, si. O a u = u =doc u = u + u =+=et u 4 = u + u =+=.. Suites mootoes (croissates, décroissates) 6 : Suites borées: Défiitio : Ue suite (u ),où N,est a) majorée (ou borée supérieuremet) s il existe u ombre M R, telque u M, N. OditqueM est u majorat. b) miorée (ou borée iférieuremet) s il existe u ombre m R, telque m u, N. Oditquem est u miorat. c) borée si elle est majorée et miorée c est à dire s il existe deux ombres M et m R, telquem u M, N. 6 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI 9

10 Remarque : La suite (u ) est majorée l esemble E = {u, IN} est majorée. La suite (u ) est mioré {u, IN} mioré. La suite (u ) IN est borée {u, IN} boré. Exemples : ) Soit la suite ( ) N. Cette suite est borée car 0, N. ) Soit la suite ( ) N. Cette suite est o borée. Elle est miorée par 0 (car N, 0) etomajorée. Défiitio : Ue suite (u ),où N,est: a) croissate si u u +, N càd u 0 u... u... b) strictemet croissate si : u <u +, N. c) décroissate si u u +, N. d) strictemet décroissate si : u >u +, N. e) statioaire si u = u +, N. Remarque : La suite (u ) IN est dite croissate (p, q) INxIN : p> q u p u q. Etudier la mootoie d ue suite reviet à étudier sa croissace ou sa décroissacedelasuite. Remarque : Pour étudier la mootoie d ue suite (u ),opeut: ) Comparer u et u + (il y a plusieurs faços de le faire) ) Utiliser, das certais cas, la dérivée de la foctio f(x) avec x [0, + [ (où [m, + [ avec m ) oùu = f(). ) "Aalyser" Exemples : ) Etudier la mootoie de la suite (u ) N de terme gééral u =. Puisque N,u =, o a u + = (+). Aisi > (+) car N, < ( +). Doc la suite ( ) N est strictemet décroissate. O aurait pu le motrer e cosidérat la foctio f(x) = x (o a : N,u = f()).puisque f 0 (x) = x < 0, x [, + [, la foctio f est strictemet décroissate das [, + [, o e déduit que la suite (u ) N l est aussi. ) Etudier la mootoie de la suite (u ) N de terme gééral u =!.(0! = ) La présece du factorielle ous empêche d étudier le comportemet de la suite à l aide de la dérivée. O va comparer deux termes cosécutifs. O a u =! et u + = + (+)!. O a u =! = u =!. = u =!. = 4 u 4 = 4 4! = Les termes semblet décroître. A-t-o, u + u? (O peut aussi le motrer par recurrece). O a u = u = 4 u 4 =. Pour motrer la décroissace, il faut motrer que pour tout, u + u. 0

11 ?? u + u reviet à + (+)!! càd! +? ( +)! càd? ( +). Or cette iégalité est vérifié pour tout doc, oau + u..4 : Nature d ue suite 7 : Défiitio : ) Ue suite (u ) coverge (ou est covergete) vers L R quad +, oote(u ) C.V. vers L, si et seulemet si >0, N N tel que N : u L < c.à.d: à partir d u certai rag (N ε ) (N ε est toujours à calculer) les termes de la suite s approchet de L. O écrit alors lim (u ) = L où L R. Remarque : u L <ε ε<u L<ε L ε u L+ε u ]L ε, L + ε[. Si la suite (u ) C.V. vers L, o dit qu à partir d u certai rag N, u appartiet à u voisiage de L. U voisiage de L est u itervalle ouvert de la forme ]L ε, L + ε[. Cette défiitio de la covergece est formellemet adéquate mais elle est pas d utilisatio simple. Exemples : ) La suite (u ) dot le terme gééral est défiie par u =, où coverge vers 0. E effet, >0, N N : N > (cela proviet du fait que R est archimédie) (o peut predre N = +). Doc >N,o a < N < u = < et doc lim =0. ) La suite (u ) dot le terme gééral est défiie par u =, où, coverge vers.,u = = >, =+v où v > 0. Doc tout reviet à étudier la covergece de la suite (v ). Comme, x >0, o ³ a, (parrecurrece), ( + x) +x. Doc, = =(+v ) +v v càd v Aisi, N = +, v 0 = v < càd la suite (v ) coverge vers 0. Comme v =(u ) et que la suite (v ) coverge vers 0 alors la suite (u ) coverge vers. Remarque fodametale : Soit ue suite (u ) et ue foctio f, tellesque u = f() si m où m N. Si lim f(x) existe alors lim x + u = lim f(x). x + 7 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI

12 Aisi le comportemet à l ifii (o dit comportemet asymptotique) d ue suite (u ) où u = f() est semblable à celui de la foctio à l ifii lorsque f(x) existe (voir chapitre II ). lim x + Défiitio : ) Ue suite (u ) coverge (ou est covergete) vers L R, o ote (u ) C.V. vers L, ssi lim u = L où L R ) Ue suite (u ) diverge (ou est divergete), o ote (u ) D.V, si et seulemet si la suite (u ) est pas covergete. Propriété : La limite d ue suite (si elle existe) est uique. La preuve se fait par l absurde. O suppose que l 6= l et que l = l = lim u alors lim u et >0, N et N : N =max(n,n ) o a : u l < et u l < D où >0, N : N o a : l l = l u + u l < u l + u l < et doc l l =0càd l = l ce qui est absurde. Théorème : Soit ue suite (u ),où N, ) Si la suite (u ) coverge, alors elle est borée (o dit que toute suite covergete est borée) ) Si la suite (u ) est o borée alors elle est divergete. Démostratio: ) Si la suite (u ) CV vers L, o a lim u = L ε>0, N ε tel que > + N ε, u L < O a : u = u L + L = ε>0, N ε tel que >N ε, u u L + L ε + L doc >N ε, u ε + L Soit M = sup( u, u,..., u Nε,ε+ L ) O a : IN, u <M càd la suite (u ) est borée. Remarque : La réciproque de th ) est fausse. E effet, soit la suite (u ) de terme gééral défiie par u =( ). o a :, u (car, ( ) ) maislasuite(u ) est divergete. ) C est le cotraposée de ) Autres défiitios : lim u =+ A>0, N A IN : >N A,u A lim u = A >0, N A IN : >N A,u < A B<0, N B IN : >N A,u <B Opératios sur les suites umériques:

13 O peut défiir ue relatio d ordre das l espace des suites réelles : O dit que les suites (u ) et (v ) sot dites égales u = v IN O dit que (u ) (v ) u v IN O peut défiir (voir chapitre espace vectoriel pour détails): lasommededeuxsuiteseposat: (u + v ) =(u ) +(v ) et o dit que si (u ) et (v ) sot deux suites de terme gééral respectif u et v alors la somme deux suites (u ) et (v ) est la suite (w ) de terme gééral w = u + v. le produit e posat : (u ) (v ) =(u v ) et pour tout scalaire λ, λ(u ) = (λu ) ³ le quotiet e posat : u v = (u) (v ) avec v 6=0,. Eoços maiteat u théorème qui regroupe les opératios sur les suites covergetes c est à dire sur la limite d ue somme, d u produit et quotiet de suites. Théorème : Si (u ) est ue suite covergete vers L R càd lim u = L et (v ) ue suite covergete vers M R càd lim v = M alors a) lim (u ± v )= lim u ± lim v = L ± M. b) lim (u v )=( lim u )( lim v )=LM c) lim (ku )=k( lim u )=kl, oùk R. u d) lim u, M 6= 0. v = lim lim = L v M Démostratio a) O a lim u = L ε>0, Nε tel que >Nε, u L < + et lim v = M ε>0, Nε tel que >Nε, u M < + lim u = L + lim v = M +!? lim (u + v )=L + M + >0,et pour N = sup(n ε,n ε ) et >N,oa: u + v (L + M) = (u L)+(v M) u L + v M càd lim (u + v )= lim u + lim v = L + M. b) O a lim u = L ε>0, Nε tel que >Nε, u L < + et lim v = M ε>0, Nε tel que >Nε, u M < + lim u = L + lim v = M +!? lim (u v )=LM +

14 O a : u v LM = u v u M + u M LM = u (v M)+M(u ) u v LM u v M + M u Doc >0,et pour N = sup(nε,nε ) et >N,oa u v LM u + M La suite (u ) est ue suite covergete, elle est doc borée càd b tel que, u <b Par suite >0,et pour N = sup(nε,nε ) et >N,oa u v LM u + M b + M Pour K = sup(b, M ), oaura:b + M K = ε>o,et pour N = sup(nε,nε ) et >N, u v LM M. + M Kε. càd lim (u v )= lim u lim v = LM Exemples : ) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par u =, où. Cette suite coverge vers 0 car la foctio lim f(x) = lim x + x + x =0 ) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par u = +00 ( ) Cette suite coverge vers car la foctio lim f(x) = lim x +00 x + x + (x ) = ) Etudier la covergece de la suite (v ) dot le terme gééral est défiie par v = + 4+ où. Si o pose u = + et w = 4+,oa lim u = e et doc lim v =4e. Aisi la suite (v ) CV vers 4e. Rappel : a >0, o a a x = e x log(a) lim w =4 log(+x) De plus lim X 0 X =(à partir de la défiitio d ue dérivée ou régle de l hopital ou chapitre III). Si o pose x = X, o a : + x x = e x log(+ x ) = e log(+x) X. Doc lim + x X 0 x = e aisi lim + = e. 4) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par u =( ) où. si est pair Cettesuitedivergecar( ) = doc lim si est impair ( ) existe pas. 5) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par par u 0 = u =u,si 4

15 O a ue suite géométrique de raiso q =doc, par recurrece, u = u 0 =. Doc cette suite diverge car la foctio 6) Théorème dit de Cesaro a) Si la suite (u ) coverge vers l càd lim l. b) Si lim a) Si o pose v = u+u+...+u (u + u )=l alors u l + u l. lim x + f(x) = u = l alors u lim = l. alors v l = u+u+...+u lim x + x =+. u lim +u +...+u = l = u+u+...+u l = u l Puisque lim u = l,oa: ε >0, N tel que N, u l <. O a : v l = [(u l)+(u l)+... +(u l)] v l [ u l + u l u l ]. Si o pose M = u l + u l u N l alors ε >0, N tel que N, v l M + u (N +) l + u (N +) l u l [M +( N ) ]. Comme N <alors v l [M + ]. M +. M Efi puisque lim =0,oa(v ) CV vers l. b) Si o pose v = u + u alors v +v +...+v = u u 0. Comme lim (u + u )= lim v = l alors, d aprés a), v lim +v +...+v u = l lim u 0 u = l lim = l. Das certais cas, o peut aisémet prouver qu ue suite est covergete à l aide de certais critères. Théorème (d ecadremet) : Soit (u ), (v ) et (w ) dessuitestellesque u w v pour tout m, oùm N. Si lim u = L et lim v = L alors lim w = L. Exemples : si() ) Détermier lim. Pour tout N, oa si() doc si(). Or lim =0et lim =0doc lim si() =0 ) Détermier lim!. O a...! = ( ) ( )... 4 = Or pour tout 4,o a :,,..., 4 doc! = Puisque pour tout 4, o a : 0! 7 7 et que lim =0doc lim! =0. Défiitio : Ue suite (u ) est dite alterée ssi pour tout N (où N )oa u u

16 Proprositio : Si ue suite alterée coverge alors sa limite est ulle. Exemple : Détermier Pour tout, o a ( ) lim =0. ( ) lim. ( ). or lim =0et lim =0doc Théorème : Soit ue suite (u ),où N ) Si la suite (u ) estcroissateetmajoréeparm, alors la suite est covergete et de plus sa limite l vérifie l M. ) Si la suite (u ) est décroissate et miorée par m, alors la suite est covergete et de plus sa limite l vérifie l m. Défiitio : La suite (u ) ted vers + ssi A >0, p N,p N,: p, u A. O ote lim u =+. Remarque : Si la suite (u ) ted vers + ou alors elle est o borée. O dit que la suite (u ) diverge ssi lim u =+ ou lim u = ou lim u = existe pas. Propriété:Soituesuite(u ),où N, ) si la suite (u ) est croissate et o majorée, alors elle ted vers +. ) si la suite (u ) est décroissate et o miorée, alors elle ted vers. Exemple : Détermier, sas évaluer la limite, si la suite ( 4+ ) est covergete ou divergete. O dit aussi détermier la ature de la suite. O a u = 4+ est défiie pour tout. De plus, o a u = f() où f est la foctio f(x) = x 4x+. O a f 0 (x) = (4x+) > 0, x [0, + [. Aisi la suite ( 4+ ) est strictemet croissate. D autre part, pour tout, u = =. Par suite la suite ( 4+ ) est majorée. Comme elle est déja (strictemet) croissate alors elle est covergete. Exemple (Critère de d Alembert pour la CV des suites à t.g.> 0): Soit (u ) ue suite réelle à termes strictemet positifs càd, u > 0. u Si lim + u = L< alors la suite (u ) coverge vers 0. u O a lim + u = L< doc >0, N : N, o a u+ u L <. Puisque L<,il existe b R :0 L<b<. Pour = b L>0, N : N, o a : u+ u L <b L (b L) u + u L b L u + u <b u + <bu Aisi (par itératio du processus), o a : 6

17 0 <u + <bu <b u <... < b N+ u N Or lim (b N+ u N )=(b N u N ) lim suite (u ) coverge vers 0. b+ =0doc lim u + =0càd la Exemple : Etudier la covergece de la suite (u ) défiie pour tout par u =. Pour tout, O a u = > 0. lim u + u = lim ( + + )= lim + = <. Doc, d aprés le critére dit de d Alembert, la suite (u ) =( ) coverge vers 0..5 : Etude de suites particulières 8 : a) Suites adjacetes : Défiitio : Soiet (u ) et (v ) deux suites réelles o dira que (u ) et (v ) sot adjacetes si ) (u ) est ue suite croissate et (v ) est ue suite décroissate ),oau v ) lim (u v )=0 Propositio : Deux suites adjacetes sot covergetes et ot la même limite. Faire la démostartio à titre d exercice. Exemples : ) Soiet (u ) et (v ) deux suites défiie par u 0 et v 0 > 0 et par les relatios de récurrece : u 0 =,u =+! ! v 0 =,v = u +! O a :, u + u = (+)! > 0 u + >u = (u ) croissate (strictemet) O a :, v + v =(u + + (+)!! doc, v + v = (+)x!! =!, v + v 0 (v ) est décroisate. (+)! ) (u +! )=u + u + (+)!! = h i (+) (+)! =! ³ + D autre part,, v u =! > 0 =, v >u et lim (v u ) = lim! =0 doc (u ) et (v ) sot suites adjacetes par suite, elles sot CV et ot la même limite l et o a lim u = lim v = u v u v Remarque : est u ombre irratioel : 8 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI 7

18 Démostratio par l bsurde. Supposos que est ombre ratioel càd (p, N) N N : l = p N. O a :, u > 0 et v > 0 = p N 0, u v =, +! N! P N +!... +! +! Si o multiplie par N! les membres des iégalités, o a : N!+(N )! + +(N )! P (N )! N!+(N )! + +(N )! {z } {z } A N A N = A P (N )! A + Ce qui est absurde car P (N )! N et A et A + sot des etiers cosécutifs doc est u ombre irratioel. Ce ombre est oté par e.et de plus e = lim + +! ! =+! ! +... ) Soiet (u ) et (v ) deux suites défiie par u 0 >v 0 > 0 et par les relatios de récurrece : u + = u +v et v + = u v. a) Motrer que 0, o a u 0,v 0 et u v b) Motrer que la suite (u ) est décroissate miorée et la suite (v ) est croissate majorée. c) Motrer que les suites (u ) et (v ) sot covergetes. d) Motrer que la suite (w ) défiie par w = u v apourlimite0. E déduire que les suites (u ) et (v ) ot la même limite. a) O a u 0 >v 0 > 0 et u 0 et v 0 se motret par recurrece assez facilemet. O a u 0 >v 0, pour motrer que,u v, o peut le faire par récurrece ou directemet. La relatio u + v + s écrit u +v u v càd u + v u v. Comme u + v u v =( u v ) (o a u 0 et v 0) doc u + v u v 0. b) La suite (u ) est miorée par 0 car N,u 0 (d après a)). La suite (u ) est décroissate car N,u + u = u +v u = u v 0 (d après a)). La suite (v ) est majorée par u 0 e effet, N,v = u v u v u u (d après a)). u 0. La suite (v ) est croissate e effet N,v + v = u v v = v ( u v ) 0 (d après a)). c) La suite (u ) est covergete vers l (décroissate et miorée) et La suite (v ) est covergete vers l (croissate et majorée). O a : u + = u +v doc v =u + u Aisi w = u v = u (u + u )=(u u + ) Comme la suite (w ) est covergete vers 0, cela résulte du fait que : N,w 0, w =(u u + ) et que (u ) est covergete vers l, 8

19 et que la suite (w ),(avecw = u v ), est covergete vers (l l ), cela résulte du fait que : N, w =(u u + ) que (u ) est covergete vers l et que (v ) est covergete vers l, O a : l = l. Théorème (des segmets emboites) : Soiet (u ) et (v ) deux suites adjacetes et I =[u,v ].Il existe u uique l tel que I = { }. IN Démostratio : Soit x I u u x v v = x [u,v ]=I doc, [u,v ] [u,v ] (d où le om de segmets emboites) puisque lim (u v )=0,oalerésultat. + b) Etude de suites récurretes du type u 0 doé u + = f(u ), 0 9 : Soit I u itervalle de R et f ue foctio réelle défiie das I et à valeur das u sous-esemble de I càd f : I J I. O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 I, doé u + = f(u ), 0 Cette suite est appelé suite récurrete associé à f et u 0. O a : N,f(u ) I doc la suite (u ) est bie défiie. Das la suite, o va supposer que la foctio f est cotiue, mootoe et dérivable das I. Rappel : Si la suite (u ) CV vers l et si f est cotiue e l alors l = f(l). O ditquetoutelimiteevetuelledelasuite(u ) est u poit fixe de la foctio f. Pour étudier ue suite recurrete de la forme : u 0 doé u + = f(u ), 0 i) O étudie les ses de variatio : u + u = f(u ) u O étudie le sige du secod membre. Si tous les u sot positifs, o étudie le rapport R = u+ u. Si R> alors la suite (u ) est croissate. Si R< alors la suite (u ) est décroissate. ii) O fait l hypothése que la suite (u ) coverge vers l. l est solutio de l équatio l = f(l) (o suppose que f est cotiue) O forme u + l et o cherche à moter que ce terme ted vers 0 quad +. Pour cela, ue idée cosiste à exprimer u + l e foctio de u l. E pratique cela reviet à trouver k :0 k<: u + l k u l. Exemples : 9 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI 9

20 ) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par par u 0 = u + = u +4,si. O a u = u 0 +4=5, u = u +4= ( u 0 +4)+4= 4 u 0 +6 u = u +4= ( 4 u 0 +6)+4= 8 u 0 +7, u 0 (recurrece). Si la suite (u ) CV vers l alors l = l +4 l =8 8 u + =8 ( u +4) (o a l = l+4) 8 u + =( l+4) ( u +4) = (l u ) Doc (par itératio du processus ou recurrece ou produit membre à membre) 8 u + = (car8 u 0 =6) Aisi la suite (u ) CV vers 8. ) Etudier la covergece de la suite (u ) dot le terme gééral est défiie par par u 0 =0 u = +u,si. O a ue suite récurrete càd de la forme u = f(u ) avec f(x) = +x. Si la suite (u ) coverge vers l, oaural = f(l) càd l = +l, dot les solutios sot et. Comme tous les élémets de la suite sot positifs alors l 0. Par suite ue limite evetuelle de la suite est l =. O a u = +u = +u +u doc u = +u +u u. Par itératio du processus, o a : u u 0 =. Doc la suite (u ) coverge vers l =. Théorème : Soit I u itervalle de R et f ue foctio réelle défiie das I à valeur das u sous-esemble de I càd f : I J I. O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 I, doé u + = f(u ), 0 i) Si la foctio f est croissate sur I alors la suite (u ) est mootoe. Plus prècisemet: si u 0 u alors la suite (u ) est croissate si u 0 u. si u 0 u alors la suite (u ) est décroissate si u 0 u. ii) Si la foctio f est décroissate sur I alors les suites (u ) et (u + ) sot mootoes. L ue est croissate et l autre est décroissate. Démostratio : i) N, o a : u + u = f(u ) f(u ) et f croissate la suite (u ) est mootoe. 0

21 Si u 0 u et f croissate f(u 0 ) f(u ) u u = f(u ) f(u 0 ) 0 u u. O a N, u + u = f(u ) f(u ),u 0 u et f croissate doc (par récurrece immédiate) la suite (u ) est croissate. Le cas u 0 u se traite de faço similaire au cas précédet. ii) Si la foctio f est décroissate g = fof est croissate. Or pour u 0 doé, o a : N, u + = f(u + )=fof(u )=g(u ). De même pour u doé, o a : N, u + = g(u + ) Doc, d apres i), les suites les suites (u ) et (u + ) sot mootoes. De plus, l ue est croissate et l autre est décroissate. E effet si u 0 u et si g = fof croissate alors u = g(u 0 ) u 4 = g(u ) et par itératio du procédé, o a (u ) est croissate si u 0 u et et si f décroissate alors u = f(u 0 ) u et par itératio du procédé, o a (u + ) est décroissate. Le même raisomet est valable das le cas où u 0 u. Exemple : O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 =, u + = (u +), 0 La suite (u ) est ue suite récurrete associé à f et u 0 =où x [, + [,o a f(x) = (x +). O a f est ue foctio croissate doc d aprés le théorème précedet, la suite (u ) est mootoe. Comme de plus, u 0 = u = f() =, il s e suit que cette suite est décroissate. D autre part, la suite (u ) est miorée par. Doc la suite (u ) CV vers l et de plus, l = f(l) càd l est solutio de l équatio l l +=0. c) Suites de Cauchy : Défiitio : Ue suite (u ) est dite suite de Cauchy das IR,sietseulemetsi : >0, N ε IN : p N ε et q >N ε = u p u q <ε Théorème : Toute suite covergete das IR estuesuitedecauchy. Démostratio : Si (u ) est dite suite covergete das IR, o a : lim u = ε>0, N ε > 0: >N ε u < ε + ε Doc >0, N ε > 0: p N ε et q N ε o a : u p uq u p + u q < + u p uq < ε. Théorème : Toute suite de Cauchy das IR est covergete da IR.

22 Coclusio : Ue suite (u ) das IR est covergete si et seulemet si elle est de Cauchy. Propriété : Si (u ) et (v ) sot deux suites de Cauchy alors : Les suites ( u ) et ( u ) sot de Cauchy La suite (u + v ) est de Cauchy Si de plus :, v a et a R +, u p uq < ε. Défiitio : Ue suite (u ) est dite suite cotractate das IR,sietseulemet si :, u + u <k u u où 0 <k<. Théorème : Toute suite cotractate das IR.est ue suite de Cauchy das IR. Exemple : O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 doé, u + = u + cos(u), 0 La suite (u ) est ue suite récurrete associé à f et u 0 =où x [, + [,o a f(x) = x + cos(x). x [, + [,o a f 0 (x) = si(x). f 0 (x) + = 5 6 < Doc, d apres le th. précédet, la suite (u ) est covergete. 0 0 Aalyse I SMI & SM S. EL HAJJI