Corrigés ou indications : Séries de Fourier

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1 Chapire 4 Corrigés ou indicaions : Séries de Fourier Exercice 4.5 Remarquons que la série C'es une série rigonomérique exponenielle (n!) 2 ein n'es pas une série rigonomérique ordinaire. c n e inω bien pariculière, parce que, pour ou n <, c n. 1. (a) La série proposée s'écri u n où u n es dénie sur R par u n () ( 1)n (n!) 2 ein. Puisque e in 1, pour ou réel, on a u n () 1. On a donc (n)! 2 u n 1 (n!) 2 1 n!, e la série + u n es normalemen convergene, donc uniformémen convergene. Puisque la convergence es uniforme e les u n coninues, f + u n es coninue ; e -périodique puisque chaque u n es -périodique. (b) Puisque u n() inu n () e u n (in) 2 u n (), on a de même u n n (n!) 2 e u n n2 (n!) 2, + e les séries u n, u n son elles aussi normalemen convergenes. On peu donc appliquer deux fois le héorème de dérivaion erme à erme des séries de foncions, ce qui donne y () n1 (in) 2 (n 1!) 2 ein n1 1 1 (n 1!) 2 ein y()e in. 2. Remarquons que pour oue foncion g de classe C 1, la série de Fourier de g s'obien en dérivan erme à erme la série de Fourier de g. En ee, si T es Exercices d'analyse 19 M. Deléglise

2 la période e ω /T la pulsaion, le n ème coecien de Fourierde g es c n (g ) 1 g ()e inω d. Une inégraion par paries avec T donne c n (g ) 1 T u() e inω, v () g () e v g() inω 1 T g ()e inω d 1 T [ g()e inω ] T 1 T f()e inω d inωc n (g). Ainsi, pour ou n, c n (g ) iωnc n (g), e la série de Fourier de g n+ c n (g )e inω n+ inωc n (g)e inω n+ f()inωe inω d c n (g) d d e inω s'obien ou simplemen en dérivan erme à erme la série de Fourier de g. (a) Par la remarque précédene c n (g ) inc n (g ) ( in) 2 c n (g) n 2 c n (g). (b) Si g es une soluion de l'équaion E on a c n (g ) 1 g ()e in 1 (c) Si g es une soluion de E, il résule de a) e de b) que n 2 c n (g) c n 1 (g). g()e i e in c n 1 (g). En faisan n on en dédui c 1 (g), puis, c n (g) pour ou n <. Pour n on obien par récurrence c n (g) c (g) ( 1)n. La série (n!) 2 de Fourier de g es donc c (g) n1 (n!) 2 ein. De plus g éan de classe C 1, par le héorème de Dirichle, elle es la somme de sa série de Fourier g() c (g) n1 (n!) 2 ein c (g)f(). Ainsi g apparien à l'espace vecoriel de dimension 1 engendré par f. Puisque l'équaion diérenielle (E) es linéaire homogène, oue foncion de la forme kf pour k R es encore une soluion de (E), e périodique puisque f es -périodique. Exercices d'analyse 2 M. Deléglise

3 Exercice La foncion f es impaire. Sa resricion à chaque inervalle ]k, (k + 1)[ se prolonge en la foncion consane ( 1) k sur [k, (k+1)], qui es évidemmen de classe C 1. La foncion f es donc de classe C 1 par morceaux. Explicions les coeciens a n e b n de sa série Fourier rigonomérique. Puisque f es impaire les a n son ous nuls. Calculons b n pour n 1. b n 2 f() sin(n) d 2 sin(n) d 2 n [( 1)n 1]. Il en résule b e b 1 4/(/( 1)). La série de Fourier de f es donc 4 n1 sin( 1)x 1 Puisque f es de classe C 1 par morceaux, coninue sur R \ Z, par le héorème de Dirichle, sa série de Fourier es simplemen convergene, e sa somme S saisfai f(x) pour x R \ Z S(x) f(x + ) + f(x ) pour x Z Puisque f(k), dans ous les cas S(x) f(x), auremen di f coïncide avec la somme de sa série de Fourier. 2. S n (x) 4 n sin(2k 1)x donne S 2k 1 n(x) 4 n cos(2k 1)x. Explicions cee k1 k1 somme. (a) Pour x q, les eniers (2k 1)q son ous de la parié de q, e donc cos((2k 1)q) ( 1) q. Il en résule S n(q) ( 1) q 4n/, e en pariculier, lorsque q, S n() 4n/. (b) Pour x k, en noan z e ix, ( ±1) on a S n(x) 4 n cos(2k 1)x 4 Re z(1 + z2 + + z 1 ) k1 4 ( )] 1 z [z Re 1 z 2 4 ( e 2inx ) Re 1 e ix e ix 2 sin x sin x Puisque S() S() 4n/, les de S n apparenan à l'inervalle [, ] son les k/() avec k 1, 2,... ( 1). Le premier exremum de S n es aein en /(), c'es un maximum car sin(x) es posiif sur [, /()] e change de signe au passage en /(). 3. Puisque S n () es nul, e S n de classe C 1, on a pour ou x x S(x) S n (x) S n () S n(u) du. Exercices d'analyse 21 M. Deléglise

4 En pariculier a n a n S n(u) du e, en écrivan u /(), ( ) 1 S n d 2 ) car, par la quesion 2 on a 1 ( S n convenan que pour on a 4. Démonrons que 2 1. d, ( ) converge uniformémen vers n pour ou [, ] en pour [, ]. Pour < on écri (4.1) La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 appliquée à la foncion sin sur l'inervalle [, x] donne sin x x x3 cos(θx) avec < θ < 1. Il en résule 6 [, ], 3 48n 3. (4.2) Sur l'inervalle [, /2] la foncion sinus es concave. Le graphe de sa resricion à [, /2] es donc au dessus du graphe de la droie d'équaion y 2x/ relian les poins (, e (/2, sin /2). C'es à dire que l'on a e donc [, /2], n 1, [, ], 2 n Avec (4.1) e (4.2) on en dédui pour n 1 e ], ], 3 /(48n 3 ) 2 /(n) 48n n, e cee majoraion es encore vériée lorsque car dans ce cas le erme gauche es 1 1. Ceci prouve la convergence uniforme de vers sur [, ]. On peu donc écrire lim a n lim n n d ( lim n ) d d. 5. On par de +1 ( + 1)! Exercices d'analyse 22 M. Deléglise

5 qui donne immédiaemen, pour, ( + 1)!. La somme de cee série enière de rayon de convergence inni, es donc le prolongemen par coninuié en de /. La convergence es uniforme sur ou inervalle [, a], en pariculier sur l'inervalle [, ], e on peu écrire ( + 1)! +1 ( + 1)( + 1)! (4.3) Noons u n +1. Pour n 1, ( + 1)( + 1)! u n+1 u n + 1 ( + 2)( + 3) ( + 3) Pour n on vérie immédiaemen que u 1 /u 2 /18 1. La suie (u n ) es donc décroissane e le héorème des séries alernées s'applique à la série (4.3). Les sommes parielles successives son alernaivemen des valeurs approchées par excès e par défau de la somme de cee série. Le calcul des premiã res sommes parielles donne 5 u n e 6 u n puis l'encadremen < dédui e lim n a n d < Avec la quesion 4 on en < < lim a n < < 1.179, Exercices d'analyse 23 M. Deléglise