a) f est injective car : 2k1 2k

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "a) f est injective car : 2k1 2k"

Frédéric St-Jacques
il y a 5 ans
Total affichages :

1 SERIE DE TD N Solution d L rcic : Rappl : Im.Dirct Im.Réciproqu : E F D E y = () R F (D)={()/ D} - (R)={ E /() R} D () F - (R) () R Soit : E F I) A ) l imag d dirct d A par : A / A / / 7 ) l imag d réciproqu d A par : - A R / A R / - Solution d L rcic : AB F. A B g - (A) g - (B)? Hypothès : A B But : g - (A) g - (B) g - (A) g() A Comm A B g() B g - (B) Donc : A B g - (A) g - (B). g - (A B) = g - (A) g - (B)? g - (A B) g() A B g() A g() B g - (A) g - (B) g - (A) g - (B) Donc : g - (A B) = g - (A) g - (B). g - (A B) = g - (A) g - (B)? g - (A B) g() A B g() A g() B g - (A) g - (B) g - (A) g - (B) Donc : g - (A B) = g - (A) g - (B) Solution d L rcic : Soit : N N t g : N N déinis par : k si n st pair k N k k ; gn k si n st impair a) st injctiv car : k k k k mais non surjctiv car ls nombrs impairs n ont pas d antécédnts. b) g st surjctiv car chaqu imag (ntir naturl) possèd au moins un antécédnt d N mais non injctiv car chaqu imag possèd plus qu un antécédnt ( antécédnts actmnt). Empl : l imag possèd ls antécédnts t. Conclusion : Ls du applications t g n sont pas bijctivs. Solution d L rcic : Soint : E F t F G du applications. On suppos qu g o st injctiv. E. Si () = () alors (g o )() = (g o )() = ( Hypothès : go st injctiv ). Ainsi () = () = : l application st injctiv.. On suppos qu g o st surjctiv. z G : z possèd un antécédnt dans E par g o. On a alors z = (g o )() = g(y) avc y = () Ainsi z possèd un antécédnt y dans F par g : l application g st surjctiv g o injctiv t surjctiv. Soint y t y F tls qu g(y) = g(y). st surjctiv E tls qu y = () t y = (). On n déduit (g o )() = (g o )() = ( car g o st injctiv) C qu donn : y = y Alors g st injctiv.. g o surjctiv t g injctiv. Soit y F Soit z = g(y) (z st l imag d y par g).

2 Puisqu g o st surjctiv E tl qu z = (g o )(). On put écrir z = g(y) t z = g(()). g st injctiv y = (). Alors y F il possèd un antécédnt par : l application st surjctiv. Solution d L rcic : -Calcul d - : ; - ; Montrons qu st bijctiv : L application st strictmnt croissant t continu sur R avc (R) = R. Donc st un bijction d R dans R. - Imags invrss : - - ; - - Solution d L rcic 6: Détrmination ds its : ) - orm indétrminé au numératur - - ln ) - orm indétrminé On utilisra la règl d Hôpital: g g ln g g cos Donc : ln cos cos ln t t )? on pos - t ln lnt Alors - t t - ln ln ) Solution d L rcic 7: st déini d R dans R comm suit : a b si ; si ) Si alors st continu -Etud d la continuité au point = : continu au point = a b b continu n = b = Donc : st continu sur R b = ) Si alors st dérivabl -Etud d la dérivabilité au point = : dérivabl au point = Ou bin a b b a continu t dérivabl n = b = t a = - Donc : st dérivabl sur R b = t a = - Solution d L rcic 8: )- La onction a donc ll st sur. La onction a ll st sur st continu sur R st continu sur R donc

3 Etudions la continuité n : st continu n On a : a a a a Par conséqunt : st continu n a a a Donc pour a n st pas continu n. )- a a a a a - a )- La dérivabilité d : La onction a ll st sur. La onction a st sur. st dérivabl sur R donc st dérivabl sur R donc ll Il rst à étudir la dérivabilité d n. r cas : Pour a n st pas continu donc ll n st pas dérivabl. èm cas : Pour a st continu voyons si ll dérivabl c-à-d si : En rmplaçant a par sa valur : a a mais pour a Résumé : donc n st pas dérivabl n a R n st pas dérivabl n. Solution d L rcic 9: st déini d R dans R comm suit : - si si Pour utilisr l théorèm ds accroissmnts inis il aut tout d abord montrr qu st dérivabl sur Dérivabilité d : Si alors st dérivabl. -Etud d la dérivabilité au point = : ) Continuité au point = - st continu n alors ll st continu sur? ) Comm : alors st dérivabl au point = On conclut donc qu st dérivabl sur st continu sur t dérivabl sur on put appliqur l théorèm ds accroissmnts inis sur donc il ist : c tl qu c t Par conséqunt c c

4 -Supposons qu : c alors : c c c t on vérii qu donc c st un solution. -Supposons qu : c alors : c c donc st un On a t solution. Il y a donc du solutions : Solution d L rcic : Soit la onction déini par : c t c. arc ) l nsmbl d déinition d st D D - ist - - La doubl inégalité équivaut : Ctt inégalité st toujours vériié t donc : - D Posons π π t avc t - on alors : arc arc t π π t car t - tcos arc t arc t On put simpliir ctt prssion n tnant compt π π d : arc u u u - π π π π *) Si t - alors t - t donc t t arc π π π π *) Si t alors t π t π - t D plus π - u u on n déduit qu dans c cas : arc t arc π - t π t π π π π *) Sit - - alors t - π- t π t D plus π u - u on n déduit qu dans c cas : arc t -arc- t -arc π t -π t t arc Finalmnt on put rvnir à par - π - arc si arc si π - arc si Solution d L rcic : ) ) arc arc arc arc arc cosarc cosarc arccos 8 arccos cos arc cos u cos u On utilis la ormul : Alors : 8 ) arc On sait qu: a b Alors : arc arc a - a a a a b b

5 Solution d L rcic : On a : y π ln ; posons α y π ) ch cos cos ) sh y cos α π cosy cos cos π - cos y - cos - cos y cos π cos y ) th sh ch α α α α α α cos cos α α -cos π y α α α -cos y y y

Documents pareils

f n (x) = x n e x. T k

f n (x) = x n e x. T k EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr