, l ensemble des forces appliquées au centre de gravité du corps considéré, t. i 1 F i
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- Céline Delisle
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1 5 LA CHUTE LIBRE 5.1 Préambule Nous allons ici nous inéresser à la chue libre ans l amosphère. Il es à noer qu hisoriquemen Galilée, u hau e la our e Pise fai es expérimenaions qui lui permiren e poser les premières lois e la cinémaique. Pei rappel e la loi fonamenale e la ynamique. Lorsque, la somme es forces e es couples qui sollicien un solie inéformable son nuls, celui-ci es à l arrê ou possèe une rajecoire reciligne en viesse e en roaion consane. Ainsi, un parachuise lorsque sa viesse es consane es reenu par son parachue avec une force égale à son pois. Pour les forces, en absence e couples, la loi fonamenale e la ynamique s exprime par : n i 1 F i M accéléraion n i 1 F i M (5.1) n M représene la masse e l obje,, l ensemble es forces appliquées au cenre e gravié u corps consiéré, i1 F i l accéléraion, qui es la viesse e la viesse exprimée en m/s/s. Avec cee relaion, nous pouvons vérifier, que si la somme es forces es nulle, l accéléraion vau zéro e par conséquen, la viesse es consane. Sur la figure 5.1, nous rouvons la siuaion un parachuise avan e après l ouverure e son parachue. F 1 z F 1 P Mg P Mg y o x Figure 5.1 : Corps en chue libre Dans les eux cas e la figure 5.1, lorsque la force F 1, ue au froemen e l air sur le parachue ou sur le parachuise, es égale au pois e celui-ci, la viesse s es sabilisée à une valeur consane. Au regar es lois e la ynamique, il es en équilibre. S il n y avai pas le froemen e l air, le parachuise ne serai soumis qu à son propre pois e au regar e la relaion (5.1) son accéléraion es égale à g soi g 9,81m/s. Ainsi, sans la résisance e l air, une personne en chue libre prenrai au bou e 1 s une viesse e 98 m/s soi 35,8 km/h!!! Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
2 1 Nous allons mainenan préciser la viesse un corps en chue libre, ans un repère galiléen, consiérons l axe oz irigé vers le hau, e noons z(), l aliue u parachuise en foncion u emps. La viesse e celui-ci sera la érivée u éplacemen e sera noée : v z L accéléraion es la érivée e la viesse : vp, ou exprimé auremen l accéléraion es la érivée secone u éplacemen : z (5.) 5. Chue libre à faible aliue Dans un premier emps, nous allons consiérer la chue libre à es aliues inférieures à km. Dans ces coniions, nous consiérerons la ensié e l air consane. Nous allons cepenan poser le problème ans le cas général ou la masse volumique e l air varie avec l aliue. L évoluion e la viesse un parachuise es régie par une équaion ifférenielle issue e la relaion (5.1) que nous allons explicier. Les lois e l aéroynamique onnen une force e froemen ue à la pénéraion ans l air proporionnelle au carré e la viesse. F() C x S 1 F CxS z vp (5.3) force e froemen en Newon en foncion u emps Coefficien e rainé un corps Surface fronale en z Masse volumique en vp m 3 kg m en foncion e l aliue Viesse u parachuise en m/s en foncion u emps Au vu e cee relaion, nous pouvons noer que la force e froemen un corps en mouvemen ans l air es proporionnelle à la secion u corps ans la irecion u mouvemen e à la ensié e l air e au carré e la viesse. Ainsi, avec l augmenaion e l aliue la résisance à l air iminue. L équaion fonamenale e la ynamique (5.1) e l expression e la force e froemen (5.3) permeen écrire l équaion ifférenielle u secon orre suivane : 1 M z CxS z vp Mg (5.4) À parir e cee équaion ifférenielle, nous allons calculer la viesse équilibre u parachuise ans les siuaions e chue libre e avec un parachue. A l équilibre la viesse es consane e l accéléraion 1 C x S v p Mg z 1 C x S v p Mg Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14 p es nulle, nous aurons onc : (5.5)
3 Cee ernière relaion assure le calcul e la viesse équilibre : v Mg C S (5.6) x Nous prenrons ici une ensié e l air consane le parachuise. Cas e la chue libre 3 1,51kg / m e une masse e 75 kg pour Pour un homme en chue libre les paramères aéroynamiques que nous avons reenus son les suivans : Surface fronale S,7m Cx,64 Avec ces onnées la relaion (5.6) onne p v 51m/s soi 184 km/h!!! Il es clair qu à cee viesse il n y a aucune chance e survie. Descene avec un parachue Les moèles es parachues son ivers e auorisen es viesses enre m/s e 5 m/s, nous avons pris ici un moèle miliaire. Avec un parachue S 6m e Cx,8 ans le cas une escene en parachue, la relaion (5.6) onne : p v 5m/s soi 18 km/h c es mieux. 5.3 Dynamique e la escene Afin avoir une iée e l évoluion e la viesse, il fau résoure l équaion ifférenielle (5.4) 1 M z CxS vp Mg (5.7) Cee équaion ifférenielle es non linéaire à cause e la présence u carré e la viesse, elle n auorise pas une résoluion analyique simple. Nous allons pour connaîre l évoluion e la viesse procéer à sa simulaion numérique. Consiérons que nous isposions un moule inégraion numérique qui réalise l inégrale suivane : f À parir e (5.7), nous pouvons exprimer l accéléraion u parachuise. 1 z CxS vp Mg (5.8) M Si nous inégrons une fois l accéléraion, l inégrale éan la foncion inverse e la érivée, nous obenons la viesse : vp z. Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
4 3 Mainenan si nous inégrons la viesse nous obenons le éplacemen : z vp (5.9) Les relaions (5.7), (5.8) e (5.9) permeen éablir le schéma e simulaion suivan : 1 M CxS vp Mg z z vp v z Coniion e la simulaion : Figure 5. : schéma e simulaion une chue libre Haueur u sau : mères Haueur pour l ouverure u parachue 5 mères, emps ouverure 3 secones. Viesse Viesse m/s emps m/s emps Figure 5. : Viesse lors e la chue libre aliue Figure 5.3 : Ouverure u parachue 15 mères emps Figure 5.4 : Aliue u parachuise en foncion u emps Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
5 4 5.4 Sau e la sraosphère Nous allons illusrer ce ype e sau avec l exploi exraorinaire e Felix Baumgarner fai en ocobre 13. Le ballon poran la capsule pressurisé conenai un volume proche e 84 m3, une fois en aliue, l enveloppe éployée, faisai 1 m e iamère. Ce ballon e sa nacelle on aein l aliue recor e ,4 km aliue Figure 5.5 : Ballon au cours u gonflage Figure 5.6 : Ballon au cours e la monée e momen u sau e Felix Baumgarner Ce sau recor en scaphanre pressurisé une aliue e 4 km ura 4 min 17 s Duran sa chue Felix Baumgarner aein la viesse e 134,8 km/h. Nous allons nous servir e ce exploi, comme exemple, pour simuler cee chue libre sraosphérique. Dans l exemple précéen un sau à basse aliue, nous avions consiéré la pression e la empéraure e l air comme consane, avec un sau sraosphérique, il en va ou auremen. Nous allons onc représener pour une aliue inférieure à 4 km l évoluion e la pression amosphérique e e empéraure. 11 Pression amosphèrique en essous e 5km Tempéraure amosphèrique en essous e 5 km Pression en hpa Aliue en km Figure 5.7 : Pression Pa(z) C Aliue en km Figure 5.8 : Tempéraure (z) Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
6 5 Sans renrer ans les éails e la formulaion algébrique, nous noerons pour les évoluions respecives e la pression e e la empéraure e l amosphère en foncion e l aliue z, les foncions Pa z e z, la pression amosphérique éan exprimée en Pascal e la empéraure en egré Celsius. 1 F CxSz v ans laquelle il fau explicier la variaion e la masse volumique e l air en foncion e l aliue z. Nous uiliserons pour cela la loi e Marioe vue précéemmen en (3.) ans laquelle la pression e la empéraure épenen e l aliue, nous obenons.nous pouvons calculer la résisance e l air F C S zv. x p 1 z CxS zvp Mg (5.1) M Le schéma bloc e simulaion numérique assuran le calcul e la viesse e u éplacemen u parachuise en foncion u emps es onné figure 5.9. z vp 1 M CxS zvp Mg z z vp v z z Pa z z z P z R z 73,15 Vz a Vz z 3 8,96631 V z z Figure 5.9 : schéma e simulaion une chue libre sraosphérique Ce schéma bloc e résoluion e l équaion ifférenielle es bouclé, en effe pour calculer l aliue z il fau connaîre la masse volumique z e l aliue z. Cela es possible, car les méhoes inégraions numériques écalen un pas e calcul e évien la boucle algébrique apparene. Déaillons le schéma e calcul e la figure 5.9. Les profils onnés sur les figures 5.7 e 5.8 permeen obenir la pression e empéraure en foncion e l aliue. Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
7 6 kg/m masse volumique e l'air Ensuie, à parir e ces profils e pression e e empéraure la loi e Marioe perme e calculer la masse volumique z en foncion e l aliue. Enfin, à parir e ces graneurs, l équaion ifférenielle (5.1) assure le calcul e la viesse e e l aiue u parachuise z en km Figure 5.1 : Evoluion e la ensié e l air Nous avons ainsi, pour une aliue e 4 km pris les mêmes coniions que précéemmen. La simulaion es arrêée à 5 m u sol au momen ouverure u parachue. Figure 5.11 : Sau e Felix Baumgarner Viesse km/h km/h km/h emps Figure 5.1 : Viesse u parachuise Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
8 7 4 aliue m km emps Figure 5.13 : Evoluion e l aliue La urée e la chue libre, avan l ouverure u parachue enre 4 km e 5 m es e 4 min 5 s, valeur proche es 4 min 17 s u sau réel. La viesse maximum aeine es e 1348 km/h, alors que celle e Felix Baumgarner a éé mesurée à 134,8 km/h. Cee superbe concorance es probablemen foruie, car les valeurs u coefficien e rainée, e la secion, e e la masse u parachuise son approximaives, en oure l évoluion e la ensié e la sraosphère au-essus e km es variable e mal connue. Cepenan, la corresponance vis-à-vis es valeurs expérimenales onne un cerain egré e confiance ans les simulaions qui on éé effecuées. Sur la figure 5.1 es représenée en rouge la chue un corps ans le vie, nous consaons que uran les ving premières secones, la viesse u parachuise es peu affecée par les haues couches e la sraosphère. Sur les figures 5.1 e 5.13, nous consaons que la viesse aein un maximum après environ 5 secones à une aliue e 8 km. Ensuie, les couches enses e l amosphère ralenissen la chue pour aeinre 19 km/h à 5 m u sol. Le fai que Baumgarner ai passé le mur u son a fai éba, l a--il vraimen passé lorsque l air éai raréfié? La zone, où a probablemen éé passé le mur u son se siue vers 5 km. Afin apporer es argumens quaniaifs nous allons nous inéresser à l évoluion e la viesse u son lorsque la pression e la empéraure iminuen. Si nous noons c a la viesse u son, P a la pression amosphérique e la ensié e l air, la célérié u son es onnée par la relaion suivane : ca Pa. En vous reporan à l annexe, il es émonré que la viesse u son ne épen que e la empéraure. ca,463 T Connaissan le profil e empéraure ans la sraosphère, il es aisé e éerminer l évoluion e la viesse u son en foncion e l aliue. Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
9 8 Si nous recoupons ces résulas avec la simulaion précéene, nous obenons les résulas suivans : -8-9 Viesse en foncion u emps Passage u mur u son =33,7s Viesse 11Km/h Aliue 34,6 km -8-9 Viesse en focion e l'aliue Passage u mur u son =33,7s Viesse 11Km/h Aliue 34,6 km -1 Viesse u son -1 Viesse u son km/h -11 km/h Reour subsonique T=7 s Viesse 165Km/h Aliue km -1 Reour subsonique T=7 s Viesse 165Km/h Aliue km emps km Figure 5.14 : Zone e viesse en foncion u emps pour le mur u son Figure 5.15 : Zone e viesse en foncion e l aliue pour le mur u son Ces simulaions monren que la viesse u son e 11 km/h es aeine à une aliue e 34,6 km uran 36 secones, Felix Baumgarner a éé en viesse supersonique. À l aliue e km, la viesse es passée en essous e 165 km/h e le parachuise es repassé en viesse subsonique. Les couches e l amosphère se ensifian, à 5 m u sol, la viesse s es réuie jusqu à 19 km/h. Amosphère Ballons e chues libres J.M RÉTIF fév. 14
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