TS Chapitre 8 : Nombres complexes forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices p.1/11

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1 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.1/11 Vous avz aimé ls nombrs complxs; touts ls nuits, vous rêvz d trigonométri t vous n'nvisagz plus la vi sans ls xponntills? Alors c chapitr st fait pour vous!!!!! Objctif n 1 Form d'un nombr complx Exrcic 1 L plan complx st muni d'un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ) ( rpèr dirct signifi qu l'on pass du vctur vctur v n tournant dans l sns dirct ) On considèr un nombr complx z = x + i y ( avc x t y réls ) t M son imag dans l plan complx. On not C l crcl ( d cntr O, d rayon 1 ) 1. La dmi-droit [OM) coup l crcl C n A. Placr A sur la figur. 2. On pos r = OM ( rappl r désign donc l modul d z, t l'on not r = z ) On pos égalmnt θ = ( u, OM ) (θ s lit "téta" ) 3. a) Détrminr ls coordonnés d A n fonction d θ A = (... ;... ). En déduir l'affix d A n fonction d θ z A =... b) Détrminr r n fonction d x t d y r =... OM = r OA donc on put écrir M ( r cos θ ; r sin θ ) Donc z put s'écrir z = x + i y ( c'st la form... d z ) Mais z put donc aussi s'écrir z = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) ( ctt form s'appll la form d z ) u au Définition 1 lorsqu'un nombr complx z st écrit sous la form r ( cos θ + i sin θ ), où r st un rél strictmnt positif t où θ st un rél qulconqu, on dit qu c complx z st écrit sous form. * l rél positif r st l modul d z ( r = z ) * θ st applé un argumnt d z t on not θ = arg (z) Rmarqus 1. l complx z = 2 ( cos π 3 + i sin π 3 ) st écrit sous form mais l complx z ' = 3 ( cos π + i sin π ) n l'st pas car Contrairmnt à la form algébriqu, la form d'un complx n'st pas uniqu par xmpl, pour l complx z ci-dssus, on put aussi écrir z = 2 ( cos 7π 7π + i sin 3 3 ) car π 7π t sont dux msurs d'un mêm angl. 3 3 Plus généralmnt, il xist un infinité d'argumnts ( donc d forms s ) pour un complx. Parmi ctt infinité d'argumnt, il n'y n a qu'un sul situé dans l'intrvall ] π ; π ]. On l'appll l'argumnt principal du complx. Toutfois, par abus d langag, on dira souvnt l'argumnt pour désignr l'argumnt principal. 3. Un argumnt étant un msur d angl orinté, il convint donc d s placr dans un rpèr orinté. C st pourquoi on précis qu l rpèr (O; u, v ) st dirct.. L nombr complx 0 a un modul égal à 0 mais n a pas d argumnt puisqu l angl ( ; ) n xist pas.

2 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.2/11 Exrcic 2 Voici nombrs complxs écrits sous form. On not M 1, M 2, M 3 t M lurs imags dans un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ). z 1 = cos π 6 + i sin π 6 z 2 = cos ( 2π 3 ) + i sin ( 2π 3 ) z 3 = 2 ( cos 3π + i sin 3π ) z = 1,5 ( cos 3π 2 + i sin 3π 2 ) Placr ls points M 1, M 2, M 3 t M sur la figur (l crcl tracé st l crcl, donc d rayon 1). Exrcic 3 Voici nombrs complxs z 1 = 3 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z 2 = 2 ( cos 3π + i sin 3π ) z 3 = cos 22π 22π + i sin 3 3 z = ( cos π 3 i sin π 3 ) 1. Parmi cs complxs, indiqur cux qui sont écrits sous form ( donnr l modul t l'argumnt principal) t cux qui n l sont pas ( justifir pour cs drnirs ). 2. Ecris ls nombrs complxs sous form algébriqu. 3. Défi 1 écris ls nombrs qui n l sont pas sous form.. Défi 3 écris ls nombrs complxs z 5 = 5 2 i t z 6 = i sous form Exrcic L plan complx st muni d'un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ). Soit z un nombr complx d form z = r ( cos θ + i sin θ ). Soit M l point d'affix z dans c rpèr. 1. Fair apparaîtr r t θ sur la figur ( voir pag 3 ). 2. a) Placr l point M, imag d z b) Complétr n fonction d r t θ z =... t arg ( z ) =... c) En déduir z sous form. z = a) Placr l point M", imag d z b) Complétr n fonction d r t θ z =... t arg ( z ) =... c) En déduir z sous form. z =...

3 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.3/11. Considérons l nombr complx a = 3 ( cos π 7 + i sin π 7 ). a) Précisr l modul t l'argumnt principal d a b) Ecrir a sous form c) Ecrir a sous form L'xrcic précédnt mt n évidnc la propriété suivant Propriété 2 soit z un nombr complx d form z = r ( cos θ + i sin θ ). * Alors z a pour form z = r ( cos (θ + π) + i sin (θ + π) ). z = z ( résultat connu ) t arg ( z ) = arg (z ) + π Donc * Alors z a pour form z = r ( cos ( θ) + i sin ( θ) ) Donc z = z ( résultat connu ) t arg ( z ) = arg (z ) Exrcic 5 d la form algébriqu à la form Il st "facil" d passr d la form à la form algébriqu; voici quatr complxs écrits sous form z 1 = 8 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z 2 = 2 ( cos π 2 + i sin π 2 ) z 3 = 5 ( cos 16π 16π + i sin 3 3 ) z = 3 ( cos π + i sin π) Ecrir z 1, z 2, z 3 t z sous form algébriqu. 2. Il st moins "facil" d passr d la form algébriqu à la form. a) Etud d'un xmpl écrivons l complx z = i 3 sous form. étap 1 on détrmin l modul d z vérifir qu z = étap 2 on mt z n factur dans la form algébriqu d z z = (... + i... ) étap 3 on chrch un angl θ tl qu cos θ = 1 2 t sin θ = 3 2 On obtint ici θ =... étap conclusion L complx z = i 3 a pour form b) En suivant la mêm méthod qu ci-dssus, détrminr la form d z 1 = 3 + i z 2 = 1 i 3 z 3 = i z = 3 + i z =...

4 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p./11 Rmarqu l nombr complx z d la qustion précédnt montr qu lorsqu ls valurs obtnus dans ls parnthèss n sont pas ds cosinus t sinus rmarquabls, il n'st pas possibl d trouvr un msur xact d l'argumnt du complx. D façon général, ls valurs choisis dans ls xrcics n sont donc pas choisis complètmnt au hasard... c) Dans crtains cas, un simpl figur suffit; pour chacun ds complxs suivants z 5 = 3 z 6 = 2 i z 7 = 2 2. déduisz-n sans calcul l modul d z 5 2. déduisz-n sans calcul l modul d z 6 2. déduisz-n sans calcul l modul d z 7 détrminr un argumnt d z 5 détrminr un argumnt d z 6 détrminr un argumnt d z 7. écrir alors z 5 sous form. écrir alors z 6 sous form. écrir alors z 7 sous form z 8 = 3 i z 9 = 1 + i z 10 = i 2. déduisz-n sans calcul l modul d z 8 détrminr un argumnt d z 8. écrir alors z 8 sous form 2. déduisz-n l modul d z 9 détrminr un argumnt d z 9. écrir alors z 9 sous form 2. déduisz-n l modul d z 10 détrminr un argumnt d z 10. écrir alors z 10 sous form

5 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.5/11 Objctif n 2 Form xponntill d'un nombr complx Exrcic 6 L plan complx st muni d'un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ). On considèr dux réls θ t θ '. Soit z l complx z = cos θ + i sin θ. On nomm M l point d'affix z. Soit z ' l complx z ' = cos θ ' + i sin θ '. On nomm M l point d'affix z '. Ls points M t M ont été placés sur l crcl cicontr. 1. On considèr l complx Z 1 = z z ' Détrminr la form algébriqu d Z 1. Vérifir qu Z 1 = cos (θ + θ ' ) + i sin (θ + θ ' ) 2. On considèr l complx Z 2 = z z ' Détrminr la form algébriqu d Z 2. Vérifir qu Z 2 = cos (θ θ ' ) + i sin (θ θ ' ) On vint d démontrr ls dux résultats suivants ( cos θ + i sin θ ) ( cos θ ' + i sin θ ' ) = cos ( θ + θ ' ) + i sin ( θ + θ ' ) t =cos( )+ sin( ) On constat qu θ t θ ' s'additionnnt lorsqu'on multipli cos θ + i sin θ t cos θ ' + i sin θ ' t s soustraint lorsqu'on divis cos θ + i sin θ t cos θ ' + i sin θ ' On avait l mêm gnr d situation avc ls xponntills n fft x y = x+y x t y = x y Pour ctt raison, ls mathématicins ont u l'idé d'adoptr un notation plus court plutôt qu d'écrir cos θ + i sin θ, ils ont convnu d'écrir ( la lttr i dans l'xponntill a été placé pour fair la distinction ntr la fonction xponntill qui st un fonction où la variabl st réll t la notation xponntill ds nombrs complxs ) Définition 3 * Soit θ un rél qulconqu. Par convntion, la notation désign l complx cos θ + i sin θ. * Soit z un nombr complx d form z = r ( cos θ + i sin θ). Avc la notation précédnt, z s'écrira donc z = r. Dans c cas on dit qu z st écrit sous form xponntill. Propriété Avc la notation précédnt, ls propriétés miss n évidnc dans l'xrcic s'écrivnt (1) iθ iθ ' i( θ + θ ') = t (2) iθ iθ ' = i( θ θ ') Exrcic 7 z 1 = 2! " # z 2 = 2! $" # z 3 = 2! " # z = 2! " # 1. Parmi cs quatr complxs, indiqur cux qui n sont pas écrits sous form xponntill. Justifir chaqu répons. 2. Ecrir z 1 sous form puis sous form algébriqu. 3. Ecrir z 3 sous form algébriqu.. Considérons l complx z 5 = 3 (cos& '( ) *+ sin& '( ) *). Ecrir z 5 sous form xponntill. 5. Défi n 1 s-tu capabl d écrir l nombr z 6 = 5i sous form xponntill? 6. Défi n 2 s-tu capabl d écrir l nombr z 7 = 3 3i sous form xponntill?

6 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.6/11 Exrcic 8 L plan complx st muni d'un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ) ci-contr. 1. Placr dans c rpèr ls points M 1 à M, imags rspctivs ds complxs z 1 = i z 2 = 2 + 2i z 3 = 3 3i z = 1 + i 2. Détrminr l modul d chacun ds complxs précédnts. 3. Par simpl lctur graphiqu, détrminr un argumnt d chacun ds complxs précédnts.. Ecrir chacun ds complxs précédnts sous form xponntill. Entraînons-nous maintnant avc la méthod par l calcul pour ls forms algébriqus plus compliqués à transformr. Exrcic 9 Considérons ls dux complxs ci-dssous z 1 = 3+ 3 z 2 = 5+5 Ls écrir sous form puis xponntill. Objctif n 3 Produit t quotint d dux complxs écrits sous form (ou xponntill) Exrcic 10 Considérons ls nombrs complxs z t z ' écrits sous form xponntill par z = 2 3 t z ' = 3 1. On pos Z 1 = z z '. Ecrir Z 1 sous form xponntill ( pnsz aux propriétés - pag précédnt ) 2. On pos Z 2 = z z '. Ecrir Z 2 sous form xponntill ( pnsz aux propriétés - pag précédnt ) 3. D façon plus général, considérons ls nombrs complxs z t z ' écrits sous form xponntill par z = r iθ t z ' = r ' iθ' On considèr ls nombrs complxs Z 1 = z z ' t Z 2 = z z ' a) Ecrir Z 1 t Z 2 sous form xponntill. b) En déduir Z 1 t Z 2 n fonction d r t d r ' c) En déduir arg(z 1 ) t arg(z 2 ) n fonction d θ t d θ '

7 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.7/11 L'xrcic 10 mt n évidnc la propriété suivant Propriété 5 soint z t z sont dux complxs d moduls 1 2 z 1 t z 2 t d'argumnts arg ( z 1 ) t arg ( z 2 ). * z z a pour modul 1 2 z 1 z 2 * t pour argumnt arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) c qui put s'écrir z z 1 2 = z 1 z 2 t arg ( z z ) = arg ( z ) + arg ( z 2 ) z 1 z 2 a pour modul z 1 z = z 1 2 z 1 z 2 z 2 t arg ( t pour argumnt arg ( z 1 ) arg ( z 2 ) c qui put s'écrir z 1 z 2 ) = arg ( z 1 ) arg ( z 2 ) Rmarqus 1. Dans l cas où z = 1, on a 1 z 1 = 1 t arg ( z 1 ) = 0 On n déduit 1 z = 2 1 t arg ( 1 ) = arg ( z z 2 z 2 ) 2 2. L'xrcic 10 mt n évidnc l fait qu'il st très facil d calculr l produit ou l quotint d dux nombrs complxs écrits sous form xponntill. Par contr, lorsqu'on doit calculr la somm ou la différnc d dux complxs, la form xponntill n'st pas adapté; il st baucoup plus commod d calculr un somm ou un différnc d dux complxs n utilisant la form algébriqu. Exrcic 11 Considérons ls nombrs complxs z t z ' écrits sous form xponntill par z = Ecrir z t z ' sous form algébriqu. t z ' = 5 2. On doit calculr ls nombrs suivants Z 1 = z z ' Z 2 = 3z 5 z ' Z 3 = 5z + 6z ' Z = z² Z 5 = 5z 2z ' a) Pour chacun ds nombrs Z 1 à Z 5, indiqur qull form ( algébriqu ou xponntill ) d z t d z ' st la plus approprié pour fair l calcul. b) Calculr alors ls nombrs Z 1 à Z 5. 2π i 3 Exrcic On donn z 1 = 3 ( cos π 5 + i sin π 5 ) t z 2 = 2 ( cos π 3 + i sin π 3 ) 2. On donn z 3 = 7 2π i 3 t z = 8 3iπ a) Précisr l modul t l'argumnt d z 1 t d z 2 b) Ecrir z 1 t z 2 sous form xponntill c) En déduir la form xponntill d z 1 z 2 ; z 1 z 2 t 1 z 2 a) Précisr l modul t l'argumnt d z 3 t d z b) Ecrir z 3 z ; z 3 z t 1 z sous form xponntill c) Ecrir z 3 z ; z 3 z t 1 z sous form Exrcic 13 Soit z un nombr complx écrit sous form xponntill z = r iθ 1. Ecrir z² sous form xponntill 2. Démontrr par récurrnc qu pour tout n 1 z n = r n inθ

8 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.8/11 Propriété 6 Si z st un nombr complx écrit sous form xponntill z = r iθ alors pour tout n 1 z n = r n inθ Exrcic 1 π i 1. Soit z = Ecrir z 5 sous form xponntill puis sous form. 2. Soint z 1, z 2 t z 3 ls nombrs complxs z 1 = 3 3 z 2 = t z 3 = 5. Ecrir sous form xponntill ls complxs suivants a ) z 1 z 2 z 3 b ) z 1 z 2 z 3 c ) z 1 z 2 3 z 3 2 d ) z Exrcic 15 On considèr ls nombrs complxs z 1, z 2 t Z définis par z 1 = 3 z 2 = t Z = z 1 z 2 1. Ecrir Z sous form xponntill. 2. Détrminr la form algébriqu d z 1 puis cll d z 2. A l'aid d cs dux résultats, n déduir la form algébriqu d Z. 3. En utilisant ls qustions 1 t 2, détrminr la valur xact d cos π 12 t d sin π 12 Objctif n Utilisations ds nombrs complxs n géométri On s plac dans l plan complx rapporté au rpèr orthonormé dirct (O; u, v ). Qulqus rappls importants * concrnant ls msurs d'angls d vcturs 1. soint u 1 t u 2 dux vcturs qulconqus; l'angl ntr ls vcturs u 1 t u 2 s not ( u 2 ) t corrspond à l'angl rprésnté sur la figur ci-contr 2. Rlation d Chasls concrnant ls angls d vcturs ( u 2 ) + ( u 2, u 3 ) = ( u 3 ) 3. Qulqus rlations à connaîtr ( u 2 ) = ( u 2, u 1 ) ( u 2 ) = ( u 2 ) + π ( u 1, u 2 ) = ( u 2 ) + π ( u 1, u 2 ) = ( u 2 ) si k t k ' sont dux réls d mêm sign, ( k u 1, k ' u 2 ) = ( u 2 ) si k t k ' sont dux réls d signs contrairs, ( k u 1, k ' u 2 ) = ( u 2 ) + π * concrnant ls moduls d complxs 1. si M st un point du plan complx d'affix z, alors la distanc OM st égal au modul d z ( z = OM ) 2. si A t B sont dux points du plan complx d'affixs rspctivs z A t z B, alors on a AB = z B z A

9 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.9/11 Propriété 7 (admis ) * si M st un point du plan complx d'affix z, alors l'argumnt d z rprésnt l'angl ( u, OM ) c'st-à-dir arg (z) = ( u, OM ) * si A t B sont dux points du plan complx d'affixs rspctivs z A t z B, alors on a ( u, AB ) = arg ( z B z A ) Propriété 8 soint A, B, C t D points d'affixs rspctivs z A, z B, z C t z D. On a alors ( AB, CD ) = Arg ( z D z C z B z A ) Exrcic 16 démontrr la propriété précédnt Rmarqu dans plusiurs xrcics d bac, on dmand d rdémontrr ctt propriété ( il faut donc savoir rfair l'xrcic ). Si la démonstration n'st pas dmandé, on put, dans un xrcic, utilisr la propriété 7 sans la justifir. Exrcic 17 Soit f la fonction qui, à tout point M du plan d'affix z, associ l point M d'affix z ' tll qu z ' = ( 1 + i ) z + 2 A, B, C t D sont ls points d'affixs rspctivs a = i ; b = i ; c = 2 t d = 2 i 1. Détrminr l'affix b ' du point B ', imag du point B. 2. Démontrr qu D st l sul point invariant par f ( on rappll qu'un point M st invariant par signifi qu f (M) = M ) 3. a) Démontrr qu pour tout complx z différnt d d, on a z ' z = i ( d z ) b) En déduir l modul t l'argumnt d z ' z d z. Déduir d c qui précèd qu MM ' = MD. 5. Détrminr un msur d l'angl ( MD, MM ' ). 6. Sur la figur ci-contr, un point M a été placé; construir l point M n mttant n évidnc la construction.

10 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.10/11 Exrcic 18 L plan complx st rapporté à un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ) ( unité graphiqu 1 cm ) On considèr ls points A t B d'affixs rspctivs z A = 1 t z B = 1 Soit f la fonction du plan dans lui-mêm qui, à tout point M différnt d B t d'affix z, associ l point M d'affix z ' défini par z ' = z 1 z Détrminr ls points invariants d f, c'st-à-dir ls points M tls qu f (M) = M. 2. a) Montrr qu, pour tout nombr complx z différnt d 1, on a ( z ' 1 ) ( z + 1 ) = 2 b) En déduir un rlation ntr z ' 1 t z + 1, puis ntr arg ( z ' 1 ) t arg ( z + 1 ) c) Traduir cs dux rlations n trms d distancs t d'angls. 3. Montrr qu si M appartint au crcl (C) d cntr B t d rayon 2, alors M appartint au crcl (C ) dont on précisra l cntr t l rayon. Exrcic 19 On considèr ls points A, B, C t D d'affixs rspctivs z A = + i, z B = 1 + i, z C = 5 i t z D = 3 i Soit f la fonction du plan dans lui-mêm qui, à tout point M d'affix z, associ l point M d'affix z ' tl qu z ' = ( i ) z 2 i 1. Placr ls points A, B, C t D dans l rpèr orthonormé dirct (O; u, v ) ci-dssous 2. a) Précisr ls imags ds points A t B par f. b) Montrr qu f admt un uniqu point invariant Ω dont on précisra l'affix /. 3. a) Montrr qu pour tout nombr complx z on a z ' z = 2i ( 2 i z ) b) En déduir, pour tout point M différnt du point Ω, la valur d 00 t un msur n radians d 0Ω l'angl (MΩ, MM ') c) Qull st la natur du triangl ΩMM?. Soit E l point d'affix z E = 1 i 3. a. Ecrir z E sous form, puis placr l point E sur la figur. b. Réalisr nsuit la construction du point E ', imag du point E par f.

11 TS Chapitr 8 Nombrs complxs form t form xponntill Exrcics p.11/11 Exrcic 20 L plan complx st rapporté à un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ) ( unité graphiqu 2 cm ) On considèr ls points A, B t C d'affixs rspctivs z A = i 3 2, z B = z A t z C = 3 1. Ecrivz z A t z B sous form xponntill. 2. Placz ls points A, B t C 3. Démontrz qu l triangl ABC st équilatéral. Pour allr plus loin pour cux qui croyaint naïvmnt qu'on n pouvait pas "mélangr" ls complxs t ls suits!!!!!! Exrcic 21 Soit la suit d nombrs complxs (z n ) défini par z 0 = 100 t par, pour tout 2 N, 5 67 = L plan st muni d un rpèr orthonormé dirct (O; u, v ). Pour tout ntir naturl 2, on not 9 6 l point d affix Démontrr qu, pour tout ntir naturl 2, ls points O, 9 6 t 9 6' sont alignés. 2. Montrr qu la suit 9 6 st un suit géométriqu d raison 7 8. Exrcic 22 Métropol La Réunion Sptmbr 2016