Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

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1 Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites. Normal, il y e a pas. Alors pourquoi l étudier? Au mois pour être sûr que vous ayez bie assimilé la otio de limite : si vous avez bie compris la covergece des suites, vous e devriez pas avoir de problème ici. Les séries sot très proches des itégrales sur u itervalle o boré, et ous y feros allusio à plusieurs reprises. Vous appredrez plus tard qu il s agit de deux cas particuliers du même objet. Cepedat, vous êtes pas du tout obligés d avoir assimilé les itégrales pour compredre les séries. Table des matières Cours. Défiitios et propriétés Séries à termes positifs ou uls Critères de Cauchy et de d Alembert Séries à termes quelcoques Sommes de séries Vitesse de covergece Etraîemet Vrai ou faux Exercices QCM Devoir Corrigé du devoir Complémets De Zéo d Élée à vo Neuma Le théorème de Merto La série harmoique De seriebus divergetibus Vous avez le choix! avril 204

2 Cours. Défiitios et propriétés Défiitio. Soit (u ) N ue suite de réels ou de complexes. O appelle série de terme gééral u, et o ote u la suite des sommes partielles, (s ) N, où pour tout N, s = u u = u i. Comme premier exemple de série, observos le développemet décimal d u réel strictemet compris etre 0 et. x = 0, a a 2... a..., où pour tout, a {0,,..., 9}. a Cette écriture correspod e fait à la série de terme gééral. La somme partielle s 0 est l approximatio décimale par défaut à 0 près. Voici les 50 premières décimales de. 2 2 = Les ombres décimaux s = 0.7, s 3 = 0.707, s 6 = sot des sommes partielles de la série. Les deux séries les plus souvet utilisées sot la série géométrique et la série expoetielle. Série géométrique Le terme gééral d ue série géométrique est u = r. Les sommes partielles ot ue expressio explicite. s = r i = + r + + r = i=0 i=0 + si r = r + r si r Série expoetielle Le terme gééral de la série expoetielle est u = /!, où! (factorielle) désige le produit des etiers de à. Par covetio, 0! =. Les sommes partielles s sot des ratioels mais ot pas d expressio explicite. Observos que importe quelle suite (s ) N peut être vue comme ue série, de terme gééral u = s s, pour et u 0 = s 0. Das la plupart des cas, les sommes partielles ot pas d expressio explicite, et c est souvet pour cela que l o parle de série plutôt que de suite.

3 Défiitio 2. O dit que la série u coverge vers s si la suite des sommes partielles coverge vers s, qui est appelée somme de la série. u = s lim u k = s. k=0 Das le cas cotraire, o dit que la série diverge. Par exemple, le réel x est la limite de ses approximatios décimales, et aussi la somme de la série a. 0 La série géométrique r coverge si et seulemet si r <. Das ce cas, la somme est. r r < = r = r. La somme de la série expoetielle est le ombre e, dot le logarithme épérie vaut.! = e Voici u exemple de série dot les sommes partielles sot explicitemet calculables. E effet, doc et u = ( + )( + 2) =. ( + )( + 2) = u 0 + u + u = = + 2, ( + )( + 2) = lim + 2 =. Cosidéros ue série u et défiissos la foctio e escalier f sur [0, + [ par : N, t [, + [, f(t) u. La somme partielle s est l itégrale de f sur l itervalle [0, +]. La série u coverge si et seulemet si l itégrale + 0 f(t) dt coverge (voir figure ). u = f(t) dt.

4 u + Figure Somme d ue série, vue comme l itégrale d ue foctio e escaliers sur [0, + [. Réciproquemet, l itégrale d ue foctio quelcoque sur [0, + [ peut être vue comme la somme de la série dot le terme gééral est l itégrale sur [, + [. Nous utiliseros par la suite cette pareté etre séries et itégrales. Comme la covergece d ue itégrale e déped que du comportemet de la foctio à l ifii, la covergece d ue série e déped pas de ses premiers termes. Chager u ombre fii de termes d ue série ajoute ue même costate à toutes les sommes partielles à partir d u certai rag. Cela e chage pas la ature, covergete ou divergete. Si elle est covergete, sa somme est évidemmet modifiée. Par exemple : =! = e. Le fait de calculer la somme d ue série à partir de = 0 est puremet covetioel. O peut toujours effectuer u chagemet d idice pour se rameer à ue somme à partir de 0. Par exemple : e posat m = 2. =2 ( ) = m=0 (m + )(m + 2) =, Le terme gééral d ue série covergete ted vers 0. Théorème. Si la série u coverge, alors la suite (u ) N ted vers 0. u = s = lim u = 0. La cotraposée de ce résultat est souvet utilisée : ue série dot le terme gééral e ted pas vers 0 e peut pas coverger. 3

5 Démostratio : Pour tout N, posos s = k=0 u k. Pour tout, u = s s. Si u coverge, la suite (s ) N coverge vers la somme s de la série. Il e est de même de la suite (S ) N. Par liéarité de la limite, la suite u ted vers s s = 0. Par exemple la série de terme gééral { si = 2 k u = 0 sio diverge : même si les termes o uls sot très rares il y e quad même ue ifiité! Le fait que le terme gééral tede vers 0 est qu ue coditio écessaire de covergece. De ombreuses séries divergetes ot u terme gééral qui ted vers 0. Par exemple, la série de terme gééral u = diverge. E effet : + s 2 s = = 2. La suite des sommes partielles est pas de Cauchy, doc elle e coverge pas. La liéarité des limites etraîe immédiatemet le théorème suivat. Théorème 2. Soiet u et v deux séries covergetes, de sommes respectives s et t. Soiet α et β deux complexes quelcoques. Alors la série de terme gééral αu + βv est covergete, et sa somme est αs + βt. Par exemple : = = = = 7 2. Comme coséquece de la liéarité, observos que si u coverge et v diverge, alors u + v diverge. Comme autre coséquece, pour α 0, αu coverge si et seulemet si u coverge. Pour les séries à termes complexes la covergece équivaut à celle des parties réelle et imagiaire. Propositio. Soit (u ) N ue suite de complexes. Pour tout, otos a et b la partie réelle et la partie imagiaire de u. La série u coverge si et seulemet si les deux séries a et b coverget. Si c est le cas, o a : u = a + i b. Démostratio : Rappelos qu ue suite de ombres complexes coverge si et seulemet si la suite des parties réelles et la suite des parties imagiaires coverget. Si (A ) N et (B ) N sot deux suites de réels : ( lim A = A et lim B = B ) 4 ( lim A + ib = A + ib )

6 Il suffit d appliquer ce résultat à A = a et B = b, k=0 k=0 car la partie réelle d ue somme est la somme des parties réelles, et la partie imagiaire d ue somme est la somme des parties imagiaires. Cosidéros par exemple la série géométrique r, où r est u complexe de module ρ < et d argumet θ : r = ρe iθ. Pour tout, r = ρ e iθ. Les parties réelle et imagiaire de r sot a = ρ cos(θ) et b = ρ si(θ). O déduit de la propositio précédete que : ( ) a = Re r et ( ) b = Im r. Le calcul doe : ρ cos(θ) = ρ cos(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ) et ρ si(θ) = ρ si(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ)..2 Séries à termes positifs ou uls Les séries à termes positifs ou uls sot plus faciles à étudier. E effet si u 0 pour tout, la suite des sommes partielles est croissate. s s = u 0. Ue suite croissate (s ) N a que deux comportemets possibles. Soit elle est majorée et elle coverge, soit elle ted vers +. Les séries à termes positifs se comparet comme les itégrales de foctios positives. Théorème 3. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls. O suppose qu il existe 0 0 tel que pour tout 0, u v. Si v coverge alors u coverge. Si u diverge alors v diverge. Démostratio : Comme ous l avos observé, la covergece e déped pas des premiers termes. O peut doc étudier les sommes partielles à partir de 0. Pour tout 0, otos s = u u et t = v v. Les suites (s ) 0 et (t ) 0 sot croissates, et de plus pour tout N s t. Si la série v coverge, alors la suite (t ) coverge. Soit t sa limite. La suite (s ) est croissate, et majorée par t, doc 5

7 elle coverge, doc la série u coverge aussi. Iversemet, si la série u diverge, alors la suite (s ) ted vers +, et il e est de même pour la suite (t ). Comme premier exemple, cosidéros u développemet décimal. Soit (a ) ue suite d etiers tous compris etre 0 et 9. La série = a 0 coverge. E effet, so terme gééral u = a 9 est majoré par. La série géométrique 0 0 coverge, car <. La série 9 coverge aussi par liéarité, d où le résultat. 0 0 Nous avos déjà vu que la série Nous allos e déduire que E effet : ( + )( + 2) coverge. = lim 2 coverge. 2 2 (+)(+2) E particulier, il existe 0 tel que pour 0 : = ( + )( + 2). E fait c est vrai pour 4, mais il est iutile de calculer ue valeur précise de 0. O e déduit que la série de terme gééral coverge, d où le résultat par liéarité. 2 2 Motros maiteat que (l()) α coverge, = pour tout réel α. E effet : lim (l())α = 0. Doc il existe 0 tel que pour 0, 3 E multipliat les deux membres par 2 : (l())α. (l()) α

8 Comme la série coverge, il e est de même de la série (l()) α, par le théorème Iversemet, ous avos vu que la série diverge. O e déduit facilemet que les séries l() et diverget égalemet. Le théorème de comparaiso permet d utiliser des équivalets. Théorème 4. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes strictemet positifs, équivaletes au voisiage de +. u u v lim + =. v Alors les séries u et v sot de même ature (covergetes ou divergetes). Démostratio : Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, u v < ε ( ε)v < u < ( + ε)v. Fixos ε <. Si u coverge, alors par le théorème de comparaiso 3, ( ε)v coverge, doc v égalemet. Réciproquemet, si u diverge, alors ( + ε)v diverge, et v aussi. Par exemple, coverge, + l() 3 coverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série 2 coverge. Par cotre diverge, + l() 2 diverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série diverge. Les théorèmes 3 et 4 permettet de rameer les séries à termes positifs à u catalogue de séries dot la covergece est coue. Das ce catalogue, o trouve les séries de Riema α et de Bertrad (l()) β. O les étudie e utilisat les itégrales correspodates grâce au théorème suivat, illustré sur la figure 2. Théorème 5. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate. La série de terme gééral u = f() est de même ature (covergete ou divergete) que l itégrale + 0 f(t) dt. 7

9 u u + + Figure 2 Comparaiso etre ue série à termes positifs et l itégrale d ue foctio décroissate sur [0, + [. Démostratio : Comme f est décroissate, les iégalités u f(x) u + sot vraies pour tout x [, + ]. E itégrat etre et + o obtiet : u + f(t) dt u +. Par la relatio de Chasles, la somme de 0 à doe : u u + 0 f(t) dt u + + u +. La série u coverge et a pour somme s, si et seulemet si la suite des sommes partielles coverge vers s. Das ce cas + 0 f(t) dt est majorée par s, et comme x 0 f(t) dt est foctio croissate de x, l itégrale coverge. Réciproquemet, si l itégrale coverge, alors + 0 f(t) dt est majorée, la suite des sommes partielles aussi, et elle coverge. Rappelos que le poit de départ de la sommatio a pas d ifluece sur la covergece des séries. Le théorème 5 reste vrai pour des foctios défiies sur [N, + [ au lieu de [0, + [. Nous l appliquos à f(t) = t α, puis f(t) = t (l(t)) β. x 2 x t α dt = α (x α ) si α l(x) si α = t (l(t)) β dt = β (l(x) β l(2) β ) si β l(l(x)) l(l(2)) si β = 8

10 Séries de Riema Séries de Bertrad Si α Si α > α = α = diverge. coverge. Si β =2 (l()) β diverge. Si β > =2 (l()) β coverge. Nous retrouvos e particulier le fait que coverge, alors que diverge. 2 Voici deux exemples d utilisatio des équivalets pour la comparaiso avec les séries de Riema et de Bertrad. La série l ( + ) coverge. 2 E effet : et la série de Riema La série E effet : 2 = l ( + ) 2 coverge. = ( cos ( cos si( ) + ) l() 2, diverge. ) l() si( ) + 2 l(), et la série de Bertrad l() diverge. Nous allos à ouveau appliquer le théorème de comparaiso, pour motrer que si le terme gééral d ue série est u produit de facteurs dot l u est domiat, alors la ature de la série est dictée par le terme domiat. Propositio 2. Soiet r et r deux réels tels que 0 < r < r <. Soit (a ) N ue suite telle que ( r r ) a soit borée. Alors la série r a coverge. 9

11 Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : ) r ( a < M. r E multipliat les deux membres par r, o obtiet : r a Mr. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque r coverge. Comme applicatio de cette propositio, si r est tel que 0 < r < et α est u réel quelcoque, la série α r coverge. Propositio 3. Soiet α et α deux réels tels que < α < α et (a ) ue suite telle que (α α ) a soit borée. Alors la série α a coverge. Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : (α α ) a < M. E multipliat les deux membres par α, o obtiet : α a M α. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque α coverge. Comme coséquece de cette propositio, pour tout α > et pour tout réel β, α (l()) β coverge. Das le catalogue des séries dot la ature est coue, o trouve aussi les séries géométriques et la série expoetielle. Pour la comparaiso avec les séries géométriques, il existe deux critères mieux adaptés que les équivalets. Ils fot l objet de la sectio suivate..3 Critères de Cauchy et de d Alembert Rappelos tout d abord que la série géométrique r coverge si r <, diverge sio. Les critères de Cauchy et de d Alembert permettet de comparer ue série à termes positifs avec les séries géométriques. Pour comparer u avec r, le critère de Cauchy porte sur u = (u ), le critère de d Alembert sur u + u. Voici le premier. Théorème 6. (Critère de Cauchy) Soit u ue série à termes positifs ou uls. 0

12 S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u < r <, alors u coverge. S il existee u etier 0 tel que pour tout 0, u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, u < r = u < r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Das le secod cas, u > = u >. Le terme gééral e ted pas vers 0, doc la série diverge. Comme exemple d applicatio, reveos sur les développemets décimaux. État doée ue suite (a ) d etiers tous compris etre 0 et 9, la série a coverge. E 0 effet, u = a 0. Or a 9 = exp( l(9)), qui ted vers. Doc il existe 0 tel que pour > 0, u < 2, et la première partie du critère s applique. Observos 0 que la suite u e coverge pas, sauf si les a sot tous uls ou tous o uls : a vaut 0 si a = 0. Das les cas où la suite ( u ) coverge, la positio de sa limite par rapport à détermie la ature de la série u. Corollaire. Soit u ue série à termes positifs, telle que u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si u ted vers, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u < l + l = l + <, 2 2 et le premier cas du théorème 6 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u > l (l ) =, et le secod cas du théorème 6 s applique.

13 Par exemple, ( ) 2 + coverge, car u ted vers 2 <. 3 ( ) diverge, 2 + car u >. Le critère de Cauchy e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. lim α = lim (l()) β =. Or certaies de ces séries coverget, d autres diverget. Le critère de d Alembert est plus facile à appliquer, par cotre il échoue plus souvet que celui de Cauchy. Théorème 7. (Critère de d Alembert) Soit u ue série à termes strictemet positifs. S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u + u < r <, alors u coverge. S il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u + u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, o vérifie par récurrece que : u + u < r = u < u 0 r 0 r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Si u + u >, la suite (u ) est croissate, elle e peut doc pas tedre vers 0 et la série diverge. Observos que le théorème e peut s appliquer que si les u sot tous o uls. E particulier, il e s applique pas aux développemets décimaux, cotrairemet au critère de Cauchy. Défiissos la suite u par : u = si = 2k 3 k 2 si = 2k + 3 k+ 2

14 Le rapport u + u vaut 2 si est pair, si est impair. Il est doc toujours iférieur à 3 2 2/3, et la série coverge. Défiissos maiteat : 2 k si = 2k 3 u = k 2 k si = 2k + 3 k+ Le rapport u + u vaut si est pair, 2 si est impair. Le critère de d Alembert 3 e s applique pas. Pourtat, u coverge vers 2 <, doc le critère de Cauchy 3 s applique (la série coverge). Ici ecore, quad la suite u + u coverge, la positio de la limite par rapport à détermie la ature de la série. Corollaire 2. Soit u ue série à termes positifs, telle que u + u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si lim u + u =, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u + u < l + l 2 = l + 2 et le premier cas du théorème 7 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, et le secod cas du théorème 7 s applique. u + u > l (l ) =, <, Par exemple, pour tout réel positif r, la série expoetielle r! coverge. car u + u = r ted vers 0 <. (O pourrait aussi appliquer le critère de Cauchy, mais + c est mois facile.)! 3 (2 ) coverge, car u + u = + 2+ ted vers 2 <. (2)! (!) 2 diverge, car u + u = (2+)(2+2) (+) 2 ted vers 4 >. 3

15 Le critère de d Alembert e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. α (l()) β lim = lim ( + ) α ( + ) (l( + )) =. β Plus gééralemet, si u est ue fractio ratioelle e et l(), alors les deux critères échouet. Das ce cas, il faut calculer u équivalet et appliquer le théorème 4. Nous avos vu u exemple pour lequel seul le critère de Cauchy doait la répose. Il est e effet plus puissat, comme le motre la propositio suivate. Propositio 4. Soit (u ) ue suite à termes positifs. Si u + lim = l alors lim u = l. u Démostratio : Pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, Par récurrece, o e déduit : or : lim l ε < u + u < l + ε. u 0 (l ε) 0 < u < u 0 (l + ε) 0. u 0 (l ε) 0 = l ε et lim u 0 (l + ε) 0 = l + ε. Doc il existe > 0 tel que pour >, l 2ε < u < l + 2ε, d où le résultat..4 Séries à termes quelcoques Quad ue série est pas à termes positifs, la première chose à faire est d examier la série des valeurs absolues, ou des modules s il s agit de ombres complexes. Défiitio 3. O dit que la série u est absolumet covergete si la série u coverge. Théorème 8. Ue série absolumet covergete est covergete. Démostratio : Supposos pour commecer que les u sot réels. Pour tout N, otos { { u + u si u = 0 0 si et u u 0 = 0 si u < 0 u si u < 0 4

16 Pour tout N : 0 u + u et 0 u u Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors u + et u coverget. Par liéarité, u + u coverge, or u + u = u. D où le résultat. Passos maiteat au cas où les u sot complexes. Notos a la partie réelle de u et b sa partie imagiaire. Pour tout N : 0 a u et 0 b u. Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors a et b coverget aussi. Doc a et b coverget, e appliquat le cas des séries à termes réels. Doc u coverge (propositio ). Par exemple, pour tout θ, la série = e iθ 2 est absolumet covergete. E effet, eiθ = et coverge Comme autre exemple, pour tout complexe z, la série expoetielle z! est absolumet covergete, car r! coverge pour tout réel positif r (applicatio du critère de d Alembert). Il existe des séries covergetes, mais qui e sot pas absolumet covergetes. Cosidéros par exemple u = si = 2k k+ si = 2k + k+ Les termes successifs s aulet deux à deux, de sorte que les sommes partielles valet s = si = 2k k+ 0 si = 2k + La suite des sommes partielles ted vers 0. Par cotre la suite des sommes partielles de u ted vers +, par comparaiso avec la série de Riema. Pour traiter ce type de cas, o dispose du théorème suivat, dit théorème d Abel (u résultat aalogue existe pour les itégrales). Théorème 9. Soiet (a ) N et (b ) N deux suites telles que : 5

17 . La suite (a ) N est ue suite décroissate de réels positifs, et ted vers Les sommes partielles de la suite (b ) N sot borées : Alors la série a b coverge. M, N, b b M. Démostratio : L idée de la démotratio est d effectuer u chagemet das la sommatio, qui s apparete à ue itégratio par parties. Pour tout 0, posos B = b b. Par hypothèse, la suite (B ) est borée. Nous écrivos les sommes partielles de la série a b sous la forme suivate. s = a 0 b 0 + a b + + a b = a 0 B 0 + a (B B 0 ) + a (B B ) = B 0 (a 0 a ) + B (a a 2 ) + + B a. Comme B est boré, et a ted vers 0, le terme B a ted vers 0. Nous allos motrer que la série B (a a + ) est absolumet covergete. E effet, B (a a + ) = B (a a + ) M(a a + ), car la suite (a ) est ue suite de réels positifs, décroissate, et B est boré par M. Or : M(a 0 a ) + + M(a a + ) = M(a 0 a + ), qui ted vers Ma 0 puisque (a ) ted vers 0. La série M(a a + ) coverge, doc la série B (a a + ) aussi, par le théorème de comparaiso 3. Doc la série B (a a + ) est covergete, doc la suite (s ) est covergete. Le cas d applicatio le plus fréquet est celui où b = e iθ. Corollaire 3. Soit θ u réel tel que θ 2kπ, k Z. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Les séries e iθ a, cos(θ)a, si(θ)a coverget. Démostratio : Pour appliquer le théorème d Abel 9 avec b = e iθ, ous devos vérifier que les sommes partielles de la suite (e iθ ) sot borées. Or e iθ = (e iθ ), et par hypothèse e iθ est différet de. O a doc : + + e iθ = e i(+)θ e iθ 2 e iθ. D où le résultat. La covergece des séries cos(θ)a et si(θ)a est ue coséquece directe de la propositio. 6

18 U cas particulier fréquemmet recotré est celui où θ = π, soit b = ( ). O parle alors de série alterée. Termios par ue mise e garde : il est pas possible de remplacer a par u équivalet à l ifii das le théorème 9, car la décroissace est pas coservée par équivalece. Voici par exemple deux séries alterées. ( ) coverge, ( ) + ( ) diverge. Le théorème 9 s applique a la première, mais pas à la secode, car si la suite +( ) est positive (pour 2), elle est pas décroissate. Pourtat, o a bie : Pour motrer que ( ) + ( ) + ( ) +( ) diverge, calculos : ( ) + ( ) = + ( ) ( ) + ( ) = + ( ). Ceci est le terme gééral d ue série à termes positifs divergete (équivalete à la série de Riema ). La différece de deux séries covergetes e peut pas être divergete. Or ( ) coverge, doc ( ) diverge..5 Sommes de séries +( ) Il y a pas beaucoup de séries pour l istat dot vous coaissiez la somme, à part la série expoetielle, les séries géométriques. Il e existe bie d autres. Voici par exemple deux résultats classiques, dot vous recotrerez la justificatio ailleurs : = = π2 2 6 et = ( ) = l(2). Vous aurez beaucoup plus de techiques à votre dispositio après le chapitre sur les séries etières. E attedat, vous pourrez quad même calculer certaies sommes, e combiat celles que vous coaissez. Voici quelques exemples. Cosidéros la série /( 2 ). C est bie ue série covergete, car so terme gééral est positif, et équivalet à 2. Nous allos démotrer que : =2 2 = 3 4. Utilisos la décompositio e élémets simples. 2 =

19 Par récurrece, o e déduit l expressio des sommes partielles. s = ( + ), d où le résultat. E utilisat la même techique de décompositio e élémets simples, vous pourrez aussi calculer les sommes suivates. = = 2 ( + ) = π ( + )( + 2)( + 3) = 5 3. Voici maiteat deux exemples de calcul de sommes que l o ramèe à ue série géométrique. Pour le premier, ous reveos sur les développemets décimaux. Si u ombre x est ratioel, alors so développemet décimal, obteu e divisat deux etiers, est périodique. Réciproquemet, si le développemet décimal d u réel est périodique, alors ce réel est u ratioel. Nous allos le calculer. Supposos que x s écrive : x = 0,a... a p a... a p... Le réel x est la somme de la série suivate. x = k=0 ( a a ) p 0 p (0 p ). k O retrouve la série géométrique r k, avec r = 0 p. O e déduit : x = ( a a ) p 0 p 0. p Soit r tel que r <. Nous allos motrer que Pour cela écrivos : s = = r = = r = r = = r = r r r + r s, r = 8 r ( r) 2. r + r = ( )r

20 d où le résultat, e résolvat cette équatio e s. La même techique permet de motrer que : 2 r = r2 + r ( r). 3 Quad le terme gééral est le quotiet d u polyôme e par!, o peut toujours se rameer à la série expoetielle. Si le polyôme est, ( ),..., la simplificatio est immédiate.! = ( )! = = ( )! = e. =2 ( 2)! = e. U polyôme e de degré peut toujours s exprimer comme combiaiso liéaire de,, ( ),... Par exemple, 2! = ( ) +! = 2e. Vous pourrez procéder de même pour calculer les sommes suivates ! = 3e. 3 2! = e..6 Vitesse de covergece Combie faut-il ajouter de termes d ue série pour avoir ue boe approximatio de sa somme? Pour cotrôler l erreur commise e remplaçat la somme globale par ue somme partielle, il faut examier le reste. Défiitio 4. Soit u ue série covergete de somme s, et (s ) la suite des sommes partielles. O appelle reste à l ordre la quatité r = s s = k=+ Nous allos doer quelques exemples de séries dot o peut borer le reste. Nous commeços par les séries géométriques. Soit r tel que r <. Rappelos que la somme de la série géométrique est : r = r. 9 u k.

21 So reste à l ordre vaut : s s = r r+ r = r+ r. Le reste ted doc vers 0 à vitesse géométrique, ce qui est assez rapide. Par exemple, pour r = 2, le reste à l ordre 20 vaut 9,5 0 7, le reste à l ordre 00 vaut Examios maiteat la série expoetielle. Pour borer so reste, cosidéros les deux suites (s ) et (s ) défiies par : s = + + ( )! +! et s = + + ( )! + 2!. La suite (s ) est croissate et coverge vers e. O vérifie facilemet que la suite (s ) est décroissate pour. Les deux suites sot doc adjacetes et coverget vers la même limite e. O a doc : r = e s s s =!. La covergece est beaucoup plus rapide que pour ue série géométrique. Numériquemet, o trouve r 0 = 2,7 0 8, r 20 = , r 50 = 6, Nous allos maiteat examier des séries dot la covergece peut être beaucoup plus lete. Commeços par les séries alterées, déjà évoquées au paragraphe précédet. Propositio 5. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Posos u = ( ) a. Le reste à l ordre de la série u est majoré par la valeur absolue du premier terme o sommé : r a +. Démostratio : Notos s = u u. Pour tout k N, posos α k = s 2k et β k = s 2k+. Nous vérifios que (α k ) et (β k ) sot deux suites adjacetes. E effet, α k+ α k = a 2k+ + a 2k+2 0 et β k+ β k = a 2k+2 a 2k+3 0. Doc (α k ) est décroissate, et (β k ) est croissate. De plus α k β k = a 2k+ ted vers 0. Les deux suites ot doc la même limite s. Pour tout k N, o aura : β k β k+ s α k+ α k. Selo que est pair ou impair, le reste r peut être boré comme suit. r 2k = s α k α k β k = a 2k+, r 2k+ = s β k α k+ β k = a 2k+2. 20

22 Pour ue série alterée, la vitesse de covergece est doc dictée par la décroissace vers 0 de la suite (a ). Celle-ci peut être assez lete. Par exemple, la série ( ) coverge, et sa somme (pour ) est l(2). Numériquemet, le reste à l ordre 00 est Examios maiteat les séries dot la covergece peut être obteue par comparaiso avec ue itégrale, grâce au théorème 5. Propositio 6. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate, telle que l itégrale + 0 f(t) dt coverge. Soit r le reste à l ordre de la série de terme gééral u = f(). O a : + r f(t) dt r. Démostratio : C est ue coséquece immédiate des iégalités suivates, que ous avios déjà recotrées das la démostratio du théorème 5 (voir figure 2). u + f(t) dt u +. Das ce cas, la vitesse de covergece de la série est essetiellemet celle à laquelle l itégrale de la foctio sur [, + [ ted vers 0. Pour les séries de Riema α avec α >, l itégrale se calcule explicitemet. O trouve : r α α+ r. Si α est assez proche de, la covergece peut doc être extrêmemet lete. Par exemple, la série coverge. Sa somme (pour ) est π2. Numériquemet, le 2 6 reste à l ordre 00 est proche de

23 2 Etraîemet 2. Vrai ou faux Vrai-Faux. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. 2. Si la série u est absolumet covergete, alors la série u 2 coverge. 3. Si la série u coverge, alors la série u coverge. 4. Si les séries u et v diverget, alors la série u + v diverge. 5. Si la série u coverge, alors la série /u diverge. 6. Si la série u coverge, alors la série cos()u coverge. 7. Si la série u est absolumet covergete, alors la série cos()u coverge. 8. Si la série e i u est absolumet covergete, alors la série cos(2)u coverge. 9. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot strictemet positives est supérieur à ( 0 0 ). 0. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot égales à 2 ou à 3 est compris etre ( 2 0 ) et ( 3 0 ).. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à quad ted vers l ifii, alors 2 cos()u coverge. 2. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à cos()u coverge. quad ted vers l ifii, alors 3. Si u > 0 pour tout et si la suite (u ) est décroissate, alors cos()u coverge. 4. Si la suite (u ) est décroissate et ted vers 0, alors cos()u coverge. Vrai-Faux 2. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si r alors r coverge. 2. Si r < alors 2 r coverge. 3. Si r < alors e r coverge. 4. Si r alors cos()r coverge. 5. Si r alors cos()r diverge. 6. Si la suite (u ) est borée, alors u r est soit absolumet covergete, soit divergete. 7. Si r < et si la suite (u ) est borée, alors u r coverge. 22

24 Vrai-Faux 3. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?.! (2)! 2. (!) 2 (2)! 3.! + ( + )! 4. (!) / Vrai-Faux 4. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?. 2 + l() (l()) (l()) ( + cos())( 2 + ) (l()) cos 6 ()( 2 + ) (l()) cos 2 ()( 2 + ) (l()) cos 2 ()(si(( 2 + ) ) (l()) Vrai-Faux 5. Les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes : vrai ou faux et pourquoi?. cos 3 () ( ) 3 2. cos 2 () 23

25 3. cos 3 () 4. cos 3 () cos 3 ()( 2 + ) 3 6. cos 3 ()( + ) 3 Vrai-Faux 6. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi? =2 =2 =2 = + ( ) = 2 ( + ) 2 + ( ) = ( + )( + 2) = 3 + ( )( 2) = 2 ( 2 ) 2 = 5. 2 = = = = =2 =2 =3! = e 2 ( + )! = e 3 2 ( 2)! = e = Vrai-Faux 7. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. 2. =3 =4 ( ) = ( )( 2) = 2 24

26 = =2 = = ( + )( + 2)( + 3) = ( 2 )( 2 + 2) = ( )! = 8e 2.2 Exercices ( )! = 7e 3 Exercice. E examiat la limite du terme gééral, motrer que les séries suivates diverget. si() ; ( + ( ) ( ) ( ) cos(/)) ; ; + + Exercice 2. Utiliser le théorème de comparaiso ou u équivalet, pour démotrer que. les séries suivates coverget cos( ) ( ) l() 3 si( ) ; + 2 si ; ( + ) 2 ( ( )) + l ; si(π 4 + ) 3 4 ; ; e 3 ; ( ( )) cos ; 2. les séries suivates diverget ( ) ( + l ; si argcosh + 3 ( + ) 2 (+ ) ; + ( ) ; ; ( 3 + ) Exercice 3. Utiliser le critère de Cauchy pour détermier la ature des séries suivates. l (l ) ; ( ) + 3 ; 2 + ( ) + 3 ( ) 2 + ; 25 ( ) ) ;

27 Exercice 4. Utiliser le critère de d Alembert pour détermier la ature des séries suivates.! ; (l ) (3)! ;! 9(!) 3! α ; (discuter selo la valeur du réel α). α (l )! ; Exercice 5. Détermier la ature des séries suivates e ; e ; ; e + ; l ( ) + ; + ( ! ; si 2 + cos 2 ; ) l ;. 3/ ; 2 2 si 2 (α). e 5 + ; e 4 + si ; e ; + ( l ; + ) ; (e ( + ) ) ; (+)π π ( ) l ; si x x 2 dx ; ( l + ) ( ) ; ; (l ) ; l( + ) cos ; (!) 2 /2 (2)! ; ( cos()) si(). Exercice 6. O cosidère ue suite (u ) défiie par u 0 R + et pour tout N par l ue des formules suivates. u + = si(u) + u + = l(+u) 2 u + = cos(u ). Motrer que (u ) ted vers Étudier la limite du rapport u + /u. 3. E déduire que la série u est covergete. Exercice 7. Soiet a et b deux réels. Pour tout N, o pose u = + a + + b Vérifier que la suite (u ) ted vers 0 si et seulemet si a + b =. 2. Détermier a et b pour que la série u soit covergete. 26

28 Exercice 8. Soit u ue série à termes positifs ou uls, covergete.. Motrer que pour tout α >, la série u α coverge. 2. Motrer que les séries si(u ) et arcta(u ) coverget. 3. Soit f ue applicatio de R + das R + telle que f(0) = 0, admettat ue dérivée à droite e 0. Motrer que la série f(u ) coverge. Exercice 9. Soit u ue suite à termes réels positifs ou uls. Motrer que les séries de u termes gééraux u, +u, l( + u ) et u dx 0 sot de même ature (covergetes +x 3 ou divergetes). Exercice 0. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls, covergetes.. Motrer que les séries mi{u, v } et max{u, v } coverget. 2. Si a et b sot deux réels tels que 0 < a < b, alors 0 < a < 2ab/(a + b) < ab < b (2ab/(a + b) et ab sot respectivemet la moyee harmoique et la moyee géométrique de a et b). Motrer que u v et u v u +v coverget. Exercice. Soit u et v deux séries réelles covergetes et w ue série réelle telle que pour tout N, u w v.. Motrer que pour tout N, 2. E déduire que w coverge. 0 w u v u Exercice 2. Soit f la foctio défiie sur [2, [ par f(x) = u = f() et s = k=2 u k. x l x. Soit pour tout 2,. Vérifier que F : x l(l(x)) est ue primitive de f. E déduire les iégalités : s F ( + ) F (2) et s u 2 F () F (2) 2. Déduire de la questio précédete que s est équivalet à l(l() quad ted vers l ifii. 3. O pose a = s l(l ). Motrer e utilisat des développemets limités que la série de terme gééral (a a ) coverge. E déduire que S l(l ) est boré. 4. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 3? Exercice 3. Pour tout, o ote u = / et s = u k= 27

29 . Motrer que pour tout 2, S 2( ) S 2. E déduire que S est équivalet à 2 quad ted vers l ifii. 3. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 5? Exercice 4. E utilisat la comparaiso avec ue itégrale, démotrer les résultats suivats. Si γ Si γ > =3 =3 (l()) (l(l())) γ (l()) (l(l())) γ Exercice 5. Soit u ue suite à termes réels (quelcoques). diverge. coverge.. Doer u exemple tel que u coverge et u 2 diverge. O suppose das les questios suivates que u et u 2 coverget. 2. Motrer pour tout k N, u k coverge. 3. Soit f ue applicatio de R das R deux fois cotiûmet dérivable, telle que f(0) = 0. Motrer que f(u ) coverge. Exercice 6. Soit u etier strictemet positif. O cosidére l équatio x +x+ = 0. Motrer que cette équatio admet ue uique solutio das R+. O la ote u. 2. Motrer que la suite (u ) ted vers Motrer que la série u diverge. Exercice 7. Motrer que les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes si() 2 + ; si 3 () cos() ; + 2 l() ; si 5 () l(l()) ; ( ) cos() ; Exercice 8. Détermier la ature des séries suivates. ( ) l ; ( ) ( ) ( ) ; + ( ) ( ) + ( ) ; ( ) + ( ) ; si(3) cos() ; ( ) + ( ) ; (+)π π si(x) x dx ; (+)π π si 2 (x) x dx. 28

30 Exercice 9. Soit k u etier.. Motrer que cos 2k (x) est ue combiaiso liéaire de, cos(2x),..., cos(2kx). E déduire que la série cos 2k ()/ est divergete. 2. Motrer que cos 2k+ (x) est ue combiaiso liéaire de cos(x),..., cos((2k+)x). E déduire que la série cos 2k+ ()/ est covergete. Exercice 20. Soit u ue série covergete à termes complexes. Motrer que la série u coverge. Exercice 2. O cosidère la série u, où u = si() + cos(). Vérifier que la suite (/( + cos()) est pas décroissate. 2. Motrer que la suite (/( cos 2 ()) est décroissate. 3. Motrer que la suite ( /( cos 2 ()) est décroissate. 4. Vérifier que u = E déduire que u coverge. si() si() cos() cos 2 () cos 2 (). Exercice 22. Soiet a et b deux réels. O cosidére la série u avec u = a. +b. O suppose b. Pour quelles valeurs de a la série est-elle absolumet covergete? 2. Même questio pour b >. 3. O suppose a =. Pour quelles valeurs de b la série est-elle covergete? 4. Représeter das le pla les poits de coordoées (a, b) tels que la série est absolumet covergete, covergete, divergete. Exercice 23. O cosidère la série de terme gééral u, où u = ( 2 ).. Écrire la décompositio e élémets simples de la fractio ratioelle X(X 2 ). 2. E déduire ue expressio explicite e foctio de de k=2 k(k 2 ) 29

31 3. Déduire de ce qui précède la covergece de la série u et la valeur de la somme s = k=2 u k. Exercice 24. O cosidère la série de terme gééral : u = l ( ) = l 2. Démotrer que cette série coverge. 2. Doer ue expressio explicite de s = u k. k=2 3. E déduire la valeur de la somme s = k=2 ( 2 ) Exercice 25. Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes : u k. 2 = ; = ( 2)3 + ( 3)2 ; = = ( 2 2)3 + ( 2 3)2 ; 2 + 2! =2 ; ; = ( )! =2 ; ; ( )3 + ( )2 ; ! = ; ; =3 = ! ( 2 )( 2 2). Exercice 26. Si u est ue série covergete à termes strictemet positifs, o ote r so reste d ordre : r = k=+ u k. O suppose qu il existe k ]0, [ et 0 N tels que u + u que pour tout 0, 0 < r u k +. k pour tout 0. Motrer Exercice 27. Soit (a ) N ue suite de réels. O dit que le produit ifii a coverge, s il existe π R tel que la suite de terme gééral a k coverge vers π. k=0 ; 30

32 . Motrer que si le produit ifii a coverge, alors, a 0 et O pose désormais a = + u. lim a = O suppose que N, a >. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 3. O suppose que N, a ]0, ]. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 4. O suppose que N, a ]0, + [. Motrer que si la série u coverge absolumet, alors le produit a coverge. 5. Motrer que pour tout 2, ( ) k 2 E déduire 6. Motrer que + =2 ( 2 ). k=2 + ( = + ( ) = + 2. ) = O pourra calculer ( + )( ) Motrer que le produit ifii + i coverge. O pourra appliquer le résultat de la questio Motrer que le produit ifii ( + i ) diverge. O pourra écrire ( + i ) = + i eiθ ( avec θ = arcta ). Exercice 28. Soit (u ) N ue suite de réels, telle que la série u soit covergete mais o absolumet covergete. O ote (p ) la suite des termes positifs et (m ) la suite des termes égatifs. p = { u si u > 0 0 sio et m = { u si u < 0 0 sio 3

33 . Motrer que les séries p et m sot divergetes. 2. Soit a u réel quelcoque. Costruire ue bijectio σ a de N das N telle que lim u σa(i) = a. + i= Idicatio : supposat a > 0, predre les premiers termes positifs dot la somme dépasse a, puis ajouter des termes égatifs jusqu à ce que la somme repasse edessous de a, puis itérer. 3. Costruire ue bijectio σ + de N das N telle que lim u σ+ (i) = +. + i= 4. Costruire ue bijectio σ de N das N telle que lim u σ (i) =. + i= Exercice 29. Soit (u ) N ue suite de réels tels que la série u soit absolumet covergete. Soit σ ue bijectio de N das N.. Motrer que la série u σ() est absolumet covergete. 2. Motrer que 2.3 QCM u σ() = Doez-vous ue heure pour répodre à ce questioaire. Les 0 questios sot idépedates. Pour chaque questio 5 affirmatios sot proposées, parmi lesquelles 2 sot vraies et 3 sot fausses. Pour chaque questio, cochez les 2 affirmatios que vous pesez vraies. Chaque questio pour laquelle les 2 affirmatios vraies sot cochées rapporte 2 poits. m=0 u m. Questio. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la suite (u ) ted vers 0, alors la série u coverge. B C Si la série u diverge, alors la série u 2 diverge. Si la série u diverge, alors la suite (u ) e ted pas vers 0. D E Si la série u coverge, alors la suite (u 2 ) ted vers 0. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. Questio 2. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la série u coverge, alors la série si(u ) coverge. 32

34 B Si la série u diverge, alors la série (cos(u ) ) diverge. C Si la série u diverge, alors la série u / diverge. D Si la série u diverge, alors la série ta(u ) diverge. E Si la série u coverge, alors la série e u coverge. Questio 3. Soit r et α deux réels strictemet positifs. A Si r alors la série r coverge. B Si r <, alors la série α r coverge. C Si r =, alors la série α r diverge. D Si r et si α <, alors la série α r coverge. E Si r < et si α >, alors la série α r diverge. Questio 4. Pour tout N, soit u u réel positif ou ul. A Si la suite ( u ) ted vers /2, alors la série u coverge. B Si la suite ( u ) ted vers, alors la série u coverge C Si la suite ( u ) ted vers 2, alors la série u / diverge D Si la suite ( u ) est majorée par, alors la série u coverge E Si la suite ( u ) coverge, alors la suite (u ) coverge. Questio 5. Pour tout N, soit u u ombre complexe o ul. A Si la suite ( u + u ) ted vers alors la série u coverge. B Si la suite ( u + u C Si la suite ( u + u D Si la suite ( u + u E Si la suite ( u + u Questio 6. La série proposée coverge. A l( + si(/)) B l( + si(/ 2 )) C ( + si(/ 4 )) D l( + si(/ 4 )) E l( + si(/ 2 )) ) est miorée par alors la série u coverge. ) est majorée par alors la série u / 2 coverge. ) ted vers /2 alors la série 2 u coverge. ) ted vers 2 alors la série u / 2 coverge. Questio 7. Le critère de covergece des séries alterées permet d affirmer que la série proposée coverge. A l() + ( ) B ( ) + ( ) C ( ) si 2 () 33

35 D ( ) l() E ( ) arcta() Questio 8. L égalité proposée est vraie. + A =2 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + B + = (2 3) = = ( + )(2 ) + C + =2 (2 3) = = ( + )(2 ) + D =3 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + E (2 3) = ( )(2 ) =2 =3 Questio 9. L égalité proposée est vraie. A 2 = B C D E + = =2 = + =2 =2 2 = = 2 3 = = 2 Questio 0. L égalité proposée est vraie. A ( )! = e B C D E + =2 =3 + = ( 2)! = e + 2 = 2e! + = 2e! + ( )! = 2e Réposes : DE 2 AD 3 BD 4 AC 5 CD 6 DE 7 DE 8 AB 9 AC 0 BD 34

36 2.4 Devoir Essayez de bie rédiger vos réposes, sas vous reporter i au cours, i au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, doez-vous deux heures ; puis comparez vos réposes avec le corrigé et comptez u poit pour chaque questio à laquelle vous aurez correctemet répodu. Questios de cours : Soiet u et v deux séries et 0 u etier tel que pour tout 0, 0 u v. Pour tout N, o pose s = u k et t = v k.. Motrer que les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0, et qu il existe u réel a tel que pour tout N, s t + a. 2. E déduire que si v coverge, alors u coverge et si u diverge, alors v diverge. 3. O suppose que u est équivalet à v quad ted vers l ifii. Démotrer que u coverge si et seulemet si v coverge. 4. O suppose qu il existe r < et 0 N tel que pour tout 0, u + ru. Motrer que la série u coverge. 5. O suppose que u diverge. Démotrer que la série de terme gééral ( ) /s coverge. Exercice : Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe a > 0 et b > tels que u + = a ( ) u + O. b. Pour tout N, o pose v = a u. Démotrer que où c = mi{b, 2}. v + v ( ) = + O c 2. E déduire que la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. E déduire que la suite (v ) coverge. 4. Utiliser le résultat précédet pour démotrer que si a, alors u diverge, et si a > alors u coverge. (Vous veez de justifier la règle de Raabe Duhamel). Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = = 35 k=, k.

37 . Démotrer que pour tout k 2, k+ 2. E déduire que pour tout, k k t dt u k k t dt. l( + ) h l() E déduire que u diverge et que h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Pour tout, o pose δ = u + t dt. Motrer que 0 δ u u +. E déduire que la série δ coverge. 5. E déduire qu il existe u réel strictemet positif γ tel que lim h l() = γ. + (γ est la costate d Euler.) 6. Pour tout, o pose v = ( ) u = ( ) /. Motrer que la série v coverge. 7. Vérifier que pour tout k, /k = 0 tk dt. E déduire l expressio suivate des sommes partielles. 8. Motrer que pour tout 9. E déduire que ( t) s = v = dt. k= 0 + t s 0 + t dt +. k= v = l(2). 0. Quelle est la plus petite valeur de telle que r = s l(2) < 0 3?. Démotrer l égalité s 2 = h 2 h. Retrouver la limite de (s ) e utilisat le résultat de la questio 5. 36

38 2.5 Corrigé du devoir Questios de cours :. Pour tout 0 : s + s = u 0 et t + t = v 0 Doc les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0. De plus, s s 0 = u u v v = t t 0. Doc pour tout N : s t + max{s k t k, k = 0,..., 0 }. 2. Ue suite croissate coverge vers ue limite fiie si et seulemet si elle est majorée. La série v coverge si et seulemet si la suite (t ) coverge. Supposos que ce soit le cas, et otos t la limite. Alors pour tout N, s est majorée par t + a, doc (s ) coverge, doc u coverge. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Comme t s + a, il e est de même de la suite (t ), doc v diverge. 3. Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u v εv. Fixos ε = /2 : pour tout 0 2 v u 3 2 v. Par liéarité, la covergece de la suite (t ) équivaut aux covergeces des suites ( 2 t ) et ( 3 2 t ). E appliquat ce qui précède : et v coverge = 3 2 v coverge = u coverge, v diverge = 2 v diverge = u diverge. 4. Motros par récurrece que pour tout 0, u u 0 r 0. C est vrai pour = 0. Supposos que ce soit vrai pour, alors : u + ru r ( u 0 r 0) = u0 r + 0, d où le résultat. Pour 0 < r <, la série r coverge. Par liéarité, il e est de même de la série v, avec v = (u 0 r 0 ) r. Or pout tout 0, 0 u v. Doc u coverge, e appliquat le résultat de la questio 2. 37

39 5. La suite (s ) est croissate à partir de 0. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Elle est doc o ulle à partir d u certai rag. Posos 2 = max{ 0, }. À partir du rag 2, la suite (/s ) est défiie, décroissate, et elle ted vers 0. Doc la série de terme gééral ( ) /s coverge, par applicatio du critère de covergece des séries alterées (théorème d Abel). Exercice :. Calculos u développemet limité du rapport v + /v. v + v = = = ( ) + a u + u ( + ) a ( a ( )) + O b ( + a ( )) ( + O a ( )) 2 + O b où c = mi{b, 2}. ( ) = + O c, 2. Par compositio du développemet limité de la questio précédete avec la foctio l, o obtiet : ( ) ( ) v+ l = O, c v doc il existe ue costate C et u etier 0 tel que pour tout > 0, ( ) l v+ C v, c Comme c b >, la série de terme gééral C/ c coverge. Doc la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. Les sommes partielles de la série de terme gééral l(v + /v ) sot «télescopiques» : ( ) vk+ l = l (v k+ ) l (v k ) = l (v + ) l (v 0 ). k=0 v k k=0 Puisque la série de terme gééral l(v + /v ) coverge, la suite de ses sommes partielles, et doc la suite (l(v )) coverget. Par compositio avec la foctio exp, la suite (v ) N coverge. 4. Notos d la limite de la suite (v ). Comme v = a u, u est équivalet à d a. Si a la série d a diverge, doc u diverge. Si a > la série d a coverge, doc u coverge. 38

40 Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = = k= k.. La foctio t /t est décroissate sur [, + [. Pour tout k, t [k, k + ], k + t k. Doc k+ k+ k k + dt k+ k t dt k k dt, ou ecore k+ k + k t dt k. Pour tout k 2, o applique l iégalité de gauche à k : O obtiet doc la double iégalité : k+ k k k k t dt. t dt u k k k t dt. 2. Sommos l iégalité de gauche pour k allat de à : + t dt k= k, doc l( + ) h. Sommos esuite la secode iégalité, pour k allat de 2 à : doc h l(). k=2 k t dt, 3. La suite (l()) N ted vers +, il e est de même pour la suite des sommes partielles (h ). Doc la série u diverge. De plus Or l( + ) l() l( + ) l() = l() + l( + ) l() h l() l() + l() 39 = + l( + ) l()..

41 La suite ( l(+) ) ted vers. Comme l() l() + l() = + l, la suite ( l()+ ) ted égalemet vers. La suite ( h ) est ecadrée par deux l() l() suites qui coverget vers, doc elle coverge aussi vers : h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Le résultat découle de l ecadremet suivat, déjà démotré das la questio. O e déduit : δ = u u + = + + t dt = u. + + t dt 0 et δ = u t dt u u + La série u u + a des sommes partielles «télescopiques» : u u k+ = u u +. k= Comme la suite (u ) ted vers 0, la série u u + coverge. Doc la série δ coverge, par le théorème de comparaiso. 5. Calculos les sommes partielles des δ. δ k = k= k+ u k k= k= k = h + y dt = h l( + ) t dt ( = (h l()) + l + ) ( = h l() + O ) Puisque la suite des sommes partielles des δ coverge, il e est de même pour la suite (h l()). Notos γ la somme de la série de terme gééral δ : γ = = δ = lim + = 40 δ k = lim h l(). +

42 6. La série v est ue série alterée. Pour lui appliquer le critère de covergece des séries alterées, il suffit d observer que la suite (/) est décroissate et ted vers Pour tout k, [ ] t t k k dt = = 0 k k. 0 E sommat de à, o obtiet : s = = = = k=( ) k k ( ) k t k dt k= 0 ( ) k t k dt 0 k= 0 ( t) dt. + t 8. Repreos l idetité de la questio précédete : s = Or : Doc : 0 ( t) dt = + t 0 s 0 t 9. O a : 0 + t dt 0 + t dt = 0 0 t dt + ( )+ + t 0 + t dt. t dt = dt = l(2). + t +. t + t dt +. L iégalité de la questio précédete motre que s l(2) ted vers 0. La suite des sommes partielles (s ) coverge doc vers l(2) : = v = l(2). 0. La majoratio de la questio 8 motre que r < 0 3 pour > 000. Le calcul umérique motre que le premier rag tel que r < 0 3 est =

43 . Écrivos : s 2 = = ( ) ( ) 2 = ( ) ( ) 2 = ( ) 2 ( ) = h 2 h D après la questio 5, h l() coverge vers γ, il e est doc de même de h 2 l(2). Doc : lim + = lim 2 + = lim 2 h + = lim 2 l(2)) + l(2) (l() h ) + = γ + l(2) γ = l(2) 42

44 3 Complémets 3. De Zéo d Élée à vo Neuma Qu ue somme de termes e ombre ifii puisse doer u résultat fii itrigue depuis logtemps, au mois depuis Zéo d Élée (v av. J.C.). Ses textes origiaux e ous sot pas parveus, mais ous coaissos quelques us de ses fameux paradoxes, par la discussio qu e fait Aristote ( av. J.C.) das sa Physique, «le livre fodametal de la philosophie occidetale» selo Heidegger. Voici commet Aristote éoce le paradoxe «de dichotomie» Si sur ue gradeur d, o pred la moitié, puis la moitié de la moitié puis ecore la moitié du reste, et aisi de suite sas limitatio de divisios, la gradeur obteue e additioat ue moitié de chaque divisio successive (divisio appelée dichotomie) e pourra jamais être égale exactemet à la distace d. Avat d arriver à so but, u mobile doit arriver à la moitié de so parcours. Mais auparavat, il doit arriver à la moitié de la moitié... Le mobile doit parcourir ue quatité ifiie d uités d espace. Il arrivera doc jamais à so but. Pour autat, vous avez pas été choqués d appredre que = = = 2. Voici maiteat commet Aristote éoce le «paradoxe d Achille et de la tortue». Le plus let e sera jamais rattrapé à la course par le plus rapide ; car il est écessaire que le poursuivat gage d abord le poit d où a pris so départ le poursuivi, e sorte qu il est écessaire que le plus let, à chaque fois, ait quelque avace. Il est questio i d Achille i de tortue. Achille était probablemet préset das la versio origiale, par référece au passage suivat de l Iliade d Homère. Aisi qu u homme das u rêve arrive pas à poursuivre u fuyard et que celui-ci à so tour e peut pas plus le fuir, que l autre le poursuivre ; aisi Achille e ce jour arrive pas plus à atteidre Hector à la course, qu Hector à lui échapper. Selo Aristote, «parcourir l ifii est impossible» : voyos cela. Disos que l avace d Hector (qui est deveu officiellemet tortue qu u bo milléaire après Zéo) est de km, que sa vitesse e km/h est v, alors que la vitesse du «bouillat Achille» est V > v. Il y a deux maières de calculer. La plus simple est d égaler V t et vt + pour trouver l istat du cotact : /(V v). La maière compliquée est celle du paradoxe : à l istat /V, Achille est arrivé au poit de départ d Hector, mais Hector est v/v. L. Coraz : l écriture ou le tragique de la trasmissio, l Harmatta, Paris (994) 43