Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

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1 Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites. Normal, il y e a pas. Alors pourquoi l étudier? Au mois pour être sûr que vous ayez bie assimilé la otio de limite : si vous avez bie compris la covergece des suites, vous e devriez pas avoir de problème ici. Les séries sot très proches des itégrales sur u itervalle o boré, et ous y feros allusio à plusieurs reprises. Vous appredrez plus tard qu il s agit de deux cas particuliers du même objet. Cepedat, vous êtes pas du tout obligés d avoir assimilé les itégrales pour compredre les séries. Table des matières Cours. Défiitios et propriétés Séries à termes positifs ou uls Critères de Cauchy et de d Alembert Séries à termes quelcoques Sommes de séries Vitesse de covergece Etraîemet Vrai ou faux Exercices QCM Devoir Corrigé du devoir Complémets De Zéo d Élée à vo Neuma Le théorème de Merto La série harmoique De seriebus divergetibus Vous avez le choix! avril 204

2 Cours. Défiitios et propriétés Défiitio. Soit (u ) N ue suite de réels ou de complexes. O appelle série de terme gééral u, et o ote u la suite des sommes partielles, (s ) N, où pour tout N, s = u u = u i. Comme premier exemple de série, observos le développemet décimal d u réel strictemet compris etre 0 et. x = 0, a a 2... a..., où pour tout, a {0,,..., 9}. a Cette écriture correspod e fait à la série de terme gééral. La somme partielle s 0 est l approximatio décimale par défaut à 0 près. Voici les 50 premières décimales de. 2 2 = Les ombres décimaux s = 0.7, s 3 = 0.707, s 6 = sot des sommes partielles de la série. Les deux séries les plus souvet utilisées sot la série géométrique et la série expoetielle. Série géométrique Le terme gééral d ue série géométrique est u = r. Les sommes partielles ot ue expressio explicite. s = r i = + r + + r = i=0 i=0 + si r = r + r si r Série expoetielle Le terme gééral de la série expoetielle est u = /!, où! (factorielle) désige le produit des etiers de à. Par covetio, 0! =. Les sommes partielles s sot des ratioels mais ot pas d expressio explicite. Observos que importe quelle suite (s ) N peut être vue comme ue série, de terme gééral u = s s, pour et u 0 = s 0. Das la plupart des cas, les sommes partielles ot pas d expressio explicite, et c est souvet pour cela que l o parle de série plutôt que de suite.

3 Défiitio 2. O dit que la série u coverge vers s si la suite des sommes partielles coverge vers s, qui est appelée somme de la série. u = s lim u k = s. k=0 Das le cas cotraire, o dit que la série diverge. Par exemple, le réel x est la limite de ses approximatios décimales, et aussi la somme de la série a. 0 La série géométrique r coverge si et seulemet si r <. Das ce cas, la somme est. r r < = r = r. La somme de la série expoetielle est le ombre e, dot le logarithme épérie vaut.! = e Voici u exemple de série dot les sommes partielles sot explicitemet calculables. E effet, doc et u = ( + )( + 2) =. ( + )( + 2) = u 0 + u + u = = + 2, ( + )( + 2) = lim + 2 =. Cosidéros ue série u et défiissos la foctio e escalier f sur [0, + [ par : N, t [, + [, f(t) u. La somme partielle s est l itégrale de f sur l itervalle [0, +]. La série u coverge si et seulemet si l itégrale + 0 f(t) dt coverge (voir figure ). u = f(t) dt.

4 u + Figure Somme d ue série, vue comme l itégrale d ue foctio e escaliers sur [0, + [. Réciproquemet, l itégrale d ue foctio quelcoque sur [0, + [ peut être vue comme la somme de la série dot le terme gééral est l itégrale sur [, + [. Nous utiliseros par la suite cette pareté etre séries et itégrales. Comme la covergece d ue itégrale e déped que du comportemet de la foctio à l ifii, la covergece d ue série e déped pas de ses premiers termes. Chager u ombre fii de termes d ue série ajoute ue même costate à toutes les sommes partielles à partir d u certai rag. Cela e chage pas la ature, covergete ou divergete. Si elle est covergete, sa somme est évidemmet modifiée. Par exemple : =! = e. Le fait de calculer la somme d ue série à partir de = 0 est puremet covetioel. O peut toujours effectuer u chagemet d idice pour se rameer à ue somme à partir de 0. Par exemple : e posat m = 2. =2 ( ) = m=0 (m + )(m + 2) =, Le terme gééral d ue série covergete ted vers 0. Théorème. Si la série u coverge, alors la suite (u ) N ted vers 0. u = s = lim u = 0. La cotraposée de ce résultat est souvet utilisée : ue série dot le terme gééral e ted pas vers 0 e peut pas coverger. 3

5 Démostratio : Pour tout N, posos s = k=0 u k. Pour tout, u = s s. Si u coverge, la suite (s ) N coverge vers la somme s de la série. Il e est de même de la suite (S ) N. Par liéarité de la limite, la suite u ted vers s s = 0. Par exemple la série de terme gééral { si = 2 k u = 0 sio diverge : même si les termes o uls sot très rares il y e quad même ue ifiité! Le fait que le terme gééral tede vers 0 est qu ue coditio écessaire de covergece. De ombreuses séries divergetes ot u terme gééral qui ted vers 0. Par exemple, la série de terme gééral u = diverge. E effet : + s 2 s = = 2. La suite des sommes partielles est pas de Cauchy, doc elle e coverge pas. La liéarité des limites etraîe immédiatemet le théorème suivat. Théorème 2. Soiet u et v deux séries covergetes, de sommes respectives s et t. Soiet α et β deux complexes quelcoques. Alors la série de terme gééral αu + βv est covergete, et sa somme est αs + βt. Par exemple : = = = = 7 2. Comme coséquece de la liéarité, observos que si u coverge et v diverge, alors u + v diverge. Comme autre coséquece, pour α 0, αu coverge si et seulemet si u coverge. Pour les séries à termes complexes la covergece équivaut à celle des parties réelle et imagiaire. Propositio. Soit (u ) N ue suite de complexes. Pour tout, otos a et b la partie réelle et la partie imagiaire de u. La série u coverge si et seulemet si les deux séries a et b coverget. Si c est le cas, o a : u = a + i b. Démostratio : Rappelos qu ue suite de ombres complexes coverge si et seulemet si la suite des parties réelles et la suite des parties imagiaires coverget. Si (A ) N et (B ) N sot deux suites de réels : ( lim A = A et lim B = B ) 4 ( lim A + ib = A + ib )

6 Il suffit d appliquer ce résultat à A = a et B = b, k=0 k=0 car la partie réelle d ue somme est la somme des parties réelles, et la partie imagiaire d ue somme est la somme des parties imagiaires. Cosidéros par exemple la série géométrique r, où r est u complexe de module ρ < et d argumet θ : r = ρe iθ. Pour tout, r = ρ e iθ. Les parties réelle et imagiaire de r sot a = ρ cos(θ) et b = ρ si(θ). O déduit de la propositio précédete que : ( ) a = Re r et ( ) b = Im r. Le calcul doe : ρ cos(θ) = ρ cos(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ) et ρ si(θ) = ρ si(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ)..2 Séries à termes positifs ou uls Les séries à termes positifs ou uls sot plus faciles à étudier. E effet si u 0 pour tout, la suite des sommes partielles est croissate. s s = u 0. Ue suite croissate (s ) N a que deux comportemets possibles. Soit elle est majorée et elle coverge, soit elle ted vers +. Les séries à termes positifs se comparet comme les itégrales de foctios positives. Théorème 3. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls. O suppose qu il existe 0 0 tel que pour tout 0, u v. Si v coverge alors u coverge. Si u diverge alors v diverge. Démostratio : Comme ous l avos observé, la covergece e déped pas des premiers termes. O peut doc étudier les sommes partielles à partir de 0. Pour tout 0, otos s = u u et t = v v. Les suites (s ) 0 et (t ) 0 sot croissates, et de plus pour tout N s t. Si la série v coverge, alors la suite (t ) coverge. Soit t sa limite. La suite (s ) est croissate, et majorée par t, doc 5

7 elle coverge, doc la série u coverge aussi. Iversemet, si la série u diverge, alors la suite (s ) ted vers +, et il e est de même pour la suite (t ). Comme premier exemple, cosidéros u développemet décimal. Soit (a ) ue suite d etiers tous compris etre 0 et 9. La série = a 0 coverge. E effet, so terme gééral u = a 9 est majoré par. La série géométrique 0 0 coverge, car <. La série 9 coverge aussi par liéarité, d où le résultat. 0 0 Nous avos déjà vu que la série Nous allos e déduire que E effet : ( + )( + 2) coverge. = lim 2 coverge. 2 2 (+)(+2) E particulier, il existe 0 tel que pour 0 : = ( + )( + 2). E fait c est vrai pour 4, mais il est iutile de calculer ue valeur précise de 0. O e déduit que la série de terme gééral coverge, d où le résultat par liéarité. 2 2 Motros maiteat que (l()) α coverge, = pour tout réel α. E effet : lim (l())α = 0. Doc il existe 0 tel que pour 0, 3 E multipliat les deux membres par 2 : (l())α. (l()) α

8 Comme la série coverge, il e est de même de la série (l()) α, par le théorème Iversemet, ous avos vu que la série diverge. O e déduit facilemet que les séries l() et diverget égalemet. Le théorème de comparaiso permet d utiliser des équivalets. Théorème 4. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes strictemet positifs, équivaletes au voisiage de +. u u v lim + =. v Alors les séries u et v sot de même ature (covergetes ou divergetes). Démostratio : Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, u v < ε ( ε)v < u < ( + ε)v. Fixos ε <. Si u coverge, alors par le théorème de comparaiso 3, ( ε)v coverge, doc v égalemet. Réciproquemet, si u diverge, alors ( + ε)v diverge, et v aussi. Par exemple, coverge, + l() 3 coverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série 2 coverge. Par cotre diverge, + l() 2 diverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série diverge. Les théorèmes 3 et 4 permettet de rameer les séries à termes positifs à u catalogue de séries dot la covergece est coue. Das ce catalogue, o trouve les séries de Riema α et de Bertrad (l()) β. O les étudie e utilisat les itégrales correspodates grâce au théorème suivat, illustré sur la figure 2. Théorème 5. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate. La série de terme gééral u = f() est de même ature (covergete ou divergete) que l itégrale + 0 f(t) dt. 7

9 u u + + Figure 2 Comparaiso etre ue série à termes positifs et l itégrale d ue foctio décroissate sur [0, + [. Démostratio : Comme f est décroissate, les iégalités u f(x) u + sot vraies pour tout x [, + ]. E itégrat etre et + o obtiet : u + f(t) dt u +. Par la relatio de Chasles, la somme de 0 à doe : u u + 0 f(t) dt u + + u +. La série u coverge et a pour somme s, si et seulemet si la suite des sommes partielles coverge vers s. Das ce cas + 0 f(t) dt est majorée par s, et comme x 0 f(t) dt est foctio croissate de x, l itégrale coverge. Réciproquemet, si l itégrale coverge, alors + 0 f(t) dt est majorée, la suite des sommes partielles aussi, et elle coverge. Rappelos que le poit de départ de la sommatio a pas d ifluece sur la covergece des séries. Le théorème 5 reste vrai pour des foctios défiies sur [N, + [ au lieu de [0, + [. Nous l appliquos à f(t) = t α, puis f(t) = t (l(t)) β. x 2 x t α dt = α (x α ) si α l(x) si α = t (l(t)) β dt = β (l(x) β l(2) β ) si β l(l(x)) l(l(2)) si β = 8

10 Séries de Riema Séries de Bertrad Si α Si α > α = α = diverge. coverge. Si β =2 (l()) β diverge. Si β > =2 (l()) β coverge. Nous retrouvos e particulier le fait que coverge, alors que diverge. 2 Voici deux exemples d utilisatio des équivalets pour la comparaiso avec les séries de Riema et de Bertrad. La série l ( + ) coverge. 2 E effet : et la série de Riema La série E effet : 2 = l ( + ) 2 coverge. = ( cos ( cos si( ) + ) l() 2, diverge. ) l() si( ) + 2 l(), et la série de Bertrad l() diverge. Nous allos à ouveau appliquer le théorème de comparaiso, pour motrer que si le terme gééral d ue série est u produit de facteurs dot l u est domiat, alors la ature de la série est dictée par le terme domiat. Propositio 2. Soiet r et r deux réels tels que 0 < r < r <. Soit (a ) N ue suite telle que ( r r ) a soit borée. Alors la série r a coverge. 9

11 Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : ) r ( a < M. r E multipliat les deux membres par r, o obtiet : r a Mr. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque r coverge. Comme applicatio de cette propositio, si r est tel que 0 < r < et α est u réel quelcoque, la série α r coverge. Propositio 3. Soiet α et α deux réels tels que < α < α et (a ) ue suite telle que (α α ) a soit borée. Alors la série α a coverge. Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : (α α ) a < M. E multipliat les deux membres par α, o obtiet : α a M α. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque α coverge. Comme coséquece de cette propositio, pour tout α > et pour tout réel β, α (l()) β coverge. Das le catalogue des séries dot la ature est coue, o trouve aussi les séries géométriques et la série expoetielle. Pour la comparaiso avec les séries géométriques, il existe deux critères mieux adaptés que les équivalets. Ils fot l objet de la sectio suivate..3 Critères de Cauchy et de d Alembert Rappelos tout d abord que la série géométrique r coverge si r <, diverge sio. Les critères de Cauchy et de d Alembert permettet de comparer ue série à termes positifs avec les séries géométriques. Pour comparer u avec r, le critère de Cauchy porte sur u = (u ), le critère de d Alembert sur u + u. Voici le premier. Théorème 6. (Critère de Cauchy) Soit u ue série à termes positifs ou uls. 0

12 S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u < r <, alors u coverge. S il existee u etier 0 tel que pour tout 0, u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, u < r = u < r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Das le secod cas, u > = u >. Le terme gééral e ted pas vers 0, doc la série diverge. Comme exemple d applicatio, reveos sur les développemets décimaux. État doée ue suite (a ) d etiers tous compris etre 0 et 9, la série a coverge. E 0 effet, u = a 0. Or a 9 = exp( l(9)), qui ted vers. Doc il existe 0 tel que pour > 0, u < 2, et la première partie du critère s applique. Observos 0 que la suite u e coverge pas, sauf si les a sot tous uls ou tous o uls : a vaut 0 si a = 0. Das les cas où la suite ( u ) coverge, la positio de sa limite par rapport à détermie la ature de la série u. Corollaire. Soit u ue série à termes positifs, telle que u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si u ted vers, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u < l + l = l + <, 2 2 et le premier cas du théorème 6 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u > l (l ) =, et le secod cas du théorème 6 s applique.

13 Par exemple, ( ) 2 + coverge, car u ted vers 2 <. 3 ( ) diverge, 2 + car u >. Le critère de Cauchy e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. lim α = lim (l()) β =. Or certaies de ces séries coverget, d autres diverget. Le critère de d Alembert est plus facile à appliquer, par cotre il échoue plus souvet que celui de Cauchy. Théorème 7. (Critère de d Alembert) Soit u ue série à termes strictemet positifs. S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u + u < r <, alors u coverge. S il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u + u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, o vérifie par récurrece que : u + u < r = u < u 0 r 0 r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Si u + u >, la suite (u ) est croissate, elle e peut doc pas tedre vers 0 et la série diverge. Observos que le théorème e peut s appliquer que si les u sot tous o uls. E particulier, il e s applique pas aux développemets décimaux, cotrairemet au critère de Cauchy. Défiissos la suite u par : u = si = 2k 3 k 2 si = 2k + 3 k+ 2

14 Le rapport u + u vaut 2 si est pair, si est impair. Il est doc toujours iférieur à 3 2 2/3, et la série coverge. Défiissos maiteat : 2 k si = 2k 3 u = k 2 k si = 2k + 3 k+ Le rapport u + u vaut si est pair, 2 si est impair. Le critère de d Alembert 3 e s applique pas. Pourtat, u coverge vers 2 <, doc le critère de Cauchy 3 s applique (la série coverge). Ici ecore, quad la suite u + u coverge, la positio de la limite par rapport à détermie la ature de la série. Corollaire 2. Soit u ue série à termes positifs, telle que u + u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si lim u + u =, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u + u < l + l 2 = l + 2 et le premier cas du théorème 7 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, et le secod cas du théorème 7 s applique. u + u > l (l ) =, <, Par exemple, pour tout réel positif r, la série expoetielle r! coverge. car u + u = r ted vers 0 <. (O pourrait aussi appliquer le critère de Cauchy, mais + c est mois facile.)! 3 (2 ) coverge, car u + u = + 2+ ted vers 2 <. (2)! (!) 2 diverge, car u + u = (2+)(2+2) (+) 2 ted vers 4 >. 3

15 Le critère de d Alembert e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. α (l()) β lim = lim ( + ) α ( + ) (l( + )) =. β Plus gééralemet, si u est ue fractio ratioelle e et l(), alors les deux critères échouet. Das ce cas, il faut calculer u équivalet et appliquer le théorème 4. Nous avos vu u exemple pour lequel seul le critère de Cauchy doait la répose. Il est e effet plus puissat, comme le motre la propositio suivate. Propositio 4. Soit (u ) ue suite à termes positifs. Si u + lim = l alors lim u = l. u Démostratio : Pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, Par récurrece, o e déduit : or : lim l ε < u + u < l + ε. u 0 (l ε) 0 < u < u 0 (l + ε) 0. u 0 (l ε) 0 = l ε et lim u 0 (l + ε) 0 = l + ε. Doc il existe > 0 tel que pour >, l 2ε < u < l + 2ε, d où le résultat..4 Séries à termes quelcoques Quad ue série est pas à termes positifs, la première chose à faire est d examier la série des valeurs absolues, ou des modules s il s agit de ombres complexes. Défiitio 3. O dit que la série u est absolumet covergete si la série u coverge. Théorème 8. Ue série absolumet covergete est covergete. Démostratio : Supposos pour commecer que les u sot réels. Pour tout N, otos { { u + u si u = 0 0 si et u u 0 = 0 si u < 0 u si u < 0 4

16 Pour tout N : 0 u + u et 0 u u Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors u + et u coverget. Par liéarité, u + u coverge, or u + u = u. D où le résultat. Passos maiteat au cas où les u sot complexes. Notos a la partie réelle de u et b sa partie imagiaire. Pour tout N : 0 a u et 0 b u. Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors a et b coverget aussi. Doc a et b coverget, e appliquat le cas des séries à termes réels. Doc u coverge (propositio ). Par exemple, pour tout θ, la série = e iθ 2 est absolumet covergete. E effet, eiθ = et coverge Comme autre exemple, pour tout complexe z, la série expoetielle z! est absolumet covergete, car r! coverge pour tout réel positif r (applicatio du critère de d Alembert). Il existe des séries covergetes, mais qui e sot pas absolumet covergetes. Cosidéros par exemple u = si = 2k k+ si = 2k + k+ Les termes successifs s aulet deux à deux, de sorte que les sommes partielles valet s = si = 2k k+ 0 si = 2k + La suite des sommes partielles ted vers 0. Par cotre la suite des sommes partielles de u ted vers +, par comparaiso avec la série de Riema. Pour traiter ce type de cas, o dispose du théorème suivat, dit théorème d Abel (u résultat aalogue existe pour les itégrales). Théorème 9. Soiet (a ) N et (b ) N deux suites telles que : 5

17 . La suite (a ) N est ue suite décroissate de réels positifs, et ted vers Les sommes partielles de la suite (b ) N sot borées : Alors la série a b coverge. M, N, b b M. Démostratio : L idée de la démotratio est d effectuer u chagemet das la sommatio, qui s apparete à ue itégratio par parties. Pour tout 0, posos B = b b. Par hypothèse, la suite (B ) est borée. Nous écrivos les sommes partielles de la série a b sous la forme suivate. s = a 0 b 0 + a b + + a b = a 0 B 0 + a (B B 0 ) + a (B B ) = B 0 (a 0 a ) + B (a a 2 ) + + B a. Comme B est boré, et a ted vers 0, le terme B a ted vers 0. Nous allos motrer que la série B (a a + ) est absolumet covergete. E effet, B (a a + ) = B (a a + ) M(a a + ), car la suite (a ) est ue suite de réels positifs, décroissate, et B est boré par M. Or : M(a 0 a ) + + M(a a + ) = M(a 0 a + ), qui ted vers Ma 0 puisque (a ) ted vers 0. La série M(a a + ) coverge, doc la série B (a a + ) aussi, par le théorème de comparaiso 3. Doc la série B (a a + ) est covergete, doc la suite (s ) est covergete. Le cas d applicatio le plus fréquet est celui où b = e iθ. Corollaire 3. Soit θ u réel tel que θ 2kπ, k Z. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Les séries e iθ a, cos(θ)a, si(θ)a coverget. Démostratio : Pour appliquer le théorème d Abel 9 avec b = e iθ, ous devos vérifier que les sommes partielles de la suite (e iθ ) sot borées. Or e iθ = (e iθ ), et par hypothèse e iθ est différet de. O a doc : + + e iθ = e i(+)θ e iθ 2 e iθ. D où le résultat. La covergece des séries cos(θ)a et si(θ)a est ue coséquece directe de la propositio. 6

18 U cas particulier fréquemmet recotré est celui où θ = π, soit b = ( ). O parle alors de série alterée. Termios par ue mise e garde : il est pas possible de remplacer a par u équivalet à l ifii das le théorème 9, car la décroissace est pas coservée par équivalece. Voici par exemple deux séries alterées. ( ) coverge, ( ) + ( ) diverge. Le théorème 9 s applique a la première, mais pas à la secode, car si la suite +( ) est positive (pour 2), elle est pas décroissate. Pourtat, o a bie : Pour motrer que ( ) + ( ) + ( ) +( ) diverge, calculos : ( ) + ( ) = + ( ) ( ) + ( ) = + ( ). Ceci est le terme gééral d ue série à termes positifs divergete (équivalete à la série de Riema ). La différece de deux séries covergetes e peut pas être divergete. Or ( ) coverge, doc ( ) diverge..5 Sommes de séries +( ) Il y a pas beaucoup de séries pour l istat dot vous coaissiez la somme, à part la série expoetielle, les séries géométriques. Il e existe bie d autres. Voici par exemple deux résultats classiques, dot vous recotrerez la justificatio ailleurs : = = π2 2 6 et = ( ) = l(2). Vous aurez beaucoup plus de techiques à votre dispositio après le chapitre sur les séries etières. E attedat, vous pourrez quad même calculer certaies sommes, e combiat celles que vous coaissez. Voici quelques exemples. Cosidéros la série /( 2 ). C est bie ue série covergete, car so terme gééral est positif, et équivalet à 2. Nous allos démotrer que : =2 2 = 3 4. Utilisos la décompositio e élémets simples. 2 =

19 Par récurrece, o e déduit l expressio des sommes partielles. s = ( + ), d où le résultat. E utilisat la même techique de décompositio e élémets simples, vous pourrez aussi calculer les sommes suivates. = = 2 ( + ) = π ( + )( + 2)( + 3) = 5 3. Voici maiteat deux exemples de calcul de sommes que l o ramèe à ue série géométrique. Pour le premier, ous reveos sur les développemets décimaux. Si u ombre x est ratioel, alors so développemet décimal, obteu e divisat deux etiers, est périodique. Réciproquemet, si le développemet décimal d u réel est périodique, alors ce réel est u ratioel. Nous allos le calculer. Supposos que x s écrive : x = 0,a... a p a... a p... Le réel x est la somme de la série suivate. x = k=0 ( a a ) p 0 p (0 p ). k O retrouve la série géométrique r k, avec r = 0 p. O e déduit : x = ( a a ) p 0 p 0. p Soit r tel que r <. Nous allos motrer que Pour cela écrivos : s = = r = = r = r = = r = r r r + r s, r = 8 r ( r) 2. r + r = ( )r

20 d où le résultat, e résolvat cette équatio e s. La même techique permet de motrer que : 2 r = r2 + r ( r). 3 Quad le terme gééral est le quotiet d u polyôme e par!, o peut toujours se rameer à la série expoetielle. Si le polyôme est, ( ),..., la simplificatio est immédiate.! = ( )! = = ( )! = e. =2 ( 2)! = e. U polyôme e de degré peut toujours s exprimer comme combiaiso liéaire de,, ( ),... Par exemple, 2! = ( ) +! = 2e. Vous pourrez procéder de même pour calculer les sommes suivates ! = 3e. 3 2! = e..6 Vitesse de covergece Combie faut-il ajouter de termes d ue série pour avoir ue boe approximatio de sa somme? Pour cotrôler l erreur commise e remplaçat la somme globale par ue somme partielle, il faut examier le reste. Défiitio 4. Soit u ue série covergete de somme s, et (s ) la suite des sommes partielles. O appelle reste à l ordre la quatité r = s s = k=+ Nous allos doer quelques exemples de séries dot o peut borer le reste. Nous commeços par les séries géométriques. Soit r tel que r <. Rappelos que la somme de la série géométrique est : r = r. 9 u k.

21 So reste à l ordre vaut : s s = r r+ r = r+ r. Le reste ted doc vers 0 à vitesse géométrique, ce qui est assez rapide. Par exemple, pour r = 2, le reste à l ordre 20 vaut 9,5 0 7, le reste à l ordre 00 vaut Examios maiteat la série expoetielle. Pour borer so reste, cosidéros les deux suites (s ) et (s ) défiies par : s = + + ( )! +! et s = + + ( )! + 2!. La suite (s ) est croissate et coverge vers e. O vérifie facilemet que la suite (s ) est décroissate pour. Les deux suites sot doc adjacetes et coverget vers la même limite e. O a doc : r = e s s s =!. La covergece est beaucoup plus rapide que pour ue série géométrique. Numériquemet, o trouve r 0 = 2,7 0 8, r 20 = , r 50 = 6, Nous allos maiteat examier des séries dot la covergece peut être beaucoup plus lete. Commeços par les séries alterées, déjà évoquées au paragraphe précédet. Propositio 5. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Posos u = ( ) a. Le reste à l ordre de la série u est majoré par la valeur absolue du premier terme o sommé : r a +. Démostratio : Notos s = u u. Pour tout k N, posos α k = s 2k et β k = s 2k+. Nous vérifios que (α k ) et (β k ) sot deux suites adjacetes. E effet, α k+ α k = a 2k+ + a 2k+2 0 et β k+ β k = a 2k+2 a 2k+3 0. Doc (α k ) est décroissate, et (β k ) est croissate. De plus α k β k = a 2k+ ted vers 0. Les deux suites ot doc la même limite s. Pour tout k N, o aura : β k β k+ s α k+ α k. Selo que est pair ou impair, le reste r peut être boré comme suit. r 2k = s α k α k β k = a 2k+, r 2k+ = s β k α k+ β k = a 2k+2. 20

22 Pour ue série alterée, la vitesse de covergece est doc dictée par la décroissace vers 0 de la suite (a ). Celle-ci peut être assez lete. Par exemple, la série ( ) coverge, et sa somme (pour ) est l(2). Numériquemet, le reste à l ordre 00 est Examios maiteat les séries dot la covergece peut être obteue par comparaiso avec ue itégrale, grâce au théorème 5. Propositio 6. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate, telle que l itégrale + 0 f(t) dt coverge. Soit r le reste à l ordre de la série de terme gééral u = f(). O a : + r f(t) dt r. Démostratio : C est ue coséquece immédiate des iégalités suivates, que ous avios déjà recotrées das la démostratio du théorème 5 (voir figure 2). u + f(t) dt u +. Das ce cas, la vitesse de covergece de la série est essetiellemet celle à laquelle l itégrale de la foctio sur [, + [ ted vers 0. Pour les séries de Riema α avec α >, l itégrale se calcule explicitemet. O trouve : r α α+ r. Si α est assez proche de, la covergece peut doc être extrêmemet lete. Par exemple, la série coverge. Sa somme (pour ) est π2. Numériquemet, le 2 6 reste à l ordre 00 est proche de

23 2 Etraîemet 2. Vrai ou faux Vrai-Faux. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. 2. Si la série u est absolumet covergete, alors la série u 2 coverge. 3. Si la série u coverge, alors la série u coverge. 4. Si les séries u et v diverget, alors la série u + v diverge. 5. Si la série u coverge, alors la série /u diverge. 6. Si la série u coverge, alors la série cos()u coverge. 7. Si la série u est absolumet covergete, alors la série cos()u coverge. 8. Si la série e i u est absolumet covergete, alors la série cos(2)u coverge. 9. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot strictemet positives est supérieur à ( 0 0 ). 0. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot égales à 2 ou à 3 est compris etre ( 2 0 ) et ( 3 0 ).. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à quad ted vers l ifii, alors 2 cos()u coverge. 2. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à cos()u coverge. quad ted vers l ifii, alors 3. Si u > 0 pour tout et si la suite (u ) est décroissate, alors cos()u coverge. 4. Si la suite (u ) est décroissate et ted vers 0, alors cos()u coverge. Vrai-Faux 2. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si r alors r coverge. 2. Si r < alors 2 r coverge. 3. Si r < alors e r coverge. 4. Si r alors cos()r coverge. 5. Si r alors cos()r diverge. 6. Si la suite (u ) est borée, alors u r est soit absolumet covergete, soit divergete. 7. Si r < et si la suite (u ) est borée, alors u r coverge. 22

24 Vrai-Faux 3. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?.! (2)! 2. (!) 2 (2)! 3.! + ( + )! 4. (!) / Vrai-Faux 4. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?. 2 + l() (l()) (l()) ( + cos())( 2 + ) (l()) cos 6 ()( 2 + ) (l()) cos 2 ()( 2 + ) (l()) cos 2 ()(si(( 2 + ) ) (l()) Vrai-Faux 5. Les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes : vrai ou faux et pourquoi?. cos 3 () ( ) 3 2. cos 2 () 23

25 3. cos 3 () 4. cos 3 () cos 3 ()( 2 + ) 3 6. cos 3 ()( + ) 3 Vrai-Faux 6. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi? =2 =2 =2 = + ( ) = 2 ( + ) 2 + ( ) = ( + )( + 2) = 3 + ( )( 2) = 2 ( 2 ) 2 = 5. 2 = = = = =2 =2 =3! = e 2 ( + )! = e 3 2 ( 2)! = e = Vrai-Faux 7. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. 2. =3 =4 ( ) = ( )( 2) = 2 24

26 = =2 = = ( + )( + 2)( + 3) = ( 2 )( 2 + 2) = ( )! = 8e 2.2 Exercices ( )! = 7e 3 Exercice. E examiat la limite du terme gééral, motrer que les séries suivates diverget. si() ; ( + ( ) ( ) ( ) cos(/)) ; ; + + Exercice 2. Utiliser le théorème de comparaiso ou u équivalet, pour démotrer que. les séries suivates coverget cos( ) ( ) l() 3 si( ) ; + 2 si ; ( + ) 2 ( ( )) + l ; si(π 4 + ) 3 4 ; ; e 3 ; ( ( )) cos ; 2. les séries suivates diverget ( ) ( + l ; si argcosh + 3 ( + ) 2 (+ ) ; + ( ) ; ; ( 3 + ) Exercice 3. Utiliser le critère de Cauchy pour détermier la ature des séries suivates. l (l ) ; ( ) + 3 ; 2 + ( ) + 3 ( ) 2 + ; 25 ( ) ) ;

27 Exercice 4. Utiliser le critère de d Alembert pour détermier la ature des séries suivates.! ; (l ) (3)! ;! 9(!) 3! α ; (discuter selo la valeur du réel α). α (l )! ; Exercice 5. Détermier la ature des séries suivates e ; e ; ; e + ; l ( ) + ; + ( ! ; si 2 + cos 2 ; ) l ;. 3/ ; 2 2 si 2 (α). e 5 + ; e 4 + si ; e ; + ( l ; + ) ; (e ( + ) ) ; (+)π π ( ) l ; si x x 2 dx ; ( l + ) ( ) ; ; (l ) ; l( + ) cos ; (!) 2 /2 (2)! ; ( cos()) si(). Exercice 6. O cosidère ue suite (u ) défiie par u 0 R + et pour tout N par l ue des formules suivates. u + = si(u) + u + = l(+u) 2 u + = cos(u ). Motrer que (u ) ted vers Étudier la limite du rapport u + /u. 3. E déduire que la série u est covergete. Exercice 7. Soiet a et b deux réels. Pour tout N, o pose u = + a + + b Vérifier que la suite (u ) ted vers 0 si et seulemet si a + b =. 2. Détermier a et b pour que la série u soit covergete. 26

28 Exercice 8. Soit u ue série à termes positifs ou uls, covergete.. Motrer que pour tout α >, la série u α coverge. 2. Motrer que les séries si(u ) et arcta(u ) coverget. 3. Soit f ue applicatio de R + das R + telle que f(0) = 0, admettat ue dérivée à droite e 0. Motrer que la série f(u ) coverge. Exercice 9. Soit u ue suite à termes réels positifs ou uls. Motrer que les séries de u termes gééraux u, +u, l( + u ) et u dx 0 sot de même ature (covergetes +x 3 ou divergetes). Exercice 0. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls, covergetes.. Motrer que les séries mi{u, v } et max{u, v } coverget. 2. Si a et b sot deux réels tels que 0 < a < b, alors 0 < a < 2ab/(a + b) < ab < b (2ab/(a + b) et ab sot respectivemet la moyee harmoique et la moyee géométrique de a et b). Motrer que u v et u v u +v coverget. Exercice. Soit u et v deux séries réelles covergetes et w ue série réelle telle que pour tout N, u w v.. Motrer que pour tout N, 2. E déduire que w coverge. 0 w u v u Exercice 2. Soit f la foctio défiie sur [2, [ par f(x) = u = f() et s = k=2 u k. x l x. Soit pour tout 2,. Vérifier que F : x l(l(x)) est ue primitive de f. E déduire les iégalités : s F ( + ) F (2) et s u 2 F () F (2) 2. Déduire de la questio précédete que s est équivalet à l(l() quad ted vers l ifii. 3. O pose a = s l(l ). Motrer e utilisat des développemets limités que la série de terme gééral (a a ) coverge. E déduire que S l(l ) est boré. 4. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 3? Exercice 3. Pour tout, o ote u = / et s = u k= 27

29 . Motrer que pour tout 2, S 2( ) S 2. E déduire que S est équivalet à 2 quad ted vers l ifii. 3. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 5? Exercice 4. E utilisat la comparaiso avec ue itégrale, démotrer les résultats suivats. Si γ Si γ > =3 =3 (l()) (l(l())) γ (l()) (l(l())) γ Exercice 5. Soit u ue suite à termes réels (quelcoques). diverge. coverge.. Doer u exemple tel que u coverge et u 2 diverge. O suppose das les questios suivates que u et u 2 coverget. 2. Motrer pour tout k N, u k coverge. 3. Soit f ue applicatio de R das R deux fois cotiûmet dérivable, telle que f(0) = 0. Motrer que f(u ) coverge. Exercice 6. Soit u etier strictemet positif. O cosidére l équatio x +x+ = 0. Motrer que cette équatio admet ue uique solutio das R+. O la ote u. 2. Motrer que la suite (u ) ted vers Motrer que la série u diverge. Exercice 7. Motrer que les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes si() 2 + ; si 3 () cos() ; + 2 l() ; si 5 () l(l()) ; ( ) cos() ; Exercice 8. Détermier la ature des séries suivates. ( ) l ; ( ) ( ) ( ) ; + ( ) ( ) + ( ) ; ( ) + ( ) ; si(3) cos() ; ( ) + ( ) ; (+)π π si(x) x dx ; (+)π π si 2 (x) x dx. 28

30 Exercice 9. Soit k u etier.. Motrer que cos 2k (x) est ue combiaiso liéaire de, cos(2x),..., cos(2kx). E déduire que la série cos 2k ()/ est divergete. 2. Motrer que cos 2k+ (x) est ue combiaiso liéaire de cos(x),..., cos((2k+)x). E déduire que la série cos 2k+ ()/ est covergete. Exercice 20. Soit u ue série covergete à termes complexes. Motrer que la série u coverge. Exercice 2. O cosidère la série u, où u = si() + cos(). Vérifier que la suite (/( + cos()) est pas décroissate. 2. Motrer que la suite (/( cos 2 ()) est décroissate. 3. Motrer que la suite ( /( cos 2 ()) est décroissate. 4. Vérifier que u = E déduire que u coverge. si() si() cos() cos 2 () cos 2 (). Exercice 22. Soiet a et b deux réels. O cosidére la série u avec u = a. +b. O suppose b. Pour quelles valeurs de a la série est-elle absolumet covergete? 2. Même questio pour b >. 3. O suppose a =. Pour quelles valeurs de b la série est-elle covergete? 4. Représeter das le pla les poits de coordoées (a, b) tels que la série est absolumet covergete, covergete, divergete. Exercice 23. O cosidère la série de terme gééral u, où u = ( 2 ).. Écrire la décompositio e élémets simples de la fractio ratioelle X(X 2 ). 2. E déduire ue expressio explicite e foctio de de k=2 k(k 2 ) 29

31 3. Déduire de ce qui précède la covergece de la série u et la valeur de la somme s = k=2 u k. Exercice 24. O cosidère la série de terme gééral : u = l ( ) = l 2. Démotrer que cette série coverge. 2. Doer ue expressio explicite de s = u k. k=2 3. E déduire la valeur de la somme s = k=2 ( 2 ) Exercice 25. Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes : u k. 2 = ; = ( 2)3 + ( 3)2 ; = = ( 2 2)3 + ( 2 3)2 ; 2 + 2! =2 ; ; = ( )! =2 ; ; ( )3 + ( )2 ; ! = ; ; =3 = ! ( 2 )( 2 2). Exercice 26. Si u est ue série covergete à termes strictemet positifs, o ote r so reste d ordre : r = k=+ u k. O suppose qu il existe k ]0, [ et 0 N tels que u + u que pour tout 0, 0 < r u k +. k pour tout 0. Motrer Exercice 27. Soit (a ) N ue suite de réels. O dit que le produit ifii a coverge, s il existe π R tel que la suite de terme gééral a k coverge vers π. k=0 ; 30

32 . Motrer que si le produit ifii a coverge, alors, a 0 et O pose désormais a = + u. lim a = O suppose que N, a >. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 3. O suppose que N, a ]0, ]. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 4. O suppose que N, a ]0, + [. Motrer que si la série u coverge absolumet, alors le produit a coverge. 5. Motrer que pour tout 2, ( ) k 2 E déduire 6. Motrer que + =2 ( 2 ). k=2 + ( = + ( ) = + 2. ) = O pourra calculer ( + )( ) Motrer que le produit ifii + i coverge. O pourra appliquer le résultat de la questio Motrer que le produit ifii ( + i ) diverge. O pourra écrire ( + i ) = + i eiθ ( avec θ = arcta ). Exercice 28. Soit (u ) N ue suite de réels, telle que la série u soit covergete mais o absolumet covergete. O ote (p ) la suite des termes positifs et (m ) la suite des termes égatifs. p = { u si u > 0 0 sio et m = { u si u < 0 0 sio 3

33 . Motrer que les séries p et m sot divergetes. 2. Soit a u réel quelcoque. Costruire ue bijectio σ a de N das N telle que lim u σa(i) = a. + i= Idicatio : supposat a > 0, predre les premiers termes positifs dot la somme dépasse a, puis ajouter des termes égatifs jusqu à ce que la somme repasse edessous de a, puis itérer. 3. Costruire ue bijectio σ + de N das N telle que lim u σ+ (i) = +. + i= 4. Costruire ue bijectio σ de N das N telle que lim u σ (i) =. + i= Exercice 29. Soit (u ) N ue suite de réels tels que la série u soit absolumet covergete. Soit σ ue bijectio de N das N.. Motrer que la série u σ() est absolumet covergete. 2. Motrer que 2.3 QCM u σ() = Doez-vous ue heure pour répodre à ce questioaire. Les 0 questios sot idépedates. Pour chaque questio 5 affirmatios sot proposées, parmi lesquelles 2 sot vraies et 3 sot fausses. Pour chaque questio, cochez les 2 affirmatios que vous pesez vraies. Chaque questio pour laquelle les 2 affirmatios vraies sot cochées rapporte 2 poits. m=0 u m. Questio. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la suite (u ) ted vers 0, alors la série u coverge. B C Si la série u diverge, alors la série u 2 diverge. Si la série u diverge, alors la suite (u ) e ted pas vers 0. D E Si la série u coverge, alors la suite (u 2 ) ted vers 0. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. Questio 2. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la série u coverge, alors la série si(u ) coverge. 32

34 B Si la série u diverge, alors la série (cos(u ) ) diverge. C Si la série u diverge, alors la série u / diverge. D Si la série u diverge, alors la série ta(u ) diverge. E Si la série u coverge, alors la série e u coverge. Questio 3. Soit r et α deux réels strictemet positifs. A Si r alors la série r coverge. B Si r <, alors la série α r coverge. C Si r =, alors la série α r diverge. D Si r et si α <, alors la série α r coverge. E Si r < et si α >, alors la série α r diverge. Questio 4. Pour tout N, soit u u réel positif ou ul. A Si la suite ( u ) ted vers /2, alors la série u coverge. B Si la suite ( u ) ted vers, alors la série u coverge C Si la suite ( u ) ted vers 2, alors la série u / diverge D Si la suite ( u ) est majorée par, alors la série u coverge E Si la suite ( u ) coverge, alors la suite (u ) coverge. Questio 5. Pour tout N, soit u u ombre complexe o ul. A Si la suite ( u + u ) ted vers alors la série u coverge. B Si la suite ( u + u C Si la suite ( u + u D Si la suite ( u + u E Si la suite ( u + u Questio 6. La série proposée coverge. A l( + si(/)) B l( + si(/ 2 )) C ( + si(/ 4 )) D l( + si(/ 4 )) E l( + si(/ 2 )) ) est miorée par alors la série u coverge. ) est majorée par alors la série u / 2 coverge. ) ted vers /2 alors la série 2 u coverge. ) ted vers 2 alors la série u / 2 coverge. Questio 7. Le critère de covergece des séries alterées permet d affirmer que la série proposée coverge. A l() + ( ) B ( ) + ( ) C ( ) si 2 () 33

35 D ( ) l() E ( ) arcta() Questio 8. L égalité proposée est vraie. + A =2 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + B + = (2 3) = = ( + )(2 ) + C + =2 (2 3) = = ( + )(2 ) + D =3 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + E (2 3) = ( )(2 ) =2 =3 Questio 9. L égalité proposée est vraie. A 2 = B C D E + = =2 = + =2 =2 2 = = 2 3 = = 2 Questio 0. L égalité proposée est vraie. A ( )! = e B C D E + =2 =3 + = ( 2)! = e + 2 = 2e! + = 2e! + ( )! = 2e Réposes : DE 2 AD 3 BD 4 AC 5 CD 6 DE 7 DE 8 AB 9 AC 0 BD 34

36 2.4 Devoir Essayez de bie rédiger vos réposes, sas vous reporter i au cours, i au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, doez-vous deux heures ; puis comparez vos réposes avec le corrigé et comptez u poit pour chaque questio à laquelle vous aurez correctemet répodu. Questios de cours : Soiet u et v deux séries et 0 u etier tel que pour tout 0, 0 u v. Pour tout N, o pose s = u k et t = v k.. Motrer que les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0, et qu il existe u réel a tel que pour tout N, s t + a. 2. E déduire que si v coverge, alors u coverge et si u diverge, alors v diverge. 3. O suppose que u est équivalet à v quad ted vers l ifii. Démotrer que u coverge si et seulemet si v coverge. 4. O suppose qu il existe r < et 0 N tel que pour tout 0, u + ru. Motrer que la série u coverge. 5. O suppose que u diverge. Démotrer que la série de terme gééral ( ) /s coverge. Exercice : Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe a > 0 et b > tels que u + = a ( ) u + O. b. Pour tout N, o pose v = a u. Démotrer que où c = mi{b, 2}. v + v ( ) = + O c 2. E déduire que la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. E déduire que la suite (v ) coverge. 4. Utiliser le résultat précédet pour démotrer que si a, alors u diverge, et si a > alors u coverge. (Vous veez de justifier la règle de Raabe Duhamel). Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = = 35 k=, k.

37 . Démotrer que pour tout k 2, k+ 2. E déduire que pour tout, k k t dt u k k t dt. l( + ) h l() E déduire que u diverge et que h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Pour tout, o pose δ = u + t dt. Motrer que 0 δ u u +. E déduire que la série δ coverge. 5. E déduire qu il existe u réel strictemet positif γ tel que lim h l() = γ. + (γ est la costate d Euler.) 6. Pour tout, o pose v = ( ) u = ( ) /. Motrer que la série v coverge. 7. Vérifier que pour tout k, /k = 0 tk dt. E déduire l expressio suivate des sommes partielles. 8. Motrer que pour tout 9. E déduire que ( t) s = v = dt. k= 0 + t s 0 + t dt +. k= v = l(2). 0. Quelle est la plus petite valeur de telle que r = s l(2) < 0 3?. Démotrer l égalité s 2 = h 2 h. Retrouver la limite de (s ) e utilisat le résultat de la questio 5. 36

38 2.5 Corrigé du devoir Questios de cours :. Pour tout 0 : s + s = u 0 et t + t = v 0 Doc les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0. De plus, s s 0 = u u v v = t t 0. Doc pour tout N : s t + max{s k t k, k = 0,..., 0 }. 2. Ue suite croissate coverge vers ue limite fiie si et seulemet si elle est majorée. La série v coverge si et seulemet si la suite (t ) coverge. Supposos que ce soit le cas, et otos t la limite. Alors pour tout N, s est majorée par t + a, doc (s ) coverge, doc u coverge. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Comme t s + a, il e est de même de la suite (t ), doc v diverge. 3. Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u v εv. Fixos ε = /2 : pour tout 0 2 v u 3 2 v. Par liéarité, la covergece de la suite (t ) équivaut aux covergeces des suites ( 2 t ) et ( 3 2 t ). E appliquat ce qui précède : et v coverge = 3 2 v coverge = u coverge, v diverge = 2 v diverge = u diverge. 4. Motros par récurrece que pour tout 0, u u 0 r 0. C est vrai pour = 0. Supposos que ce soit vrai pour, alors : u + ru r ( u 0 r 0) = u0 r + 0, d où le résultat. Pour 0 < r <, la série r coverge. Par liéarité, il e est de même de la série v, avec v = (u 0 r 0 ) r. Or pout tout 0, 0 u v. Doc u coverge, e appliquat le résultat de la questio 2. 37

39 5. La suite (s ) est croissate à partir de 0. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Elle est doc o ulle à partir d u certai rag. Posos 2 = max{ 0, }. À partir du rag 2, la suite (/s ) est défiie, décroissate, et elle ted vers 0. Doc la série de terme gééral ( ) /s coverge, par applicatio du critère de covergece des séries alterées (théorème d Abel). Exercice :. Calculos u développemet limité du rapport v + /v. v + v = = = ( ) + a u + u ( + ) a ( a ( )) + O b ( + a ( )) ( + O a ( )) 2 + O b où c = mi{b, 2}. ( ) = + O c, 2. Par compositio du développemet limité de la questio précédete avec la foctio l, o obtiet : ( ) ( ) v+ l = O, c v doc il existe ue costate C et u etier 0 tel que pour tout > 0, ( ) l v+ C v, c Comme c b >, la série de terme gééral C/ c coverge. Doc la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. Les sommes partielles de la série de terme gééral l(v + /v ) sot «télescopiques» : ( ) vk+ l = l (v k+ ) l (v k ) = l (v + ) l (v 0 ). k=0 v k k=0 Puisque la série de terme gééral l(v + /v ) coverge, la suite de ses sommes partielles, et doc la suite (l(v )) coverget. Par compositio avec la foctio exp, la suite (v ) N coverge. 4. Notos d la limite de la suite (v ). Comme v = a u, u est équivalet à d a. Si a la série d a diverge, doc u diverge. Si a > la série d a coverge, doc u coverge. 38

40 Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = = k= k.. La foctio t /t est décroissate sur [, + [. Pour tout k, t [k, k + ], k + t k. Doc k+ k+ k k + dt k+ k t dt k k dt, ou ecore k+ k + k t dt k. Pour tout k 2, o applique l iégalité de gauche à k : O obtiet doc la double iégalité : k+ k k k k t dt. t dt u k k k t dt. 2. Sommos l iégalité de gauche pour k allat de à : + t dt k= k, doc l( + ) h. Sommos esuite la secode iégalité, pour k allat de 2 à : doc h l(). k=2 k t dt, 3. La suite (l()) N ted vers +, il e est de même pour la suite des sommes partielles (h ). Doc la série u diverge. De plus Or l( + ) l() l( + ) l() = l() + l( + ) l() h l() l() + l() 39 = + l( + ) l()..

41 La suite ( l(+) ) ted vers. Comme l() l() + l() = + l, la suite ( l()+ ) ted égalemet vers. La suite ( h ) est ecadrée par deux l() l() suites qui coverget vers, doc elle coverge aussi vers : h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Le résultat découle de l ecadremet suivat, déjà démotré das la questio. O e déduit : δ = u u + = + + t dt = u. + + t dt 0 et δ = u t dt u u + La série u u + a des sommes partielles «télescopiques» : u u k+ = u u +. k= Comme la suite (u ) ted vers 0, la série u u + coverge. Doc la série δ coverge, par le théorème de comparaiso. 5. Calculos les sommes partielles des δ. δ k = k= k+ u k k= k= k = h + y dt = h l( + ) t dt ( = (h l()) + l + ) ( = h l() + O ) Puisque la suite des sommes partielles des δ coverge, il e est de même pour la suite (h l()). Notos γ la somme de la série de terme gééral δ : γ = = δ = lim + = 40 δ k = lim h l(). +

42 6. La série v est ue série alterée. Pour lui appliquer le critère de covergece des séries alterées, il suffit d observer que la suite (/) est décroissate et ted vers Pour tout k, [ ] t t k k dt = = 0 k k. 0 E sommat de à, o obtiet : s = = = = k=( ) k k ( ) k t k dt k= 0 ( ) k t k dt 0 k= 0 ( t) dt. + t 8. Repreos l idetité de la questio précédete : s = Or : Doc : 0 ( t) dt = + t 0 s 0 t 9. O a : 0 + t dt 0 + t dt = 0 0 t dt + ( )+ + t 0 + t dt. t dt = dt = l(2). + t +. t + t dt +. L iégalité de la questio précédete motre que s l(2) ted vers 0. La suite des sommes partielles (s ) coverge doc vers l(2) : = v = l(2). 0. La majoratio de la questio 8 motre que r < 0 3 pour > 000. Le calcul umérique motre que le premier rag tel que r < 0 3 est =

43 . Écrivos : s 2 = = ( ) ( ) 2 = ( ) ( ) 2 = ( ) 2 ( ) = h 2 h D après la questio 5, h l() coverge vers γ, il e est doc de même de h 2 l(2). Doc : lim + = lim 2 + = lim 2 h + = lim 2 l(2)) + l(2) (l() h ) + = γ + l(2) γ = l(2) 42

44 3 Complémets 3. De Zéo d Élée à vo Neuma Qu ue somme de termes e ombre ifii puisse doer u résultat fii itrigue depuis logtemps, au mois depuis Zéo d Élée (v av. J.C.). Ses textes origiaux e ous sot pas parveus, mais ous coaissos quelques us de ses fameux paradoxes, par la discussio qu e fait Aristote ( av. J.C.) das sa Physique, «le livre fodametal de la philosophie occidetale» selo Heidegger. Voici commet Aristote éoce le paradoxe «de dichotomie» Si sur ue gradeur d, o pred la moitié, puis la moitié de la moitié puis ecore la moitié du reste, et aisi de suite sas limitatio de divisios, la gradeur obteue e additioat ue moitié de chaque divisio successive (divisio appelée dichotomie) e pourra jamais être égale exactemet à la distace d. Avat d arriver à so but, u mobile doit arriver à la moitié de so parcours. Mais auparavat, il doit arriver à la moitié de la moitié... Le mobile doit parcourir ue quatité ifiie d uités d espace. Il arrivera doc jamais à so but. Pour autat, vous avez pas été choqués d appredre que = = = 2. Voici maiteat commet Aristote éoce le «paradoxe d Achille et de la tortue». Le plus let e sera jamais rattrapé à la course par le plus rapide ; car il est écessaire que le poursuivat gage d abord le poit d où a pris so départ le poursuivi, e sorte qu il est écessaire que le plus let, à chaque fois, ait quelque avace. Il est questio i d Achille i de tortue. Achille était probablemet préset das la versio origiale, par référece au passage suivat de l Iliade d Homère. Aisi qu u homme das u rêve arrive pas à poursuivre u fuyard et que celui-ci à so tour e peut pas plus le fuir, que l autre le poursuivre ; aisi Achille e ce jour arrive pas plus à atteidre Hector à la course, qu Hector à lui échapper. Selo Aristote, «parcourir l ifii est impossible» : voyos cela. Disos que l avace d Hector (qui est deveu officiellemet tortue qu u bo milléaire après Zéo) est de km, que sa vitesse e km/h est v, alors que la vitesse du «bouillat Achille» est V > v. Il y a deux maières de calculer. La plus simple est d égaler V t et vt + pour trouver l istat du cotact : /(V v). La maière compliquée est celle du paradoxe : à l istat /V, Achille est arrivé au poit de départ d Hector, mais Hector est v/v. L. Coraz : l écriture ou le tragique de la trasmissio, l Harmatta, Paris (994) 43

45 plus loi. Il faut v/v 2 à Achille pour le rejoidre, mais il est déjà v 2 /V 2 km plus loi, etc. L istat de cotact est doc : V + v V + v2 2 V + = 3 V ( v V ) = V v V = V v. Voici la même éigme, proposée e jui 760 das le volume 29 du «Lodo magazie, or getlema s itelligecer». Achille s est chagé e oie et la tortue e greouille. Suppose a goose ad a frog to start for a wager. Let the goose give the frog oe mile start ; ad let the goose be supposed to ru te times as fast as the frog. Whe will the goose overtake the frog? I aswer, if mathematics are built o a solid foudatio, the goose will ever overtake the frog ; which I prove thus : While the goose is ruig the mile that he has give the frog start, the frog will have ru of a mile beyod ; ad while the goose rus 0 this of a mile, the frog will have ru part of a mile. While the goose 0 00 is ruig this part of a mile, the frog must have kept his lead part of a mile ; ad thus forward,,, etc. i ifiitum. Thus I prove, from strict mathematical demostratio that the goose would, i this case, ever overtake the frog ; yet I kow, from experiece, that the goose would really overtake the frog i a small space of ruig. Do mathematics the cotradict facts, which is the touchstoe of all sciece? Les mathématicies, aglais e particulier, maipulaiet déjà les séries ifiies depuis u bo siècle. Le mois suivat, la répose est publiée. The huma mid, beig fiite, caot comprehed ifiity ; ad so a solutio to the query cocerig the Goose ad the Frog caot be give i the maer requested by your correspodet. [... ] A hour is equal to 59, 59, 59 etc. ad ifiitum. If, therefore, a body, that by a equable motio would require a hour to ru over a certai space, were to move so much thereof as would require 59, ad the as much as would require 59, ad the so much more as would require 59, etc., reaso ca o other way accout for the completio of the hour s jourey, by that body, tha by cosiderig its motio i aother light tha as beig made up of a ifiite series. I fie, whe ay thig is proposed for a solutio, that is withi the reach of our fiite capacity, the Mathematicks, oble, uerrig, uiversally-useful Mathematicks, led their amicable ad ifallible assistace towards a solutio thereof. Puisque vous voilà disposés à profiter de l «amicable ad ifallible assistace» des mathématiques, voici ue versio modere du même casse-tête. U trai part de la ville A à 60 km/h pour se redre à la ville B, distate de 20 km, et e même temps u trai part de B vers A à la même vitesse. 44

46 Toujours au même istat, ue mouche décolle du pare-brise du trai A e directio de B, à ue vitesse double de celle des trais ; lorsque la mouche recotre le trai B elle fait istataémet demi-tour, puis de même lorsqu elle recotre à ouveau le trai A et aisi de suite. Sachat que les deux trais circulet sur la même voie, quelle distace aura parcouru la mouche avat de périr das l accidet fial? Là ecore deux maières de calculer. La simple : les trais roulet pedat ue heure, la mouche vole pedat le même temps, elle parcourt doc 20 km. Et puis la compliquée : quelle distace la mouche parcourt-elle pour rejoidre le trai qui roule e ses iverse, puis quelle distace parcourt-elle das so trajet de retour... Sommez la série, vous devez trouver la même chose. Voici ce que racote McRae das sa biographie de vo Neuma ( ) 2. Les trais sot des bicyclettes, ce qui permet à la pauvre mouche, si elle échappe pas à so desti fueste, de voler à ue vitesse plus raisoable. Whe he was give a problem while stadig, Johy at oe stage would dace from foot to foot. Although this practice caused some spills at his crowded cocktail parties, it forms oe of the first stories half agaist him : his reactio to the fly puzzle. Two cyclists are 20 miles apart ad head toward each other at 0 miles per hour each. At the same time a fly travelig at a steady 5 miles per hour starts from the frot wheel of the orthboud bicycle. It lads o the frotwheel of the southboud bicycle, ad the istatly turs aroud ad flies back, ad after ext ladig istatly flies orth agai. Questio : What total distace did the fly cover before it was crushed betwee the two frot wheels? The slow way of aswerig is to calculate the distace that the fly travels o its first trip to the southboud frot wheel, the the distace it travels o its ext trip to the orthboud wheel, ad fially to sum the ifiite series so obtaied. It is extraordiary how may mathematicias ca be fooled ito doig that log sum. The short way is to ote that the bicycles will meet exactly oe hour after startig, by which time the 5-miles-per-hour fly must have covered 5 miles. Whe the questio was put to Johy, he daced ad awered immediately, 5 miles. Oh, you ve heard the trick before daid the disappoited questioer. What trick? asked the puzzled Johy. I simply summed the ifiite series. It is worth addig that, whe ribbed o this later, Johy said the figures actually put to me were ot so simple. L aecdote est plaisate, mais u peu difficile à croire, s agissat du «most scitillatig itellect of the cetury» (selo Peter Lax). 2. N. McRae : Joh vo Neuma, the scietific geius who pioeered the moder computer, game theory, uclear deterrece, ad much more America Mathematical Society (992) 45

47 3.2 Le théorème de Merto No, Merto est pas u de ces illustres icous dot ous vous abreuvos à logueur de complémets, mais u collège d Oxford, ayat accueilli au xiv e siècle quatre mathématicies-physicies-philosophes, restés das l histoire sous le om de «Calculateurs d Oxford». Leurs oms? Thomas Bradwardie, William Heytesbury, Richard Swieshead, Joh Dumbleto, mais persoe e est sûr. O igore presque tout de leurs vies et de leurs carrières, sauf qu ils ot écrit, à peu près à la même période ( ), plusieurs traités de ciématique das la droite lige d Aristote 3. Ces traités cotieet u éocé ouveau et itéressat : le «théorème de la vitesse moyee». Il cocere u mouvemet uiformémet accéléré, dot la vitesse est foctio affie du temps : v(t) = at + b. Le théorème dit que la distace atteite au temps T est la même que si le mouvemet s était effectué à vitesse costate, égale à la vitesse atteite au temps T, soit la moyee des vitesses iitiale et fiale. 2 Démostratio : x(t) = T 0 v(t) dt = T 0 (at + b) dt = a T bt = ( a T ) ( ) T 2 + b T = v T. 2 Pas de quoi s émerveiller direz-vous? Ceci se passait bie logtemps avat que les mathématiques soiet écrites de maière algébrique, et ecore plus logtemps avat les primitives. Le mouvemet uiformémet accéléré était déjà préset à titre d exemple chez Aristote, et les calculateurs d Oxford e faisaiet que suivre sa traditio des «expérieces de pesée». Mais voici ce qu e disait u savat espagol, Domigo de Soto, e 555 : Cette sorte de mouvemet appartiet e propre aux choses qui se meuvet aturellemet et aux projectiles. Car lorsqu u corps tombe das u milieu homogèe, il se déplace plus rapidemet à la fi qu au début. D u autre côté, le mouvemet des projectiles vers le haut est mois rapide à la fi qu au début. De sorte que le premier croît uiformémet, tadis que le secod décroît uiformémet. Eh oui : le «théorème de Merto» décrivait la loi de la chute des corps..., publiée par Galilée presque 3 siècles après les calculateurs d Oxford, et qui lui est attribuée depuis. Voici commet Galilée l éoce e 632. Le temps das lequel ue certaie distace est parcourue par u mobile uiformémet accéléré à partir du repos est égal au temps das lequel la même distace serait parcourue par le même corps voyageat avec ue vitesse uiforme, égale à la moitié de la vitesse maximale fiale du mouvemet uiformémet accéléré origial. 3. M. Clagett : The Sciece of Mechaics i the Middle Ages, U. Wiscosi Press, Madiso WI,

48 Parmi les calculateurs d Oxford, Richard Swieshead, dot le om avait été déformé e Suiseth, ou Suisset, a suscité l admiratio de ses successeurs. Carda l avait classé parmi les 0 plus grads esprits de tous les temps. Leibiz, qui s était procuré ue copie de so mauscrit, écrivait e 74 : «Il y a eu autrefois u Suisse, qui avoit mathématisé das la Scholastique : ses ouvrages sot peu cous ; mais ce que j e ai vu m a paru profod et cosidérable». Qu y avait-il de si profod das le liber calculatioum de Swieshead? Etre autres plusieurs démostratios du théorème de Merto. Das l ue d elles, l étape pricipale cosiste à motrer que pour u mouvemet uiformémet décéléré jusqu à l arrêt complet, la distace parcourue pedat la première moitié du temps est le triple de la distace parcourue das la secode moitié. Voici ce que dit Swieshead. Pour cela, supposos que a décélère uiformémet jusqu à zéro. Alors das chacu des istats de la première partie proportioelle du temps, il ira deux fois plus vite que das la partie correspodate de la secode partie, et aisi de suite pour les parties suivates, comme il est évidet. Comme la première partie proportioelle du temps est le double de la secode, il est évidet que a parcoura quatre fois plus de distace das la première que das la secode, das la secode que das la troisième, et aisi jusqu à l ifii. E otatios moderes, soit T la durée (icoue) du trajet. L itervalle [0, T ] est subdivisé e [0, T 2 ], ] T 2, 3T 4 ], ] 3T 4, 7T 8 ], etc. Pour N ; Notos I l itervalle I = ] (2 ] )T, (2+ )T À I faisos correspodre l itervalle I +, qui est de logueur moitié : ous mettos aisi e correspodace chaque itervalle de la subdivisio de [0, T ] avec u itervalle de subdivisio de [ T, T ]. Les vitesses état proportioelles aux istats, les vitesses 2 das I + serot la moitié des vitesses das I, doc la distace parcourue das I + sera le quart de la distace parcourue das I. Viet alors l argumet de sommatio : La coséquece découle du fait que si deux esembles de quatités sot comparés terme à terme de sorte que chaque comparaiso doe la même proportio, alors, si la somme du premier esemble est comparée avec la somme des termes du secod esemble, les sommes aurot la même proportio que celle des comparaisos terme à terme des deux esembles. Traduisez : Et Swieshead coclut : ( N, u = λv ) = ( + ) u = λ v Il s esuit doc que das l itervalle de temps complet, a parcourra quatre fois plus d espace que das la secode moitié du temps. Doc das la pre- 47..

49 mière moitié du temps, il traversera trois fois autat d espace que das la secode moitié. Vous vous demadez pourquoi avoir eu recours à ue sommatio de série, alors qu il suffisait d appliquer l argumet à la deuxième moitié (u quart de la distace totale parcourue, puisque la durée et la vitesse sot la moitié)? Moi aussi. Peut-être par fidélité à Aristote et so paradoxe de dichotomie. E tout cas, le même gere d argumet lui permettait d aller ecore plus loi. Si u poit se meut à ue vitesse costate durat la première moitié d u itervalle de temps, durat le quart suivat de l itervalle de temps à ue vitesse double de la vitesse iitiale, durat le huitième suivat de l itervalle à ue vitesse triple, etc. ad ifiitum ; alors la vitesse moyee durat l itervalle de temps total sera le double de la vitesse iitiale. E d autres termes : = 2. C est la première somme de série o géométrique de l histoire. Commet Swieshead s y preait-il? Doubler la vitesse sur la secode moitié reviet à la doubler sur la première. La tripler e plus sur le derier quart de l itervalle, a le même effet sur la vitesse moyee que la doubler partout, sauf sur le derier quart. La quadrupler e plus sur le derier huitième a le même effet que la doubler partout, sauf sur le derier huitième, etc. (figure 3). E écriture mathématique : = 2 ( ) Figure 3 Argumet de Swieshead pour la somme de la série 2. 48

50 3.3 La série harmoique Nous vous avos proposé plusieurs démostratios du fait que la série harmoique diverge. Voici la toute première e date, celle de Nicolas Oresme ( ) 4. So idée cosiste à regrouper les termes par blocs e doublat la taille des blocs à chaque fois : ( ( + + 2) 3 + ( + 4) ( + + 8) ) + k 2 k Le k-ième bloc cotiet 2 k termes, chacu au mois égal à 2 k : la somme de ces termes est doc supérieure à /2. Oresme coclut «il y a ici ue ifiité de parties dot chacue sera plus grade que la moitié d u pied, doc le tout sera ifii». Pas mal pour l époque! D autat qu il est aussi le premier à avoir éocé e toute gééralité la somme de la série géométrique. Mais au xiv e siècle, le but était mois mathématique que philosophique : les séries étaiet ecore u objet de méditatio sur l ifii, das la ligée du traitemet par Aristote des paradoxes de Zéo. Il faudra attedre trois siècles, l ivetio des logarithmes et du calcul itégral pour voir les séries se développer comme sujet mathématique. La secode démostratio de la divergece de la série harmoique est celle du prêtre italie Pietro Megoli ( ). Lui regroupe les termes trois par trois, e observat que pour tout 2 : Il e déduit que : ( ) est strictemet supérieur à > 3. ( ( + 7) ) + ( k + 3k + 3k + 3k + ) + Si la série harmoique avait ue somme s fiie, celle-ci devrait être strictemet supérieure à + s, ce qui est impossible. Doc la somme est ifiie : joli aussi, o? C est Megoli qui a démotré que la série harmoique alterée ( ) a pour somme l(2), et ous vous avos proposé sa démostratio das le devoir. Il avait aussi remarqué que < 2 ( ) =, et e avait déduit = 2 < 2, 4. M.A. Coppo : Ue histoire des séries ifiies, d Oresme à Euler (200) 49

51 sas réussir à calculer la somme exacte. Ce sera u des grads succès d Euler, presque u siècle plus tard. Au fait : pourquoi série harmoique? E musique, ue série harmoique est ue série de sos dot la fréquece est u multiple etier du so fodametal. Mettos que vous jouiez u La, qui comme le dit votre diapaso est u so de 440 Hz. Le La de l octave au-dessus est à 880 Hz, celui de l octave e-dessous à 220 Hz. La ote de tierce majeure, Do#, est das u rapport de 5/4 avec le so fodametal : doc ue fréquece de 550 Hz (ou 275 ou ). Quat à la quite qui complète l accord parfait (La Do# Mi pour La majeur), so rapport avec le so fodametal est 3/2, doc ue fréquece de 660 Hz (ou 330, ou ). Si vous e jouez que les otes de l accord parfait de La Majeur (ça peut deveir lassat à la logue), vous etedrez des fréqueces de 0, 220, 330, 440, 550 Hz... doc des vibratios dot les logueurs d ode sot, à ue costate près des iverses d etiers. Si vous vous euyez pedat le cocert, sogez que pedat au mois 2 milléaires après Pythagore, la musique a été cosidérée comme ue partie des mathématiques, au même titre que l arithmétique et l aalyse. 3.4 De seriebus divergetibus Cet article a été écrit e 755 et so titre fleure bo le lati de cuisie. Le coteu est à faire dresser les cheveux sur la tête. E voici quelques perles. Ue série est dite covergete si ses termes formet ue suite décroissate vers 0. La série harmoique serait doc covergete? U peu oui! Et même pire : 2 = = = Ue fractio somme d etiers? U ombre égatif somme d ue ifiité d etiers positifs? «Il semble coforme à la vérité de dire que les mêmes quatités qui sot iférieures à zéro peuvet être évaluées comme plus grades que l ifii e même temps». Depuis que vous savez ce qu est la covergece d ue série, vous avez acquis le droit de ricaer : c est du grad importe quoi! Sauf que l auteur est autre que Léoard Euler ( ). Alors o remballe les sarcasmes, et o essaie de compredre ce que dit le mosieur. Il est pas dupe 5. Assez otable est la cotroverse sur la série dot la somme a été doée par Leibiz comme état /2, bie que d autres e 5. V.S. Varadaraja : Euler ad his work o ifiite series Bull. Amer. Math. Soc., 44(4) p (2007) 50

52 soiet pas d accord. Persoe a ecore assigé de valeur à cette somme, et doc la cotroverse porte sur la questio de savoir si les séries de ce type ot ue somme. La compréhesio de cette questio réside das le mot «somme» ; cette idée, si o la coçoit aisi la somme d ue série est la quatité dot o s approche d autat plus qu o ajoute plus de termes e vaut que pour les séries covergetes, et ous devrios e gééral abadoer cette idée pour des sommes de séries divergetes. La cotroverse e questio avait débuté e 703 avec u travail de Guido Gradi (67 742) sur la quadrature du cercle (u de plus). Quad Gradi évoque la série alterée ( ), il se motre cosciet des différetes «sommes» possibles. Mais aussi, S = ( ) + ( ) + ( ) + = 0, + ( + ) + ( + ) + ( + ) + =, ( ) ( ) + ( ) + ( ) + = S = S = 2. C est ce derier résultat qui a sa faveur, car il est cohéret avec la série géométrique, + x + x 2 + = x, prise e x =. Après Gradi, bie d autres mathématicies ajoutet leur grai de sel : Wolff, Marchetti, Nicolas et Daiel Beroulli, Goldbach... Leibiz pred positio e faveur de /2 et ajoute u argumet probabiliste : si o calcule ue somme partielle «au hasard», o a autat de chaces d obteir 0 ou : l espérace est /2. Das l esprit de ces savats du siècle des lumières, il e faisait aucu doute que si Dieu avait mis cette série devat leurs yeux, Il avait ue boe raiso pour cela ; o seulemet la somme e pouvait qu exister, mais ecore elle devait servir à quelque chose, et leur tâche était précisémet de découvrir à quoi. C est bie le but qu Euler se propose d atteidre : «Grâce à cette défiitio, ous allos prouver l utilité des séries divergetes, et les protéger de toute ijustice.» E 755, le critère de covergece des séries alterées était déjà bie cou : il avait été éocé par Leibiz, das ue lettre du 0 javier 74. «Les séries alterées sot covergetes si le terme gééral décroît vers 0». Soit (a ) N ue suite à termes strictemet positifs, décroissate, et covergeat vers 0. Soit s = ( ) a la somme de la série alterée. Voici ce que remarque Euler : 2s = a 0 + (a 0 a ) (a a 2 ) + = a 0 5 ( ) a,

53 où l opérateur aux différeces trasforme la suite (a ) N e la suite des différeces successives (a + a ). N, a = a + a. La ouvelle série ( ) a est ecore ue série alterée et o peut lui appliquer le même procédé, pour arriver à ue troisième série alterée, faisat iterveir les différeces secodes. N, 2 a = a + a = a 2a + + a +2. E itérat le procédé, Euler parviet au résultat suivat. Théorème 0 (Euler). ( ) a = ( ) 2 + a 0, où ) a 0 = a 0 a = k=0( ) k( a k. k Vous avez tous les outils pour démotrer rigoureusemet ce résultat, et même plus. Défiitio 5. O appelle trasformatio biomiale l applicatio qui à ue suite de réels (a ) N associe la suite (b ) N défiie pour tout N par : ) b = k=0( ) k( a k. k. Commecez par démotrer que la trasformatio biomiale est ivolutive : ) a = k=0( ) k( b k. k (Aucu rapport avec les séries, c est juste u bo exercice). 2. Supposos que la série ( ) a coverge. Démotrez que pour tout complexe z tel que z <, la série a z est absolumet covergete. O ote f(z) sa somme. f(z) = a z (Là, il y a plutôt u rapport avec le chapitre sur les séries etières, mais c est aussi u bo exercice). 52

54 3. Pour z, o pose : Motrez que 4. Déduisez de ce qui précède que g(z) = ( ) z z f z g(z) = b z. ( g = 2) b 2 = 2 f( ) = 2. ( ) a. Le miracle est das le : typiquemet, la trasformatio d Euler remplace ue série 2 à covergece lete (reste r de l ordre de ) e ue covergece rapide (reste à décroissace géométrique). Voici u exemple. Pour a =, ous avos vu que la + série alterée coverge letemet vers l(2). La série trasformée est : = ( ) + = l(2) = = l(2), 3 ( + )2+ qui coverge beaucoup plus rapidemet. Mais alors, puisque cela marche si bie pour les séries covergetes, pourquoi se gêer? Pour ( ), la série trasformée est : = 2. Difficile de touver plus rapide comme covergece! Souveez-vous qu au temps d Euler, il y avait pas d autre moye pour coaître la somme d ue série que de calculer suffisammet de termes à la mai, puis de les additioer : il était peut-être ecore plus crucial qu aujourd hui d obteir la meilleure précisio possible das u temps de calcul doé. Les méthodes d accélératio de covergece cosistet à remplacer ue série par ue autre de même somme et de covergece plus rapide. Elles sot apparues très tôt. Des dizaies ot été ivetées, et sot implémetées de os jours das les logiciels de calcul. Nous veos de vous préseter la méthode d Euler pour les séries alterées. Il e avait découvert d autres, dot ue qui lui avait permis e 735 de devier la solutio au fameux problème de Bâle : = 2 = π

55 Ce fut le poit de départ des recherches sur la foctio zéta, qui allait jouer e mathématiques u rôle aussi cetral que le Théorème de Fermat : ζ(s) = = s. Nous auros certaiemet l occasio de vous e reparler! 3.5 Vous avez le choix! Preez ue série u covergete, mais o absolumet covergete, par exemple ( ) /. Nous vous avos fait démotrer e exercice qu o peut e permutat les termes, obteir importe quelle somme, y compris ±. Vous pouvez préférer que ce soit Cauchy qui vous le dise 6. Si les différets termes de la série proposée étaiet les us positifs, les autres égatifs, il pourrait arriver que la série fût covergete, et que les termes das lesquels la somme des idices serait au mois égale à, état ajoutés les us aux autres das u certai ordre, e doasset pas toujours ue somme ifiimet petite pour des valeurs ifiimet grades de. Cette remarque est applicable même aux séries simples. Aisi, e particulier, si l o cosidère la série simple, 2, + 3, 4,..., ±,..., (6) [... ] o peut affirmer que la somme s covergera pour des valeurs croissates de vers ue limite fixe s et que la série (6) sera covergete. Mais si au lieu d ajouter les us aux autres les termes [... ] pris das l ordre où ils se trouvet, o veait à itervertir cet ordre e choisissat parmi eux des termes affectés du même sige, par exemple les suivats ± + 2, ± + 4,..., ± + 2 = ± 3, la valeur umérique de la somme de ces deriers termes, savoir surpasserait évidemmet le produit et cesserait d être ifiimet petite pour des valeurs ifiimet grades de. 6. L.A. Cauchy, Résumés aalytiques, p. 85 Imprimerie Royale, Turi (833) 54

56 Par cotre, pour ue série absolumet covergete, o peut permuter les termes comme o veut sas modifier i la covergece absolue, i la somme (o dit que la série est commutativemet covergete). Voici le résultat, éocé par u autre mathématicie du xix e, beaucoup mois prestigieux mais peut être u tatiet plus pédagogue, Charles Cellérier (88 889) 7. Observos que, si ue série covergete a tous ses termes positifs, o peut à voloté chager leur ordre, e réuir plusieurs e u seul, ou réciproquemet remplacer u seul par d autres tous positifs, dot il est la somme ; o peut aussi mettre à part des termes e ombre ifii, la somme des deux séries formées soit par ceux-là, soit par ceux qui restet, reproduit la primitive. Coveos, pour abréger, de dire qu ue série est umériquemet covergete lorsqu elle a des termes positifs et égatifs, mais reste covergete e les preat tous avec le sige +. Das ce cas égalemet, o peut chager à voloté l ordre des termes, remplacer quelques-us d etre eux, même e ombre ifii, par u seul égal à leur somme, et e répétat l opératio, remplacer la série primitive par ue autre dot les termes soiet eux-mêmes des séries. Il suffit que tout terme choisi à voloté das l ordre acie ait sa place détermiée das l ordre ouveau. 7. Ch. Cellérier, Note sur les pricipes fodametaux de l aalyse, Bull. Sci. Math., deuxième série, tome xiv, pp (890) 55