Chapitre 4. Série de Fourier. 4.1 Série de Fourier

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1 Chapire 4 Série de Fourier On a vu commen analyser des circuis don l enrée es une source sinusoïdale. Mais commen faire si la source n es pas sinusoïdale? Es-ce qu on peu quand même uiliser la foncion de ransfer? On peu quand même uiliser le concep de foncion de ransfer si on peu décomposer l enrée non-sinusoïsale en une somme de sinusoïdes. C es ce que la série de Fourier perme de faire. La série de Fourier perme de ransformer n impore quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Pourquoi s inéresse- on aux signaux périodiques? Plusieurs sources élecriques produisen des signaux périodiques. Les généraeurs de foncion produisen des ondes riangulaires, recangulaires e carrées. Les redresseurs, uilisés pour produire des sources DC à parir d un signal AC, produisen des sinusoïdes qui son périodiques, mais redressés. 4. Série de Fourier Le mahémaicien français Jean-Baise Fourier découvri qu on pouvai ransformer n impore quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Donc, pour une foncion périodique quelconque f(), Fourier démonra qu on pouvai faire l équivalence suivane : f() = a v + a n cos nω + b n sin nω (4.) n= où a v, a n e b n son les coefficiens de Fourier, e ω es la fréquence fondamenale. Les fréquences qui son des muliples eniers de ω (comme 2ω,3ω, ec.) son nommés les harmoniques. Par exemple, 2ω es la deuxième harmonique, 3ω es la roisième harmonique, e ainsi de suie.

2 Pour faire l analyse de circuis don la source es périodique mais non sinusoïdale, il fau décomposer l enrée en une série de Fourier. Le premier coefficien obenu, a v, es la composane DC du signal. Les aures composanes représenen différenes fréquences qui son présenen dans nore signal d enrée. Ensuie, pour obenir la sorie, on calcul la sorie pour chaque fréquence, puis on fai la superposiion. 4.2 Coefficiens de Fourier Les coefficiens de Fourier son obenus selon : a v = T a k = 2 T b k = 2 T +T f() d (4.2) +T f() cos kω d (4.3) +T f() sin kω d (4.4) Exemple Calculer la série de Fourier pour le signal périodique suivan. V m T 2T Lorsqu on uilise les équaions 4.2 à 4.4, on peu choisir la valeur de. Le meilleur choix es de prendre =, ce qui simplifie beaucoup les calculs. L équaion de v() enre e T es : v() = V m T Donc l équaion pour a v es : a v = T T ce qui es ou simplemen la valeur moyenne du signal. V m T d = 2 V m (4.5) 2 GELE332

3 L équaion pour la kième valeur de a n es : a k = 2 T T = 2V m T 2 = 2V m T 2 V m L équaion pour la kième valeur de b n es : a k = 2 T T cos kω d ( cos kω k 2 ω 2 + ) T sin kω kω [ ] (cos 2πk ) = pour ou k k 2 ω 2 T = 2V m T 2 = 2V m T 2 = V m πk La série de Fourier de v() es : V m T sin kω d ( sin kω k 2 ω 2 + ) cos kω kω ( T ) cos 2πk kω v() = V m 2 V m π n sin nω On peu reconsruire le signal original à l aide de la série de Fourier pour vérifier si on peu bel e bien obenir l original. La figure suivane monre la reconsrucion en uilisan 7, 5 e 5 harmoniques. On voi bien que plus le nombre d harmoniques uilisés es élevé, plus le signal original es reconsrui fidèlemen. n= T Le calcul des coefficiens de Fourier es, généralemen, un calcul assez long. N impore quoi qui simplifie la âche es donc bénéfique. On verra dans la prochaine secion que si le signal possède de la symérie, on peu grandemen simplifier le calcul des coefficiens de Fourier. 4.3 Symérie e les coefficiens de Fourier Il y a quare ypes de symérie qui peuven aider à évaluer les coefficiens de Fourier : 3 GELE332

4 .5 Original.5 7 harmoniques v().5 v() harmoniques.5 5 harmoniques v().5 v() Symérie paire 2. Symérie impaire 3. Symérie demi-onde 4. Symérie quar-d onde 4.3. Symérie paire Une foncion es die paire si : f() = f( ) (4.6) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y. La figure 4. monre un exemple de foncion paire. 4 GELE332

5 f() T Fig. 4. Exemple de foncion paire Pour des foncions paires, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son : T/2 a v = f() d (4.7) T a k = 4 T/2 f() cos kω d (4.8) T b k = (4.9) Symérie impaire Une foncion es die impaire si : f() = f( ) (4.) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y puis une copie miroir auour de l axe x. La figure 4.2 monre un exemple de foncion impaire. f() A -A T Fig. 4.2 Exemple de foncion impaire Pour des foncions impaires, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son : a v = (4.) a k = (4.2) b k = 4 T T/2 f() sin kω d (4.3) 5 GELE332

6 4.3.3 Symérie demi-onde Une foncion périodique possède de la symérie demi-onde si : f() = f( T/2) (4.4) C es-à-dire que si on déplace la foncion d une demi-période, puis on l inverse (roaion auour de l axe x) e alors que cee nouvelle foncion es idenique à l originale, il y a symérie demi-onde. La foncion de la figure 4.2 es un exemple de figure ayan ce genre de symérie. Pour des foncions ayan de la symérie demi-onde, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son : a v = (4.5) a k = pour k pair (4.6) T/2 a k = 4 T f() cos kω d pour k impair (4.7) b k = pour k pair (4.8) b k = 4 T T/2 f() sin kω d pour k impair (4.9) Symérie quar-d onde Le erme symérie quar-d onde décri une foncion périodique qui a la symérie demionde mais aussi de la symérie auour du poin milieu enre les demi-cycles posiifs e négaifs. La figure 4.3 a) monre un exemple de foncion périodique qui a la symérie quar-d onde, andis que la figure 4.3 b) n a pas la symérie quar-d onde. f() f() A A T T -A (a) -A (b) Fig. 4.3 Symérie a) quar-d onde e b) n a pas quar-d onde. Une foncion périodique qui a la symérie quar-d onde peu oujours êre rendue soi paire ou impaire en faisan un choix approprié de =. Par exemple, la foncion de la figure 6 GELE332

7 4.3 a) es impaire e peu êre rendue paire en déplaçan la foncion de T/4 vers la droie ou la gauche. Pour une foncion ayan la symérie quar-d onde, si on la rend paire, alors a v = (4.2) a k = pour k pair (4.2) T/4 a k = 8 T f() cos kω d pour k impair (4.22) b k = (4.23) Pour une foncion ayan la symérie quar-d onde, si on la rend impaire, alors a v = (4.24) a k = (4.25) b k = pour k pair (4.26) b k = 8 T T/4 f() sin kω d pour k impair (4.27) Exemple 2 Calculer les coefficiens de Fourier pour la foncion de la figure suivane : i() I m -I m T La première chose à faire es de chercher pour de la symérie. La foncion es impaire, e de plus, possède de la symérie demi-onde e quar-d onde. Puisque la foncion es impaire, a v =, e a k =. À cause de la symérie demi-onde, b k = pour les valeurs paires de k. À cause de la symérie quar-d onde, l équaion de b k pour les valeurs impaires de k es : b k = 8 T T/4 i() sin kω d Dans l inervalle T/4, l équaion de i() es : i() = 4I m T 7 GELE332

8 Alors, b k = 8 T T/4 = 32I m T 2 = 8I m π 2 k 2 sin kπ 2 4I m T sin kω d ( sin kω cos kω ) k 2 ω 2 kω k es impair T/4 La représenaion en série de Fourier de i() es : i() = 8I m π 2 n=,3,5... n sin nπ 2 2 sin nω La reconsrucion de i() es monré à la figure suivane. Dans ce cas-ci, rès peu de fréquences son nécessaires pour reconsruire le signal original. Original n = i() i() n = n =.5.5 i() i() GELE332

9 4.4 Formes alernaives de la série de Fourier Il y a deux aures façons d exprimer la série de Fourier : on peu uiliser une forme polaire, ou une forme exponenielle. La forme polaire es la suivane : f() = a v + A n cos(nω θ n ) (4.28) n= où A n es défini selon : A n θ n = a n jb n (4.29) La forme exponenielle es : f() = C n e jnω n= (4.3) où C n = T +T La forme exponenielle es obenue à parir de la relaion d Euler. f()e jnω d (4.3) 4.5 Specre d ampliude e de phase Une foncion périodique es définie par ses coefficiens de Fourier e sa période. Si on connaî a v, a n, b n e T, on peu consruire f(). Si on connaî a n e b n, on connaî aussi l ampliude A n e le déphasage θ n de chaque harmonique. On peu représener graphiquemen une foncion périodique en ermes de l ampliude e de la phase de chaque erme de la série de Fourier. On appelle ceci le specre de la foncion. Ce graphe perme de visualiser quelles fréquences on une ampliude imporane ; dans cerains cas, la majorié du signal es conenu dans quelques harmoniques. On fera un exemple pour démonrer l uilisaion. 9 GELE332

10 Exemple 3 Donner le specre de la foncion suivane, si V m = 5V e τ = T/5. V m v() -τ/2 τ/2 T On uilise la forme exponenielle pour ce exemple, ce qui donnera direcemen l ampliude de chaque composane specrale. C n = T = V m T τ/2 τ/2 V m e jnω d ( e jnω ) jnω τ/2 = 2V m nω T sin nω τ/2 τ/2 On peu réécrire sous une forme un peu différene : C n = V mτ T sin nω τ/2 nω τ/2 qui es de la forme (sin x)/x. Cee foncion es appelée sinc, e es renconrée assez souven dans le domaine des élécommunicaions. Avec les valeurs données dans le problème, on a C n = sin nπ/5 nπ/5 Le specre d ampliude es monré à la figure suivane. Remarquer que le specre donne aux muliples de 5, ou lorsque nτ/t es un enier. Ce qui veu dire que le 5ième, ième, 5ième,... harmoniques son nuls. L enveloppe du signal forme la foncion sinc. Le specre de phase es monré à l figure suivane. Puisque C n es réel dans ce cas-ci, la phase es ou 8, selon le signe de C n. GELE332

11 .8.6 C n n 2 5 θ n (degrés) n 4.6 Calculs de puissance On verra ici commen faire le calcul de puissance de foncions périodiques. En effe, puisque les foncions périodiques son formés d une somme de sinusoïdes, la puissance d un signal es disribuée parmi les harmoniques. GELE332

12 4.6. Puissance moyenne On peu exprimer la ension e le couran dans une impédance comme éan : v = V dc + i = I dc + V n cos(nω θ vn ) (4.32) n= I n cos(nω θ in ) (4.33) n= où on uilise la noaion suivane : V dc, I dc = ampliude de la composane DC V n, I n = ampliude de la nième harmonique θ vn, θ in = phase de la nième harmonique On sai que la puissance moyenne d un signal es : P = T T p d = T T vi d (4.34) Si on remplace les équaions de v e i dans l équaion précédene, on obien : P = V dc I dc + n= V n I n 2 cos(θ vn θ in ) (4.35) Cee dernière équaion affirme que s il y a ineracion enre une ension périodique e un couran périodique, la puissance moyenne oale es la somme des puissances moyennes obenues de l ineracion de ensions e courans de même fréquence. Les ensions e courans de fréquences différenes n ineragissen pas pour produire de la puissance moyenne Valeur RMS La valeur RMS d une foncion peu êre exprimée en foncion des coefficiens de la série de Fourier. Par définiion, la valeur RMS d une foncion es : T F rms = f() T 2 d (4.36) En remplaçan f() par son équivalen en série de Fourier, on obien ( ) 2 F rms = An a 2 v + (4.37) 2 n= 2 GELE332

13 La valeur RMS d un signal périodique es la racine carrée de la somme des ampliudes au carré de chaque harmonique e de la composane DC du signal. Cependan, il fau ypiquemen une infinié de sinusoïdes pour représener un signal, e donc il fau faire une somme infinie pour avoir la vraie valeur RMS du signal. Il es souven plus simple de calculer la valeur RMS à parir de l équaion GELE332