Lycée Viette TSI 1. E r n r

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Marie-Claude Chassé
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1 Flux du champ élctostatiqu I. Flux du champ élctostatiqu Théoèm d Gauss 1. Flux élémntai du champ élctostatiqu L flux élémntai d E à tavs la sufac élémntai ds st pa définition : d = E.dS avc d S = ds.n n Φ vctu unitai d la sufac E n L'unité du flux st l V.m L flux élémntai du champ élctostatiqu céé pa un chag ponctull q placé n O à tavs un sufac élémntai ds placé n M a pou xpssion : 1 q 1 q d Φ = OM ds ds.cos( ) OM uuuu π = 4. π. OM α avc α angl nt OM uuuu t ds 2. Flux du champ à tavs un sufac fini L flux st la somm ds flux élémntais : Φ = Φ On distingu dux typs d sufac, ls sufacs fmés ( qui sépa l'spac n dux sousnsmbls : l volum intéiu à la sufac fmé t l volum xtéiu ) t ls sufacs ouvts. Pou un sufac fmé n st ointé tès souvnt vs l xtéiu (flux sotant). Pou un sufac ( ouvt ) s'appuyant su un contou, il y a un dépndanc nt l'ointation du contou t l vctu n ( ti-bouchon ). n S d abux Michl Pag 1

m L flux élémntai du champ élctostatiqu céé pa un chag ponctull q placé n O à tavs un sufac élémntai ds placé n M a pou xpssion : 1 q 1 q d Φ = OM ds ds.cos( ) 3 2 4.. OM uuuu π

2 II. Théoèm d Gauss Soint un distibution qulconqu d chags ( ponctulls ou non ) t un sufac fmé S. Pou ls chags situés à l'xtéiu d S l flux st nul, pou ls chags situés à l'intéiu qint Φ = ( démonstation hos pogamm ). L flux du vctu champ élctostatiqu sotant d'un sufac fmé S st égal au quotint pa o d la somm ds chags élctiqus situés à l'intéiu d S. φ. caactè consvatif du flux si q int = Φ = n l absnc d chags l flux st consvatif maqus L théoèm d Gauss pmt d touv E ( voi T.D. ) dans ds situations d haut syméti. Il st applicabl pou tout champ n 1 ² vitation ). ( pa xmpl pou l champ d ga- III. Calcul du champ élctostatiqu à l'aid du théoèm d Gauss 1. Cas d'un fil ctilign infini unifomémnt chagé ( λ ) Soit un fil ctilign infini unifomémnt chagé ( λ ) poté pa l'ax Oz. z l E ( M) Tout plan contnant Oz st un plan d syméti, tout plan ppndiculai à Oz st aussi un plan d syméti. Ls coodonnés ls plus appopiés sont ls coodonnés cylindiqus. Il y a invaianc pa otation autou d Oz t pa tanslation l long d Oz. E M = E(). ( ) La sufac d Gauss st un cylind d ayon t d longuu l. Il n'y a qu l flux latéal qui soit non nul, l théoèm d Gauss pmt d touv E(M). λ. l λ E.2. π.. l = E() = 2. π.. E n'st pas défini losqu tnd vs zéo ( n un point du fil ). abux Michl Pag 2

L flux du vctu champ élctostatiqu sotant d'un sufac fmé S st égal au quotint pa o d la somm ds chags élctiqus situés à l'intéiu d S. φ.

3 2. Cas d'un plan infini unifomémnt chagé ( σ ) Soit un plan illimité unifomémnt chagé ( σ ) ppndiculai à l'ax Oz. E ( M) z E ( M ') M' = Sym(M/plan) Tout plan contnant Oz st un plan d syméti. L plan chagé st un plan d syméti. Ls coodonnés ls plus appopiés sont ls coodonnés catésinns. Il y a invaianc pa tanslation l long d Ox t d Oy. E M = E(z). E M ' = E M ( ) z ( ) ( ) La sufac d Gauss st un cylind d ayon t d longuu l. L flux latéal st nul, l théoèm d Gauss pmt d touv E(M). 2 2 σ. π. 2.E. π. = σ σ E ( M ) =.z pou z > t E ( M ') =.z pou z < Il y a discontinuité du champ élctostatiqu à la tavsé du plan. 2. Cas d'un condnsatu plan L condnsatu plan st modélisé pa dux plans paallèls "infinis" distants d t sépaé pa l vid. z (σ) (1) O (-σ) (2) L champ élctostatiqu st la somm ds champs céés pa ls dux plans. pou z > t pou z < E = σ pou < z < E = z L champ st unifom nt ls amatus du condnsatu. Pa ciculation du champ on put détmin la diffénc d potntil nt ls amatus. 2 E.d l = (V 2 V 1) σ. = V 1 1 V2 Si chaqu plan a un sufac S alos : Q 1 = σ.s t Q 2 = -σ.s Q 1..S V1 V2 = soit : Q1 = U avc U = V 1 - V 2 S. abux Michl Pag 3

E M ' = E M ( ) z ( ) ( ) La sufac d Gauss st un cylind d ayon t d longuu l. L flux latéal st nul, l théoèm d Gauss pmt d touv E(M). 2 2 σ. π. 2.E. π. = σ σ E ( M ) =.z pou z > t E ( M ') =.

4 Il y a popotionnalité nt la chag t la tnsion, l cofficint d popotionnalité st la capacité du condnsatu. Q = C.U avc C =.S pou un condnsatu plan Si l vid st mplacé pa un diélctiqu alos st mplacé pa =. IV. Conditions aux limits pou l champ élctostatiqu A la tavsé d un sufac chagé, il y a continuité d la composant tangntill du champ élctostatiqu ( pa la ciculation d E ) t discontinuité d la composant nomal ( pa l théoèm d Gauss ). 2 n1 2 1 E 2 E 1 σ E E = n V. Analogi élctostatiqu - gavitation champ élctostatiqu 1 q E = 3 4. π. o foc élctostatiqu F = q'. E chag q potntil élctostatiqu 1 q V = 4. π. o E = gad(v) champ à ciculation consvativ E.d l = L éngi potntill élctostatiqu Ep = q.v théoèm d Gauss qint E.dS = S o champ d gavitation m G = G 3 foc d gavitation F = m'. G mass m potntil gavitationnl m V = G G = gad(v) champ à ciculation consvativ G.d l = L éngi potntill gavitationnll Ep = m.v théoèm d Gauss G.dS = 4. π. G.mint S abux Michl Pag 4

composant nomal ( pa l théoèm d Gauss ). 2 n1 2 1 E 2 E 1 σ E E = n 2 1 1 2 V. Analogi élctostatiqu - gavitation champ élctostatiqu 1 q E = 3 4. π. o foc élctostatiqu F = q'.

5 1. Champ d gavitation cé pa un distibution sphéiqu d mass a. En un point xtéiu L champ n dépnd qu d ( syméti sphéiqu ). Ls ligns d champ sont adials. G ( P) = G ( ). G P P O G.dS. 4.π..M avc m int = M G ( ou G ) étant la constant d gavitation G().4.π. 2 = - 4.π.G.M M M G ( ) = G G ( P) = G ² ² C champ st idntiqu au champ céé pa un mass ponctull M situé n O. b. En un point intéiu O P 4.π. 2.G (P) = - 4.π.G.M int avc M int = 4. π. ' ² µ.. d' Si la distibution d mass st homogèn : M M 3 M int = G P = G. 3 3 ( ) G() abux Michl Pag 5

π.G.M M M G ( ) = G G ( P) = G ² ² C champ st idntiqu au champ céé pa un mass ponctull M situé n O. b. En un point intéiu O P 4.π. 2.

6 m 1 m 2 Lycé Vitt TSI 1 2. Foc gavitationnll s xçant nt dux distibutions sphéiqus d mass O 1 O 2 L champ céé pa la sphè 1 ( n un point xtéiu à ctt sphè ) st équivalnt au champ céé pa un mass ponctull m 1 placé n O 1. Pou la sphè 2, la sphè 1 st put êt mplacé pa un mass ponctull m 1 placé n O 1. La sphè 2 cé n O 1 un champ équivalnt au champ céé pa un mass ponctull m 2 placé n O 2. La foc xcé pa la sphè 2 su la sphè 1 st donc équivalnt à la foc qu'xcait un mass ponctull m 2 su un mass ponctull m 1. abux Michl Pag 6

équivalnt au champ céé pa un mass ponctull m 1 placé n O 1.

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