Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

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1 Exo7 Trigoométrie Exercices de Je-Louis Rouget Retrouver ussi cette fiche sur wwwmths-frcefr * très fcile ** fcile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourble T : pour trviller et mémoriser le cours Exercice 1 *IT Résoudre ds R puis ds [0,] les équtios suivtes : 1 six = 0, six = 1, six = 1, cosx = 1, 5 cosx = 1, 6 cosx = 0, 7 tx = 0, 8 tx = 1 [00506] Exercice *IT Résoudre ds R puis ds [0,] les équtios suivtes : 1 six = 1, six = 1, tx = 1, tx = 1, 5 cosx =, 6 cosx = 1 [00506] Exercice **IT Résoudre ds R puis ds I les équtios suivtes : 1 six = 1, I = [0,], si x = 1, I = [0,], t5x = 1, I = [0,], cosx = cos x, I = [0,], 5 cos x cosx + 1 = 0, I = [0,], 6 cosx = 0 N, 7 cosx = 1, 1

2 8 six = 0, 9 six = 1, 10 six = tx, I = [0,], 11 six + six = 0, I = [0,], 1 1cos x 8si x =, I = [,] [005065] Exercice **IT Résoudre ds I les iéqutios suivtes : 1 cosx 1, I = [,], six 1, I = R, cosx > cos x, I = [0,], cos x cosx, I = [,], 5 cos x 1, I = [0,], 6 cos x si x, I = [0,] [005066] Exercice 5 *I Clculer cos 8 et si 8 [005067] Exercice 6 *I Clculer cos 1 et si 1 [005068] Exercice 7 *** Motrer que cos 1 ± ± ± = cos 1 cos cos l somme comporte termes [005069] Exercice 8 ***I 1 Clculer k=1 cos k pour élémet doé de ]0,[ peser à six = sixcosx Détermier lim + k=1 l cos k [005070] Exercice 9 ** Résoudre ds R l équtio cos x si x = 0 [005071] Exercice 10 *** Soit u réel distict de 1 et 1 1 Clculer tθ e foctio de tθ Résoudre ds R l équtio : x x = 1 x 1 O trouver deux méthodes, l ue lgébrique et l utre utilist l formule de trigoométrie étblie e 1

3 [00507] Exercice 11 **** O veut clculer S = t9 t7 t6 + t81 1 Clculer t5x e foctio de tx E déduire u polyôme de degré dot les rcies sot t9, t7, t6 et t81 puis l vleur de S [00507] Exercice 1 *** Combie l équtio possède-t-elle de solutios ds [0,]? tx + tx + tx + tx = 0, [00507] Exercice 1 **I O veut clculer cos 5 et si 5 Pour cel, o pose = cos 5, b = cos 5 et z = ei/5 1 Vérifier que = z + z et b = z + z Vérifier que 1 + z + z + z + z = 0 E déduire u polyôme de degré dot les rcies sot et b puis les vleurs exctes de cos 5 et si 5 [005075] Exercice 1 **I Clculer ue primitive de chcue des foctios suivtes : 1 x cos x, x cos x, x si x, x cos xsi x, 5 x si 6 x, 6 x cosxsi 6 x, 7 x cos 5 xsi x, 8 x cos x [005076] Exercice 15 ** Clculer I = / /6 cos xsi 6 x dx et J = / /6 cos xsi 7 x dx [005077] Exercice 16 ** Démotrer les idetités suivtes, e précist à chque fois leur domie de vlidité : 1 1 cosx six = t x, si x + six + si x + = 0, t + x + t x = cosx,

4 1 tx tx = tx [005078] Exercice 17 *** Soit k u réel distict de 1 et de 1 1 Etudier les vritios de f k : x six 1 k cosx+k Clculer 0 f kx dx [005079] Exercice 18 ***I Clculer les sommes suivtes : 1 coskx et sikx, x R et N doés cos kx et si kx, x R et N doés k coskx et k sikx, x R et N doés [005080] Exercice 19 *** Résoudre le système { cos + cosb + cosc = 0 si + sib + sic = 0 où, b et c sot trois réels [005081] Exercice 0 ** Motrer que cos 8 + cos 8 + cos cos 7 8 = [00508] Exercice 1 *** 1 Résoudre ds R l équtio cosx = six E déduire les vleurs de six et cosx pour x élémet de { 10, 5, 10 } [00508] Retrouver cette fiche et d utres exercices de mths sur exo7emthfr

5 Correctio de l exercice 1 1 six = 0 x Z De plus, S [0,] = {0,,} six = 1 x + Z De plus, S [0,] = { } six = 1 x + Z De plus, S [0,] = { } cosx = 1 x Z De plus, S [0,] = {0,} 5 cosx = 1 x + Z De plus, S [0,] = {} 6 cosx = 0 x + Z De plus, S [0,] = {, } 7 tx = 0 x Z De plus, S [0,] = {0,,} 8 tx = 1 x + Z De plus, S [0,] = {, 5 } Correctio de l exercice 1 six = 1 x 6 + Z Z De plus, S [0,] = { 6, 5 } 6 six = 1 x + Z + Z De plus, S [0,] = { }, tx = 1 x + Z De plus, S [0,] = { } tx = 1 x 6 + Z De plus, S [0,] = { } 6 5 cosx = x 6 + Z 6 + Z De plus, S [0,] = { 6, 11 } 6 6 cosx = 1 x + Z + Z De plus, S [0,] = {, 5 } Correctio de l exercice 1 six = 1 x 6 + Z Z x 1 + Z Z De plus, S [0,] = { 1, 5 1, 1 1, 17 } 1 si x = 1 x 5 + Z 7 + Z x 5 + Z 7 + Z De plus, S [0,] = { 5, 7 } t5x = 1 5x + Z x Z De plus, S [0,] = { 0,, 9 0, 1 0, 17 } 0 cosx = cos x cosx = 1 1+cosx cosx = 1 x Z x Z De plus, S [0,] = {0,,} 5 cos x cosx + 1 = 0 cosx 1cosx 1 = 0 cosx = 1 ou cosx = 1 x + Z + Z Z De plus, S [0,] = { 0,, 5,} 6 cosx = 0 x + Z x + Z 7 cosx = 1 x Z x Z 8 six = 0 x Z x Z 9 six = 1 x + Z x + Z 10 six = tx six six cosx = 0 sixcosx 1 cosx = 0 six = 0 ou cosx = 1 x Z De plus, S [0,] = {0,,} 11 six + six = 0 six = six + k Z/ x = x + + k ou k Z/ x = x + k k Z/ x = + k ou k Z/ x = k De plus, S [0,] = {0,,,,} 5

6 1 1cos x 8si x = 6cos x 1 cos x = 1 cos x = 1 cosx = 1 ou cos = 1 x + Z + Z x + Z Correctio de l exercice 1 Pour x [,], cosx 1 x [, ] [,] Pour x R, six 1 x [ + k, 5 ] + k k Z Pour x [0,], cosx > cos x x cos cos x 1 > 0 cos x + 1cos x 1 > 0 cos x + 1 < 0 et cos x 1 cos x < 1 et x / Z x ] + k, [ + k et x / Z k Z x ] + k, 8 [ + k et x / Z x ],] k Z Pour x [,], cos x cosx cosx cosx cosx 1 x [,] 5 Pour x [0,], cos x 1 1 cosx 1 x [, ] [ 5, 7 ] 6 Pour x [0,], cos x si x 1 si x 1 cos x x 0 si 0 k Z/ k x + k k Z/ + 6k x + + 6k x Correctio de l exercice 5 cos 8 = cos 8 = = +, et puisque cos 8 > 0, cos 8 = 1 + De même, puisque si 8 > 0, si 8 = 1 1 cos 8 et si 8 = 1 Correctio de l exercice 6 De même, cos 1 = cos si 1 = si = cos cos + si si 6 + = = si cos si si 6 = 6

7 cos 1 = 6+ et si 1 = 6 Correctio de l exercice 7 Pour turel o ul, o pose S = e i± 1±± S 1 = e i 1 + e i 1 = cos 1 Soit 1 Supposos que S = cos 1 cos lors S +1 = e i± 1±± +1 = e i +1 e i± 1±± + e i +1 e i± 1±± = cos +1 S = +1 cos 1 cos +1 O motré pr récurrece que : 1, S = cos 1 cos Esuite, pour 1, cos± 1 ± ± = ReS = cos 1 cos et o obtiet ussi si± 1 ± ± = ImS = 0 N, cos± 1 ± ± = cos 1 cos Correctio de l exercice 8 1 Soit N Puisque est ds ]0,[ lors, pour tout etier turel o ul k, est ds ]0,[ et doc k si 0 De plus, puisque si k = si k 1 = si k cos k, o : k si cos k=1 k = k 1 k=1 si = 1 sisi si 1 si k si si = si 1 si k N, cos > 0 cr est ds ]0, k k [ Puis l cos k=1 k ]0,[, N, k=1 cos = si k = l cos si k=1 k = l si = l si Mitet, lim six + = lim x 0 x = 1 et doc, lim + k=1 l cos k = lim + l si lsi si si ]0,[, lim + k=1 l cos = l si k si l si = l Correctio de l exercice 9 Soit x R cos x si x = 0 cos x cos x = 0 cos x cos x = 0 cos x cos x = 0 cos x 10 cos x + 16 = 0 cos x = ou cos x = 8 cos x = 1 ou cos x = cosx = 1 ou cosx = 1 ou cosx = ou cosx = x 6 + Z + Z 7

8 Correctio de l exercice 10 1 Tout d bord, d près l formule de MOIVRE, cosθ + isiθ = cosθ + isiθ = cos θ cosθ si θ + icos θ siθ si θ, et pr idetifictio des prties réelles et imgiires, θ R, cosθ = cos θ cosθ si θ et siθ = cos θ siθ si θ Esuite, tθ et tθ existet θ / + Z et θ / + Z θ / + Z θ / 6 + Z Soit doc θ / 6 + Z tθ = siθ cosθ = cos θ siθ si θ cos θ cosθ si θ = tθ t θ 1 t θ, près divisio du umérteur et du déomiteur pr le réel o ul cos θ θ R \ 6 + Z, tθ = tθ t θ 1 t θ Soit ± 1 1ère méthode est bie sûr rcie de l équtio proposée, ce qui permet d écrire : x x = 1 x 1 x x 1 = 1 x cr ± 1 e sot ps solutio de l équtio x 1x + 8x + = 0 Le discrimit réduit du triôme 1x + 8x + vut : = = = + 1 > 0 L équtio proposée doc trois rcies réelles : S = {, +1, + +1 } 1 1 ème méthode Il existe u uique réel α ], [ { \ 6, } 6 tel que = tα De même, si x est u réel distict de ± 1, il existe u uique réel θ ], [ { \ 6, } 6 tel que x = tθ à svoir α = rct et θ = rctx Comme ± 1 e sot ps solutio de l équtio proposée, o : x x = 1 x 1 tθ t θ 1 t θ = tα t α 1 t α θ α + Z θ α + Z tθ = tα Ceci refourit les solutios x = tα =, puis x = t α + = tα + t 1 tα t et x = t α = +1 1 = + 1 = = , 8

9 Correctio de l exercice 11 1 Pour x / Z, t5x = Imeix 5 Ree ix 5 = 5cos xsix 10cos xsi x + si 5 x cos 5 x 10cos xsi x + 5cosxsi x = 5tx 10t x + t 5 x 1 10t x + 5t x, près divisio du umérteur et du déomiteur pr le réel o ul cos 5 x x R \ Z, t5x = 5tx 10t x+t 5 x 1 10t x+5t x 9, 7, 6 et 81 vérifiet t5 9 = t5 7 = t5 6 = t5 81 = 1 O résoud doc l équtio : t5x = 1 5x + Z x Z Les solutios, exprimées e degrés et élémets de ] 90,90 [, sot 6, 7, 9, 5 et 81 Aisi, les ciq ombres t 6, t 7, t9, t5 et t81 sot deux à deux disticts et solutios de l équtio 5X 10X +X X +5X = 1 qui s écrit ecore : X 5 5X 10X + 10X + 5X 1 = 0 Le polyôme X 5 5x 10X + 10X + 5X 1 dmet déjà t5 = 1 pour rcie et o X 5 5X 10X + 10X + 5X 1 = X 1X X 1X X + 1 Les qutre ombres t 6, t 7, t9 et t81 sot isi les rcies du polyôme X X 1X X + 1 Ce derier peut doc ecore s écrire X t9 X + t7 X + t6 X t81 L opposé du coefficiet de X à svoir vut doc églemet t9 t7 t6 + t81 et o motré que : t9 t7 t6 + t81 = Correctio de l exercice 1 Pour x [0,], posos f x = tx + tx + tx + tx f est défiie et cotiue sur f x existe tx, tx, tx et tx existet [ 0, [ ] 8 8, [ ] 6 6, [ ], 8 x / + Z, x / + Z, x / + Z et x / + Z x / + Z, x / + Z, x / 6 + Z et x / 8 + Z { x / 8, 6,, 8,, 5 8,, 5 6, 7 } 8 [ ] 8, [ ], 5 8 [ ] 5 8, [ ], 5 6 [ ] 5 6, 7 8 [ ] ] 7 8, Sur chcu des dix itervlles précédets, f est défiie, cotiue et strictemet croisste e tt que somme de foctios strictemet croisstes L restrictio de f à chcu de ces dix itervlles est doc bijective de l itervlle cosidéré sur l itervlle imge, ce qui motre déjà que l équtio proposée, que l o ote dorévt 9

10 E, u plus ue solutio pr itervlle et doc u plus dix solutios ds [0,] Sur I = [ 0, [ ] 8 ou I = 7 8,], puisque f 0 = f = 0, E exctemet ue solutio ds I Esuite, ds l expressio de somme f, ue et ue seule des qutre foctios est u ifiimet grd e chcu des ombres cosidérés ci-dessus, à l exceptio de E chcu de ces ombres, f est u ifiimet grd L imge pr f de chcu des six itervlles ouverts yt ps pour bore est doc ],+ [ et E dmet exctemet ue solutio ds chcu de ces itervlles d près le théorème des vleurs itermédiires Ceci porte le totl à 6 + = 8 solutios E, tx et tx tedet vers + tdis que tx et tx tedet vers 0 f ted doc vers + e, et de même f ted vers e + L imge pr f de chcu des deux deriers itervlles est doc ecore ue fois ],+ [ Filemet, E dmet exctemet dix solutios ds [0,] Correctio de l exercice 1 1 D près les formules d EULER, De même, z + z = e i/5 + e 8i/5 = e i/5 + e i/5 = cos 5 = Puisque z 1 et z 5 = e i = 1, z + z = e i/5 + e 6i/5 = e i/5 + e i/5 = cos 5 = b 1 + z + z + z + z = 1 z5 1 z = z = 0 +b = z+z +z +z = 1 et b = z+z z +z = z +z +z 6 +z 7 = z+z +z +z = 1 Doc, + b = 1 et b = 1 Aisi, et b sot les solutios de l équtio X + X 1 = 0 à svoir les ombres 1± 5 Puisque 5 ] 0, [ et 5 ],[, o > 0 et b > 0 Filemet, cos 5 = 1+ 5 et cos 5 = 1 5 Correctio de l exercice 1 1 cos x = cosx et ue primitive de x cos x est x 1 x + 1 six D près les formules d EULER, 1 cos x = eix + e ix = 1 16 eix + e ix e ix + e ix = 1 16 cosx + 8cosx + 6 = 1 cosx + cosx + 8 Doc, ue primitive de l foctio x cos x est x six + six + x 10

11 1 si x = i eix e ix = 1 16 eix e ix + 6 e ix + e ix = 1 16 cosx 8cosx + 6 = 1 cosx cosx + 8 Doc, ue primitive de l foctio x si x est x six six + x cos xsi x = 1 si x = cosx et ue primitive de l foctio x cos xsi x est x 1 8 x 1 six si 6 x = i eix e ix = 1 6 e6ix 6e ix + 15e ix e ix 6e ix + e 6ix = 1 6 cos6x 1cosx + 0cosx 0 = 1 cos6x + 6cosx 15cosx + 10 Doc, ue primitive de l foctio x si 6 x est x si6x + 6 cosxsi 6 x = si xsi 6 x et ue primitive de x cosxsi 6 x est x 1 7 si7 x 15 six six + 10x 7 cos 5 xsi x = cosx1 si x si x = si xsi x si xsi x + si xsi 6 x et ue primitive de x cos 5 xsi x est x 1 si x 5 si5 x si7 x 8 cos x = si x si xsi x et ue primitive de x cos x est x six 1 si x Correctio de l exercice 15 1 Pour x réel, o : cos xsi 6 x = eix + e ix i eix e ix = 1 10 eix + e ix e ix + e ix e 6ix 6e ix + 15e ix e ix 6e ix + e 6ix = 1 10 e10ix e 8ix e 6ix + 8e ix + e ix 1 + e ix + 8e ix e 6ix e 8ix + e 10ix = 1 cos10x cos8x cos6x + 8cosx + cosx 6 9 = 1 cos10x cos8x cos6x + 8cosx + cosx 6 51 Remrque L foctio proposée étit pire et l bsece de sius étit doc prévisible Cette remrque guidit ussi les clculs itermédiires : les coefficiets de e ix, e ix, étiet les mêmes que ceux de e ix, e ix, Pr suite, [si10x I = 1 si8x si6x = = 1 51 Pour x réel, o + ] / + six + six = /

12 cos xsi 7 x = cos xsi 6 xsix = cos x1 cos x six = cos xsix cos 6 xsix + cos 8 xsix cos 10 xsix Pr suite, [ ] / J = cos5 x + cos7 x cos9 x + cos11 x /6 = = = Correctio de l exercice 16 1 t x existe si et seulemet si x / + Z et 1 cosx six 1 ère solutio Pour tout réel x, 1 cosx six = si x si x cos x existe si et seulemet si x / Z Pour x / Z, = t x six + six + six + = 1 six cosx + six 1 six + cosx = 0, ème solutio si x + six + six + = Imeix + e ix + e ix+ = Ime ix j j = 0 t x, t + x et cosx existet si et seulemet si x, + x et x e sot ps ds + Z, ce qui équivut à x / + Z Doc, pour x / + Z, t x + t + x = 1 tx 1 + tx tx 1 tx pour x vérifit de plus x / + Z Pour x / Z, cosx six cosx + six = + cosx + six cosx six = cosx six + cosx + six cos x si = cos x + si x x cosx = cosx ce qui reste vri pour x + Z 1 cosx tx = tx six six cosx = cos x si x = cosx sixcosx six = tx Correctio de l exercice 17 1

13 1 Pour tout réel x, 1 k cosx + k = k cosx + si x 0 De plus, 1 k cosx + k = 0 k cosx = six = 0 x Z et k = cosx k { 1,1}, ce qui est exclu Doc, k R \ { 1,1}, x R, 1 k cosx + k > 0 f k est doc défiie sur R, dérivble sur R e vertu de théorèmes géérux, impire et -périodique O l étudie dorévt sur [0,] Pour x [0,], o : f k x = cosx1 k cosx + k 1/ 1 sixk six1 k cosx + k / = 1 k cosx + k / cosx1 k cosx + k k si x = 1 k cosx + k / k cos x k cosx k = 1 k cosx + k / k cosx 1k cosx x R, f k k cosx 1k cosx x = 1 k cosx+k / 1er cs : k < 1 et k 0 si k = 0, f k x = six Pour tout réel x, 1 k cosx+k / k cosx 1 < 0 et f k x est du sige de cosx k cr f k rccosk = 1 k 1 k +k = 1 x 0 Arccos k f x f 0 0 ème cs : k > 1 Pour tout réel x, 1 k cosx+k / k cosx > 0 et f k x est du sige de k cosx 1 cr f k rccos 1 k = 1 1 k 1 +k = 1 k x 0 Arccos 1 k f x k f 0 0 ème cs : k < 1 Pour tout réel x, 1 k cosx + k / k cosx < 0 et f k x est du sige de 1 k cosx cr f k rccos 1 k = 1 1 k x 0 Arccos 1 k f x k f k = 1 k 1

14 Pour k R \ { 1,1}, posos I k = 0 f kx dx Si k = 0, I k = 0 six dx = Sio, I k = 1 k 0 k six 1 k cosx + k dx = 1 k = 1 k 1 + k + k [ 1 k cosx + k ] 0 1 k + k = 1 k + 1 k 1 k Plus précisémet, si k ] 1,1[\{0}, I k = 1 k 1+k 1 k =, ce qui reste vri pour k = 0 Si k > 1, I k = 1 k 1 + k k 1 = k, et efi, si k < 1, I k = k E résumé, Si k ] 1,1[, I k = et si k ], 1[]1,+ [, I k = k Correctio de l exercice 18 1 Soiet N et x R Posos S = coskx et S = sikx 1ère solutio S + is = coskx + isikx = Mitet, e ix = 1 x Z Doc, 1er cs Si x Z, o imméditemet S = + 1 et S = 0 ème cs Si x/ Z, e ikx = e ix k S + is = 1 ei+1x 1 e ix = ei+1x/ e i+1x/ e i+1x/ +1x isi e ix/ e i+1x/ = eix/ + ei+1x/ isi x +1x ix/ si = e si x Pr idetifictio des prties réelles et imgiires, o obtiet ème solutio si x coskx = { cos x si +1x si x + 1 si x Z si x / Z et sikx = { si x coskx = si x coskx = sik + 1 x sik 1 x = si x x si + si x si x + 1x 1x + si si + 1x = si + si x + 1x = si cos x et doc, si x / Z, si +1x si x 0 si x Z 1x + + si si Soiet N et x R Posos S = cos kx et S = si kx O : si x / Z x et S + S = cos kx + si kx = 1 = + 1, 1

15 S S = D près 1, si x Z, o trouve imméditemet, cos kx si kx = coskx et si x / Z, cos kx = + 1 et si kx = 0, de sorte que S = 1 Soiet N et x R C k coskx i S + S = + 1 et S S = cosxsi + 1x, six cosxsi + 1x et S = six C k sikx = C k e ikx = C k e ix k 1 k cosxsi + 1x six = 1 + e ix = e ix/ + e ix/ e ix/ = cos x Pr idetifictio des prties réelles et imgiires, o obtiet lors Ck coskx = cos x cos x et C k sikx = cos x si x cos x x + isi Correctio de l exercice 19 { cos + cosb + cosc = 0 si + sib + sic = 0 cos + cosb + cosc + isi + sib + sic = 0 e i + e ib + e ic = 0 e i + e ib = e ic = 1 e i/ e ib/ e i b/ + e i b/ = 1 cos b = 1 b + Z + Z b + Z + Z k Z, ε { 1,1}/ b = + ε + k Pr suite, écessiremet, e ib = je i ou e ib = j e i Réciproquemet, si e ib = je i ou ecore b = + + k, e i + e ib + e ic = 0 e ic = e i + e ib = 1 + je i = j e i k Z/ c = + k, et si e ib = j e i ou ecore b = + k, e i + e ib + e ic = 0 e ic = e i + e ib = 1 + j e i = je i k Z/ c = + + k S = {, + ε + k, ε + k, R, ε { 1,1}, k,k Z } 15

16 Correctio de l exercice 0 cos 8 + cos cos cos 8 = cos 8 + cos 8 = cos 8 + si 8 = cos 8 + si 8 cos 8 si = si = 1 1 = Correctio de l exercice 1 1 cosx = six cosx = cos x k Z/ x = x + k ou k Z/ x = + x + k k Z/ x = 10 + k 5 ou k Z/ x = + k S [0,] = { 10,, 9 10, 1 10,, 17 } 10 cosx = Ree ix = Recosx+isix = cos x cosxsi x = cos x cosx1 cos x = cos x cosx x R, cosx = cos x cosx Pr suite, cosx = six cos x cosx = sixcosx cosxcos x six = 0 cosx si x six + 1 = 0 cosx = 0 ou si x + six 1 = 0 D près 1, l équtio si x + six 1 = 0 dmet etre utre pour solutios cr, ds chcu des deux cs, cosx 0, ou ecore, l équtio X + X 1 = 0 dmet pour solutios les deux ombres disticts X 1 = si 10 et X = si 1 10, qui sot doc les deux solutios de cette équtio Puisque X 1 > 0 et que X < 0, o obtiet et 1 Doc, puisque si 1 10 = si 10, X 1 = et X = 1 5 Esuite, si 10 = cos 10 = cos 5, et doc si 10 = 1+ 5 et si 10 = 1+ 5 cos 5 = 1+ 5 Puis cos 10 = 1 si 10 =

17 et de même si 5 = = cos 10 17