Gilles Desvilles, Cereg Paris Dauphine.

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1 UN CADRE UNIFIE POUR LE CONRA A ERME Glles Desvlles, Cereg Pars Dauphne [email protected] Il est courant e lre que les contrats à terme fnancers, future ou forwar, se valorsent e manères en stnctes selon qu ls portent sur es actfs négocales ou sur es taux, qu ls soent ntérêt court-terme ou e change. L nnovaton e ce paper est unfer ans un même care ces eux types e contrats. Pour cela, nous employons un moèle mathématque foné sur le prncpe e coût e portage, qu appartent à la famlle es Cost-of-Carry Moels ont l aéquaton avec les contrats sur actf fnancer est unversellement amse. Nous conférons la plus grane smplcté à ce moèle afn qu l offre la melleure lslté car l nexaton es varales pour tenr compte es fourchettes, es ates, ou encore e certans partcularsmes, alourt très vte les écrtures. Nous nttulons care général l ensemle consttué par ce moèle et l hypothèse un règlement par lvrason e l actf sous-jacent. Dans ce care sont aor écrts les eux artrages comptant-terme purs, c est-à-re sans rsque (parte I). L unté s otent ensute en mettant en évence les sous-jacents mplctes es futures e type euroollar (parte IV), es FRAs (parte V) et es contrats e evse (parte VI), fférents e ceux présentés offcellement, et au cas par cas, en mofant les soles artrage avec es termes atfs reflétant l mperfecton lée au règlement cash, présentée en parte II, et celle lée à la forme lnéare es cotatons un contrat, présentée aux partes IV et V. La parte III, consacrée au future sur on u résor, est une étape ans l analyse es futures euroollar et es FRAs ans le sens où elle pose es artrages parfatement purs. Enfn, la parte VII est conclusve. I UN CADRE GENERAL REALIE Le care exposé c-essous est générque car l concerne un contrat à terme portant sur un actf fnancer néfn. Il est réalste parce qu l ncorpore les fourchettes e cotaton es nstruments fnancers et es taux ntérêt.

2 2 I. Care général I.. Prêts-emprunts Les taux ntérêt au comptant ou cash, c est à re portant sur une péroe éutant à la ate contemporane, sont notés. Les taux à terme ou forwar, c est à re portant sur une péroe éutant à une ate future, sont notés f. Les taux e placement ou prêt sont ncés, comme, et ceux emprunt sont ncés a, a comme ask. Ben entenu < a et f < fa sous pene offrr une opportunté artrage par prêt et emprunt smultanés. Les taux sont lnéares ou smples et en ase annuelle. [ : a], 3 aujour hu t t2 t3 > temps [f : fa], 23 En l asence amguïté et par souc e smplcté, les taux ne sont pas ncés par les péroes sur lesquelles ls portent. I..2 ous-jacent L actf fnancer sous-jacent est noté U. Les marchés le nomment comptant ou spot ou encore cash. U est négocale sur un marché, à la vente au cours U et à l achat au cours Ua ask. Ben entenu U < Ua sous pene offrr une opportunté artrage par achat et vente nstantanés. Nous ésgnons par [U : Ua] la fourchette e cotaton. L actf fnancer étache un revenu R un vene certan pour une acton, un coupon pour une olgaton à la ate τ.

3 3 I..3 Contrat générque Il exste un contrat forwar ou future sur U, noté F. Ce contrat se négoce à l achat à Fa et à la vente à F. La ate échéance e F est notée. F est supposé à règlement par lvrason. Les amenements lés à un règlement en espèces ne mofent pas les résultats qu vont suvre et seront exposés ans la secone parte. I..4 Hypothèse e geston es appels e marge F est un future, l est supposé sans appel e marge, à l nstar un forwar. Il est assort un appel e marge unque à l échéance. L asence e la premère fférence e forme va permettre la mse en place artrages parfatement sans rsque sur les futures. Une autre formulaton e l hypothèse consste à re que les appels e marge sont cumulés sur un compte attente jusqu au jour e l échéance, et réglés unquement à cette ate. Le compte est non rémunéré mas ne supporte aucun ago en cas e écouvert. Il est onc fat astracton es ntérêts sur les appels e marge. ce tratement ne reflète pas strctement la pratque es marchés, elle en est cepenant une représentaton suffsamment proche et pratque pour que chercheurs et Echanges l aent empruntée ans leurs travaux 2 et présentatons 3. Le prx un future avec appel e marge unque à l échéance n est cepenant pas celu un forwar. La stncton tent à la secone fférence e forme, le règlement avant terme, et à la fférence organsaton e leurs marchés. C est cette ernère qu est au centre e cet artcle 4. Pour évaluer l mportance es ntérêts sur les appels e marge, se reporter au chaptre 5, Artrage sur les marchés à terme, Glles Desvlles, hèse e octorat, Mars Ctons par exemple he qualty opton mplct n futures contracts, Geral D. Gay et teven Manaster, Journal of Fnancal Economcs, Ctons par exemple Le contrat à terme sur l nce CAC 40, Matf, 989, et reasury Futures for Insttutonal Investors, Cot, L ncence u règlement avant-terme est formalsée notamment ans Artrage n stock nex futures, Journal of Busness, 990, e Mchael J. Brennan et Euaro. chwartz, et ans la thèse e octorat e Glles Desvlles.

4 4 I.2 Artrage pur I.2. Cash an carry (C&C) Le cash an carry est l un es eux artrages purs qu s effectuent sur les contrats. Comme son nom l nque, l consste à acheter avec es espèces et porter un actf, en l occurrence c l actf U. l artragste ven en même temps le contrat au cours F, l s engage contractuellement à échanger cet actf U contre le montant F, à l échéance. D après notre éfnton générale e l artrage, le sole e l opératon est nul à l orgne. Or s U est acheté comptant, ce sole vaut -Ua. Il convent onc emprunter pour fnancer cet achat, et ramener le sole ntal à 0. Le taux emprunt prévalant est t, t,ask, terme ésgnant un taux emprunt, connu à la ate t, couvrant la péroe t à. Il s agt un taux comptant lnéare t encore taux smple annuel, que nous noterons plus smplement amguïté. t, ask, ou encore a en l asence Le chox une mesure lnéare annuelle répon à un souc e smplcté (nous aurons pu opter pour une mesure actuarelle) et aéquaton avec les marchés fnancers (nous aurons pu opter pour es taux contnus). Le contrat se négoce à une fourchette [ F t, = F : on cours e compensaton est t, ask F = Fa] t F comp et son cours e lquaton Flq. a, t τ > Ua Rh Flq F f, τ Le taux forwar e prêt, connu à la ate t, couvrant la péroe τ à, est f =, τ t,. Nous notons la urée e ve u contrat tme to maturty en ase annuelle: t = = (jours) t(jours) 365 = (an) t(an) = t, et τ = τ la urée e replacement en comptant les ates en ase annuelle.

5 5 Mse à plat es cash flows Le éroulement u cash an carry est le suvant: actons flux en t achète cash actf U -Ua ven un contrat échéance à F 0 emprunte Ua à a Ua place forwar le montant es revenus 0 sole en t t = 0 en τ encassement es revenus rh Ua replacement es revenus au taux forwar f -rh Ua sole en τ τ = 0 en lvre l actf U porté jusque là carry 0 F est un forwar: lasse exprer le contrat, reçot F F est un future: lasse exprer le contrat, reçot Flq honore l appel e marge unque 5 F Flq = F remourse l'emprunt -Ua (+ a ) récupère le placement es revenus rh Ua (+ f τ ) sole e C&C en C&C = = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) = t 2 5 Appel e marge unque = (F F comp t t+ t + )+ (F comp Fcomp + ) +( = 0 Fcomp Flq) = F Flq

6 6 A la ate t, est un résultat éjà étermné, le sole e l artrage est une varale étermnste parce que rh, τ et f sont connus. C est pourquo est également noté C&C, où sparaît l nce temporel témognant la ate. Cette remarque event une hypothèse ans les cas nomreux où le montant et la ate e versement es revenus ne sont que es estmatons comme avec les venes actons. Nous présentons c l artrage ans un care étermnste, qu pourrat être par exemple celu un contrat sur olgaton à taux fxe et sans rsque e éfaut. Lorsqu en t les calculs font ressortr un sole postf, l artrage C&C est nté. La écson entreprenre l artrage repose exclusvement sur le résultat à l échéance, pusque les soles nterméares sont par constructon nuls. En outre, ce résultat ne épen pas u cours e U à l échéance. Le épôt e garante Les Echanges mposent que chaque achat ou vente e l un es ses quatre futures sot accompagné un épôt e garante, foncton u nomnal u contrat. Par exemple sur le Matf: nom u contrat Euro Notonal Euro All overegn Euror Cac 40 nomnal EUR EUR EUR 0 x nce CAC40 épôt e garante 750 EUR 500 EUR 500 EUR EUR Des épôts e garante en ons u résor sont acceptés par les Echanges. Les épôts e garante représentent e 0.2 à envron 5% u nomnal es contrats (le nomnal effectf e l Euror étant le ¼ e M EUR). Leur étenton est onc eaucoup plus à la portée es artragstes que celle es mportants montants e cash ou e ttres, qu ls sont généralement olgés emprunter pour otenr es gans tangles. Nous supposerons ans tout ce qu sut que l artragste étent les ons acceptés par l Echange en qualté e épôt e garante, les épose en tant que tel, et jout plenement e leurs ntérêts. Dans notre care général, le épôt e garante ne génère aucun coût, et sa présence est omse. I.2.2 Reverse cash an carry (RCC) les calculs font ressortr un sole négatf, l artrage n est pas nté. Mas l event tentant e calculer le résultat e l nverson es opératons écrtes plus haut, e manère à otenr l opposé e négatf, sot un sole créteur. L opératon est appelée reverse cash an carry, et consttue le secon artrage pur sur les contrats.

7 7 Le éroulement u reverse cash an carry est le suvant: actons flux en t se fat prêter l actf U 0 ven l actf U U achète un contrat échéance à Fa 0 place U à -U emprunte forwar le montant es revenus à resttuer au prêteur 0 sole en t t = 0 en τ percepton e l emprunt au taux forwar fa rs U resttuton es revenus -rs U sole en τ τ = 0 en se fat lvrer l actf U 0 resttue l actf U au prêteur 0 F est un forwar: lasse exprer le contrat, paye -Fa F est un future: lasse exprer le contrat, paye -Flq honore l appel e marge unque Flq Fa = -Fa récupère le placement U (+ ) remourse l'emprunt forwar -rs U (+ fa τ) sole e RCC en RCC = = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ) Lorsqu en t les calculs font ressortr un sole postf, l artrage RCC est nté.

8 I.3 Appartenance au care général 8 I.3. Moèle e coût e portage nous fasons une premère hypothèse e marchés sans coûts e transacton, les cotatons et ask se confonent, et les soles artrage evennent: C&C = RCC = F U (+ ) + r U (+ f τ ) = F U [+ r (+ f τ )] Une secone hypothèse effcence es marchés à terme conut à l asence opportunté artrage sans rsque et par conséquence au prx u contrat: F = U [+ r (+ f τ )] La quantté [ r (+ f τ )] est couramment appelée cost of carry en s nsprant e l artrage qu procure son expresson. Elle est souvent traute en Franças par coût e portage net. Lorsque les cotatons et ask ffèrent, l hypothèse effcence conut à l encarement suvant, où emeure le concept e coût e portage 6 : U (+ ) rs U (+ fa τ ) < F < Fa < Ua (+ a ) rh Ua (+ f τ ) Les expressons otenues relèvent e la famlle es classques Cost of Carry Moels 7. La prse en compte es fourchettes e marché ren ce type e moèle plus réalste. I.3.2 Crtère appartenance Notre moèle s applque à un contrat forwar ou future F lorsque les eux artrages purs peuvent être élaorés strctement, c est-à-re lorsqu exste un sous-jacent U tel que les soles e cash an carry et e reverse s écrvent comme: C&C = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) RCC = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ) Remarquons que ces soles sont lnéares en F et U et qu ls sont étermnstes. Le moèle s applque partculèrement en aux forwars sur acton et sur olgaton. Il est a pror mons propce aux futures sur nce acton car ces erners véhculent un rsque 6 Glles Desvlles, cf. nfra note. L étalssement e l négalté proposée y est éveloppé au chaptre 3.

9 9 exécuton lé au éla e consttuton es paners ncels; ans les fats, cette mperfecton a presque sparu grâce à l automatsaton es orres e paners. Le moèle semle en revanche mal aapté à es contrats tratonnellement artrés par es prêts-emprunts réels ou synthétques, tels que les futures euroollar ou les FRAs. L ojet prncpal e ce paper est e montrer que malgré les apparences ces contrats majeurs entrent ans notre care général moyennant es amenements en entfés. II REGLEMEN CAH Le règlement cash, t encore en espèces, est une caractérstque es contrats forwar e taux (FRAs) et es contrats future sur taux court nterancare, alors que notre care général s appue sur un règlement par lvrason e ttres. Nous étuons ans cette parte l mpact e cette fférence e fonctonnement. L attenton est c portée sur l étalssement u cours e lquaton. II. Imperfecton e règlement cash II.. Cash-an-carry (C&C) Le règlement en espèces affecte les soles e C&C et RCC au travers es actons et flux en. En revanche les actons et flux sont nchangés en t et τ, auss ne présentons-nous c que le éroulement es artrages purs en. Il n exste typquement qu un cours e lquaton commun aux eux types artrage, noté Flq. actons flux en ven l actf U porté jusque là U lasse exprer le contrat, règle l appel e marge unque F Flq remourse l'emprunt -Ua (+ a ) récupère le placement es revenus rh Ua (+ f τ ) sole e C&C en = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ )+ ( U Flq) 7 Unerstanng futures markets, pages 89 à 5, Roert W. Kol, New York Insttute of Fnance, 3 r Eton.

10 0 Le sole e C&C ne ffère e son homologue u règlement par lvrason que par le terme ( U Flq), qu est l écart entre le u sous-jacent à l échéance et le cours e lquaton, et que nous nttulons mperfecton e règlement cash. II..2 Reverse (RCC) actons flux en achète l actf U venu jusque là à écouvert - resttue l actf U au prêteur 0 Ua lasse exprer le contrat, règle ou perçot cash Flq Fa récupère le placement U (+ ) remourse l'emprunt forwar -rs U (+ fa τ ) sole e RCC en = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ ) + (Flq U a ) Le sole e RCC ne ffère e son homologue u règlement par lvrason que par le terme (Flq U a ), qu est l écart entre le cours e lquaton et le ask u sous-jacent à l échéance, et qu est auss l mperfecton e règlement cash, mas côté reverse. Pour que les soles e C&C et e RCC soent étermnstes, l faurat que les caractérstques u contrat, fxées par les ntervenants e gré-à-gré ou l Echange, fxent un cours e lquaton es veneurs égal à U, et un cours e lquaton es acheteurs égal à U a. Cette règle suscterat vrasemlalement e nomreuses manpulatons nous allons explquer cette noton ans le éveloppé suvant e la fourchette u sous-jacent par les artragstes, et aoutrat à une stuaton nésrale. A éfaut, les opérateurs pourraent-ls taler sur un fxng Flq comprs au sens large entre U et U a, qu leur permettrat encarer les valeurs possles e leurs soles artrage ésormas aléatores? Deux cas concrets montrent que la réponse est varale. Les Cost of Carry Moels sont amplement présentés.

11 II.2 Deux exemples II.2. FRA Nous accepterons c l ée que le sous-jacent u FRA est un taux. Nous verrons que le sous-jacent est en réalté un on, et que les calculs sont plus complexes que ceux présentés c-essous (cf. V.2. Artrage classque u FRA et artrage équvalent en page 3). Cepenant l approxmaton par le taux n altère pas le caractère llustratf u FRA. L exemple c-essous fat ntervenr le taux nterancare por qu a été totalement remplacé à partr u 4 janver 999 par l euror. Néanmons les mécansmes écrts ont été conservés et l sufft e susttuer euror à por pour renre actuel l exemple. Le taux e lquaton un FRA tratonnel est éfn contractuellement comme le taux ask u sous-jacent à l échéance. Rapporté à notre care général, l nstrument se caractérse onc par Flq = U a. L exemple 8 suvant atteste u chox u ask à la lquaton, que le FRA sot acheté ou venu, pusque le por est un taux offert: Encart extrat e FRA, océté Générale Les caractérstques une opératon e FRA sont les suvantes: le montant e référence MR (soulgnons qu l s agt un montant notonnel qu sert au calcul es flux ntérêts, mas qu ne onne pas leu à versement; ans le cas une opératon e couverture, ce montant corresponra au volume à emprunter, ou prêter, à une ate future); le taux contractuel C (taux garant); le taux u marché M qu est l nex e référence chos (par exemple, le por); la péroe e référence (ou péroe e garante, sur laquelle sont calculés les ntérêts); la ate e règlement coïnce avec le jour ouvré où commence la péroe e référence; c est le jour où est effectué le versement; la ate e lquaton se stue généralement eux jours ouvrés avant la ate e règlement: c est à cette ate qu on compare le taux u marché avec le taux contractuel; le nomre e jours nj e la péroe e référence; le nomre e jours e la ase annuelle B (360 pour es opératons en francs franças) 8 FRA, Les cahers es marchés olgatares, océté Générale, 990.

12 2 le versement effectué à la ate e règlement est e: MRx(C M)xnj (00xB) + (Mxnj) MRx(M C)xnj (00xB) + (Mxnj) s M < C (payé par l acheteur e FRA au veneur e FRA) s M > C (payé par le veneur e FRA à l acheteur e FRA) Notre care assmle ate e règlement et ate e lquaton; le écalage t J+2 oservé ans la réalté ne présenta pas ntérêt théorque ans la mesure où toutes les opératons fnancères sont assortes e tels écalages, au paement comme à récepton es flux. En autres termes, les eux jours e écalage ne pénalsant n n avantageant le FRA et autres contrats, nous aoptons un écalage nul J+0 pour notre contrat générque F. L acheteur et le veneur e FRA e l encart sont respectvement les artragstes en RCC et C&C e nos propos. Pour une melleure compréhenson u rapprochement avec notre care ncorporant es fourchettes e marché, ctons un exemple chffré: Encart extrat e FRA, océté Générale upposons que le 9 avrl 990, le FRA 3/9 (sx mos ans tros mos) est coté: (l entreprse) achète le taux garant (9.70%), elle recevra (ou versera) à l échéance la fférence entre le por et 9.70%. En venant un FRA au taux garant e 9.60%, elle paera (ou recevra) à l échéance la fférence entre le por et 9.60%. Le chffrage se répercute comme sut sur les artrages purs sur FRA: RCC Acton sélectonnée Flux t: Achat e FRA en à 9.70% 0 t + 3mos: Règlement cash Flq Fa = por 6 mos 9.70% = U a 9.70% C&C Acton sélectonnée Flux t: Vente e FRA en à 9.60% 0 t + 3mos: Règlement cash F Flq = 9.60% por 6 mos = 9.60% Ua

13 3 L artragste en RCC se retrouvant emprunteur à la ate e règlement énéfce une mperfecton e règlement cash nulle Flq U a = 0. En revanche, en C&C, l mperfecton est égale à la largeur u -ask u comptant et vent en réucton u résultat artrage U U < 0. a Le por 6 mos est le cours e lquaton. Il est unque et relevé à h e chaque journée par l AFB. Il est ans les fats utlsé en tant que pvot ans les négocatons e tous les nstants u marché monétare, ce qu le ren complètement opératonnel et sufft à le qualfer e sous-jacent. Que Flq sot une moyenne es taux nterancares cotés par 6 étalssements e crét e référence l amène en théore à pouvor fférer un taux U a négocé par un artragste auprès e l un e ces étalssements. Mas ans la pratque, cet écart est nul car les étalssements s algnent sur un même nveau. II.2.2 L ex-future Por 3 mos Des remarques smlares à celles émses au éut u éveloppé sur le FRA s applquent à cet nstrument (cf. page ). Le contrat por lancé au prntemps 987 les taux por au comptant e à 2 mos ayant vu le jour en octore 986 clôturat sur une valeur unque, à l nstar u contrat Cac 40, à h u jour e l échéance. Encart extrat e contrat à terme Por 3 mos, Matf, Avrl 89 La lquaton Il n y a pas e lvrason à l échéance. oute poston non énouée avant l échéance onne leu à une lquaton automatque entraînant le règlement e l ultme appel e marge fférence entre le cours e négocaton u jour ou, à éfaut, le cours e compensaton e la velle et le cours e lquaton. Ce cours correspon à 00 mons le por 3 mos pulé par l AFB le jour e la lquaton à h, arron à eux écmales. Le cours e lquaton pouvant être connu à partr e h5,les négocatons sur l échéance concernée cessent à h le jour e la clôture. Ce taux e lquaton étant également sujet à manpulaton, Matf A a aopté une logque e moyenne au vosnage e l échéance:

14 4 Encart extrat e contrat Por 3 mos, Matf, Avrl 95 Lquaton Le cours e lquaton u contrat à terme por 3 mos correspon à 00 mons la moyenne arrone à eux écmales es taux por 3 mos comptants constatés le jour e la lquaton à 9h30, h00 et 2h30, cette ernère étant calculée par l AFB. La même remarque, au sujet e l mperfecton u règlement cash, que celle émse ans l exemple u Cac 40 s applque c. II.3 Concluson ur le plan u formalsme, le règlement cash mofe peu les soles artrage, pusqu l sufft e leur ajonre un terme atf mperfecton partculèrement smple. Les résultats proposés en premère parte sont vales pour les nstruments mplquant un règlement cash à conton e garer à l esprt que les opératons encourent un coût ou un rsque supplémentare. Ce que nous pouvons écrre e la manère suvante: CAH C&C = CAH RCC = LIVR C&C coût ou rsque e règlement cash en C&C LIVR RCC coût ou rsque e règlement cash en RCC Dans la pratque, ce coût ou rsque peut revêtr eaucoup mportance e par sa possle ampltue au regar es soles artrage pur, généralement fales sur es marchés mûrs lorsque rapportés aux prx es actfs sous-jacents. Ben qu estmer numérquement ce rsque sot un ojectf ntéressant, l ne fgure pas parm ceux que nous nous sommes assgnés ans ce paper.

15 5 III FUURE UR BON DU REOR Les contrats majeurs sur taux court sont les FRAs, et les futures u type euroollar 3 ou mos ont le contrat Matf por 3 mos fat parte. Comme annoncé en préamule u FRA et u future por 3 mos fgurant ans la parte précéente consacrée au règlement cash, le sous-jacent e ces contrats n est pas le taux court lu-même. Plus précsément, un taux court ne peut être le sous-jacent es eux opératons écrtes en I.2 Artrage pur pour la smple rason que sur les marchés fnancers, acheter et venre un taux ntérêt ne se pratque pas, en que ce sot le taux et non le prx qu sot négocé ans toutes les transactons monétares et olgatares. A éfaut, l artragste peut acheter ou venre un on portant sur le taux propre au contrat, ou prêter et emprunter à ce taux, ou encore contracter un swap taux fxe contre taux varale. C est avec ces nstruments qu l réalsera ses cash an carry et reverse. Le sous-jacent U n est pas, mas un nstrument e taux. Au mons tros sont élgles ons, prêts-emprunts, swaps mas quel qu l sot, la présentaton qu va suvre leur est commune. III. Bon générque Un on est classquement l nstrument rapportant es ntérêts calculés sur un taux fxe et une urée étermnée qu est auss sa urée e ve. Il est aor éms par un gouvernement, une anque, une entreprse ou autre organsme, et la péroe e souscrpton consttue son marché prmare. Pus l se négoce sur le marché monétare ou olgatare nttulé pour l occason seconare par opposton au marché prmare. Le prx u on générque à une ate quelconque t est noté Bt,( t ), avec ate e maturté et t taux pertnent u marché. Un taux t onne un prx achat B( t ), un taux ask t a un prx e vente B( t a ). Cette relaton classque suffra et éfnr une fourchette [B : Ba] ne sera pas nécessare. Le on générque est u type zéro-coupon, à savor que les ntérêts portés sont versés en une seule fos, à la maturté et avec le remoursement u captal souscrt. La somme u captal et es ntérêts est onc la valeur fnale u on, sot B,( ), népenante e et notée rèvement B. Il n est pas queston mposer une ou pluseurs formes strctes à ce on, comme le font les marchés e taux. Peu mporte à la théore e la fnance moerne comment le captal et les ntérêts sont présentés. eule lu sufft l actualsaton es flux futurs.

16 6 B Θ t ate émsson [ t = : t a = a] En t, le on se règle onc aux prx: [B(a) = B + pertnents, c est-à-re négocés pour le on en queston. a : B() = B + ], étals avec es taux III.2 Future sur on u résor Le 3-months -Bll future est florssant aux UA epus son lancement en janver 976 par le CME, alors que l équvalent franças, lancé par Matf A en jun 986, s est étent au out e eux ans. La rason premère e cet échec fut certanement l asence e marché seconare u sous-jacent, le on u résor franças 9. Le future F porte sur un reasury ll B ont la ate e maturté excèe e tros mos ateà-ate sa propre échéance. Le règlement s effectue par lvrason es ttres. Un on étache en un revenu R sous forme ntérêts, mas ce revenu étant versé en postéreur à, Rs et Rh sont nuls ans les soles artrage. Enfn, les -Blls étant éms par le gouvernement amércan et les artragstes travallant typquement pour es anques prvées ou assmlées, leurs taux sont stncts. Ils respectent une hérarche lée au rsque e l un et l autre. Le gouvernement étant plus sûr que les tales artrage et leurs masons mères, à maturté égale le taux un -Bll est nféreur au taux e prêt e l artragste, le taux ask nféreur au taux emprunt. Notant µ et µa les marges les séparant, et et a les taux e prêt-emprunt e l artragste, eux -Blls sont écrts par le schéma suvant: 9 Lre à ce sujet Contrat on u résor ou contrat por?, Eouar Macko et Phlppe Cahen, p , La Revue Banque, Avrl 988.

17 7 -Bll long B() : [U : Ua] Future : [F : Fa] a µ [ - µ : - a] B = 00 Θ ate émsson t [ µ : a µa] [ ϕ : ϕ ] -Bll court B () a Pour un U -Bll, = 3 mos R est entque pour le étenteur et le veneur à écouvert u on. Ben que cela n at aucune mportance e fon, nous posons B = P Θ + R = 00 avec P Θ prx à l émsson, par smplcté e forme qu s avère auss conforme à la réalté es -Blls. A la ate t, le prx [U : Ua] un -Bll payant 00 en est [ 00 + ( -µ ) a a : 00 + ( -µ ) ]. Les marchés négocent les -Blls à l ae e taux escompte 0 scount yels, mas parce qu l exste une relaton unvoque entre les taux escompte et ( µ, a - µ a ), ces erners sont pertnents ès lors que la relaton est actualsée. - D autre part, les taux forwar e la coure es ons u résor, ( ϕ, ϕ classquement es taux spot : a ), se éusent + ϕ = + ( -µ ) a a + ( -µ ) et + ϕ a = + ( a-µ + ( -µ a ) ) a ( ϕ, ϕ ) sont entèrement étermnés à la ate t, et nullement aléatores en. En posant U = 00 + ( -µ ) a a et Ua = 00, et rs = rh = 0, les soles artrage pur en, + ( -µ ) C&C = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) et RCC = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ ), evennent: C&C = F RCC = -Fa ( -µ ) a a 00 + ( -µ ) (+a) = F (+) = ( Fa 00 + a + ϕ + (a -µ a) ϕ a + ( -µ ) ) 0 Prx = 00 ( taux escompte x urée) Pour étalr le, consérer un nvestsseur voulant placer un flux en, qu emprunte court et reprête long. Consérer l nverse pour étalr le ask.

18 8 Ces soles sont étermnstes à la ate t. Nous savons par avance que le -Bll future s nscrt parfatement ans notre care général, mas cette analyse prépare l ntégraton ans ce même care u contrat euroollar n-mos, sensé a pror ne pas porter sur un actf mas sur un taux. III.3 aux mplcte u future contre taux forwar u comptant Le CME a écé e coter le -Bll future selon une cotaton smlare à celle es -Blls, à savor: IMM Inex = 00 ( scount yel ). Notons le pseuo-scount yel (ou taux escompte) mplcte à l nce IMM. Ans IMM = 00( a) et IMM = 00( ). Le CME a également étal la règle e lvrason suvante 2 : Prx u -Bll lvré après vente un future = 00 ( a ) Prx u -Bll reçu après achat un future = 00 ( ) Ans le future effectf F n est pas exactement l nce IMM coté et négocé, mas 00 ( scount yel x ). D où: F = 00 ( a ) Fa = 00 ( ) Ce qu onne es valeurs approxmatves en éveloppant en séres e aylor les fractons et néglgeant les termes u secon egré et la marge µ pour les soles artrage: C&C = 00 ( a ) RCC = ( 00 ( ) 00 + a + ϕ + (a -µ a) ϕ a + ( -µ ) 00 ( ϕ a) ) 00 ( ϕ a ) 2 En réalté, ce n est pas qu fgure mas une urée stanar proche e n ou 3 mos exacts, sans toutefos leur être nécessarement égale. L écart entre les eux urées génère un rsque analysé en Contrat por: taux à terme et tenson monétare, Glles Desvlles, Banque et Marchés, Mars-Avrl 997. sous l appellaton. Nous l omettons ans ce qu sut.

19 9 En premère approche, l artragste compare onc le taux mplcte u future au taux ϕ forwar 3 mos en es -Blls: ϕ > a ntaton un C&C > a ϕ ntaton un RCC a > a ϕ > ϕ > pas ntaton artrage IV FUURE DE YPE EURODOLLAR N-MOI IV. Future sur certfcat e épôt Le CD future porte sur l équvalent ancare u on u résor, à savor un Certfcate of Depost ou Certfcat e Dépôt. Ce future, qu a exsté sur le CME e jullet 98 à fn 987 3, porte sur es CDs omestques éms par es anques e premer nom. Il mplque un règlement par lvrason e ttres éms par un panel étal par le CME. Le veneur e future énéfce une wl car opton sur la ate e lvrason comprse ans les 5 erners jours précéant l échéance, caractérstque que nous gnorerons c. L étue précéente est vale à conton qu l exste un fort volume sur le marché seconare es CDs ce qu est le cas aux UA, mas eaucoup mons en France et aopter es marges µ nulles l artragste étant représentatf e sa communauté professonnelle. D où les nouveaux soles artrage sur le CD future (µ = 0): C&C = F RCC = ( Fa 00 + f 00 + f a ) a ( f, f ) sont les taux forwar ssus e la coure nterancare par les enttés: + f + + a et + fa + a + 3 Le CD future u CME a sparu parce que son champ utlsaton s est avéré reonant vs-à-vs e celu u future euroollar.

20 20 IV.2 ous-jacent mplcte IV.2. Présentaton Le CME, le LIFFE et quelques autres Echanges ont le MAIF pour le contrat por ont aopté également une cotaton en scount yel e leurs futures euroevses n mos. Restant sur le CME, le cours u future se trate comme l IMM Inex = 00 ( ). Le n- month euroollar future, comme t ans l encart e II.2.2 3, clôture son échéance à L ex-future Por 3 mos en page IMMlq 00 ( taux offcellement offert sur l nterancare n mos en ollar), où le taux est celu négocé à Lonres, c est-à-re le lor. Le règlement est cash. Afn soler chaque évaton vs-à-vs e notre care général, nous supposons le taux e lquaton étal à h GM précse et représentatf es échanges ancares, parm lesquels fgurent les prêts-emprunts es artragstes. Aucune moyenne offcelle n ntervent, aucune manpulaton e la référence n est à cranre. D où:,a IMMlq = 00( l ) avec l,a lor n-mos ffusé en. Le lor ffusé par l assocaton es anques à Lonres est un chffre offcel, qu ressort toujours avec une marge au essus u taux emprunt opératonnel. Cette marge et le taux ask opératonnel sont notés respectvement µoff et,a. D où: l,a =,a + µoff La règle e lquaton éctée par les Echanges et aaptée à notre hypothèse appel e marge termnal est: règlement cash après vente u future = (IMM IMMlq) règlement cash après achat u future = (IMMlq IMMa) n mos an n mos an Le future effectf est onc F = 00 ( n mos ) an Pour smplfer la présentaton qu sut, nous supposons enfn que = n mos 4. an 4 Même remarque qu en note 2.

21 2 IV.2.2 Artrage future euroollar contre euro-cd upposons que l artragste estme que le future euroollar n-mos porte sur un euro-cd e maturté épassant e n mos sa propre échéance, et rapportant 00 en 5. Voc le marché qu l oserve en ate t: CD long B() : [U : Ua] Future : [F : Fa] [ : a ] B = 00 t [ : a] [f : fa ] CD court B () Le CD est nterprété c comme un on nterancare. Nous éveloppons aor ses résultats opératon avant e vérfer la valté e son estmaton. Cash an carry L artragste émarre en t un cash an carry exactement comme écrt page 4, mas en posant Ua = B() = 00 ( + ) et rh = 0. En τ aucune nterventon n est nécessare. En, les actons et flux se épartssent u care général comme sut: actons flux en ven le CD porté jusque là lasse exprer le contrat, règle ou perçot cash U = 00 +, a [F 00( (, a +µoff))] remourse l'emprunt (+a) sole e C&C en C&C = F 00 + (+a) + ( 00 +, a 00( )) + 00µoff, a 5 Dans la réalté, les CDs payent 00( + r), et l artragste ot en tenr compte ans le calcul e son hege rato. Nous n entrons pas plus ans ces étals, qu ne consttuent un rsque que pour les opératons e pette talle.

22 22 Avec l ntroucton u taux forwar f nterancare à 3 mos épart ate échéance u contrat, le sole s écrt: C&C = F 00 + f + ( 00 +, a 00(, )) a Reverse cash an carry L artragste émarre en t un reverse cash an carry exactement comme écrt page 7, mas en posant U = B(a) = 00 ( + a) et rs = 0. En τ aucune nterventon n est nécessare. En, les actons et flux se épartssent u care général comme sut: actons flux en achète le CD jusque là venu à écouvert -U a = resttue le CD au prêteur 0, lasse exprer le contrat, règle ou perçot cash [00( (, a +µoff)) Fa] récupère le placement 00 + a (+) sole e RCC en RCC = -Fa a (+) ( 00 +, 00( )) 00µoff, a Avec l ntroucton u taux forwar f nterancare à 3 mos épart ate échéance u contrat, le sole s écrt: RCC = ( Fa = ( Fa 00 + f a 00 + f a ) ( 00 +, ) ( 00 +, 00( )) 00µoff, a 00( )) 00 sp() 00 µoff, avec sp() =,a, = -ask sprea en u taux nterancare 3 mos traté à Lonres., est communément appelé, ans le jargon fnancer, l 3 mos mons marge.

23 23 IV.2.3 Le tratonnel /8 Nous avons ntrout le lor offcel marge qu les sépare (µoff = opératonnel l,a, a, et nommer sp() le sprea l,a et son penant opératonnel,a, et appelé µoff la ); nous venons e présenter le nterancare,a,. Mas la marge e /8 entre les lor et l offcels n est pas mentonnée; or elle est unversellement connue. Comment l ntégrer ans notre escrpton? Le schéma suvant fournt une réponse. sp(), l /8 µoff,a lor marge prêt marge emprunt La marge e /8 est l écart entre les l et lor, sous-entenus offcels. Le lor est au cœur u future, mas c est le l qu est utlsé comme taux e référence ans les transactons monétares, qu elles concernent es placements ou es emprunts. Nous avons l entté suvante: /8 = µoff + marge emprunteuse A Pars, l est courant que la marge emprunteuse par rapport au p sot nulle, auquel cas µoff = /8. Mas cette égalté n est pas systématque; l sufft que la sgnature e l emprunteur sot e mauvase qualté pour que s ntercale une marge. IV.3 Imperfecton e lnéarsaton Les soles artrage font apparaître le sole artrage sur un euro-cd future et un terme mesurant l écart entre une actualsaton en taux smple et une valorsaton en taux escompte. Le sole e reverse content en outre l ncence u sprea lor-l, qu n est autre que l mperfecton u règlement cash étué ans la parte précéente. IV.3. Défnton Nous énommons mperfecton e lnéarsaton 6 l écart entre l actualsaton et la cotaton en taux escompte. 6 Lnéarsaton ne fgure pas ans le vocaulare franças offcel et nous nous excusons e l employer malgré cela, pour rason e commoté, au leu e approxmaton lnéare.

24 24 sole C&C sur un euro-cd future mperfecton e lnéarsaton mperfecton u règlement cash C&C = F RCC = (Fa 00 + f 00 + f a + ( 00 +, a ) ( 00 +,, a 00( )) + 00 µoff, 00( )) 00 (sp()+µoff) sole RCC sur un euro-cd future mperfecton e lnéarsaton mperfecton u règlement cash IV.3.2 Mse en évence Dans mperfecton e lnéarsaton, l est sous-entenu que s les Echanges ne s étaent fés qu à la théore fnancère, ls auraent opté pour une cotaton en valeur actuelle; concrètement ls ont sacrfé à une présentaton omnante sur les marchés es sous-jacents concernés et préexstant aux futures. Néanmons sur ces marchés, la cotaton en taux escompte n est que pure forme, hértée un lontan passé (les -Blls ont éuté en 929) souceux une smplcté e épart or quo e plus smple que la forme lnéare 00% taux ntérêt x urée? La majorté es professonnels et la quas-totalté es progcels convertssent aujour hu ce taux en un taux smple et, surtout, en un taux actuarel va es formules fgurant ans tous les manuels e ase. Il est possle ensute e comparer la rentalté e l nstrument négocé en taux escompte avec celles e prouts négocés fféremment, comme les certfcats e épôt, les olgatons, les actons (rentaltés espérées en venes et en captal), et plus généralement tout type nvestssement. Cette converson met en relef que la lnéarsaton ne se pas à l évaluaton moerne es actfs. Pour tout fnancer actuel, théorcen ou pratcen, s l est vra que 00 placé au taux = = a rapporte 00(+) ans un an, l est faux que 00 ans un an sot équvalent à 00( ) aujour hu. La smplcté e cotaton occasonne une gêne pour l artragste, qu est la nécessté ncorporer ans ses calculs le prx e l mperfecton e lnéarsaton, comme cela et fat ans les eux soles précéents ms en accolaes. La écomposton e ces soles relève alleurs e la converson, commune à tous les ntervenants, qu vent être évoquée. Une smple smulaton sur le future euroollar 3 mos montre que l mperfecton e lnéarsaton est fale par rapport au nomnal 00 u CD, même pour es taux l ou lor élevés (+0.5 pour 6%).

25 25 Imperfecton e lnéarsaton u future euroollar 3 mos Contrat effectf 00,0 99,5 99,0 98,5 98,0 97,5 97, ,5 00( ) mperfecton 96,0 0,5 0% 4% 8% 2% 6% Lor 3 mos Néanmons l artragste ne peut écréter sur ce seul graphque que l mperfecton est néglgeale. En effet, l ot la comparer au sole artrage sur euro-cd future ±(F 00 ( + f ) ) qu, sur un marché très suv par ses confrères, est vrasemlalement également fale lorsqu l est postf (opportunté artrage). IV.3.3 Concluson Notons 00λ() l mperfecton e lnéarsaton, que nous supposerons entque 7 pour le cash an carry et le reverse, et qu onc épen u seul lor n-mos en :, a 00λ( ) = 00 +, a 00(, a ) 00λ(, ) = 00 +, 00(, ), a, λ() λ( ) = λ( ) Les soles s écrvent mantenant e façon plus concse: C&C = F 00 + f + 00λ() + 00 µoff RCC = -(Fa 00 + f a ) 00λ() 00 (sp()+µoff) 7 Il faut un sprea lor-l rréalste pour evor stnguer eux mperfectons (λc&c et λrcc).

26 26 L artragste sur le future euroollar n-mos échéance peut onc consérer que le contrat porte sur un euro-certfcat e épôt e maturté +n-mos à conton ncorporer ans ses comptes, ès l ntalsaton e son artrage, l mperfecton l ue à la lnéarté e la cotaton u future et l mperfecton sp u règlement cash. IV.4 Remarques IV.4. aux mplcte u future contre taux forwar u comptant Dans la pratque, les artragstes tratent le contrat euroollar sans se soucer e l mperfecton e lnéarsaton λ. De plus, en premère approche, ls comparent son taux mplcte au taux forwar f n-mos épart e la coure es CDs. Heureusement pour eux, les eux approxmatons ne se cumulent pas mas au contrare se compensent fort en. Compensaton En effet, lorsque sont rapprochés l expresson u contrat effectf page 20 et les soles artrage page 24: F = 00 ( a ) Fa = 00 ( ) C&C = F RCC = -(Fa 00 + f 00 + f a + ( 00 +, a ) ( 00 +,, a 00( )) + 00 µoff, 00( )) 00 (sp()+µoff) le phénomène e compensaton est manfeste: compensaton e eux écarts λc&c: -λt( f ) + λ( ), a C&C = -( 00 + f RCC = ( 00 + f a 00( f )) + ( ( fa )) (, a 00 +,, a 00( )) + 00( f a) + 00 µoff, 00( )) + 00( f a ) 00 (sp()+µoff) compensaton e eux écarts λrcc: λt( f a ) λ( ),

27 27 Plus le taux forwar [ f : compensaton λ est effcace. f a ] est proche u spot constaté en [, :,a ], plus la taux forwar à l orgne et spot à l échéance vergent senslement, la compensaton est partelle. Le graphque suvant ae à percevor l orre e graneur e la résultante: 0,6 0,4 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 Imperfecton e lnéarsaton pour un nomnal e 00 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 2% 3% 4% 5% 6% Lor 3 mos,a Par exemple, en C&C, s est supéreur e % à f, alors la résultante λc&c émarre e 0 pour un nveau e taux presque nul pour attenre envron 0,02 ( = 0,55, pour un nveau proche e 6%., a f = 0,35) Concluson Ans, s la fluctuaton et le nveau e taux autorsent à consérer la compensaton comme totale un cas e fgure réalste, les soles artrage se réusent à: C&C = + 00 ( f a) + 00 µoff RCC = + 00 ( f a ) 00 (sp()+µoff) Avec: µoff sp(), l,a lor Le pratcen e l artrage a onc souvent rason e se focalser sur le sprea taux escompte mplcte-taux forwar.

28 28 Ce constat est vale à conton e comptalser l mprécson u règlement cash 00 sp(). IV.4.2 Rsques e l artrage sur le future euroollar Imperfecton e lnéarsaton Le cash an carry et le reverse sur le contrat euroollar ne sont pas es artrages purs strcto sensu pusque leurs soles page 25, contenant λ( ) et λ( ) 8 avec varales connues seulement à l échéance, sont aléatores en ate t.,, a, et,a L mprécson e lnéarsaton est onc aléatore. en t l artragste l antcpe comme valant E(λ) en, et qu elle ressort à λ, le rsque est λ E(λ). Ce rsque est ncontournale, quels que soent les nstruments engagés ans l artrage, prêt-emprunt ou swaps. Imperfecton e règlement cash Parellement, l mprécson e règlement cash est porteuse un rsque namovle, qu rése ans les possles fluctuatons u -ask nterancare à Lonres. Ces fluctuatons sont rares, la marge offcelle µoff et le -ask sprea e taux nterancare étant presque tout le temps étales à Pars, p ½(, +, a ), por p = 0.25% ( 8 ), et,a, 0.04% (4p) ; elles surgssent lors e crses e change éprécant certanes euroevses à vocaton e stalté relatve, à la sute e vagues emprunts à lor en ces evses alors que les prêts à l evennent nexstants. Les taux u ollar n étant e fat jamas touchés par un tel phénomène, l est préférale e re que le rsque e sprea lor-l s applque aux artrages sur futures euroevses. D après notre formalsaton, le rsque e sprea nterancare n affecte que le reverse cash an carry 9. Il s écrt -00(sp() E[sp()]). Le rsque e marge offcelle est à notre connassance nsgnfant. 8 λ( ) λ( ) λ().,, a 9 Ce rsque est sgnalé ans Quelle prme pour le strp por?, page 2, Glles Desvlles, Lre Echange, Matf A, Jun 995.

29 29 V FRA Le FRA est un contrat forwar qu présente la partcularté actualser, au taux e référence, l échange e taux courts ayant leu à l échéance. L encart page met en évence le mécansme: par (+M x urée). MRx(C M)xnj (00xB) + (Mxnj) est l échange C M, prorata tempors, vsé Cette actualsaton, rencontrée à notre connassance sur aucun autre contrat, provent e la vocaton u FRA à être un prout spécalsé à l ntenton es utlsateurs naturels que sont les entreprses, ont les esons sont majortarement emprunteurs. Nous allons vor que le FRA ten effectvement vers l nstrument sur-mesure pour un emprunteur, mas que sa caractérstque actualsaton u règlement ren élcate son ntégraton ans notre care général. V. Du presque sur-mesure pour un emprunteur En t, un trésorer sat qu l ot emprunter 00 en et sur l horzon, et crant une hausse es taux. Il achète un FRA (/) au taux FRAa. Le taux e référence u forwar est supposé un lor par commoté e présentaton, mas ce chox est sans mportance. La socété u trésorer, e notaton supéreure ou te premer nom une hypothèse e commoté et sans ncence sur le fon, place et emprunte hatuellement à En t le FRA est coté [FRA : FRAa]. En le lor offcel ressort à l,a =,a + µoff., et,a. FRA en : [FRA : FRAa] t nterancare : [, :,a ] actons flux en emprunte à,a 00 règle le FRA: 00(, a off a + (, a +µ off) +µ FRA )

30 30 place à refnance à, s règlement créteur,a s règlement éteur 00(, a +µ off FRAa + (, a +µ off) ) sole 00 en remourse -00(+, a ) récupère placement s règlement créteur remourse emprunt s règlement éteur sole 00( 00(,a,a + µ + µ off off FRA FRA a a ) ) + ( + ( +,, a +µ off +, a, a +µ off -00(+ (FRAa µoff)) ) ) Le trésorer emprunte à un taux effectf approxmatvement égal au taux contractuel FRAa. C est la rason pour laquelle nous sons que le FRA est un contrat sur-mesure pour un emprunteur. Plus précsément l est presque sur-mesure, où presque reflète l approxmaton [, / a a µ + ] [+( + off) ]. L actualsaton e l échange l,a FRAa au taux lor offcel l,a =,a +µoff pren tout son sens sur cette formalsaton. En plaçant à l ou refnançant à lor opératonnel le règlement, le trésorer fat presque sparaître le coeffcent actualsaton et paye effectvement FRAa net une marge (égale à µoff avec l hypothèse e premer nom). ans l actualsaton, l paerat non seulement FRAa mons marge, mas auss es termes ntérêt crosés qu venraent complexfer son analyse et ralentr sa prse e écson. V.2 ous-jacent mplcte Le FRA vent apparaître smple et tangle pour un trésorer emprunteur. La contreparte e sa spécalsaton est qu l va éprouver quelque ffculté à s nsérer ans le care général e l artragste. Nous exposons sur la page c-après un parallèle fasant ressortr que le FRA peut s nterpréter comme un contrat forwar F portant sur un actf U qu se révèle un certfcat e épôt.

31 3 V.2. Artrage classque u FRA et artrage équvalent Artrage classque u FRA offert par prêt-emprunt (2 prêts & emprunt) Artrage équvalent u FRA offert par certfcats e épôt actons flux actons flux en t emprunte à a sur [t : ] 00 + prête à sur [t : ] ven FRA à FRA en t se fat prêter CD(N,) ven CD à a place N + a à ven FRA à FRA N + a = 00 + sur [t : ] sole 0 sole 0 N = 00 (+ a )/(+ ) 00 (+ fa ) en en récupère prêt 00 récupère placement 00 FRA règle le FRA 00 + ( prête à et sur [ - ], -00[+ + (, a, a (, a +µ FRA (, a +µ off off +µ +µ ) ) off off ) FRA règle le FRA 00 + (, a ( ) ] rachète CD - N + resttue CD au prêteur, a +µ, off +µ ) off ) sole 0 sole CD en (L artrage est un reverse: CD = RCC ) remourse emprunt FRA récupère 00[+ + (, a (, a +µ off +µ ) off (+ a ) ) ](+, ) sole PE

32 32 L artrage courant un taux e FRA, qu fat ntervenr un prêt-emprunt nterancare, ne rentre pas ans notre care général e coût e portage car aucun sous-jacent ne se stngue nettement est-ce le prêt, est-ce l emprunt? et le sole e l opératon ne coïnce pas avec l échéance u FRA. CD(N,) B() : [U : Ua] FRA en : [FRA : FRAa] [ : a ] B = 00(+ fa ) t [ : a] [f : fa ] En revanche l artrage parallèle sur un CD e nomnal N = 00(+ fa ) et e maturté épassant e = n-mos l échéance u FRA t en se rapproche u reverse cash an carry u care général. Notons que U = N ( + a) = Cepenant eux caractérstques ovent encore être vérfées: () le FRA peut-l s exprmer en cours, comme un contrat F, et non plus en taux? (2) le sole artrage en est-l étermnste, c est-à-re connu en ate t? La queston () énéfce u traval précéent sur le future euroollar. Le taux FRA est le taux mplcte un contrat coté en taux escompte: Fa = 00( FRA), et le contrat F sera alors acheté. La queston (2) trouve une réponse ans ce qu sut.

33 33 Le sole artrage courant PE, en ate, et le sole par CD, en ate, s écrvent: PE = 00 [+ FRA ( + (, a, a +µ + = 00 [, + ( +µ ) off +µ, a off ) off ) ](+ ), 00 + (+FRA) (+ fa )] = 00 (FRA f a ) 00(sp()+µoff) + CD = 00 =, 00 +, N + [ + ( + FRA (,, a +µ off), a (, a +µ off +µ ) off ) (+ a ) RCC (+FRA) (+ fa )] = Λ avec Λ RCC = + PE, écart mperfecton e lnéarsaton u FRA en RCC (sp () + µ off + ( )(,a,a + µ + µ off off ) FRA) 2 Le sole artrage par prêt-emprunt ressemle en tout pont, sauf en un seul, au sole u reverse sur le contrat euroollar future otenu page 27 en néglgeant les écarts λ et Λ mperfectons e lnéarsaton : FRA: future euroollar: = 00 (FRA f a ) 00(sp()+µoff) PE RCC = 00 ( f a ) 00(sp()+µoff) Le seul pont e fférence est la ate u sole: sur le future, le sole est en ate, et sur le forwar, l est en ate. Nous pourrons à ce stae nous contenter e consérer que le FRA e taux est un contrat forwar général F portant sur le même certfcat e épôt que celu u future euroollar n- mos homologue, mas ont le règlement fnancer est fféré e n-mos. Cepenant ce raccourc n est pas rgoureux sur le plan fnancer car n-mos ntérêt nul ne manqueraent pas être explotés et fnalement altérer les soles artrage que nous avons étals. V.2.2 Mse en évence Ben que long à présenter, le parallèle précéent avec un artrage mplquant un CD partculer va résoure cette ffculté e façon satsfasante. Nous remarquons en effet que le sole artrage classque est égal à une valeur future e son homologue avec CD, pusque par constructon PE, = (+ ) CD, et que cette

34 34 valeur future est quas-pertnente car le taux employé est nterancare (cec pour la pertnence) mas l est toujours un (cela pour le quas) que CD sot créteur ou éteur. Cette ernère entorse à la valeur future tent à ce que le FRA fat appel à un taux e référence offert, que son usage sot estné à un prêt (qu réclame un ) ou à un emprunt. A ce étal près nhérent à la structure u FRA, un constat s mpose: les eux soles sont équvalents. En conséquence, L artrage courant par prêt-emprunt revent à un artrage sur un contrat forwar coté en taux escompte, ont le taux mplcte est le taux à n-mos offert u FRA, et ont le sous-jacent est un certfcat e épôt e maturté égale à l échéance u FRA plus n-mos, et e nomnal égal à celu u contrat accru ntérêt forwar sur n-mos. V.3 Remarques V.3. Imperfectons supplémentares Malgré le résultat qu vent être énoncé, le FRA soulève eux ffcultés nserton ans notre care général autres que celles posées pas le future euroollar. En voc le rape exposé. Aléa sur l ampltue u sole artrage Le sole artrage CD est entaché une nouvelle mperfecton en la présence u, facteur actualsaton /(+ ). Cette mperfecton n est pas e pure forme, mas affecte, à travers la varale l artrage pur.,, le crtère e étermnsme au coeur u care général e Néanmons l aléa mporté par le facteur actualsaton ne mofe que l ampltue u sole et non son sgne, c est à re son caractère e gan ou e perte, qu est l aspect essentel un artrage. Deux nomnaux pour le sous-jacent mplcte Le nomnal u certfcat e épôt aopté ans le parallèle est spécfque au type e l artrage. Celu-c s étant révélé un reverse et 00(+ fa ) ayant été chos pour nomnal,

35 35 la cash an carry semle evor se construre avec l achat un CD e nomnal 00(+ f ). La formalsaton non ncluse par souc e concson, mas e même teneur que celle e la page 3 montre que tel est en le cas. Par conséquent notre parallèle n est pas rgoureux pusque l actf sous-jacent proposé change e forme selon que l artrage est un cash an carry ou un reverse. Heureusement les calculs, que nous ne étallons pas c afn e respecter une certane ensté, montrent que le chox un seul nomnal peu mporte lequel ans les eux types artrage n entrane qu un aléa néglgeale. Par exemple, s le CD e nomnal 00(+ fa ) est aopté ans un C&C, le sole artrage (en consérant pour smplfer que µoff = 0) est exactement égal à:,c&c CD =,a 00 + [( f FRAa) + υ] avec υ = (f a f )(f + f,a ) 2 υ est l aléa nut par le chox un nomnal non conforme à notre théore. Il est renu aléatore par la présence e,a. Il a la structure un terme crosé e fférentels ntérêt, qu est néglgeale evant le terme smple ( f FRAa) sauf ans es cas peu réalstes. Nous pourrons étenre le moèle e coût e portage pour accepter un sous-jacent U en cash an carry fférent e celu U u reverse. Cepenant e telles fférences alourraent les notatons et ne servraent qu au cas spécfque u FRA, et l apparaît préférale accepter l mperfecton υ. Néanmons, s eson est, ans la pratque les artragstes n héstent pas à fférencer le sous-jacent suvant le sens e leur opératon. Cela se traut concrètement par eux hege ratos stncts. La seule présence es fourchettes e marché peut conure à un rato e C&C fférent e celu e RCC. V.3.2 Prêts-emprunts et swaps Une précson mportante ot être émse à ce stae. Les prêts-emprunts sont epus une qunzane années supplantés par les swaps, nstruments avérés plus flexles (nomnal et échéance), plus lques et melleur marché (-ask plus étrot). Comment un swap se susttue-t-l à un prêt ou à un emprunt? La réponse à cette queston remplrat asément un paper e recherche et nous élognerat e nos propos. Nous en résumons très sommarement un élément essentel

36 36 aapté à nos esons 20. Un prêt à est entque au renouvellement un prêt au jour le jour plus l achat un swap prêteur e taux varale contre taux fxe. Le taux varale u swap est le taux au jour le jour européen (Eona), et le taux fxe est. Nous représentons cette entté c-essous: Prêts EONIA 00(+ EONIA ) t + 00 wap taux fxe taux varale EONIA t -00 EONIA = Prêt sur 00(+ ) t EONIA ésgne la moyenne arthmétque es Eonas quotens. Ces schémas smples éluent la captalsaton es ntérêts au jour le jour et la marge par rapport à Eona u taux e prêt (en général négatve e quelques p). Fort heureusement, à la fférence es swaps 4M/AM, les swaps Eona captalsent quotennement le taux varale et versent le taux fxe n fne sur le court-terme, et annuellement sur le moyen-long terme. Leurs taux fxes sont onc utlsales en face es prêts et es emprunts au jour le jour moyennant eux ajustements mnmes 2 : l ncorporaton e la marge sur Eona u prêt et e l emprunt 20 Pour un appronssement se reporter à Les waps, Chrstophe Chazot et Patrck Claue, Economca, Un exemple artrage par swaps est écrt ans he futures markets, chaptre 0, pages , Danel R. egel, Dane F. egel, Prous Pulshng Company, 990.

37 37 la susttuton es taux fxes actuarels par les taux zéro-coupon mplctes. Un élément extrêmement favorale au éveloppement smultané es swaps et es artrages purs tent à l occultaton es opératons au jour le jour. En effet, s ans le parallèle e la page 3, les eux prêts et l emprunt nterancares longs sont remplacés par eux swaps prêteurs et un swap emprunteur (e taux fxe), les eux prêts et l emprunt au jour le jour mplqués par l entté précéente se compensent presque totalement, et ne nécesstent en pratque qu un règlement fnal mneur. ur les taux court-terme, l artragste rasonne onc en termes e swaps et non en termes e prêts-emprunts. VI CONRA UR DEVIE Comme pour les taux courts, les contrats sur taux e change pose la queston u sousjacent. Est-l l une es eux evses un taux e change? Et s cela état, laquelle chosr? Dans son ouvrage Unerstanng futures markets Roert Kol rapproche les artrages purs sur le change e ceux effectués sur es actfs lellés en une seule evse 22. Mas l procèe sans émonstraton, en stpulant l égalté e eux formules classques u cours à terme; e surcroît ces formules sont relatves à un contexte non-réalste asence e fourchette e marché. Cette parte répon rectement à ces questons. Elle montre que le sous-jacent un forwar ou un future sur evse est un certfcat e épôt éms en cette evse et e maturté coïncant avec l échéance u contrat. VI. Forwar outrght et currency future Il y eut envron 3 mllars e ollars e volume quoten sur les marchés e change monaux en 992. Aux UA, 5% le fut en transactons spot, et 32% en swaps camstes en Anglas currency swaps. D autres transactons e change à terme que nous allons précser, Les forwar outrght f/x traes, représentèrent 5% u volume quoten. Avec les optons sur ces tros prouts captalsant un autre 8%, le marché nterancare comptalse 96% e l actvté. 22 Unerstanng futures markets, pages 50 à 53, Roert W. Kol, New York Insttute of Fnance, 3 r Eton.

38 38 Les 4% restant se vsent en futures et optons négocés sur les marchés organsés. Cela est peu, mas peut-être faut-l écouter l un es arguments es Echanges 23, selon lequel leurs prouts ne sont en compétton qu avec 3% u marché e gré à gré: 8% pour les optons, et 5% pour les forwar outrght qu rvalsent avec les futures. Un rape tour e éfntons s mpose avant e formalser les artrages purs sur le change. ❶ pot ur le change, une transacton spot est un accor entre eux contrepartes, l une pour réalser la vente une premère evse et l achat smultané une secone, l autre pour réalser l nverse. La ate e valeur u spot est typquement J+2, où J est la ate opératon. Dans notre care général, nous assmlons les eux ates (J). ❷ Forwar outrght Une transacton forwar outrght est entque à une transacton spot, sauf sur un pont: la ate e valeur est supéreure à J+2, et étermnée par les eux contrepartes. Dans notre care général, le spot se règle en J, le forwar outrght en J+n, n > 0. ❸ Currency swap Une premère evse peut être venue (achetée) spot et smultanément achetée (venue), pour un même montant, en forwar outrght. Cette transacton est appelée currency swap. La secone evse est achetée (venue) spot et venue (achetée) forwar outrght, mas pour es montants négaux. La evse ont le montant est entque est te ase currency evse rectrce. Dans un currency swap, les evses changent e mans en J, pus rechangent e mans en J+n. ❹ Currency forwar Le FRA, le contrat forwar e taux court par excellence, n a-t-l pas un homologue sur le change auss? Un contrat forwar e change qu proposerat un échange à sa seule échéance (J+n), et qu sot auss reconnu et utlsé que le FRA? La réponse est négatve. En effet, l nstrument e change homogène au FRA est le currency forwar outrght qu vent être évoqué, mas son emplo reste lmté (5% u volume total). Par alleurs, le currency forwar exste el et en mas l est un autre nom pour ésgner le 23 An ntroucton to nterank foregn exchange an rollng spot, James W. lentz, Chcago Mercantle

39 39 currency swap vu plus haut, qu lu réalse eux échanges, l un en J, l autre en J+n. L encart c-essous llustre nos propos 24. Encart extrat e Les waps par Chazot et Claue. Un contrat e forwar est composé e eux opératons e change e sens nverse conclues avec la même contreparte: l une est effectuée au comptant (épart spot), l autre est à terme (en valeur future). Un forwar, fréquemment appelé swap par les professonnels u marché es changes, fat parte e la famlle es swaps. Exemple: Consérons un forwar UD/FRF emprunteur e un mllon e ollars, négocé le 0/02/93 avec un cours e change comptant e et un report e 250 ponts pour une maturté e tros mos (échéance le 0/05/93). Le cours à terme est e 5.69 francs pour un ollar. Les flux sont présentés ans le taleau suvant: Date Flux en FRF Flux en UD 0/02/ /05/ ❺ Currency future Les futures e evse sont négocés sur le Chcago Mercantle Exchange (epus 972). Ils se comparent aux contrats forwar outrght e l OC, ans le sens où ls onnent leu à une asence e flux à la ate e transacton (J), et compte tenu e notre hypothèse appel e marge termnal, à un flux unque à l échéance (J+n). ous eux se règlent par lvrason e la ase currency ans un montant prééfn ou stanarsé. L encart suvant est un exemple e transacton sur currency future 25 : Encart extrat e Comparng Futures an Forwars par I. Kawaller. Perfect Long Futures Hege ze expose to the rsk of strengthenng poun sterlng: 62,500 Hege Instrument: long futures contract Exchange, Ma Les waps, pp 302 et 308, Chrstophe Chazot et Patrck Claue, Economca, Comparng Futures an Forwars for Managng Currency Exposures, Ira G. Kawaller, Open Interest, Chcago Mercantle Exchange, Jullet 996.

40 40 Exchange Rate Data Intaton of hege Lquaton of hege ransacton ate March June 5 pot value ate March 3 June 7 Futures elvery ate June 7 June 7 pot prce ($/FX) $.520 $.5876 Futures prce $.5070 $.5876 REUL Dollars pa for 62,500 on June 7: 62,500 x $.5876/ = $99, Hege result: 62,500 x ($.5876/ $.5070/ ) = $5, Dans ce cas école qu est la couverture parfate perfect long futures hege, l achat u contrat sterlng onne leu le 7 jun à récepton u montant stanar u contrat, , contre lvrason e $ $ = $ La lvre joue le rôle e evse rectrce. Nous garons à l esprt ces ernères caractérstques pour aorer la formalsaton es artrages purs sur future ou forwar outrght. VI.2 Forwar ou future sur certfcat e épôt étranger Forwar outrght et future sont mantenant confonus en un contrat sur evse F, coté [F : Fa]. Le pont e vue e l artrage va guer la mse en évence u sous-jacent effectf u contrat F. Nous supposons que l opérateur en acton c-après énéfce es contons nterancares; l est clar que es contons mons avantageuses moferaent le sousjacent. En conformté avec la fnance nternatonale acaémque, l artragste omestque est un résent amércan ont les soles opératon sont lellés en ollars ($), et la evse étrangère est notée. L achat u contrat F est une olgaton e prenre récepton e et e lvrer $F en. La ase currency est onc. Le montant nomnal les e l encart précéent est untare, ce qu permettra e rapprocher rectement F e la noton e taux e change à terme.

41 4 VI.2. Cash an carry spot($/ ): [ : a] terme($/ ): [F : Fa] l $ : lor $ : [ : a ] t l : lor : [ : a ] L artragste consère le contrat comme portant sur U, euro-certfcat e épôt rapportant en et réévalué en $ 26. En t, U est coté U = + a et Ua = a. + et a sont es taux euro-, onc l et lor. Déroulement actons flux en t emprunte en $ à a a + achète en l euro-cd -a + ven à terme à F $ $ équvalent un prêt 0 en + remourse -a a + $ reven l euro-cd arrvé à maturté lvre - 26 L hatat monétare e l artragste est le ollar. L artragste n est pas une frme multnatonale optmsant ses flux e evses.

42 42 reçot $F F $ + = F a a + en $ + a a + est la tratonnelle formule u taux e change à terme que les anques construsent par la classque oucle e change à Lonres. Nous onnons un exemple e oucle mas artrage et non e vente e change à terme par une anque c-après. Le taux e change à terme est également noté où a (a ) + a + a (a ) + est appelé report ou éport selon que son sgne est postf ou négatf. L artragste compare onc le cours u contrat F à ce taux e change, et s l lu est supéreur, réalse les opératons écrtes plus haut. Boucle e change équvalente Lorsqu ls présentent l artrage sur le change, théorcens et pratcens ont recours à une oucle artrage nvoquant un prêt-emprunt. La oucle classque e la page suvante et le cash an carry que nous avons exposé juste avant sont totalement compatles. En effet, es calculs sans ffculté montrent que le sole opératon en e cette oucle est en tout pont entque au sole e C&C, otenu par un artragste qu assmle F à un contrat sur euro-cd e maturté.

43 43 Boucle classque artrage sur le change t emprunte $ à a remourse l emprunt change à terme à F change spot à a $ * reçot $ F lvre prête à recouvre le prêt VI.2.2 Reverse actons flux en t se fat prêter un euro-cd rapportant en ven en $ l euro-cd + a place en $ à - + a achète à Fa $ $ équvalent un emprunt 0 en rachète l euro-cd arrvé à maturté - resttue l euro-cd récupère + + a $ reçot lvre $Fa -Fa $ + = -Fa + + a

44 a ( a) = + + a est le taux e change à terme emané () le précéent état offert qu une anque élaore classquement à l ae une oucle e change. L artragste compare le cours ask u contrat F à ce taux, et s l lu est nféreur, réalse les opératons qu vennent être mses à plat. mlarement au cash an carry, l exste une oucle artrage avec prêt-emprunt qu correspon au reverse que nous venons exposer, et ont le sole à l échéance est entque à celu e l artrage pur. Comme pour les contrats e taux, l n est pas nécessare e convancre les opérateurs aanonner les prêt-emprunts et utlser es certfcats e épôt pour pouvor affrmer que les contrats sur evse entrent ans notre care général. En effet, ans la pratque c est mplctement que les marchés utlsent l euro-cd que nous avons écrt. Notre care général accepte onc nrectement les contrats sur evse. VII CONCLUION VII. Certfcats e épôt mplctes Nous avons montré ans les partes IV, V et VI que les futures euroollar et les FRAs portent sur es certfcats e épôt mplctes qu leur permettent e s nscrre ans notre care général. Ces contrats supportent l mperfecton e règlement cash et l mperfecton e lnéarsaton. Ces mperfectons mofent peu les soles artrage u care général pusqu l sufft e leur ajonre eux termes atfs mperfecton. Par exemple, ans le cas un future e type euroollar n-mos, cela onne: C&C = F RCC = -(Fa 00 + f 00 + f a + 00λ() + 00 µoff ) 00λ() 00 (sp()+µoff) où λ ésgne l erreur e lnéarsaton matéralsée à l échéance u future, et les termes à sa rote recouvrent l mperfecton e règlement cash. Enfn précsons que le 3 month -Bll future u CME ne connaît mperfecton n e

45 45 lnéarsaton, n e règlement cash. VII.2 Artrage terme-terme sur les taux courts λ (future) a été mesuré précsément et peut se révéler non néglgeale ans un sole artrage exprmé selon notre care général. En revanche, lorsque le taux mplcte u future est ntrout, λ n apparaît plus que sous forme écart, ont la mesure s avère souvent néglgeale: C&C = + 00 ( f a) + 00 µoff + λc&c RCC = + 00 ( f a ) 00 (sp()+µoff) + λrcc avec λc&c = - λt( f ) + λ(, a) λrcc = λt( f a ), λ( ) Λ (FRA) n a pas été explcté et mesuré, mas son apparton sous forme e fférentel Λ, également néglgeale, sufft à notre traval: C&C = RCC =,a 00 +, 00 + [ ( f FRAa) + 00 sp() C&C + Λ ] [ (FRA f a ) 00(sp()+µoff) + Λ RCC ] Un résultat analogue a été présenté page 8 pour le future sur on u gouvernement amércan à 3 mos. Cette expresson es soles artrage sur les contrats e taux courts a le mérte e la clarté. Mettant e côté les mperfectons scutées plus haut, nous constatons que l artrage pur, couramment énommé comptant-terme, est sur le fon un artrage terme-terme, qu oppose: future sur ll future euroollar FRA le taux escompte mplcte u future à un taux forwar mplcte à la coure es taux es ons u résor, le taux escompte mplcte u future à un taux forwar mplcte à la coure es taux nterancare, le taux u FRA à un taux forwar mplcte à la coure es taux nterancare.

46 46 Enfn, sgnalons à ce stae un pont qu ne manquerat pas nquéter l artragste qu nous lrat: les soles opposent précsément es taux à terme offerts (ask) à es taux à terme emanés (), et le sprea est toujours au étrment e l artrage. VII.3 Un care unfé analyse Nous venons e montrer ans ce paper que les prncpaux contrats à terme, forwar ou future, onnent leu à es cash an carry et reverse ont les soles à l échéance peuvent toujours s écrre: C&C = F Ua(+ a) + rhua (+ f τ ) + mperfectons e règlement cash et e lnéarsaton RCC = -Fa + U(+ ) rsu(+ fa τ ) + mperfectons e règlement cash et e lnéarsaton où U est un sous-jacent explcte ou mplcte. Les mperfectons ctées ans les eux enttés sont es varales aléatores qu renent les artrages rsqués. Un traval e recherche sur les contrats à terme fnancers pourra néanmons, par souc e clarté, ne pas reconure les eux mperfectons et aopter les soles étermnstes: C&C = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) RCC = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ) Il convenra cepenant e garer à l esprt que ces mperfectons peuvent se révéler non néglgeales ans es artrages ntés très près e leurs ponts morts étermnstes. Il sera alors pruent e rajouter une prme e rsque à chacun es eux soles. Moyennant ces approxmatons et précautons, tout future et tout forwar peut s analyser ans le care général, smple et réalste présenté en premère parte e ce paper e recherche, et qu se résume essentellement en un moèle e type Cost of Carry prenant en compte les coûts e transacton nhérents aux marchés fnancers. VIII REFERENCE Mchael J. Brennan et Euaro. chwartz, Artrage n stock nex futures, Journal of Busness, volume 63, 990. Chcago Boar of rae (CBO), reasury Futures for Insttutonal Investors, 990. Chrstophe Chazot et Patrck Claue, Les waps, Economca, 994.

47 47 Brafor Cornell et Marc R. Renganum, Forwar an futures prces: evence from the foregn exchange markets, he Journal of Fnance, Décemre 98. Glles Desvlles, Artrage sur les marchés à terme, hèse e octorat, Mars 998. Glles Desvlles, Contrat por: taux à terme et tenson monétare, Banque et Marchés, Mars-Avrl 997. Glles Desvlles, Quelle prme pour le strp por?, Lre Echange, Matf A, Jun 995. Geral D. Gay et teven Manaster, he qualty opton mplct n futures contracts, Journal of Fnancal Economcs, volume 3, 984. Roert W. Kol, Unerstanng futures markets, cott, Foresman, 985 et New York Insttute of Fnance, 3 r Eton. Eouar Macko et Phlppe Cahen, Contrat on u résor ou contrat por?, La Revue Banque, Avrl 988. Matf A, Drecton Centrale e la Recherche et u Marketng, Le contrat à terme sur l nce CAC 40, 989. Danel R. egel, Dane F. egel, he futures markets, Prous Pulshng Company, 990. océté Générale, FRA, Les cahers es marchés olgatares, 990.