Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral

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1 Clcul Intégrl Amphi n 1 Jnvier 214

2 Objectifs du cours 1 donner une définition de l intégrle f (x)dx qui permet de comprendre son utilistion en physique, 2 présenter différentes méthodes pour clculer une intégrle donnée.

3 Pln 1 Définition 2 Propriétés de d intégrle 3 Intégrle fonction de s borne supérieure 4 Méthodes d intégrtion

4 Subdivisions Définition On ppelle subdivision d un intervlle [, b] de R toute suite de vleurs σ n = (x,..., x n) telle que = x < x 1 <... < x n = b. On ppelle ps de l subdivision σ n l quntité σ n = sup i n 1 (x i+1 x i).

5 Sommes de Drboux Définition Soit f : [, b] R définie et bornée sur [, b] et soit σ n une subdivision de [, b]. On note m i = inf f (x) et Mi = sup f (x) x [x i,x i+1 ] x [x i,x i+1 ] Les sommes de Drboux ssociées à f et σ n sont : n 1 n 1 s(f, σ n) = m i(x i+1 x i) et S(f, σ n) = M i(x i+1 x i) i= i=

6 Définition Soit f : [, b] R définie et bornée sur [, b]. On dit que f est intégrble (u sens de Riemnn) sur [, b] si : lim (S(f, σ n) s(f, σ n)) =. σ n

7 Définition Soit f : [, b] R définie et bornée sur [, b]. On dit que f est intégrble (u sens de Riemnn) sur [, b] si : lim (S(f, σ n) s(f, σ n)) =. σ n Théorème Si f est intégrble, lors On note lim σ n s(f, σ n) = f (x)dx cette limite commune. lim S(f, σ n) R. σ n

8 Lien vec l physique Corollire Plus générlement, si c i [x i, x i+1] et si σ n, lors : f (x)dx = n 1 lim n + i= f (c i)(x i+1 x i).

9 Lien vec l physique Corollire Plus générlement, si c i [x i, x i+1] et si σ n, lors : f (x)dx = Si on choisit l subdivision régulière : et c i = x i lors : n 1 lim n + i= f (c i)(x i+1 x i). x i = + i x vec x = b n f (x)dx = n 1 lim n + i= f (x i) x. C est cette églité qui justifie l ppliction du clcul intégrl en physique.

10 Exemples de fonctions intégrbles Théorème Soit f : [, b] R. 1 Si f est monotone sur [, b], lors f est intégrble sur [, b]. 2 Si f est continue sur [, b], lors f est intégrble sur [, b]. En prticulier, toutes les fonctions usuelles (polynômes, rcines, exponentielles, logrithmes... et toutes leurs composées) sont intégrbles sur n importe quel segment inclus dns leur ensemble de définition.

11 Pln 1 Définition 2 Propriétés de d intégrle 3 Intégrle fonction de s borne supérieure 4 Méthodes d intégrtion

12 Interpréttion géometrique On suppose que f est intégrble sur [, b]. 1 Si f est positive sur [, b] lors : f (x)dx = Aire sous l courbe représenttive de f.

13 Interpréttion géometrique On suppose que f est intégrble sur [, b]. 1 Si f est positive sur [, b] lors : f (x)dx = Aire sous l courbe représenttive de f. 2 Si f est de signe quelconque, lors : f (x)dx = Aire lgébrique sous l courbe

14 Reltion de Chsles Définition Si < b, lors on définit : f (x)dx = b f (x)dx.

15 Reltion de Chsles Définition Si < b, lors on définit : f (x)dx = b f (x)dx. Théorème Pour tous réels, b et c : f (x)dx = c f (x)dx + c f (x)dx.

16 Linérité Théorème Si f et g sont intégrbles sur [, b] et si λ R lors f + g et λf sont intégrbles sur [, b]. De plus : 1 2 (f (x) + g(x))dx = λf (x)dx = λ f (x)dx + f (x)dx g(x)dx

17 Positivité Théorème Soient b et f intégrble sur [, b]. 1 Si f sur [, b], lors 2 Si f g sur [, b], lors 3 f (x)dx f (x) dx. f (x)dx. f (x)dx g(x)dx.

18 Vleur moyenne Définition Soit f intégrble sur [, b]. On ppelle vleur moyenne de f sur [, b] le réel 1 b f (x)dx b.

19 Vleur moyenne Définition Soit f intégrble sur [, b]. On ppelle vleur moyenne de f sur [, b] le réel 1 b f (x)dx b. Choisissons x i = + i x vec x = b. On sit que n f (x)dx = f (x i) x = donc 1 b n 1 lim n + i= f (x)dx = lim n + b n 1 lim n + n 1 n 1 f (x i) n i= }{{} i= f (x i) moyenne des vleurs de f en x, x 1,..., x n 1

20 Formule de l moyenne Théorème Si f est continue sur [, b], lors il existe c [, b] tel que ce que l on peut réécrire : 1 b f (x)dx = f (c) f (x)dx = f (c)(b )

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22 Soit f intégrble sur [, b]. On définit une fonction H sur [, b] pr H(x) = Théorème 1 H est continue sur [, b]. x f (t)dt. 2 Si de plus f est continue sur [, b], lors H est dérivble sur [, b] et ( x H (x) = f (t)dt) = f (x).

23 Corollire Toute fonction continue f sur [, b] dmet u moins une primitive (c est-à-dire une fonction dont l dérivée est f ) qui est donnée pr H.

24 Corollire Toute fonction continue f sur [, b] dmet u moins une primitive (c est-à-dire une fonction dont l dérivée est f ) qui est donnée pr H. Remrque Si F est une primitive quelconque de f, lors donc H : x x F (x) = f (x) = H (x) F(x) = H(x) + c où c R. f (t)dt correspond donc à l primitive de f qui s nnule en.

25 Nottion f (x)dx désigne une primitive quelconque de f. Corollire Si f est continue sur [, b] et si F est une primitive quelconque de f sur [, b], lors f (t)dt = F(b) F(). On noter pr l suite : b f (t)dt = [F(t)] b = F(b) F().

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27 Clcul à l ide de primitives Dns ce tbleu, f désigne une fonction continue et F une primitive de f : f (x) F(x) x α x α+1 α c 1 x ln( x ) + c u (x)(u(x)) α (u(x)) α+1 α c f (x) cos(x) sin(x) 1 cos 2 (x) = 1 + tn2 (x) e x F(x) sin(x) + c cos(x) + c tn(x) + c e x + c u (x) u(x) ln( u(x) ) + c x 2 Arctn(x) + c u est une fonction dérivble, α 1, c R.

28 Chngement de vribles Prfois, pour clculer une intégrle, il peut être intéressnt de chnger l vrible d intégrtion : f (x)dx. On suppose que x = ϕ(t), vec = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il v flloir chnger :

29 Chngement de vribles Prfois, pour clculer une intégrle, il peut être intéressnt de chnger l vrible d intégrtion : f (x)dx. On suppose que x = ϕ(t), vec = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il v flloir chnger : i) le x dns l fonction f : on remplce simplement f (x) pr f (ϕ(t)).

30 Chngement de vribles Prfois, pour clculer une intégrle, il peut être intéressnt de chnger l vrible d intégrtion : f (x)dx. On suppose que x = ϕ(t), vec = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il v flloir chnger : i) le x dns l fonction f : on remplce simplement f (x) pr f (ϕ(t)). ii) le terme dx : pour cel, on v dériver l reltion x = ϕ(t) : de sorte que dx dt = dϕ(t) = ϕ (t) dt dx = ϕ (t)dt.

31 Chngement de vribles : x = ϕ(t) Enfin, pour les bornes, on constte que : lorsque x =, comme on supposé = ϕ(α), on obtient t = α lorsque x = b, comme on supposé b = ϕ(β), on obtient t = β. On obtient donc finlement : f (x)dx = β α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. }{{}}{{} x dx

32 Chngement de vribles : x = ϕ(t) Enfin, pour les bornes, on constte que : lorsque x =, comme on supposé = ϕ(α), on obtient t = α lorsque x = b, comme on supposé b = ϕ(β), on obtient t = β. On obtient donc finlement : Théorème f (x)dx = β α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. }{{}}{{} x dx Soit f : [, b] R intégrble et soit ϕ : [α, β] [, b] de clsse C 1, bijective, vec ϕ(α) = et ϕ(β) = b. Alors : f (x)dx = β α f (ϕ(t))ϕ (t)dt

33 1er exemple Considérons π x cos ( x 2) dx. Un clcul direct donne :

34 1er exemple Considérons π x cos ( x 2) dx. Un clcul direct donne : π ( x cos x 2) [ ] sin(x 2 π ) sin(π) sin() dx = = =. 2 2

35 1er exemple Considérons π x cos ( x 2) dx. Un clcul direct donne : π ( x cos x 2) [ ] sin(x 2 π ) sin(π) sin() dx = = =. 2 2 Clculons à présent cette intégrle à l ide du chngement de vrible x = t.

36 1er exemple Considérons π x cos ( x 2) dx. Un clcul direct donne : π ( x cos x 2) [ ] sin(x 2 π ) sin(π) sin() dx = = =. 2 2 Clculons à présent cette intégrle à l ide du chngement de vrible x = t. Le terme dx En dérivnt, on : dx dt = 1 2 t de sorte que dx = 1 2 t dt

37 1er exemple Considérons π x cos ( x 2) dx. Un clcul direct donne : π ( x cos x 2) [ ] sin(x 2 π ) sin(π) sin() dx = = =. 2 2 Clculons à présent cette intégrle à l ide du chngement de vrible x = t. Le terme dx En dérivnt, on : dx dt = 1 2 t de sorte que dx = 1 2 t dt Les bornes x = = t = 2 = x = π = t = ( π) 2 = π.

38 Second exemple Clculons 1 1 x2 dx. On v poser : x = sin(t).

39 Second exemple Clculons 1 1 x2 dx. On v poser : x = sin(t). Le terme dx En dérivnt, on : dx = cos(t) dt Les bornes lorsque x =, on prend t =, lorsque x = 1, on prend t = π 2.

40 Second exemple Clculons Le terme dx 1 En dérivnt, on : dx = cos(t) dt 1 1 x2 dx. On v poser : x = sin(t). 1 x2 dx = π 2 Les bornes lorsque x =, on prend t =, lorsque x = 1, on prend t = π 2. 1 sin 2 (t) cos(t)dt = π 2 cos2 (t) cos(t)dt = π 2 cos(t) cos(t)dt.

41 Remrques L formule de chngement de vrible f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt (x = ϕ(t)) est liée à l formule de dérivtion d une fonction composée.

42 Remrques L formule de chngement de vrible f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt (x = ϕ(t)) est liée à l formule de dérivtion d une fonction composée. Remrque Si on choisit l fonction ϕ(t) = t, on obtient : L vrible x (ou t) est dite muette. f (x)dx = f (t)dt

43 Intégrtion pr prties Théorème Soient u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [, b]. Alors : u(x)v (x)dx = [ ] b u(x)v(x) u (x)v(x)dx.

44 Intégrtion pr prties Théorème Soient u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [, b]. Alors : Preuve : u(x)v (x)dx = [ ] b u(x)v(x) u (x)v(x)dx.

45 Exemple Clculons π/2 x cos(x)dx. On pose : u(x) = x v (x) = cos(x) u (x) = 1 v(x) = sin(x)

46 Exemple Clculons Ainsi : π/2 π/2 x cos(x)dx. On pose : x }{{} u(x) u(x) = x v (x) = cos(x) [ cos(x) dx = }{{} v (x) x }{{} u(x) sin(x) }{{} v(x) u (x) = 1 v(x) = sin(x) ] π/2 π/2 1 }{{} u (x) sin(x) dx }{{} v(x)

47 Exemple Clculons Ainsi : π/2 π/2 x cos(x)dx. On pose : x }{{} u(x) u(x) = x v (x) = cos(x) [ cos(x) dx = }{{} v (x) = π 2 x }{{} u(x) sin(x) }{{} v(x) u (x) = 1 v(x) = sin(x) ] π/2 π/2 1 }{{} u (x) [ cos(x)]π/2 = π 2 1. sin(x) dx }{{} v(x)

48 Générlités Il existe une méthode générle qui permet d intégrer toutes les frctions rtionnelles (i.e. de l forme P vec P et Q deux polynômes). Q L idée est d écrire P comme somme de frctions fciles à intégrer ; c est ce Q que l on ppelle l décomposition en éléments simples. On se limiter dns ce cours à triter quelques exemples.

49 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles Théorème Soit, b, c,... des réels tous distincts. Alors il existe A, B, C,... tels que : 1 (x )(x b)(x c)... = A x + B x b + C x c +...

50 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles Théorème Soit, b, c,... des réels tous distincts. Alors il existe A, B, C,... tels que : 1 (x )(x b)(x c)... = A x + B x b + C x c +... Clculons dx x 2 5x + 6. Ici, le dénominteur deux rcines simples : 2 et 3. L décomposition en éléments simples donne : 1 x 2 5x + 6 = 1 (x 2)(x 3) = A x 2 + B x 3.

51 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles 1 (x 2)(x 3) = A x 2 + B x 3. Pour déterminer A, on multiplie de chque côté pr (x 2) : qui se simplifie en : x 2 A(x 2) B(x 2) = + (x 2)(x 3) x 2 x 3 1 B(x 2) = A + x 3 x 3

52 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles 1 (x 2)(x 3) = A x 2 + B x 3. Pour déterminer A, on multiplie de chque côté pr (x 2) : qui se simplifie en : puis on choisit x = 2 : x 2 A(x 2) B(x 2) = + (x 2)(x 3) x 2 x 3 1 B(x 2) = A + x 3 x 3 1 = A c est-à-dire A =

53 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles 1 (x 2)(x 3) = 1 x 2 + B x 3. On peut effectuer l même démrche pour trouver B. On multiplie pr (x 3) : qui se simplifie en : x 3 (x 3) B(x 3) = + (x 2)(x 3) x 2 x 3 1 (x 3) = + B x 2 x 2

54 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles 1 (x 2)(x 3) = 1 x 2 + B x 3. On peut effectuer l même démrche pour trouver B. On multiplie pr (x 3) : qui se simplifie en : puis on choisit x = 3 : x 3 (x 3) B(x 3) = + (x 2)(x 3) x 2 x 3 1 (x 3) = + B x 2 x 2 1 = B c est-à-dire B =

55 1er exemple : dénominteur à rcines simples réelles On récpitule : 1 L décomposition en éléments simples donne : 1 x 2 5x + 6 = 1 (x 2)(x 3) = 1 x x 3 2 D où l on déduit l primitive : dx = ln x 2 + ln x 3 + k vec k R. x 2 5x + 6

56 2ème exemple : le dénominteur des rcines multiples Théorème Soit, b deux réels distincts et n, p deux entiers. Alors il existe des réels A 1,..., A n et B 1,..., B p, 1 (x ) n (x b) = A n p (x ) + An 1 A n (x ) n 1 x + Bp (x b) + Bp 1 B p (x b) p 1 x b