5. Dipôle électrostatique

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1 5. Diôl élctostatiqu Excic 8 Mouvmnt oscillatoi d'un diôl dans l cham d'un annau chagé On considè un annau métalliqu d cnt O t d ayon otant un chag Q éati unifomémnt avc la dnsité linéiqu λ (Fig. E8).. Détmin l otntil élctostatiqu n un oint M d l'ax O.. En dédui l cham élctostatiqu au oint M. 3. Tac l'allu d V() t E(). On lac au oint M(,,) un diôl d momnt diolai q d k t d mass m, qui s délac l long d l'ax O. C diôl st constitué d dux chags ( q,+q), dont l cnt st n M t dont la distanc d st faibl dvant la distanc. 4. Qulls sont ls focs qui sont aliqués au diôl? 5. Détmin ls ositions d'équilib du diôl t qull sait la natu d ct équilib? M O k λ y x Fig. E8

2 58 Mohamd Akbi Excics d'élctostatiqu 6. Soit la osition d'équilib stabl du diôl. A l'instant t, on écat c diôl d'un distanc tès faibl dvant ( << ). Détmin la ulsation ds oscillations qui n ésultnt. Solution :. C calcul a été éalisé dans l'xcic. L ésultat obtnu st : λ V M ( ) ε +. L cham élctostatiqu déiv d'un otntil, tl qu : E V otntil st un fonction d sulmnt. Pa conséqunt : dv E E ( ) k k d λ E k ε + ( ) 3. L long d l'ax O, l 3. Ls gahs d V() t E() sont ésntés su la figu E8.. V() E() O Fig. E8. 4. L diôl st lacé dans l cham élctiqu E céé a l'annau chagé. L cham E n'étant as unifom, son action s taduit a: un coul d momnt: L E E sin ( t E sont colinéais ); un foc ésultant : de F qe ( + d ) qe ( ) q E ( + d ) E ( ) k q d k d

3 5. Diôl élctostatiqu 59 où λ E ε ( ) 3 + k t d <<. On obtint : λ F qd k ε 5 ( + ) En généal, on utilis l'xssion : de F gad E gad ( E ) gad ( E ) k d 5. Pou qu'il y ait équilib, il faut qu la foc ésultant soit null : λ F qd k ε 5 ( + ) D'où : ± Il y a donc dux ositions d'équilib : + t La osition d'équilib stabl cosond à + F t t E sont colinéais t d mêm sns; E ( ) E ( ) E ( ) minimal). La osition d'équilib instabl cosond à F (l'éngi otntill E ( ) du diôl st ; t E sont colinéais mais d sns contais; E ( ) E ( ) + E ( ) st maximal). (l'éngi otntill E ( ) du diôl 6. On aliqu la lation fondamntal d la dynamiqu au diôl n mouvmnt. L oids F +. du diôl st négligabl dvant la foc élctostatiqu ( ) On obtint alos:

4 6 Mohamd Akbi Excics d'élctostatiqu ( + ) d ( ) ( ) d d d F ( + ) m m + m m dt dt dt dt La foc élctostatiqu s'xim, d'aès (4), avc + : + λ + λ F qd k qd k ε ε ( ) (( ) ) Soit: + λ F qd λ k qd k 5 5 ε ε λ λ 8 qd k qd k 5 3 ε ε L diôl étant légèmnt écaté d O ( << ), l équation du mouvmnt dvint: Finalmnt, on a: ( ) d λ 8 m qd dt ε ( ) ( ) d λ 8 + qd ( ) dt ε m C st l équation caactéistiqu d un mouvmnt sinusoïdal d ulsation ω t d éiod π T. Ctt équation st d la fom: ω d ( ) + ω ( ) dt Où: q d λ ω 3 3 ε m Donc, la éiod T st donné a: T 3π 3 ε m q d λ On ut xim la éiod n fonction du momnt diolai t d la chag total Q d

5 5. Diôl élctostatiqu 6 l'annau ( q d t Q π λ ). On obtint : T 3π 3π ε m Q Véification d la fomul On utilis l'équation aux dimnsions: En utilisant: On obtint : [ T ] [ 3π ] π [ ε ][ m ] [ ][ Q ] [ Q ] I T ; [ ] [ ] 3 ε M L T Q L M L T I T L ( ) ( ) ( ) T L M L T I T L M I T L I T T Ctt équation st homogèn à un tms. Ell st donc satisfaisant. Excic 9 Stabilité d'un diôl dans l cham d'un fil ctilign infini unifomémnt chagé.. Soit un filamnt ctilign infinimnt long, otant un chag λ a unité d longuu (Fig. E9). En ffctuant un calcul dict, mont qu l cham élctostatiqu céé a ctt distibution d chags n un oint M st donné a: λ E u π ε. On lac un diôl au oint M, distant d du fil, t son momnt diolai fait un angl α avc la diction du fil (Fig. E9)... Calcul la foc xcé su l diôl... Calcul l momnt du coul agissant su l diôl. 3. Calcul l'éngi otntill élctostatiqu du diôl n intaction avc l cham céé a l fil chagé. 4. Détmin ls ositions stabls du diôl losqu'il st maintnu à un distanc fix. π 5. Aès avoi is l'ointation α, l diôl s délac d la distanc à. Calcul la vaiation d l'éngi cinétiqu du diôl.

6 6 Mohamd Akbi Excics d'élctostatiqu Solution :. En utilisant ls ésultats d l'xcic 7, on obtint: λ E ( M ) u π ε. L diôl st lacé dans un cham élctiqu non unifom (invsmnt ootionnl à ). Il st soumis à un foc élctostatiqu donné a: F gad E M ( ) ( ) En coodonnés cylindiqus, l'xssion d la foc F s'écit: F ( u + θ uθ + u ) u + uθ + u E ( ) u θ Soit : ( ) F E u a son xssion, on obtint: En mlaçant l cham E ( ) λ λ F u u π ε π ε Comm l diôl t l fil sont dans un mêm lan, on a : u + u avc sinα t cosα On obtint finalmnt : λ F π ε sinα u 3. L momnt L du coul aliqué au diôl st donné a : L E ( + ) ( ) L E u u E u θ L u u E u Soit : ( ) ( ) Finalmnt : λ L π ε cosα u θ L'éngi otntill du diôl st donné a : E ( M ) E ( M ) ( u + u ) E ( ) u E ( )

7 5. Diôl élctostatiqu 63 Soit : E ( M ) E ( α ) E λ, sinα π ε ( α ) E ( ), sinα 4. Puisqu l diôl st maintnu à un distanc fix, alos l'éngi otntill n dénd qu d la vaiabl α. Ls dux ositions d'équilib du diôl cosondnt aux xtmums d l'éngi otntill, c'st-à-di à: d E dα π cosα α t α 3π π La osition d'équilib stabl cosond à α L'éngi otntill y st minimal, d E n fft π E sin E. > dα π α La osition d'équilib instabl cosond à α 3π L'éngi otntill y st maximal, d E 3 n fft π E sin E. < dα 3π α 5. La vaiation d l'éngi cinétiqu du diôl st égal au tavail d la foc élctostatiqu: Soit : E E E W F d c c final c initial λ E F d sinα u d u Finalmnt, on obtint : c π ε λ d λ λ sinα sinα sinα π ε π ε π ε λ Ec π ε sinα

8 64 Mohamd Akbi Excics d'élctostatiqu Excic Foc xcé su un diôl lacé dans un cham élctiqu non unifom On considè un diôl élctostatiqu, fomé d dux chags onctulls + q t q, séaés a un distanc a. On lac c diôl à un distanc >> a d'un chag onctull Q. L diôl st aligné avc l cham élctostatiqu E céé a Q. Détmin la ésultant ds focs élctostatiqus xcés su l diôl. Solution :. La foc xcé su l diôl st (Fig. E) : F qe + a qe ( ) ( ) Q Où E u 4π ε E st l cham élctiqu céé a la chag Q; il vai n. D'où : Q q Q F q u 4 ( ) u π ε + a 4π ε a + q Q a u + 4π ε E a F ( + d ) F ( ) Q q +q E Utilisons l dévlomnt n séi : Fig. E E

9 5. Diôl élctostatiqu 65 ( ) ( ) ( )( ) n n n n n n ε n ε ε ε 3 3 ± ± + ± + Pou n, c dévlomnt dvint: ( ) 3 ε ε 3ε 4ε En négligant ls tms d'od t lus, on obtint : q Q a F u 4π ε q Q a Soit : F u 3 4π ε La foc F ut s'xim n fonction du momnt diolai q a u : Q F 3 4π ε u