Statistiques II Sc. Éco. & Gestion (S3) Pr. M. El Merouani 3-Notation ensembliste des événements :

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1 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua Chaptre : roaltés I Itroducto : -Epreuve ou expérece : O appelle épreuve ou expérece ue certae acto que l o peut répéter pluseurs fos ar exemple : lacer u dé lacer ue pèce de moae our ue épreuve détermée, l y a pluseurs résultas possles, par exemple : Das l épreuve «lacer u dé», l exste résultats possles : les valeurs,,, 4,, das l épreuve «lacer ue pèce de moae», l exste deux résultats possles : ple et face Il est mportat de e dstguer les cas possle des cas favorales, c est-à-dre des cas que l o veut oter e épreuve est dte aléatore lorsqu o e peut pas savor avec certtude so résultat car elle est soumse au hasard -Evéemet : évéemet est la réalsato d u résultat possle à la sute d ue épreuve O dt que cet évéemet est aléatore, lorsque sa réalsato est soumse au hasard De tels évéemets serot par exemple : oter la valeur e laçat u dé ameer face e laçat ue pèce de moae -otato esemlste des évéemets : E utlsat la otato esemlste pour ue épreuve aléatore doée, l sera possle de oter : l esemle Ω de tous les résultats possles appelé esemle fodametal ou uvers Les sous-esemles de Ω, otés avec des lettres majuscules,, C, représeterot les évéemets quad ls sot réalsés Les complémetares des esemles otés,, C représeterot les évéemets quad ls e sot pas réalsés O les appelle les évèemets cotrares représetera le fat que l évèemet ou l évèemet est réalsé, c est-à-dre au mos u des deux

2 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua représetera le fat que les évèemets et sot réalsés smultaémet Deux évéemets et qu e peuvet pas se réalser smultaémet sot dts compatles et o a Ø Ø représetera l évèemet mpossle Ω représetera l évèemet certa sa réalsato est évtale S l évèemet mplque l évèemet c est-à-dre s est réalsé chaque fos que est réalsé, o ote S et, alors, das ce cas tous les deux se réalset à la fos ou aucu des deux e se réalset Exemple : Cosdéros l épreuve de «Lacer u dé», alors Ω {,,, 4,, } Sot les évèemets suvats : {apparto d u uméro par} {, 4, } {apparto d u uméro mpar} {,, } C {apparto du uméro tros} {} lors o a : l évèemet C mplque car C C est dt u évèemet élémetare et sot deux évéemets compatles car Ø Exercce : Soet tros évèemets, et C défs sur ue même épreuve O demade de représeter à l ade de la otato esemlste : se réalse, se réalse et C e se réalse pas se réalse, e se réalse pas et C e se réalse pas parm,, C deux évèemets quelcoques se réalset et u e se réalse pas Soluto : C C qu e se réalse pas est représeté par le complémetare de C, c est-à-dre l évèemet cotrare C C C C C

3 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua usque la proposto posée s exprme de la faço suvate : sot et sot réalsés et C e l est pas Sot et C so réalsés et e l est pas Sot et C sot réalsés et e l est pas, le dagramme de Ve correspodat est le suvat : II Déftos de la proalté : -Défto axomatque de la proalté : Sot Ω l esemle fodametale d ue épreuve aléatore Sot Ω l esemle des partes de Ω, c est doc l esemle de tous les évèemets aléatores lors à chaque évèemet de Ω, o assoce u omre qu exprme le degré de posslté de réalsato de l évèemet, avec 0, appelé proalté de l évèemet et vérfat les proprétés suvates : Ω S et sot deux évèemets compatles alors -Coséqueces : C Ω Sot Ω o a : et Ā sot deux évèemets compatles, c est-à-dre qu ls e se réalset pas smultaémet et que Ā Ø alors Ā Ā Ω E partculer, Ø Ω - 0 La récproque est pas toujours vrae : u évèemet peut avor la proalté ulle sas qu l sot l évèemet mpossle S alors - E effet, comme - pusque alors - car -

4 Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua 4 Doc 4 roalté de la réuo de deux évèemets compatles : E effet o a De même Doc D autre part, D où e coséquece de la proprété autéreure est la sous-addtvté de O a lors - Défto fréquetelle de la proalté : S, das ue épreuve aléatore, u évèemet se réalse favoralemet fos, sachat qu l exste résultats possles das cette épreuve < la fréquece relatve de est, f f ted vers la proalté de l évèemet, s l o répète u grade omre de fos l épreuve aléatore O a doc, lm f f lm Selo cette défto, la proalté d u évèemet est le rapport du omre de cas favorales au omre de cas possle : wwwelmerouajmdocom

5 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua omre de Cas favorales Règle de Laplace omre de Cas possles s, u prolème de proalté se ramèera souvet à u prolème d aalyse comatore ou de déomremet des cas favorales et des cas possles Remarque : Cette règle de Laplace doée das le cas des évèemets équproales, c est-à-dre que les évèemets aléatores compatles de l épreuve cosdérée sot supposés avor la même proalté de réalsato Exemple : Sot l épreuve «lacer ue pèce de moae» Quel est la proalté d oter «face»? Il y a cas possles sot ple, sot face Et l y a u cas favorale, ue face, doc face Exemple sute : Sot l épreuve «lace d u dé» Dé o truqué ses faces sot équproales la proalté d ue face est Sot l évèemet {apparto d u uméro mpar} {,, } lors o peut applquer la règle de la place, our calculer la proalté de, o a re de cas favorales/re de cas possles Remarque : Les proprétés de la proalté restet vérfées pour cette défto fréquetelle, o a : le omre de cas favorales est au plus égal au omre de cas possles ce qu permet d étalr l égalté suvate : 0 Cette égalté mplque que 0 sot l évèemet cotrare de l évèemet le omre de cas favorales à la réalsato de est - doc, sa proalté est :

6 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua Exercce : de même pour les autres proprétés e ure cotet oules laches et 4 ors O e tre au hasard ue oule Trouver la proalté pour que celle-c sot lache Soluto : Sot l évèemet { apparto d ue oule lache}das cette épreuve le omre total de cas possles est égal à 7 et chaque oule est extrate avec la même proalté codto d équproalté Le omre des cas favorales à l évèemet est égal à D après la règle de la place 7 III roalté codtoelle : - Défto : Sot u évèemet tel que >0 La proalté d u évèemet calculée sous la codto que a a été réalsé, que l o ote a : s appelle la proalté codtoelle de l évèemet par l évèemet a et o vec >0 alogquemet, o peut défr O dédut alors que vec >0 Et Théorème des proaltés composées - Evèemet dépedats et évèemets dépedats : O cosdère deux évèemets et L évèemet est dt dépedat de l évèemet s Sa proalté e déped pas de la réalsato ou de la o réalsato de c'est-à-dre / das le cas cotrare,s /,l évéemet déped de La dépedace et l dépedace des évéemets so t toujours mutuelles : s e déped pas de, o -plus e déped pas de et versemet Les évéemets et sot dts dépedats, s l apparto de l u d eux flue pas sur la proalté de l apparto de l autre

7 Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua 7 Le théorème des proaltés composées acquert ue forme partculèremet smple lorsque les évéemets qu costtuet le produt sot dépedats : -Coséquece : S et sot deux évèemet dépedats alors l e est de même de et E effet : Il sufft de motrer que : O sat que Lo de Morga Doc [ ] Mas, comme et sot dépedats, o a D où [ ] Remarque : La oto d dépedace joue u rôle fodametal das la théore des proaltés et ses applcatos La majorté des résultats e proaltés s oteet sous l hypothèse d dépedace 4-Théorème de la proalté totale et théorème de ayes : théorème de la proalté totale : Soet les évéemet, qu costtuet ue partto de c est a dre { } j j j Ω ;,,,, φ Sot u évéemet quelcoque lors o a : Théorème de la proalté totale Remarque : wwwelmerouajmdocom

8 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua O emploe le théorème de la proalté totale pour calculer la proalté d u évéemet das les prolèmes dot l ssue aléatore a «deux étapes», la Exercce : Exemple d applcato du théorème de la proalté total O cosdère deux ceres ; la premère cotet oules laches et ors et la secode 4 laches et ores O chost l ue des deux ures au hasard t o tre sas remse oules de cette ure Calculer la proalté que les oules trées soet laches Soluto : Soet les évéemets : : «Le trage se fat das l ure» : «Le trage se fat das l ure» : «les oules trées sot laches» D après le théorème de la proalté totale : Or 4 roalté de trage de la eme oule roalté de trage de la premère oule 8

9 Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua 9 Doc 0, 4 Démostrato du théorème des proaltés totales : O a Ω Et φ j pour j Comme j avec j Ω ; φ o a [ ] C est-à-dre Démostrato du théorème de YES : O a : / ; K lors le théorème de la proalté total, oue permet d écrre / p D où K K K Exercce : O cosdère tros ures ; la premère cotet oules laches et tros ors, la secode 4 laches et deux ores et la eme laches O chost l ue des tros ures au hasard et o tre smultaémet deux oules de cette ure sachat que les deux oules extrates sot laches, calculer la proalté quelle provee de la deuxème ure Soluto : wwwelmerouajmdocom

10 Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua 0 Soet les évéemets : : «le trage se fat das la premère ure» : «le trage se fat das la deuxème ure» : «le trage se fat das la trosème ure» : «les deux oules trées sot laches» O à d après le théorème de YES : 4 et O trouve : 0, remère étape met e jeu les codtos de l épreuve et la deuxème, la réalsato o la o- réalsato de l évéemet - Théorème de YES : Les proaltés codtoelles d u évéemet quelcoque tel que rapport à chacu des élémets de la partto ; /, sot gééralemet doées das les prolèmes Mas, les proaltés du type / e le sot pas our les calculer, o utlse le théorème de YES : wwwelmerouajmdocom

11 wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua Remarque : Les proaltés,,, Sot les proaltés avat l épreuve aléatore elles sot appelées de proalté à pror près avor réalsé l épreuve, supposos qu l e résulte l évéemet et que l o coaît ses proaltés codtoelles /,,/elles sot appelées des vrasemlaces Le théorème de YES ous doe, doc, les proaltés après l épreuve elles sot appelées des proalté à posteror codtoelles par rapport à l évéemet qu e résulte, /,,/