CALCUL DE PRIMITIVES

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1 CALCUL DE PRIMITIVES Calculer une primitive des fonctions suivantes en les mettant sous la forme u f (u) a) + 6 b) e + e c) 4 d) e) ( + ) f) e 6 e g) cos 9 sin h) e 4 e i) Calculer une primitive des fonctions suivantes en utilisant éventuellement une intégration par partie a) e b) e cos c) arctan d) arcsin e) sin ln cos f) e g) sh h) cos( ) Calculer une primitive des fonctions suivantes a) 49 4 b) 5 ( 4) c) 7 ( + )( )( ) d) 6 ( ) e) ( 5) f) 5 + ( + )( 5) g) + + h) i) j) + ( + ) 5 k) ( ) l) ( + ) 4 Calculer une primitive des fonctions suivantes a) 9 4 b) 5 e c) + + d) Calculer une primitive des fonctions suivantes a) sin 4 b) tan + tan c) sin cos (cos ) d) + cos e) 4 sin cos f) cos 4 g) sin + sin h) cos + sin

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3 Corrigé Remarque : Dans les calculs et les résultats les constantes seront omises a) On écrit + 6 = 6 ( 4 ) + Si l on pose pour R u() = /4 on a u () = /4 et donc + 6 = 4 u () u() + on a donc + 6 = 4 arctan u() = 4 arctan 4 b) Si l on pose pour R u() = e on a u () = e donc e + e = u () u() + et l on obtient e + e = arctan u() = arctan e c) Si l on pose pour ] [ u() = on a u () = donc 4 = u () u() et l on obtient 4 = arcsin u() = arcsin d) Si l on pose pour > u() = on a u () = donc = u () u() et l on obtient = u() = e) Si l on pose pour > u() = on a u () = donc ( + ) = u () u() +

4 et l on obtient ( + ) = arctan u() = arctan f) On écrit e e = 6 e 4 ( ) e 4 Si l on pose pour < ln 4 u() = e /4 on a u () = e /4 donc e 6 e = u () u() et l on obtient e 6 e = arcsin u() = arcsin e 4 g) Si l on pose pour R u() = sin on a u () = cos donc cos 9 sin = u () u() et l on obtient cos sin = arcsin u() = arcsin 9 sin h) Si l on pose pour < ln 4 u() = 4 e on a u () = e donc e 4 e = u () u() et l on obtient e 4 e = u() = 4 e i) On écrit = Si l on pose pour > ou < u() = on a u () = d où alors = u () + u() = arctan u() = arctan et = u () + 4

5 On utilise la formule d intégration par partie v()u () = u()v() v ()u() a) En prenant v() = et u () = e on a v () = et u() = e d où e = e + e Puis on recommence en prenant v() = et u () = e on a v () = et u() = e d où e = e + e = e e Finalement e = ( )e b) En prenant v() = e et u () = cos on a v () = e et u() = e cos = e sin e sin sin d où Puis on recommence en prenant v() = e et u () = sin on trouve v () = e et u() = cos d où e sin = e cos + e cos On obtient alors e cos = e sin + 4 e cos 9 4 e cos d où ( + 9 ) 4 e cos = e sin + 4 e cos On en déduit finalement en multipliant par 4/ e cos = e sin + e cos c) En prenant v() = arctan et u () = on a v () = et u() = d où + arctan = arctan + Mais + = ( + ) + 5

6 admet comme primitive ln( + ) d où arctan = arctan ln( + ) d) En prenant si ] [ v() = arcsin et u () = on a v () = d où arcsin = arcsin et u() = Mais = ( ) admet comme primitive d où arcsin = arcsin + e) En prenant si ] π/ + kπ π/ + kπ [ (k Z) v() = ln cos et u () = sin on a v () = sin et u() = cos d où cos sin ln cos = cos ln cos sin d où sin ln cos = cos ln cos + cos f) En prenant v() = et u () = e on a v () = et u() = e d où e = e + e d où e = e e g) En prenant v() = et u () = sh on a v () = et u() = ch d où sh = ch ch Puis on recommence en prenant v() = et u () = ch on a v () = et u() = sh On a donc ch = sh sh On recommence encore en prenant v() = et u () = sh on a v () = et u() = ch On a donc sh = ch ch = ch sh 6

7 En remplaçant on obtient sh = ch sh + 6 ch 6 sh h) En prenant v() = et u () = cos on a v () = et u() = sin d où cos = sin sin = sin + cos a) La fraction rationnelle a comme pôles 7/ et 7/ On a donc 49 4 = a 7 + b + 7 = a 7 + b + 7 On obtient en réduisant au même dénominateur 4(a + b) + 4(a b) = et en identifiant a + b = 0 et 4(a b) = d où b = a = /8 et donc 49 4 = On en déduit si ±7/ 49 4 = ln 7 = 8 ln b) La fraction rationnelle a comme pôles et et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur On a donc On obtient en réduisant au même dénominateur et en identifiant a + b = 5 et 4a = d où 5 ( 4) = a + b 4 5 (a + b) 4a = ( 4) ( 4) 5 ( 4) = + 4 On en déduit si 0 et 4 5 = ln + ln 4 ( 4) 7

8 c) La fraction rationnelle a comme pôles 0 et 4 et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur On a donc En multipliant par + on obtient 7 ( + )( )( ) = a = a + ( + ) ( )( ) Donc en donnant à la valeur on trouve a = 4 En multipliant par on obtient 7 = b + ( ) ( + )( ) Donc en donnant à la valeur on trouve b = 5 En multipliant par on obtient 7 = c + ( ) ( + )( ) b + ( b + ( a + + ( a + + Donc en donnant à la valeur on trouve c = Finalement c c ) c ) b ) 7 ( + )( )( ) = On en déduit si 7 = 4 ln + 5 ln + ln ( + )( )( ) d) La fraction a un unique pôle double et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur On a donc 6 ( ) = a ( ) + b En réduisant au même dénominateur on obtient et en identifiant b = 6 et a b = d où 6 ( ) = b + a b ( ) 6 ( ) = 5 ( ) + 6 On en déduit si 6 ( ) = ln e) La fraction a un pôle double 0 et un pôle simple 5/ et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur On a donc ( 5) = b + c + d 5/ 8

9 En multipliant par on obtient = b + c + 5/ Donc en donnant à la valeur 0 on trouve b = 5 En multipliant par 5 on obtient 9 ( b = d + ( 5) + c ) Donc en donnant à la valeur 5/ on trouve b = / On a donc ( 5) = 5 + c + 5/ Il reste à calculer le coefficient c En donnant à la valeur on obtient = 5 + c d où c = 7 Finalement = 5 ( 5) 7 + 5/ On en déduit si 0 et 5/ = 5 7 ln + ln 5 ou encore ( à une constante près) = 5 7 ln + ln 5 f) La fraction a deu pôles simples et 5 De plus le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur Donc 5 + ( + )( 5) = a + b + + c 5 Le nombre a est le rapport des termes de plus haut degré Donc a = En multipliant par + on obtient ( 5 + = b + ( + ) a + c ) 5 5 Donc en donnant à la valeur on trouve b = 5/ En multipliant par 5 on obtient ( = c + ( 5) a Donc en donnant à la valeur 5 on trouve c = 4/ Finalement 5 + ( + )( 5) = b ) + 5 On en déduit si et = ( + )( 5) ln ln 5 9

10 g) La fraction n a pas de pôle réel car le trinôme + + a pour discriminant = On fait apparaître la dérivée du dénominateur + + = En utilisant le fait qu une primitive de /(a + b + c) est on obtient + + = ln( ++) arctan a + b arctan + = ln( ++) arctan + h) La fraction n a pas de pôle réel car le trinôme a pour discriminant = 4 On fait apparaître la dérivée du dénominateur = En utilisant le fait qu une primitive de /(a + b + c) est arctan a + b on obtient = 8 ln( ) + 4 = 8 ln( ) arctan 4 4 arctan + 4 i) La fraction a deu pôles simples et De plus le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur le degré de la fraction vaut Donc = a + b + c + d + En effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur on trouve : On a donc et = = + 4 ( )( + ) = c + d + 0

11 En multipliant par on obtient + 4 d( ) = c Donc en donnant à la valeur on trouve c = 5/4 En multipliant par + on obtient + 4 c( + ) = d + Donc en donnant à la valeur on trouve d = /4 Finalement = On en déduit si et + + = ln ln + 4 j) La fraction a un pôle unique Posons X = + On a alors On en déduit donc + ( + ) 5 = (X ) + X X 5 = X X + 4X X 5 + ( + ) 5 = X X 4 X + X = ( + ) ( + ) 4 ( + ) + ( + ) On obtient alors + ( + ) 5 = 4 ( + ) 4 4 ( + ) + ( + ) + k) La fraction n a pas de pôle réel car le discriminant du trinôme vaut = 4 On intègre par parties En prenant v() = et u () = on a v + 4 () = ( ) et u() = d où = ( ) Mais donc On a donc = + 4 = ( + ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

12 Mais en faisant apparaître la dérivée du polynôme on écrit Donc On obtient donc = d où ( ) = + 4 ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) = Il reste à calculer la dernière primitive qui vaut arctan( + ) et l on obtient ( ) = arctan( + ) ( ) l) Cherchons une primitive de /( + ) n en intégrant par partie En prenant v() = et u () = on a v n () = ( et u() = d où + ) n+ ( + ) n = ( + ) n + n ( + ) n+ Mais On en déduit d où et finalement Pour n = on trouve ( + ) n+ = ( + ) ( + ) n+ = ( + ) n ( + ) n+ ( ( + ) n = ( + ) n + n ( n) ( + ) n ( + ) n = ( + ) n n ( + ) n+ = n ( + ) n + n n ( + ) = 4 ( + ) + 4 Pour n = on trouve ( + ) = + + Finalement ) ( + ) n+ ( + ) n+ ( + ) n ( + ) + = + + arctan ( + ) = 4 ( + ) arctan ( + ) n

13 4 a) On écrit 9 = Si l on pose pour < < u() = 9 4 on a u () = 9 4 = u () u() et 4 = 9 u () d où En décomposant en éléments simples on obtient facilement X 9 = ( 6 X ) X + d où 9 = 4 (ln u() ln + u() = ln u() + u() On peut transformer cette epression en multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur 9 = 4 ln ( u()) 9 u() et en remplaçant u() par sa valeur : 9 = ( 9 ln 4 ) 4 4 = 6 ln( 9 4 ) ln b) On écrit si < (ln 5)/ 5 e = e 5e Si l on pose u() = 5e on a u () = 5e d où 5 e = 5 u () u() donc = ln u() + u() = ln 5e + 5e 5 e 5 5 en mettant e en facteur on peut aussi écrire = (ln e e = ( ln e ) 5 e 5 5 c) On met + + sous la forme canonique + + = ( + ) + 4 on peut alors écrire + + = 4 [ ( ( ] + + ))

14 En posant on a u () = d où On a donc u() = ( + ) = = u () + u() + + = ln(u() + u() + ) En remplaçant u() par sa valeur on trouve + + = ln + + ( ) + + en simplifiant il vient (à une constante près) + + = ln( ) d) On met + + sous la forme canonique + + = 4 ( ) on peut alors écrire En posant ( ( ) ) + + = 4 u() = on a u () = et = u() + d où si ] [ + + = u() + u() u () = u()u () + u () u() u() Alors + + = u() + arcsin u() En remplaçant u() par sa valeur on trouve + + = ( ) +arcsin = + + +arcsin 5 a) On linéarise l epression sin 4 = ( e i e i i ) 4 = 6 (e4i 4e i + 6 4e i + e 4i ) = (cos 4 4 cos + ) 8 4

15 On en déduit immédiatemment sin 4 = ( ) sin 4 sin b) On se place sur un intervalle ne contenant pas π/ + kπ (k entier) En effectuant la division euclidienne de X + X par X + On obtient En remplaçant X par tan on obtient X + X = (X + )(X + ) X tan + tan = (tan + )(tan + ) sin cos Or en posant u() = tan on a u () = + tan donc (tan + )(tan + ) = (u() + )u () = u() + u() donc (tan + tan ) = tan + tan + ln cos c) On se place sur un intervalle ne contenant ni π/ + kπ ni k π (k et k entiers) Si l on pose u() = cos on a u () = sin et sin cos (cos ) = u () u()(u() ) En décomposant en éléments simples on obtient facilement donc Finalement sin cos (cos ) = u(u ) = u u sin cos (cos ) = u () u() u () u() u () u() u () = ln cos ln( cos ) u() d) La fonction est définie sur R tout entier Cependant pour calculer sa primitive + cos on va l eprimer en fonction de tan et introduire des discontinuités en kπ pour k entier On a + cos = + tan + tan Donc en simplifiant + cos = + tan + tan Si l on pose u() = tan on a u () = ( + tan ) 5

16 et Alors + cos = u () u() + + cos = arctan u() = arctan tan Cette primitive est obtenue sur des intervalles de la forme ] (k )π (k + )π [ (k entier) et non pas sur R e) La fonction est définie si arctan(/4) + kπ (k entier) Pour calculer 4 sin cos sa primitive on va l eprimer en fonction de tan et introduire d autres discontinuités en k π pour k entier On a 4 sin cos = 8 tan + tan tan + tan = + tan tan + 8 tan Si l on pose u() = tan on a u () = ( + tan ) et 4 sin cos = u () u() + 8u() On décompose facilement en éléments simples la fraction et / On a X + 8X = X + 8 X = X qui a comme pôles réels + 8X a X + + b X / Par eemple en réduisant au même dénominateur et en identifiant on obtient d où a = b = /5 Donc Finalement a + b = 0 et b a/ = / 4 sin cos = 5 u () u() u () u() / 4 sin cos = 5 ln tan tan 5 ln + f) La fonction cos 4 est définie si π/ + kπ (k entier) On peut l eprimer en fonction de tan : cos 4 = ( + tan ) donc si l on pose u() = tan on a u () = + tan et cos 4 = u ()( + u() ) 6

17 Alors g) La fonction u() cos 4 = u() + = tan + tan sin + sin est définie si π/ + kπ (k entier) Si l on pose u() = + sin on a u () = cos et sin = u() d où sin sin cos = = (u() )u () + sin + sin u() donc Alors sin = u()u () u () + sin u() sin + sin = 4 u()/ 4 u() = 4 u()(u() ) et finalement sin + sin = 4 + sin (sin ) h) Même méthode que dans l eercice précédent cos = ( sin ) cos = ( (u() ) )u () + sin + sin u() En développant et en simplifiant cos = (u() u() )u () = u()u () u() / u () + sin u() Alors cos + sin = 4 u()/ 5 u()5/ = 4 ( + sin )/ 5 ( + sin )5/ 7