dt Transformation de l équation différentielle en utilisant les théorèmes des dérivées successives en fonction de

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1 Transformée de Lalace : résoluion d équaions différenielles linéaires Méhode Résoluion de l équaions différenielles du remier ordre : T ds ( ) + s( ) = Ke( ). d Transformaion de l équaion différenielle en uilisan les héorèmes des dérivées successives en foncion de ds() l ordre de l équaion, ici le héorème de la dérivée ère : d = S() - s(0 + ) Ici les condiions iniiales son nulles KE( ) [eq] : TS()+S() = KE() = S()[+T] S( ) = + T C es l exression de la soluion S() de l équaion différenielle dans le domaine de Lalace (ou symbolique) our une enrée E(). -a- Déerminer s() our une enrée en échelon e() = E 0 u() E e() = E 0 u()= E() 0 KE0 = S() =, il suffi de rouver la ransformée inverse de cee ( + T) exression our avoir la soluion de l équaion dans le domaine emorel. Ce reour se fai généralemen en uilisan un ableau de ransformées mais il eu êre nécessaire de décomoser la fracion raionnelle exression de S() en élémens simles. Décomosiion ar idenificaion : KE0 a b a( + T) + b (at + b) + a a = KE0 S() = = + = = ( + T) + T ( + T) ( + T) b = KTE0 KE0 KTE 0 S() = s() = KE T T 0 KTE 0. e u() = KE0 e u() + T T Remarques : - =. C es cee forme qui figue dans le ableau our l exonenielle ( + T) T + T - Les condiions iniiales (ici nulles) son direcemen inégrées dans la soluion. -b- Déerminer s() our une enrée en rame e() = a..u() a Ka e() = a..u() = E() = S() =, résence d un ôle double donc la décomosiion de ( + T) cee fracion raionnelle es de la forme : Ka ( + T) + ( + T) + ( + T) + ( + T) + S() = = + + = = ( + T) + T ( + T) ( + T) α β γ α β γ γ β β α α α = Ka α = Ka + T = 0 = akt S() = + s() = ak T + Te u() Ka akt akt T β α β + T γ + βt = 0 γ = akt -c- Déerminer s() our une enrée harmonique e() = E 0 u()sinω ω e() = E 0 sinω.u() = E() = S() =, résence de deux ôles comlexes + ω ( + ω )( + T) conjuguais. La décomosiion eu rendre la forme (conseillée) suivane : a + b c (a + b)( + T) + c( + ω ) S() = = + = ( + ω )( + T) ( + ω ) ( + T) ( + ω )( + T) /5

2 + = Transformée de Lalace : résoluion d équaions différenielles linéaires 0ω ω ω KE (a + b)( + T) + c( + ) (c + at) + (a + bt) + c + b S() = = = ( + ω )( + T) ( + ω )( + T) ( + ω )( + T) cω b KE ω a + bt = 0 bt c = 0 b( + T ) = KE b = a = c = + ω T + ω T + ω T c + at = 0 S() = ( 0 T T ω 0ω ω )( T) ω T ( ω ) ( T) ω T ω ( ω ) ω T T T T ω T T = + = + s() = sinω T cosω + Te T + ω T ω Méhode our rouver raidemen ceraine consane de la décomosiion en élémens simle -5- Déerminer la foncion y = f() soluion de l équaion différenielle : y () + 6y () + 5y() = e() avec : e() = u() e les condiions iniiales suivanes : y(0) =, y (0) = Pour cee équaion les condiions iniiales ne son as nulles : L[y ]= Y()-- ; L[y ]= Y()- D où : Décomosiion en élémens simle : même dénominaeur suivi d une idenificaion On mulilie les deux membres de cee égalié ar Y() = Y() = ( + 5)( + ) a b c Y() = = + + ( + 5)( + ) ( + 5) ( + ) ( ) a b c ( ) b c = + + = a + + ( + 5)( + ) ( + 5) ( + ) ( + 5)( + ) ( + 5) ( + ) ( ) b.0 c.0 = a + + a = (0 + 5)(0 + ) (0 + 5) (0 + ) 5 Puis on fai =0 dans cee dernière exression : On mulilie les deux membres de l égalié ar +5 ( + 5)( ) a( + 5) b( + 5) c( + 5) ( ) a( + 5) c( + 5) = + + = + b + ( + 5)( + ) ( + 5) ( + ) ( + ) ( + ) Puis on fai =-5 dans cee exression (( 5) 40 + ) a( 5 + 5) c( 5 + 5) = + b + b = = 5( 5 + ) 5 ( 5 + ) 0 5 On mulilie les deux membres de l égalié ar + ( )( 8 ) a( ) b( ) c( ) ( 8 ) a( ) b( ) = + + = + + c ( + 5)( + ) ( + 5) ( + ) ( + 5) ( + 5) Puis on fai =- dans cee exression ( 8 ) a( ) b( ) = + + c c = = ( + 5) ( + 5) 4 5 e D où : Y() = + s() = + e u() 5 5( + 5) ( + ) 5 5 Décomosiion en élémens simle avec cee méhode dans le cas de ôles muliles Soi la fracion raionnelle : Y() = = a + b + c ( + ) ( + ) ( + ) avec une aure mehode que la réduion au /5

3 Transformée de Lalace : résoluion d équaions différenielles linéaires Avec un ôle double on donne une fois à la valeur de la racine du erme considérée, e une aure fois on fai endre vers l infini : ( + ) a b c = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a ( ) b c( )our on obien : b = = = ( + ) a b c Puis : = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a b = ( + ) + + c Lorsque On obien : a + c = 0 ( + ) ( + ) Avec un ôle rile on donne une fois à la valeur de la racine du erme considérée, uis on fai endre vers l infini : soi la foncion F() = ( + ) a b c d d = = a + b + c + On mulilie ar : ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Pour = 0 on obien a =, uis on mulilie ar : a b c d a b d = = + + c + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Il n es as ossible de rendre = 0, on déerminera donc la limie de l égalié lorsque : a b d Limie = 0 = Limie + + c + = ( c + d) = c + d ( + ) ( + ) On obien donc une relaion : c + d =0 Pour obenir b on donne une valeur (simle ici ar exemle) à e on calcule : a b c d = ( + ) ( + ) our cee valeur : d d = a + b + c + a + b + c + = 4 d On obien une nouvelle relaion : a + b + c + = ; on a donc un sysème de 4 équaions à quare inconnues. 4 Si on a un ôle de degré 4 ou un ôle rile e un ôle double, on calculera l égalié our deux valeurs différenes de. Exercice N -- Les condiions iniiales éan nulles, résoudre l équaion différenielle : d ( h( ) ) d ( h( ) ) h( ) = u( ) d d -- Déerminer direcemen uis en uilisan les héorèmes aroriés les valeurs limies de h() -- Résoluion : d ( h( ) ) d ( h( ) ) L h( ) = u( ) 5 H ( ) 8 H ( ) H ( ) = + + = d d a b c H ( ) = ( ) = = 5 ( )( ) /5

4 Transformée de Lalace : résoluion d équaions différenielles linéaires b c H ( ) = = a + + a = ( ) a( + ) c( + ) ( + ) H ( ) = = + b + our =- b = 5 ( + ) a( + ) b( + ) ( + ) H ( ) = = + +c our =- c = 5 5 ( + ) c e 5e H ( ) = + L [ H ( ] = h( ) = Limies : 5 Limie h( ) = + = 0 ; Limie h( ) = : 0 En uilisan les héorèmes des valeurs iniiale e finale : Limie h( ) = Limie H( ) = Limie = 0 0 5( + )( + ) 5 Limie h( ) = Limie H( ) = Limie = 0 0 5( + )( + ) 5 Exercice N -- Les condiions iniiales éan nulles, résoudre l équaion différenielle : ( ( )) ( ( )) d g d g d + + g( ) = u( ) d 5 -- Déerminer direcemen uis en uilisan les héorèmes aroriés les valeurs limies de h() -- ( ( )) ( ( )) d g d g d + + g( ) = u( ) G( ) = d ( + + ). Les racines du olynôme ( + + ) son comlexes conjuguées il fau donc mere ce olynôme sous la forme + ω avec = + α ce qui condui a écrire : ω α ω α α ω + = ( + ) + = = + + 4/5

5 Transformée de Lalace : résoluion d équaions différenielles linéaires α = α = + + = α ω = ω = a b + c G( ) = = + ( + + ) + + ( b + c) G( ) = = a + a = ( + + ) + + La décomosiion en élémens simles donne donc : ( b + c) b + c G( ) = = + = ( + + ) D( ) ( b + c) = b + c = ( b + ) + ( c + ) + + G( ) = = Rael : héorème de l amorissemen ou décalage fréqueniel : + L [ ] = e cos ; + + D où : g() = cos sin [e -α f()] = F(+α) => F(+α)] = e -α f()] e e L [ ] sin + + = e Limie g( ) = cos 0 sin 0 = 0 ; Limie g( ) = : -- Limies : 0 En uilisan les héorèmes des valeurs iniiale e finale : Limie Limie Limie 0 g( ) = G( ) = = Limie g( ) = Limie G( ) = Limie = /5