CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est dérivle sur I et pour tout x de I, F'( x) = f( x) L fonction f : x 0x+ dmet pour primitive sur R l fonction f dmet ussi l fonction : 5 + + F'( x) = F '( x) = f( x) = 0x+ F: x 5x + x F x x x pour primitive sur R ; en effet Théorème Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une primitive de f sur I Toute primitive de f sur I est de l forme G : x F( x) + C où C est une constnte réelle Démonstrtion G est dérivle sur I et G' = F' = f Gérrd Hirsch Mths54

Primitives et intégrles Cours Donc, x I, G'( x) F'( x) = ( G F)'( x) = 0 Puisque ( G F)' = 0 sur I, lors d près un théorème du chpitre dérivtion G F = C où C est une constnte réelle Pr conséquent : x I, G( x) = F( x) + C Interpréttion grphique : les coures représenttives des fonctions primitives de f se déduisent les unes des utres pr les trnsltions de vecteur C j r vec C R Soit f l fonction définie sur R pr : 4 ( ) = + 5 + 5 f x x x x x Déterminer les primitives F de f sur R. f est une fonction polynôme, donc f est continue sur R et elle dmet des primitives sur R. D près le tleu des primitives usuelles, les fonctions :,,,, 4 x x x x x x x x x dmettent respectivement pour primitives les fonctions : 5 4 x x x x x, x, x, x, x x 5 4 L fonction f dmet pour primitives sur R les fonctions F : 5 4 x x 5 F( x) = + x + x 5 x+ C, où C R 5 Soit f l fonction définie sur R pr : f ( x) = cos4x sinx+ cosx Déterminer les primitives F de f sur R. L fonction f est continue sur R et elle dmet des primitives sur R. D près le tleu des primitives usuelles, les fonctions : x cos 4 x, xsin x, x cos x dmettent respectivement pour primitives les fonctions : Gérrd Hirsch Mths54

Primitives et intégrles Cours x sin 4 x, x cos x, x sin x 4 L fonction f dmet pour primitives sur R les fonctions F : F( x) = sin 4x+ cos x+ sin x+ C, où C R 4. Primitive prennt une vleur donnée en un point donné Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Soit x 0 un réel pprtennt à I et y 0 un réel quelconque. Alors, il existe une primitive F de f, et une seule, telle que F( x ) = y 0 0 Démonstrtion Soit F une primitive de f sur I, lors d près le théorème précédent, toute primitive de f sur I est une fonction G de l forme G : x F( x) + C vec C R L condition Gx ( 0) = y0 donne F( x0) + C = y0 ou encore C = y0 F( x0) Puisque nous vons trouvé une vleur et une seule de C, il existe donc une primitive et une seule de f sur I telle que F( x ) = y, soit l fonction F : x F( x) + y0 F( x0) 0 0 Interpréttion grphique Prmi toutes les coures représentnt les primitives de f sur I, il en existe une et une seule pssnt pr le point de coordonnées ( x0, y 0) Soit f l fonction définie sur R pr : f x x x : + Déterminer l primitive F de f sur R qui s nnule en Gérrd Hirsch Mths54

Primitives et intégrles Cours L ensemle des primitives de f sur R sont les fonctions x F( x) = x + x + C vec C R L condition F () = 0 impose soit F() = + + C= 0 5 C = + = 6 L primitive de f qui s nnule pour x = est l fonction x 5 F( x) = x + x 6 Soit f l fonction définie sur R pr : f : x sin x Déterminer l primitive F de f sur R qui prend l vleur pour L ensemle des primitives de f sur R sont les fonctions π x = F( x) = cosx + C vec C R L condition F( π ) = impose soit π F( ) = cos π+ C = C = puisque cos π= L primitive de f qui prend l vleur pour π x = est l fonction F( x) = cosx+ Gérrd Hirsch Mths54 4

Primitives et intégrles Cours. Primitives des fonctions usuelles L lecture à l envers du tleu donnnt les fonctions dérivées des fonctions usuelles permet de dresser un premier tleu de primitives usuelles. Fonction f Primitive Fdef Sur I définie pr f( x) = où est une constnte F( x) = x+ C, C R I = R n n+ f( x) = x x + C, C R I = R ( n N ) n + f( x) = + C, C R I = 0, + ou I =,0 x x f( x) = F( x) = x + C, C R I = ] 0, + [ x ] [ ] [ f( x) = sin x F( x) = cos x+ C, C R I = R f( x) = cos x F( x) = sin x+ C, C R I = R π π f( x) = + tn x= F( x) = tn x+ C, C R I = + nπ, + nπ, n cos x N 4. Opértions sur les primitives Propriété Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I lors: F + G est une primitive de f + g sur I k R, kf est une primitive de kf sur I Le tleu suivnt découle des règles de dérivtion des fonctions. u désigne une fonction dérivle sur un intervlle I Gérrd Hirsch Mths54 5

Primitives et intégrles Cours Fonction f Primitives F sur I I n n+ uu ' ( n N ) u + C, C R n + R u ' + C, C R u u x I vec u ( x) 0 u ' u u + C, C R x I vec u ( x) > 0 u (, ), n n N n + n C C R u n u x I vec u ( x ) 0 Déterminer les primitives de l fonction + sur R f : x x( x ) L fonction f est continue sur R, l intégrle existe Posons ux ( ) = + x lors u'( x) = x et Les fonctions F définies sur R pr primitives de f sur R. f x = u x u x ( ) '( ) ( ) = + = + + R sont les 4 8 4 4 F( x). u ( x) C ( x ) C vec C sin x π π Déterminer les primitives de l fonction f : x sur I =, cos x π π Sur I =,, le cosinus ne s nnule ps et l fonction f est continue sur cet intervlle u'( x) Posons ux ( ) = cosxlors u'( x) = sin x et f( x) = u ( x) π π Les fonctions F définies sur I =, pr F ( x ) = ux ( ) + C = cosx + C vec C R sont les primitives de f sur I. Déterminer les primitives de l fonction f : x x + 5 sur 5 I =, + Gérrd Hirsch Mths54 6

Primitives et intégrles Cours Sur 5 I =, +, (x + 5) > 0 et l fonction f est continue sur cet intervlle Posons ux ( ) = x+ 5 lors u'( x ) = et u'( x) f( x) = ux ( ) 5 Les fonctions F définies sur I =, + pr F( x) =. u( x) + C = x + 5+ C vec C R sont les primitives de f sur 5 I =, +. 5. Définition d une intégrle Soient f une fonction définie sur un intervlle I et F une de ces primitives, soient et deux points de I. L quntité F ( ) F ( ) (encore notée [ F x ] ( ) ) est ppelée intégrle de f entre et et est notée f ( xdx ) f ( xdx ) se lit «somme de à de f» (ou de f(x)dx) Attention l ordre de et de est importnt Le nomre est ppelé orne inférieure et l orne supérieure de l intégrle. [ ] f ( xdx ) = Fx ( ) = F ( ) F ( ) Remrque ) l vrile x pprissnt dns l intégrle est une vrile muette, on peut ussi écrire : f () t dt ou f ( θ) dθ Gérrd Hirsch Mths54 7

Primitives et intégrles Cours ) En fisnt = lors f ( x) dx = 0 ) Le résultt du clcul d une intégrle ne dépend ps de l primitive choisie En effet si F et F sont deux primitives de f, lors elles différent d une constnte et F = F + C vec C R [ F x ] = [ F x + C] = ( F + C) ( F + C) = F F = [ F x ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En prtique, pour l pluprt des exemples, on ne tient ps compte de l constnte d intégrtion. Clculer l intégrle L intégrle existe puisque l fonction (x + ) f x L fonction f dmet pour primitive l fonction dx ( ) x = + est continue sur [, ] x x F(x)= + sur [, ] (On prend l pluprt du temps l primitive ne fisnt ps pprître l constnte réelle C) et donc 6 (x + ) dx= F() F( ) = x + x = + 6 = 5 Clculer l intégrle 0 ( x ) dx L fonction f : x ( x ) est continue sur [ ] 0,, l intégrle existe Développons le crré : / ( x ) = x x+ = x x + Une primitive de f est l fonction x x x 4 ( ) / F x = + x= x + x (On prend l pluprt du temps l primitive ne fisnt ps pprître l constnte réelle C) Alors ( x ) dx F() F(0) x x x 0 0 4 4 = = + = + = 6 Gérrd Hirsch Mths54 8

Primitives et intégrles Cours 6. Intégrle et ire. Soit (C) l coure représenttive de l fonction f dns un repère orthogonl. D est l région du pln délimité pr (C), l xe des scisses et les droites d éqution x = et x=. L unité d ire est l ire du rectngle engendré pr le repère choisi. Théorème Cs d une fonction positive Si f est une fonction continue et positive sur l intervll [, ], l ire de D, mesurée en unités d ire, est égle à f ( xdx ) Gérrd Hirsch Mths54 9

Primitives et intégrles Cours f ( xdx ) =Aire (D) Corollire Cs d une fonction négtive Si f est une fonction continue et négtive sur l intervlle [, ], l ire de D, mesurée en unités d ire, est égle à f ( xdx ) f( x) dx= Aire (D) Cs d une fonction de signe quelconque Si f est une fonction continue et de signe quelconque sur l intervlle [, ], l ire de D, mesurée en unités d ire, est égle à l somme des ires des domines situés u-dessus de l xe des scisses, diminué de l somme des ires des domines situés u-dessous de l xe des scisses Gérrd Hirsch Mths54 0

Primitives et intégrles Cours c d f ( xdx ) =Aire ( D ), f ( xdx ) = Aire ( D ) et f ( xdx ) =Aire( D ) c d on donc f ( xdx ) = Aire ( D ) Aire( D) + Aire( D) Dns un repère orthonorml d unité grphique cm, on considère l prtie D du pln délimitée pr l xe des scisses, l rc de coure d éqution y = x( x )( x 4) vec x 4 Clculer l ire du domine D Une unité d ire est égle à Sur l intervlle [ ] 4cm L ire du domine D est égle à,4, l fonction f( x) = x( x )( x 4) est continue et négtive. 4 4 Aire(D)= x( x )( x 4) dx= ( x + 5x 4 x) dx Soit ( ) 4,5 ' 4 x 5x Aire D = + x = unités d ire =, 5x4 cm = 45 cm 4 Gérrd Hirsch Mths54

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