MECNIQUE QUNTIQUE Chaptre 4 : Formalsme mathématqe matqe de la méanqe m qantqe Pr. M. BD-LEFDIL Unversté Mohammed V-V gdal Falté des Senes Département de Physqe nnée e nverstare 07-08 08 Flères SM-SMI SMI L obetf de e haptre: Introdton Donner ne ve d'ensemble des otls mathématqes de base tlsés en méanqe qantqe. Regroper les dverses notons tles en méanqe qantqe en nsstant partlèrement sr la ommodté des notatons de Dra. Connaître des notons sr l'espae des fontons d'onde, Comprendre le onept d'état d'n système physqe et l'espae des états d système, Savor tlser les notatons de Dra et fare des manplatons sr les kets, les bras et les opératers.
I- Espae de fontons d ondes L L'nterprétaton probablste de la fonton d'onde (x,t) d'ne partle a été donnée a haptre. (r,t) d r représente la probablté por qe, à l'nstant t, la partle sot trovée dans le volme d r dxdydz ator d pont r. la probablté totale de trover la partle dans tot l'espae étant égale à, on dot avor : espae ( r, t) d r ns, on étdera l ensemble des fontons de arré sommable por lesqelles l ntégrale -desss onverge. - Étant donné la sgnfaton attrbée à la densté de probablté, les fontons d'onde effetvement tlsées possèdent ertanes proprétés de réglarté: - Des fontons partot défnes, ontnes, et même ndéfnment dérvables (par exemple, affrmer q'ne fonton est vrament dsontne en n pont donné de l'espae n'a an sens physqe). - Des fontons d'onde à spport borné (on est sûr qe la partle se trove dans ne régon fne de l'espae). 4
- Défnton de L : L est l'espae des fontons de arrés sommables (ntégrables). R, R C (r,t) (r,t) + (r,t) d r est fne - Caratérstqes de L : L a ne strtre d espae vetorel sr le orps des nombres omplexes S: ( λ, λ L ) C et,alors : L λ + λ L L λ + λ +λλ +λλ 5 Les derners termes λ ont la même me λ + λλ ampltde. On pet les maorer par λ λ +. ( ) est alors ne fonton dont l'ntégrale onverge, psqe et sont de arré sommable. 6
- Prodt salare dans L : tot ople de fontons et prs L dans et ordre, on assoe n nombre, omplexe, noté (, ): Proprétés d prodt salare: (, ) (, ) (, ) > 0. S (, ) 0 et L ( ) (r,t) (r,t)d r ( λ, λ + λ ) λ λ (, ) + λ λ (, ) (, ) (, ) 0 : (, ) : est normée alors 0 et sont orthogonales L mn d prodt salare défn omme -desss a 7 ne strtre d'espae d'hlbert. II- Opératers lnéares: Un opérater lnéare est, par défnton, n être mathématqe q, à tote fonton appartenant à L, fat orrespondre ne atre fonton de L notée ϕ,, la orrespondane étant lnéare : On a ass: Exemples: ( r,t) ϕ( r,t) - Opérater parté π: ave L et ϕ L ( λ + λ) λ( ) +λ( ) π( x, y,z) ( x, y, z) - Opérater mltplaton par x, qe nos désgnerons par X: X(x, y,z) - Opérater dérvaton par rapport à x: x(x, y,z) D x (x,y,z) (x,y,z) 8 x
Des opératers omme X et D x, agssant sr ne fonton de L, pevent la transformer en ne fonton q n'est pls néessarement de arré sommable. Prodt d opératers: Soent dex opératers lnéares et B. ler prodt B Est défn par: B ( r,t) (B( r,t)) ϕ( r,t) On fat d'abord agr B sr, e q nos donne ne fonton ϕ, enste sr la fonton ϕ. En général: B ( r,t) B ( r,t)) On défnt le ommtater [,B] par: [,B]B - B Exemple: h h h X, x x x [ P ] X, X, [ X,D ] x h x h 9 III- Bases orthonormées omplètes de L Svant les as, on ara à tlser sot ne base à nde dsret, sot ne base à nde ontn. a) Cas d'ne base dsrète : Sot U (x) n ensemble de fontons appartenant à L où,, n. n pet être fn o nfn. ) L'ensemble des U (x) est dt orthonormé s : ( (x), (x) ) (x), (x) dx δ Relaton d orthonormalsaton On rappelle qe: δ 0 s s ) L'ensemble des U (x) est dt omplet s : L : (x) (x) ave C 0
se déompose svant les U (x) de manère nqe. Cherhons l'expresson de C. Proetons (x) sr U (x), 'est-à-dre : ( (x), (x) ) (x) (x) dx (x) (x) ( (x), (x) ) (x)(x)dx δ ) Relaton de fermetre : On a: (x) dx (x') (x')(x) dx' (x') (x') (x) Par onséqent, on a: (x') (x) δ(x x' C est la relaton de fermetre ) dx' La relaton de fermetre sgnfe qe (x) se déompose de manère nqe svant la base des U (x). L et L a (x): a (x) et Callons le prodt salare (, ) b (x): (, ) (, ) (, ) + a a b a b (x) + - b (x) dx (x) (x) dx a b δ
b) Cas d'ne base ontne : Sot v (x) n ensemble de fontons repéré par nde a ontn R L'ensemble des v (x) forme ne base s : ) L'ensemble des v (x) est dt orthonormé s : (v + (x),vβ(x)) v - (x)v β (x) dx δ( β) ) Relaton de fermetre: (v (x),v + (x')) v - (x)v (x') d δ(x x') Remarqe : (v(x),v(x')) δ(0) L Même s v (x) L on pet déomposer svant ette base: ( x) ( ) v (x)dx où ( ) (v (x), (x)) C() n'est atre qe la omposante de (x) svant v (x). ) Prodt salare : L (x) et et (x) a( ) v L b( β) v (x)d : (x) β (x)dβ a ( ) v (x)d 4
(, ) x β (, ) (, ) β a ( a ( a ( ) v (x)d b( β) v )b( β) δ( -β)d dβ )b( )d β (x)dβ dx Cas où : (, ) a ( )a( ) d a( ) d 5 Exemples de bases ontnes : ) Base ontne de Forer - Base des ondes planes: v (x) p e πh p x h Exere: vérfer les relatons d orthonormalsaton et de Fermetre? Par onséqent, qelle qe sot (x) appartenant à L, on pet la déomposer en ne ombnason d ondes planes. (x) (p) v (x)dp p πh (p)e p x h dp C(p) n est atre qe la T.F.((x)): (p) (x)e πh + p x h dx 6
Base ontne de Forer à dmensons (p) vp(r ) πh (r ) v v p p (r )v (r )v p' p (r ) (r') (p) v v p e p p. r h d r δ(p p') d p δ(r r') (r ) d (r ) (r ) d p r 7 ) Base de Dra: v(x) δy(x) δ(y x) On vérfe asément les relatons d orthonormalsaton et de fermetre. Par onséqent, qelle qe sot (x) appartenant à L, on pet la déomposer en ne ombnason de «fonton» de Dra. ( x) (y) δ(y x)dy Une fonton d'onde (x) représentant n état physqe dot ppartenr à L. L On défnt ne représentaton par le hox d'ne base orthonormée et omplète sr laqelle on développera la fonton d'onde. Cette base pet être sot à nde dsret, sot à nde ontn. 8
IV- Notaton de Dra Introdton Nos avons reporté dans le paragraphe III q'ne même fonton pet être représenté par plsers ensembles dstnts de omposantes, orrespondant han a hox d'ne base. Nos nos trovons alors dans ne staton analoge à elle qe l'on onnaît ben por l'espae ordnare R. Banah, Fréhet et Hlbert ont e l'dée d'employer n langage géométrqe por résodre des problèmes d'analyse en onsdérant des fontons omme des veters appartenant à des espaes approprés (abstrats). De e fat, Dra a transposé ette dée ax fontons (x): tot état qantqe d'ne partle sera aratérsé par n veter d'état appartenant à n espae abstrat ξ,, appelé espae des états d'ne partle. 9 En réalté, l'ntrodton des veters d'état et de l'espae des états n'apporte pas selement ne smplfaton d formalsme. Elle permet ass sa généralsaton. En effet, l exste des systèmes physqes dont la desrpton qantqe ne pet pas se fare à partr d'ne fonton d'onde: Nos verrons qe 'est le as, même s l'on a affare à ne sele partle, lorsqe l'on tent ompte des degrés de lberté de spn. Nos allons don, dans le reste de e haptre, développer le all vetorel dans ξ. Les notons qe nos allons ntrodre et les résltats qe nos obtendrons sont valables qel qe sot le système physqe onsdéré. 0
Veter ket et espae des états on a v qe : - C (U (x), (x)) - C() ) (v (x), (x)) base dsrète base ontne Ce est analoge à la représentaton d'n veter sel svant ne base, par exemple : V. Un élément qelonqe, o veter, de l'espae ξ est appelé veter ket, o pls smplement ket. On le note par le symbole en mettant à l'ntérer n sgne dstntf permettant de aratérser le ket orrespondant par rapport à tos les atres, par exemple : V x Mantenant, nos allons défnr l'espae ξ r des états d'ne partle en assoant à tote fonton d onde de arré sommable ( r,t) L n veter ket ξ En résmé: r ( r,t) L ξr Nos désgnerons par ξ x l'espae des états d'ne partle (sans spn) à ne sele dmenson, orrespondant à des fontons d'onde dépendant de la sele varable x. Insstons sr le fat q'l n'apparaît pls dans de dépendane par rapport à r mas selement la lettre q rappelle à qelle fonton l est assoé : ( r ) sera nterprétée omme l'ensemble des omposantes de
Par onventon > sera représenté par ne matre (o vete olonne) ontenant les omposantes de > dans la base orrespondante. Par exemple: (x) (x)... n ( ) v (x) Base dsrète B.D. (x) d ( (.. (. ave N n ) ) ) Base ontne B.C. d ave R Veter bra et l espae dal des états tot veter ket > de ξ, on assoera n veter dt veter bra, noté < < appartenant à n espae appelé espae dal de ξ et q on note ξ. Là les omposantes d veter bra seront représentées par ne matre lgne ontenant les omposantes ongées des oordonnées de >. (,,..,,..) n n ( ( ), ( ),.., ( ),..) B.D. B.C. < et > sont adonts l'n de l'atre, o enore < est le transposé ongé de > et vs versa. Remarqe: En anglas, le symbole < > est appelée «braket» ( est-à-dre rohet), d où l appellaton Bra por la parte gahe et<, et ket por la parte drote >. 4
Correspondane entre > > et < < Sot λ C, λ λ ξ ξ ξ +λ λ ξ ξ λ + λ ξ 5 Prodt salare en notaton de Dra Le prodt salare de kets > par > est noté par: > 0. S 0 alors Proprétés d prodt salare: λ λ : + λ λ λ 0 : et est normée 0 + λ λ sont orthogonales 6
Chox d'ne représentaton Chosr ne représentaton, 'est hosr ne base orthonormée, dsrète o ontne, dans l'espae des états ξ. Les veters et opératers sont alors représentés dans ette base par des nombres : omposantes por les veters, éléments de matre por les opératers. Le all vetorel devent alors le all matrel sr es nombres. Le hox d'ne représentaton est en prnpe arbtrare. Dans haqe as, on l'effete de façon à smplfer a maxmm les alls. 7 Relatons d orthonormalsaton en notaton de Dra Un ensemble dsret { >}, o ontn { v >}, de kets est dt orthonormé s les kets de et ensemble satsfont à la relaton d'orthonormalsaton: v v ' δ δ( ') On note qe <v v > n exste pas. Les { v >} ont ne norme nfne et n appartennent don pas à ξ. 8
Relatons de fermetre en notaton de Dra- as dsret Un ensemble dsret { >}de kets onstte ne base s tot ket > de ξ, pet être développé d'ne façon et d'ne sele svant les { >}. D'où : I, allons la proeton de : δ sr C est la relaton de fermetre : 9 Relatons de fermetre en notaton de Dra- as ontn Un ensemble ontn { v >}, de kets onstte ne base s tot ket > de x pet être développé d'ne façon et d'ne sele svant les { v >}. v ' D'où : ( ) v ( ) v ( ) v d, allons la proeton de ' v v v d [ v v d] d d I [ v v d]: ( ) δ( ' ) d ( ' ) v v d sr C est la relaton de fermetre I désgne l'opérater dentté dans ξ v ' : 0
Eqaton de Shrodnger ave la notaton de Dra: Eqaton dépendante d temps: h t H Eqaton ndépendante d temps: H φ E φ V- Représentaton de par ne matre «arrée» - Défnton : On pet défnr les opératers lnéares dans ξ omme on l'a fat dans L (paragraphe II). Spposons q'à haqe ket > de ξ orresponde n ertan ket '> de ξ.. On dra qe '> réslte de l'aton d'n opérater sr >. S de pls ette orrespondane est lnéare, l'opérater ans défn est n opérater lnéare: > > '>
- Proprétés et opératons : ) est nl s '> 0, qel qe sot > : < > 0 ) et B sont égax s < > < B > ) S la orrespondane entre > et '> est bnvoqe, elle défnt dex opératers lnéares et B : '> > et > B '> et B sont alors par défnton nverses l'n de l'atre. '> > (B '>) > B > B v) La somme des opératers lnéares est ommtatve et assoatve : + B B + + (B + C) ( + B) + C v) Le prodt est assoatf et dstrbtf par rapport à l'addton : (BC) (B)C (B + C) B + C v) Le prodt n'est pas ommtatf (en général) B - B [,B] ommtater S [,B] 0: on dt qe et B ommtent. 4
Opératons : ) Sot λ n nombre omplexe et n opérater λ > (λ >) < λ λ < ), B dex opératers tel qe : S + B S > > ( + B) > > > + B > < S < < + < B< ) P B P > > (B) > > (B >) '> "> < P < (B) < (< )B << B << 5 Remarqes : - On dt ass qe et B sont nverses l'n de l'atre s B B ar > > B '> B( >) > B > > B B B [,B] 0 - L'nverse d'n opérater n'exste pas toors. Lorsq'l exste, on le note -. - S dex opératers, C possèdent han n nverse, le prodt C possède n nverse tel qe : (C) - C - -. 6
7 7 - Représentaton matrelle d'n opérater Représentaton matrelle d'n opérater : On a v qe : On a v qe : > > Σ C U U > où { U où { U >} forme ne base orthonormée omplète dans >} forme ne base orthonormée omplète dans ξ. pplqons n opérater à pplqons n opérater à > tel qe : > tel qe : n n ' ' '... ' ' et + + + + ' 8 8........................ n nn n n n n n ' n ' ' '
4- Call de << > : a et a b 5- Exemple d'opérater lnéare : opérater de proeton o proeter : Sot > appartenant à ξ tel qe < > < > < de ξ*. On défnt l'opérater proeter par : P > > < < - P > ( > > < ) < > > > < < > λ > - P P P ( > > < ) < ( > > < ) < > > < > < > < < > > < < P D'où: ne proeton est éqvalente à dex proetons. D'où: ne proeton est éqvalente à dex proetons. 9 b a b VI- Opératers adonts : - Défnton : Dex opératers et B sont dts adonts l'n de l'atre s lers matres représentatves (dans n représentaton ben défne) sont adontes l'ne de l'atre. Notaton: : L'adont de est noté + et l'adont de B est noté B +. Exemple matres adontes l'ne de l'atre : a a a a 4 a + a + a a 4 40
D'ne manère générale, l'adont + de est défn par : < + > (< >)* - Proprétés : Sot λ n nombre omplexe. et B sont des opératers. ) (λ) + (λ)* T ongé d transposé λ* T * T λ* + ) ( + B) + + + B + ) (B) + B + + v) ( + ) + v) Un opérater est dt ntare s'l est l'nverse de son propre adont : + + Le prodt C B (tel qe,b soent ntares) est ass ntare. 4 Règle mportante : Por obtenr l'expresson adonte d'ne expresson qelonqe (ontenant des nombres omplexes, des opératers, des ket et bra), on proède de la façon svante : ) On nverse l'ordre des termes. ) Les bra devennent ket et les ket devennent bra. Les omplexes devennent omplexes ongés et les opératers devennent opératers adonts. Exemple : Sot: λ n nombre omplexe., B, C et D sont des opératers. > et << λ BCD >< a por expresson adonte : >< D + C + B + + λ* 4
VII/ Opérater hermtqe (o ato-adont) adont) : - Défnton : est hermtqe s + Dans U > : * * - Exemples: a) P >< >< P + ( >< >< ) + >< >< P L'opérater proeter est hermtqe. b) et + + : 4 - Défnton : B est dt ant-hermtqe s : B + -B Conséqenes : Un opérater qelonqe pet être ért (et d'ne sele façon) sos la forme d'ne somme d'opératers hermtqe et ant-hermtqe. H + I + + Où H On a : H H + et et I + I I + 44
- Tote ombnason lnéare à oeffents réels d'opératers hermtqes est hermtqe. - Le prodt B de dex opératers hermtqes n'est pas nééssarement hermtqe. (B) + B + + B - s B B : et B ommtent, alors (B) + B Remarqe: B+ B B + [,B ] 45 VIII/ Problème de valers propres : - Défnton : Sot n opérater lnéare. Par défnton, on dra qe le nombre omplexe a n est valer propre de assoé a veter propre n > s : n > a n n > Exemple : H > > E > éqaton de Shrödnger De même <' < n a' n <' n Sot n > n veter propre V p de ave la v p a n. sot λ n omplexe. λ n > est ass V p de ave la même v p a n. λ n > λ( n > ) λ(a n n > ) a n (λ n > ) 46
S << n λ* λ n > λ* λ < n n > λ* λ λ e θ : fater de phase S dex V p ne dffèrent qe par n fater de phase, ls représentent le même état qantqe. 47 - Dégénéresene : S'l exste plsers kets propres lnéarement ndépendants relatfs à la même valer propre a n, tote ombnason lnéare de es kets est ass ket propre de l opérater relatf à la même v p a n. En d'atres termes, l'ensemble des kets propres de (relatfs à ne valer propre donnée a n ) forme n espae vetorel qe l'on appelle sos espae relatf à la v p a n. Dstngons dex as : a) S e sos espae n'a q'ne dmenson, on dra qe la v p a n n'est pas dégénérée. En effet, à ne v p orrespond n V p sel. b) S e sos espae est de dmenson g n, on dra qe la v p est dégénérée g n fos. g n est appelé ordre de dégénéresene de la v p a n. n > a n n > où,, g n 48
- Remarqes : a) g n pet être nfn. b) Le texte énoné en ) est valable ass por les bra propres de. ) S est n opérater qelonqe, l n'exste pas de relaton smple entre le problème de valers propres relatf ax ket et el relatf ax bra. Par ontre, es dex problèmes sont étrotement lés s hermtqe, e q est n as d'nterêt pratqe. En effet, s est hermtqe ( + ), on a : ) Les dex spetres de v p de sont dentqes. Langage: L'ensemble des v p d'n opérater est appelé spetre de. ) Totes les v p sont réelles. En effet : + et n > a n n > et < n n > a n < n n > ) Tot bra ongé d'n ket propre de est bra propre relatf à la même valer propre et nversement. trement dt, le sos espae des bra propres relatfs à ne valer propre donnée est le dal d sos espae des kets propres relatfs à la même v p. 49 Les V p relatfs à des v p d'n opérater hermtqe sont orthogonales. En effet, sot opérater hermtqe + Soent: > a > et > a > ave a dfférente de a < < a a < < > a < > < > a < > (a - a ) (<( >) ) 0 Comme (a - a ) est dfférent de zéro: < >) ) 0 > et > sont alors orthogonax 50
4- Eqaton aratérstqe d'n opérater: Sot n opérater tel qe : > > a >. et a a a et δ On mltple par le bra <<, on obtent: ( a δ ) 0 5 S,,, n, on est en présene d'n système lnéare à n nonnes, l ara por solton (atre qe C 0): Det ( - a Ι) ) 0 Ι est la matre nté. C est l éqaton aratérstqe de l'opérater o éqaton ax valers propres dont les soltons sont les v p a. 5
IX/ Observables: - Défnton : Une observable est n opérater hermtqe dont le système de V p forme ne base orthonormée omplète dans l'espae des états. U n> > a n U n>,,, g n (g n degré de dégénéresene) On a : <U n U n > δ nn,,, g n l'ntérer d sos espae de a n (q'on notera ξ n ), on pet hosr les U n> > tel qe : <U n U n> > δ d'où: <U n U n > δ δ nn' 5 L'ensemble des U n> > est omplet : n n n g n Sot P n : proeter sr le sos espae ξ n P n n P n g n n n 54
- Exemples d'observables : a) Proeter : P > > < < b) Opérater poston X : Sot > > de ξ tel qe X > > '> de ξ Dans la représentaton { x>} (base de Dra), X vérfe : <x X > > x<x > > x (x) ) Montrer qe X est hermtqe : <ϕ X X > > < X < X ϕ>* ) Cherher les v p de X: X x'> λ x'> x <x Conlson : λx L'opérater X appelé ass opérater poston est don ne observable. 55 ) Opérater mplson P : Sot > > de ξ tel qe P > > '> de ξ ) Dans la représentaton { p>} : base de Forer <p P > > p <p >p (p) ) Montrer qe P est hermtqe : <ϕ P P > > < P < P ϕ>* ) Cherher les v p d P ) Dans la représentaton { x>} Callons <x P > > et ntrodsons la relaton de fermetre: p p dp 56
D x x x x ' P P P P où : P x π h p p e π h h ( x ) x h x x h x e px h P px h p h p p dp x ( p Conlson: P est hermtqe et { p>} forme ne base orthonormée et omplète, alors l opérater mplson P est ne observable. x ) dp dp 57 - Fontons d'observables : Sot > > a > est ne observable Tote fonton f(a) des valers propres a d'ne observable permet de défnr n opérater lnéare fonton de ette observable. Par défnton : f() > > f(a) > Remarqes : ) S f est ne fonton polynôme, ette défnton oïnde ave elle qe l'on obtent par applaton des règles de l'algèbre des opératers. ) Tot V p de est V p de f(). ) Cas de dégénéresene : les V p de relatfs à ne même v p a sont ass V p de f() ave la même v p f(a). 58
Exemples : ) e e B e ) e e B e B e s [,B] 0 ) X x> x x> v) a potentel V(x), on assoe l observable V(X) V(X) x> V(x) x> et <x' V(X) x> V(x) <x' x> V(x) δ(x' - x) 59 X/ Observables q ommtent et varables ompatbles : Consdérons dex observables et B et spposons qe le spetre des v p est dsret et q'elles possèdent ne fonton propre ommne n >. n > a n n > B n > b n n > Por qe es dex éqatons soent vérfées smltanément, ne ondton s'mpose : (B - B) n > [,B] n > 0 n > 0 'est-à-dre qe le ommtater [,B] a n > omme V p orrespondant à ne v p nlle. En effet : 60
B n > (B n >) (b n n >) b n ( n >) b n a n n > B n > B n > B a n n > a n B n > a n b n n > (B - B) n > 0 0 n > D'ne manère générale, on a le théorème svant : S dex observables ommtent, elles possèdent n système de base ommn à et B, et réproqement. Langage : - Un système de base d'ne observable donnée est tot système orthonormé omplet de V P de ette observable. - Les V P q dffèrent entre ex par n fater de phase ne sont pas onsdérés omme dstnts. Ils représentent le même état qantqe. 6 Sgnfaton physqe d théorème : Les varables dynamqes représentées par es dex observables q ommtent pevent être défnes de façon prése smltanément : e sont des varables ompatbles (o varables smltanément mesrables). Remarqes : X, P x ne sont pas ompatbles ar [ X,P X ] h 6
Théorème : Soent > et > dex veters propres de tel qe : > a > ave a a > a > S [,B] 0, alors << B > 0 En effet,, allons < [,B] > << B - B > 0 << a B - Ba > a < B > - a < B > (a - a ) << B > Or a : << B > 0 a 6 Théorème : S n> > est V P de ave la v p a n, alors B n> > est ass V P de dans le as où [,B] 0. Le sos espae ξ n est nvarant sos l'effet de B. ξ n est l'espae de dégénéresene de a n. En effet : [,B] n> > 0 ar et B ommtent (B n>) - B( n>) 0 (B n>) a n (B B n>) 64
XI/ E.C.O.C : Ensemble Complet d Observables q Commtent: - Défnton : On dt q'n ensemble, B, C d'observables forme n E.C.O.C s : ) les observables ommtent totes dex à dex : [,B] [,C] [B,C] 0 ) S ler système de base ommn est défn de façon nqe. haqe ensemble de v p a,b, d'observables (,B,C ), orrespond n et n sel V p ommn (à n fater de phase près). 65 Ce veter propre pet être regardé omme fonton des v p a,b, Ce veter est parfos noté ab > o enore ab > ab ab B ab C ab ab > a ab > ab > a ab ab > b ab > ab > ab > ab > 66
a) Cas d'ne sele observable : ) S est observable et s ane des v p n'est dégénérée, alors la donnée de la v p détermne de manère nqe les V p orrespondant. forme à elle sele n E.C.O.C. n > a n n > observable et a n non dégénérée: est n E.C.O.C ) S a n est dégénérée n> > a n n>,, g n n'est pas n E.C.O.C. 67 b) Cas de dex observables : Soent dex observables, B tel qe : [,B] 0. Par dagonalsaton de B dans le sos espae propre a n. On détermne les V P ommns à et B q'on pet noter { n,p >} o np>, ave : n,p > a n n,p > et B n,p > b p n,p > ) S à {a n,b p } orrespond n V P nqe, alors {,B} est n E.C.O.C. ) S a n est dégénérée (g n : ordre de dégénéresene) o b p est dégénérée (g p : ordre de dégénéresene) alors {,B} n'est pas n E.C.O.C. On prend alors ne ème observable C tel qe : [,C] [B,C] 0 et on la dagonalse dans ξ n,p (ξ n,p sos espae propre de b p ). 68
- Remarqes : ) On onvent généralement à former n E.C.O.C ave le mnmm d'observables possbles, tel qe s on enlève ne observable, et ensemble esse d'être n E.C.O.C. ) Sot {,B,C} tros observables formant n E.C.O.C tel qe: v p a n, B v p b p et C v p q Le V P ommn et nqe sera noté : npq > o enore a n b p q > ) Rôle des E.C.O.C dans la détermnaton de l'état qantqe d'n système : onnaître l'état qantqe d'n système, 'est avor fat sr le système le maxmm de mesres ompatbles. Sot a n ne v p dégénérée d'ne observable. L'état qantqe d système n'est pas alors parfatement onn. On fat ntervenr ne atre observable sq'à l'obtenton de l'e.c.o.c. 69 Exemples : a- Partle sr n axe ox : X x> x x> X est n E.C.O.C ar à haqe v p sel veter propre x>. b- Partle dans le plan oxy : X xy> x xy> X est l observable poston orrespond n où y est qelonqe X n'est pas n E.C.O.C ar à haqe v p orrespond plsers veters propres xy> - {X,Y} est n E.C.O.C haqe {x,y} n sel veter propre xy> {X,Y} ne observable poston: svant ox et svant oy. 70