Uiversité de Cergy-Potoise Polyômes et suites Licece 1 MIPI 018-019 TD 3. Suites umériques Exercice 1. Soit (a, b R, avec a 1. Cosidéros ue suite arithmético-géométrique ( N défiie par la relatio de récurrece u 0 R, et N, +1 = a + b. 1.a. Détermier deux ombres réels l et q tels que N, +1 l = q ( l. b. E déduire que N, = l + q ( u 0 l. c. Coclure que N, = a u 0 + b 1 a 1 a.. Applicatio. Soit ( N la suite défiie par la relatio de récurrece u 0 =, et N, +1 = + 3. Détermier ue expressio explicite dombre e foctio de l etier. Exercice. Pour p N, cosidéros la suite réelle δ [p] défiie par N, δ [p] = { 1, si = p, 0, sio. 1.a. Soit (λ 0,..., λ p R p+1, et ( N la suite défiie par N, = p k=0 λ k δ [p]. Détermier la valeur dombre e foctio de l etier et des ombres λ 0,..., et λ p. b. E déduire que la famille de suites (δ [0], δ [1],..., δ [p] est libre das l espace vectoriel R N.. L espace vectoriel R N est-il de dimesio fiie? Exercice 3. Soit (a, b R, avec b 0. Cosidéros l esemble E des suites réelles qui satisfot la relatio de récurrece N, + = a+1 + b. 1.a. Motrer que E est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel R N. 1
b. Soit (α, β R. Motrer qu il existe ue uique suite ( N de E telle que u 0 = α et u 1 = β. c. Soit (v N et (w N, les suites de E telles que v 0 = w 1 = 1 et v 1 = w 0 = 0. Motrer que toute suite ( N de E satisfait N, = u 0 v + u 1 w. d. E déduire que E est u espace vectoriel de dimesio fiie égale à.. Supposos que = a + 4b > 0. a. Motrer qu il existe deux ombres réels q 1 et q tels que les suites géométriques (q 1 N et (q N sot das E. b. Soit ( N E. Motrer qu il existe des ombres réels λ et µ tels que 3. Supposos que = a + 4b = 0. N, = λq 1 + µq. a. Motrer l existece d u ombre réel q tel que les suites (q N et (q N sot das E. b. Soit ( N E. Motrer qu il existe des ombres réels λ et µ tels que N, = (λ + µq. Exercice 4. 1. Soit r R. Détermier des coditios écessaires et suffisates sur le ombre r pour qu ue suite arithmétique de raiso r soit : (i costate, (ii croissate, (iii miorée, (iv borée.. Soit (q, u 0 R. Détermier des coditios écessaires et suffisates sur les ombres q et u 0 pour qu ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0 soit : (i costate, (ii décroissate, (iii majorée, (iv borée. Exercice 5. 1. Écrire à l aide des quatificateurs les propriétés suivates : (i La suite ( N est costate à partir d u certai rag, (ii La suite ( N est positive à partir d u certai rag, (iii La suite ( N est croissate à partir d u certai rag.. Motrer qu ue suite ( N est borée si et seulemet si elle est borée à partir d u certai rag. Exercice 6. Doer des exemples de suites réelles ( N qui : (i e sot i majorées, i miorées, (iii sot décroissates et miorées, (ii e sot i croissates, i décroissates, (iv e sot i croissates, i majorées.
Exercice 7. 1. Déduire de la défiitio d ue limite que : (i 1 lim = 0, (ii lim 3 1 +3 = 3, (iii lim! = +.. Soit ( N, ue suite de ombres strictemet positifs tels que 0. Déduire de la défiitio d ue limite que : ( 1 (i lim = +, (ii lim u + 1 = 1, (iii lim si( = 0. Exercice 8. Justifier si chacue des affirmatios suivates est vraie ou fausse : (i Modifier u ombre fii de termes e modifie pas le fait qu ue suite soit covergete. (ii Si tous les ombres u sot positifs et tous les ombres u +1 sot égatifs, alors la suite ( N est divergete. (iii Ue suite covergete dot tous les termes sot des etiers est costate à partir d u certai rag. (iv Si ue suite est à termes strictemet positifs et coverge vers u ombre l, alors l est strictemet positif. (v Si ue suite réelle coverge vers 1, alors elle est positive à partir d u certai rag. (vi Ue suite réelle o majorée ted vers +. (vii Si v l, alors v +1 v 0. (viii Si (w N est covergete et (x N est divergete, alors la suite (w + x N est divergete. (ix Si (y N et (z N sot divergetes, alors la suite (y z N est divergete. (x Si a b 0, alors, soit a 0, soit b 0. (xi Si (c N est borée, alors la suite (c N est covergete. (xii Si ( d N est covergete, alors la suite (d N est covergete. Exercice 9. (Théorème de Cesàro État doée ue suite réelle ( N, cosidéros la suite (v N défiie par l expressio N, v = 1 + 1 u k. 1. Supposos que la suite ( N soit covergete de limite l R. a. Vérifier que N, v l = 1 + 1 k=0 ( uk l. k=0 3
b. Soit ε > 0. Motrer l existece d u etier N tel que > N, u k l ( Nε. k=n+1 c. Motrer l existece d u ombre réel positif M tel que d. E déduire que N u k l (N + 1M. k=0 v l.. Supposos que la suite ( N soit divergete de limite +. Motrer que v +. 3. Applicatio. Quelle est la limite de la suite (w N défiie par l expressio N, w = 1 3k + 1 k + 3? Exercice 10. Étudier la covergece des suites suivates : (i a = +1, (ii b = 1 +1, (iii c = +1, (iv d = 1 +1, (v e =, (vi f = ( + 1, (vii g = si ( cos 3 (, (viii h = ( 1, (ix i = cos( k=0 (x j = e, (xi k = 3 +1, (xii l 5 = l, ( 1+, e + 4 6 +l(, (xiii m = +( 1 +1, (xiv o = +e, (xv p 3 +4e = ( ( (xvi q = si π 3, (xvii r = ( 1 +1, (xviii s = si π Exercice 11. Pour a R, cosidéros la suite ( N défiie par l expressio 1. Motrer que N, = a!. +1 0..a. E déduire l existece d u etier 0 N tel que b. Vérifier que 0, +1. 0, 0 0.. 3. Coclure que 0. 4
Exercice 1. Soit N, = k=1 ( 1 ( 1 ( 1 cos k = cos... cos. 1. Vérifier que. E déduire que ( 1 ( 1 N, +1 si +1 = si. ( 1 N, si = si(1. 3. La suite ( N est-elle covergete? Si oui, quelle est sa limite? Exercice 13. Pour chaque etier N, cosidéros la foctio f défiie par l expressio x R, f (x = x 5 + x 1. 1.a. Dresser le tableau de variatios de la foctio f. b. E déduire l existece d u uique ombre réel x tel que f (x = 0..a. Motrer que N, 0 x 1. b. La suite (x N est-elle covergete? Si oui, quelle est sa limite? Exercice 14. Détermier si chacu des esembles suivats admet ue bore supérieure, ue bore iférieure, u plus grad élémet, u plus petit élémet, et si oui, doer leurs valeurs : (i A =] 1, 1], (ii B = {} ]6, [ [100, + [, (iii C = [ 1, 0] ]1, ], (iv D = { si(x, où x ]0, π[ }, (v E = { si ( 1 x, où x ]0, π[ }, (vi F = { ( 1 + 1, où N }. Exercice 15. Soit { 1 + cos( A =, où N }. 1. Motrer que la suite ( 1+cos( est covergete et calculer sa limite. N. E déduire que A admet u maximum, puis le calculer. 3.a. Calculer if A. b. A admet-il u miimum? 5
Exercice 16. Soit ( N ue suite réelle borée telle que N, 1 + +1. 1.a. Motrer que la suite (+1 N est croissate. b. E déduire qu il existe u ombre réel l tel que +1 l..a. Supposos que l 0. Motrer que la suite ( N est décroissate. b. E déduire que la suite ( N est covergete. 3. Supposos que l > 0. Motrer que la suite ( N est covergete. Exercice 17. Soit u 0 et v 0, deux ombres réels tels que u 0 < v 0, et ( N et (v N, les suites défiies par les formules de récurrece N, +1 = + v, et v +1 = + v. 3 1. Motrer que N, < v.. E déduire que la suite ( N est croissate, tadis que la suite (v N est décroissate. 3. Coclure que ces deux suites sot covergetes de même limite. Exercice 18. Soit u 0 et v 0, deux ombres réels tels que 0 < u 0 < v 0, et ( N et (v N, les suites défiies par les formules de récurrece N, +1 = v, et v +1 = + v. + v 1. Vérifier que N, 0 < < v.. Motrer que la suite ( N est croissate, tadis que la suite (v N est décroissate. 3. E déduire que les suites ( N et (v N sot covergetes de même limite l. 4.a. Motrer que la suite ( v N est costate. b. E déduire la valeur de l e foctio de u 0 et v 0. Exercice 19. Représeter graphiquemet chacue des suites défiies par les formules de récurrece suivates à l aide de la toile d araigée : (i u 0 = 0, et N, +1 = 1 + u, (ii v 0 = 1, et N, v +1 = v + 1, (iii w 0 = 0, et N, w +1 = w+1 3, (iv x 0 = 1 ou 4, et N, x +1 = x x 4. 6
Exercice 0. Étudier la covergece des suites défiies par les formules de récurrece suivates : (i N, +1 = u +, avec u 0 R quelcoque, (ii N, +1 = 1 +, avec u 0 = 0, (iii N, +1 = si(, avec u 0 R quelcoque, ( (iv N, +1 = 1 + 1, avec u 0 R + quelcoque. Exercice 1. Soit x R +, f(x = xe x 4. 1. a. Motrer que la foctio f possède exactemet deux poits fixes. b. Étudier la foctio f et tracer so graphe.. Cosidéros les suites ( N défiies par la formule de récurrece N, +1 = f(, pour des ombres positifs u 0 quelcoques. Représeter à l aide d ue toile d araigée les termes u 0, u 1, u et u 3 pour chacue des valeurs de u 0 suivates : u 0 = 1, u 0 =, u 0 = 4, u 0 = 5, et u 0 = 8. 3. Das cette questio, ous supposos que 0 u 0 4. a. Justifier que N, 0 4. b. Motrer que la suite ( N est strictemet croissate si 0 < u 0 <, et strictemet décroissate si < u 0 < 4. c. E déduire que la suite ( N est covergete, et détermier sa limite e foctio de la valeur de u 0. 4. Nous supposos désormais que u 0 > 4. a. Motrer que 0 < u 1 < 4. b. E déduire le comportemet de la suite ( N lorsque ted vers +. Exercice. Soit ( N la suite défiie par la formule de récurrece u 0 = 1, et N, +1 = 1 + 1. 1. Vérifier que.a. Soit N, 1. x > 0, f(x = 1 + 1 x. Motrer que la foctio f e possède qu u seul poit fixe l. Quelle est la valeur de l? 7
b. Vérifier que c. E déduire que d. Coclure que Exercice 3. Soit 1. Vérifier que (x, y ]0, + [, f(y f(x = x y xy. N, +1 l l. 1 + 5 l. x R, f(x = arcta(x. x R, f (x 1.. Cosidéros ue suite réelle ( N défiie par la formule de récurrece a. Motrer que b. E déduire que N, +1 = f(. N, +1. N, u 0. c. La suite ( N est-elle covergete? Si oui, quelle est sa limite? Exercice 4. Soit ( N ue suite de Cauchy telle que N, Z. Motrer que la suite ( N est covergete. Exercice 5. Soit 1. Vérifier que N, S = k=1 1 k. N, S S 1.. E déduire que la suite (S N est pas de Cauchy. 3. Coclure que S +. 8
Exercice 6. Les suites suivates sot-elles des sous-suites de la suite ( N : (i N, = 4 + 4 + 1, (iii N, w = 4 1 + 9, Exercice 7. (ii N, v = 4, si est pair, 9, sio, (iv N, x =, si est pair, ( 1, sio. Soit ( N ue suite telle que les suites extraites (u N, (u +1 N et (u 3 N sot covergetes. 1. Motrer que les suites extraites (u 6 N et (u 6+3 N sot covergetes de même limite l.. E déduire que u l et u +1 l. 3. Coclure que la suite ( N est covergete. Exercice 8. Détermier u équivalet des suites suivates : (i = +1 3 +3 1, (ii v = e 1 si( 1, (iii w = l( + 1 l(, (iv x = 1 1+ 1, (v y = ( si ( 1, (vi z = ( 1 ( e (1 + 1. Exercice 9. Détermier u développemet au secod ordre des suites suivates : (i = + 1, Exercice 30. (ii v = +e +e, (iii w = ( 1 +( 1 l(. Soit (a N et (b N, deux suites de ombres réels strictemet positifs telles que a a et b b. 1. Motrer que a 1 = l(a 1 ( + o.. Pour θ [0, 1], posos N, c = θa + (1 θb. Motrer que la suite (c N coverge vers a θ b 1 θ. Exercice 31. Soit 0 < u 0 < 1 et N, +1 = u. 1. Vérifier que la suite ( N est bie défiie, à termes strictemet positifs, strictemet décroissate et de limite ulle.. Soit N, v = 1/. Motrer que v +1 v 1. 9
3. Appliquer le théorème de Cesàro pour coclure que 1. 10