Uiversité Pierre et Marie Curie Licece Scieces et Techologies MIME Exame de l UE LM0 Septembre 005 La durée de l exame est de deux heures Les exercices sot idépedats les us des autres Les otes de cours et de TD sot iterdites Les calculatrices, téléphoes portables et tous autres gadgets électroiques susceptibles de stocker ou trasmettre des iformatios doivet être éteits et ragés hors d atteite Questio de cours ( pts) Éocer le théorème de la base icomplète Soit F u sous espace vectoriel de ue base B de F qui cotiet S m R et S ue famille libre de vecteurs de F Alors il existe Exercice (6pts) O cosidère le système liéaire dépedat des paramètres réels a, b, c et du paramètre m x my = a mx + y = b x + mz = c ) À quelle(s) coditio(s) sur le paramètre m R ce système admet-il ue uique solutio? Quelle est-elle? O sait que le système a ue solutio uique si et seulemet si le détermiat associé m 0 D= m 0 est o ul Développat par rapport à la derière coloe o obtiet 0 m D= m( m + ) Et das R, D est o ul et doc le système a ue uique solutio si et seulemet si m 0 Pour obteir la solutio, résolvos d abord le système x formé par les deux premières équatios, il est équivalet (méthode du pivot de Gauss) à x my = a ( + m ) y = b ma b ma mb m a a + mb qui implique y = puis x= a+ my = a+ = La troisième équatio ( + m ) + m + m doe alors c x c( + m ) ma m b z = = m m( + m ) Uiversité Pierre et Marie Curie 005
) Même questio lorsque m C Le calcul du détermiat reste valable mais D est o ul si et seulemet si m 0 et m ± i Exercice (8pts) 4 3 O cosidère ue applicatio liéaire u de R das R dot la matrice das les bases caoiques est la suivate : 0 A = 0 0 0 ) Quel est le rag de u? Trouver ue base du oyau de u? 0 Cosidéros la matrice extraite formée des 3 derières coloes 0, so 0 0 détermiat vaut - (développemet par rapport à la derière lige), doc elle est de rag 3 et A est aussi de rag 3 Le oyau de u est l esemble des ( x, yzt,, ) tels que x+ y+ t x + y + t x + z O déduit des deux premières équatios t puis y = xet z = x Le oyau est de dimesio et ue base est par exemple formée du vecteur (,,,0) ) Mêmes questios pour applicatio liéaire v de caoiques est la suivate : B = 0 0 3 R das 4 R dot la matrice das les bases O remarque que la 3 ème coloe est proportioelle à la somme des deux premières, doc le rag est au plus, il est égal à puisque les deux premières coloes sot liéairemet idépedates (o trouve facilemet u détermiat extrait d ordre o ul ) 0 0 Pour avoir le oyau (de dimesio par le théorème du rag) o résout le système Uiversité Pierre et Marie Curie 005
x+ y z x + y z x+ y z qui est équivalet à dot les solutios vérifiet y = xet z = x x y x y x y Ue base du oyau est par exemple formée du vecteur (,,) 3) Calculer les matrices de u v et v u Quels sot les oyaux et images des applicatiosu v et v u? O effectue les produits AB et BA des matrices et o trouve pour u v et pour v u AB = 3-4 0-0 - - 3 BA = - 3 0 0 0-0 0 0 - Ces deux matrices sot de rag au plus (B est de rag ), et o trouve facilemet u détermiat extrait d ordre o ul, elles sot d ordre L image de u v est egedrée par exemple par (3,4,) et (,0,0) Celle de v u est egedrée par exemple (,,0,0) et (,,, ) (ou (0,0,,) ) Noyau de u v, comme la deuxième lige est deux fois la troisième, o résout le système 3x+ y z z = x qui est équivalet à Ue base est par exemple {(,, )} x z y = x Noyau de v u, compte teu de l égalité des liges et d ue part et 3 et 4 de l autre, o résout le système x+ y z+ t x = y+ z équivalet à t t,,0,0,,0,,0 { } Ue base est par exemple ( ) ( ) Exercice 3 (4pts) Motrer, sas les développer, que les détermiats ci-dessous sot uls : a b+ c a ( a+ ) + ( a+ ) D= b a+ c et D' = b ( b+ ) + ( b+ ) c a+ b c ( c+ ) + ( c+ ) Uiversité Pierre et Marie Curie 005 3
Pour motrer la ullité de D o peut commecer par ajouter la coloe 3 à la coloe o a+ b+ c b+ c b+ c obtiet D= a+ b+ c a+ c = ( a+ b+ c) a+ c a+ b+ c a+ b a+ b Pour celle de D, o commece par développer les coefficiets a a a a a + + + 4 + 4 D b b b b b o a ' = + + + 4 + 4 c c c c c + + + 4 + 4 a a a + 4 + 4 D b b b ' = + 4 + 4 c c c + 4 + 4, o retrache alors la première coloe aux suivates et puisque la troisième coloe est deux fois la deuxième Exercice 4 (6pts) Soit la matrice N M ( R ) et soit P M ( R) ue matrice iversible telles que N = = est ue matrice diagoale de M ( R ) où D ( a ) ) Motrer que det N = a P DP O sait (cf cours ) que le détermiat d u produit est le produit des détermiats et que le détermiat de l iverse est l iverse du détermiat, o a doc det N = det P det Ddet P= det Ddet P= det D det P Comme le détermiat d ue matrice diagoale est le produit des élémets de sa diagoale (pricipale) o a det N = det D= a ) A quelle coditio la matrice N est-elle iversible? La matrice N est iversible si et seulemet si so détermiat est o ul, si et seulemet si a 0 si et seulemet si aucu des a est ul 3) Motrer par récurrece que, pour tout p N : N p p = P D P Iitialisatio : la propriété est vraie pour p (avec la covetio N 0 = P 0 = Id) (et aussi pour p = d après l hypothèse tiale) Hérédité : admettos la propriété pour p 0 et motros-la pour p + Uiversité Pierre et Marie Curie 005 4
( )( ) p+ p p N N N P D P P D P = = d après l hypothèse de récurrece et l hypothèse tiale Grâce à l associativité du produit de matrices p+ p p p+ N = P D PP D P= P D Id D P= P D P ( ) La propriété est doc vraie pour tout etier p Uiversité Pierre et Marie Curie 005 5