Année 04 05 Physque Statstque hors équlbre et transtons de phase Souten : Modèle de Potts mars 05 On onsdère une varante du modèle d Isng, dte de Potts, dans laquelle les N degrés de lberté (qu on appellera spns) σ,..., σ N peuvent prendre haun q valeurs, σ {,..., q}, où q est un enter arbtrare. Les spns nteragssent selon l hamltonen suvant, H(σ,..., σ N ) = J, δ σ,σ h σ, (),= où J, est la onstante de ouplage entre les spns et, δ le symbole de Kroneker et h,..., h q peuvent être vus omme des hamps magnétques ouplés aux q valeurs possbles des spns. Un tel modèle permet d étuder dans un adre théorque unfé un ertan nombre de phénomènes en physque de la matère ondensée, tout en dérvant assez fdèlement ertans systèmes expérmentaux (adsorpton de Krypton sur des surfaes de graphte). Dans tout l exere, le système est en équlbre ave un thermostat à la température T. ) On suppose dans ette queston seulement que q =. Montrer qu alors le modèle de Potts est équvalent, à une onstante près, au modèle d Isng défn ave des varables σ (I) = ± et un hamltonen H(σ (I) N,..., σ(i) N ) = J (I), σ(i) σ (I),= h (I) N σ (I). () On présera la valeur des onstantes J (I), et h(i) du modèle d Isng en fonton de elles du modèle de Potts. ) Une réalsaton possble du modèle de Potts tent dans la physsorpton d atomes de Krypton sur un plan de graphte. Dans es plans, les atomes de arbone sont organsés en une struture hexagonale, et le Krypton s adsorbe préférentellement au entre des hexagones. Ces stes d adsorpton sont représentés par les erles sur la fgure -a). Pour des rasons stérques, un atome de Krypton adsorbé rend énergétquement défavorable l adsorpton d un autre atome sur les stes plus prohes vosns. Consdérerons un taux de remplssage /3 (un ste sur tros en moyenne oupé), pour lequel un état fondamental possble est représenté sur la fgure -b). Quelle est la dégénéresene de l état fondamental? a) b) ) Fgure a) Shéma d une surfae de graphte, sur laquelle les stes d adsorpton pour les atomes de Krypton sont représentés par les erles. b) Un état fondamental possble à taux de remplssage /3 (les stes oupés par le Krypton orrespondent aux dsques nors. ) Groupement des stes en trplets, pour défnr un ste du modèle de Potts résultant, sur lequel vt un spn à q états. 3) On admet qu un tel système peut être dért par un modèle de Potts. Dans e adre proposer alors une défnton du spn de Potts pour e système. Comben de valeurs peut-l prendre? La fgure représente une onfguraton des Kr sur le plan de graphte, dans laquelle tous les états fondamentaux possbles oexstent, et oupent des domanes ben défns. Indquer sur la fgure les frontères de es domanes. Quel est le type de paro le plus énergvore? 4) On reprend une valeur générque pour q, et l on onsdère désormas le modèle de Potts ave J, = J N pour toutes les valeurs de (, ), ave J > 0. Pourquo une telle approhe peut-elle être qualfée de hamp moyen? Montrer que la fonton de partton assoée à l hamltonen de l équaton () peut alors se mettre sous la forme Z = Nx N,...,x q e Nβe(x,...,x q), x,...,x q q q ave e(x,..., x q ) = J x σ h σ x σ, (3) σ= σ=
Fgure Une onfguraton nstantanée où des atomes de Krypton sont adsorbés sur une ouhe de graphte, ave remplssage /3 ; l s agt de reonnaître les dfférents états fondamentaux qu oexstent, et les paros de domanes orrespondantes... où l on présera les valeurs possbles des x,..., x q et leur domane de sommaton, ans que la valeur du fateur N N x,...,x q. 5) On rappelle la formule de Strlng, ln(x!) X ln X X quand X. En dédure que l énerge lbre par spn du modèle s ért, dans la lmte thermodynamque, omme f(t ) = β lm N N ln Z = nf f(x,..., x q, T ), ave (4) x,...,x q q f(x,..., x q, T ) = e(x,..., x q ) T s(x,..., x q ) et s(x,..., x q ) = k B x σ ln x σ. (5) Préser le domane sur lequel se fat la mnmsaton, et ommenter l expresson de s(x,..., x q ). 6) On note (x,..., x q) le pont où le mnmum de f est attent. Quelle est la valeur de (x,..., x q) pour des températures très élevées? Comment qualfer la phase orrespondante du système? 7) On suppose dans toute la sute que les hamps sont nuls, h = = h q = 0, et on rappelle que J > 0. Quelles sont les valeurs possbles de (x,..., x q) à température nulle? Comment qualfer les phases orrespondantes? Quelle est la dégénéresene de l état fondamental? On veut étuder mantenant la transton entre les régmes de haute et de basse température. On suppose que la brsure spontanée de symétre qu se produt à basse température se fat dans la dreton de σ = et ne dstngue pas les q autres valeurs possbles, autrement dt on pose x = x, et l on suppose x = = x q. 8) Exprmer ette valeur ommune x = = x q en fonton de x. En dédure qu ave ette paramétrsaton f(t ) = nf f(x, T ), ave f(x, T ) = e(x) T s(x), où l on expltera les fontons e(x) et s(x). x A partr de mantenant q est un paramètre réel arbtrare, pas néessarement enter (l exste en effet une défnton mrosopque alternatve à () qu a un sens pour toutes les valeurs de q). 9) Traer séparément l allure des fontons e(x) et s(x) pour un q > arbtrare, en ndquant leur omportement aux bords de leur ensemble de défnton et au vosnage de leurs extrema dont on donnera les postons. 0) Quelle est la valeur de x qu mnmse f(x, T ) à haute température? On la notera x 0 dans la sute. En dessous de quelle température, notée T (), x 0 n est-l plus un mnmum loal de f(x, T )? On pourra montrer que f x = J q T q + k BT x( x). (6) ) Développer f(x, T () ) usqu au trosème ordre au vosnage de x = x 0. En dédure que s q >, l exste une température T () > T () telle que x 0 n est plus le mnmum global de f pour toutes les températures T < T (). ) Traer l allure des ourbes f(x, T ) en fonton de x pour dfférentes températures. σ=
3) Dans le as q >, érre les ondtons qu fxent la valeur de T (), ans que la poston du mnmum global x () de f à la température T () (),.e. nfntésmalement nféreure à T. Montrer que es ondtons sont vérfées par x () = q, k BT () q = J (q ) ln(q ). (7) 4) Traer l allure de la poston x (T ) du mnmum global de f en fonton de T, en dstnguant les as q = et q >. Proposer un paramètre d ordre pour la transton. Dans haun de es as préser l ordre de la transton, et lorsque est possble l exposant rtque β assoé au omportement rtque de x (T ). 5) Explquer qualtatvement e qu l se passerat s l on onsdérat la soluton exate (et non pas hampmoyen) pour un modèle de Potts sur un ertan réseau, à la température T (), en mposant une fraton de spns σ = omprse entre x 0 et x (). On se plaera dans l hypothèse où la phénoménologe hamp-moyen pour q > est valable. 3
On peut assoer par exemple les états σ (I) = + à σ = et σ (I) = à σ =. En utlsant les denttés l vent δ (I) σ,σ (I) H = = = + σ(i) σ (I),=, δ σ (I) + σ (I) σ (I) N J, h J, σ(i) σ (I),= h h,+ = + σ(i) + σ (I) σ (I), δ σ (I) h N,=, = σ(i) σ (I) J, + N h + h (8) (9). (0) On dentfe don J (I), = J,/ et h (I) = (h h )/, le rohet -dessus étant une onstante ndépendante des spns. 3 On a q = 3, la valeur du spn enodant la poston de l atome adsorbé sur les tros stes possbles. Pour la onfguraton de l énoné, les domanes sont représentés -dessous. Le oût énergétque est le plus mportant pour les paros AB, AC et CB de la moté drote de la fgure, ans qu aux ons où des domanes de tros types dfférents se renontrent. Etat A Etat B Etat C Etat B 4 Le modèle est «de hamp moyen» ar tous les degrés de lberté nteragssent ave tous les autres, l n y a plus de noton d espae sous-aent et de dstane entre stes. Pour une onfguraton C = (σ,..., σ N ) donnée, défnssons x σ (C) = ( N δ σ,σ)/n la fraton de spns dans l état σ. Par défnton, σ x σ =. L énerge d une onfguraton s exprme alors présément omme H(C) = Ne(x (C),..., x q (C)), ave la fonton e(x,..., x q ) défne dans l énoné. Par alleurs, le nombre de onfguratons où N = Nx spns sont dans l état, N = Nx dans l état,..., N q = Nx q dans l état q est le fateur multnomal N N x,...,x q = ( N N, N,..., N q ) = N! N!N!... N q! = N! (Nx )!(Nx )!... (Nx q )!. () Dans la somme de l énoné les valeurs de x σ sont don de la forme N σ /N ave N σ un enter [0, N], et obéssent à la ondton x + + x q =. 5 De la formule de Strlng, on obtent q lm N N ln N x N,...,x q = x σ ln x σ, () σ= où l on reonnaît l expresson de l entrope de Shannon pour une varable aléatore pouvant prendre q valeurs ave les probabltés x,..., x q. On peut don érre à l ordre exponentel domnant Z [ Nβ f(x ],..., x q, T ), (3) x,...,x q exp et évaluer ette somme par la méthode du ol quand N. Dans la mnmsaton, les varables x σ sont des réels entre 0 et, soums à la ondton x + + x q =. 4
6 Pour des températures très élevées, l énerge lbre f est domnée par la ontrbuton de l entrope ; le mnmum de f orrespond don au maxmum de l entrope de Shannon,.e. le pont symétrque (x,..., x q) = (/q,..., /q). On est alors dans la phase paramagnétque. 7 A température nulle, la mnmsaton de l énerge lbre oïnde ave elle de l énerge. A hamp nul, l faut don maxmser x + + x q sous la ontrante x + + x q =. Il y a q solutons équvalentes à e problème d optmsaton, (x,..., x q) = (, 0,..., 0) ou (0,,..., 0),..., ou (0,..., 0, ), qu dérvent des phases ferromagnétques du système. Cela peut se vor en érvant l dentté ( q ) q = x σ = x σ + x σ x σ (4) σ= σ= σ σ Le fondamental est dégénéré q fos, e sont les onfguratons mrosopques ave σ = σ = = σ N. 8 On a x = = x q = x. On trouve don q e(x) = J q q ( x ) J q q, s(x) = x ln(x) ( x) ln( x) + ( x) ln(q ). (5) k B 9 La fonton e(x) a un maxmum en x = /q, et des pentes fnes en 0 et ; la fonton s(x) a un maxmum en x = /q, et des tangentes vertales en 0 et : e(x) / q x 0 s(x) 0 / q x 0 Le maxmum de s(x) est attent en x 0 = /q. Ce pont est auss un extremum de e(x), on aura don f (x 0 ) = 0 à toute température. Pour détermner la nature de e pont, on alule la dérvée seonde : f (x) = J q q + k BT x( x), d où f (x 0 ) = q q ( J + k BT q). (6) Don x 0 est un mnmum (resp. maxmum) loal de f pour T > T () (resp. T < T () ), ave k B T () = J q. A T = T () on a f ( (x 0 ) = J q q ) (q ) < 0 pusque q >. Don f passe en-dessous de sa valeur en x 0 pour x > x 0. Comme f a une pente + en x =, l y a forément un mnmum loal pour une valeur x > x 0, ave f(x ) < f(x 0 ). Comme f(x, T ) est monotone en T, l y a une température T () > T () en-dessous de laquelle x 0 n est plus le mnmum global. Quand q >, l allure de f(x, T ) pour dfférentes températures est donnée Fg. 3 f(x (), T () ) = f(x 0, T () ) 3 Les ondtons fxant T () et x () sont f, omme on peut le onstater sur = 0 x (x (),T () ) la fgure -dessous à T d. En nsérant les formes proposées par l énoné, on détermne α =. 4 Pour q = (resp. q > ) la fonton x (T ) est ontnue (resp. dsontnue) : On peut défnr x (T ) /q omme paramètre d ordre, pusqu l est nul dans la phase paramagnétque à haute température. Pour q = la transton est du deuxème ordre, β = / pusque x (T = T () ε) (/) ε /. Pour q > la transton est du premer ordre, le paramètre d ordre est dsontnu à la transton, on ne peut don pas défnr d exposant rtque.. 5 On aurat une séparaton de phase et l apparton de domanes où une des q valeurs des spns est prédomnante, séparés par des nterfaes qu auront une tenson de surfae. 5
-.8 a b -.35 -.8 -.4 -.4 -. -.6 -.45 -. -.8 -.5 -.4 -. -.55 -.6 -. -.6 -.8 -.65 -.3 -.4 -.7 -.3 -.6 -.75 -.34 -.8 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -.36 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -.3 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 d e f -. -.0 -.055 -.4 -.04 -.06 -.6 -.06 -.065 -.08 -.8 -.07 -. -. -.075 -. -. -.4 -.08 -.4 -.6 -.085 -.6 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -.8 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -.09 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 g -0.88-0.9-0.9-0.94-0.96-0.98 - -.0 -.04 0 0. 0.4 0.6 0.8 Fgure 3 Séquene des profls f(x, T ) en fonton de x, pour T a > T b > > T g, et T d = T (), T f = T (). Le trat pontllé horzontal orrespond à la valeur de f(x 0, T ). On a q = 3, sot x 0 = /3. x (T) x (T) / / q 0 T 0 T () T () T q= q> 6