e3a PC Mahémaiques 3 Problème Le exe définissai une norme sur l espace vecoriel des marices réelles à p lignes e q colonnes, p, q e demandai d admere une inégalié sur ces normes. Si dans on considère les valeurs propres complexes il faudrai définir une norme sur l espace vecoriel des marices complexes e démonrer une inégalié sur ces normes Je n ai considéré que les valeurs propres réelles, ce qui n a aucune incidence pour la suie Parie Soi λ i une valeur propre réelle de, il exise un veceur X R p, X non nul el que k X = λ k i X k X = λi k X e k X k X en uilisan l inégalié admise sur les normes Comme X >, on en dédui : i [, p] N, k N, λ i k k Supposons que soi diagonalisable dans M p (R Si k + k = i [, p] N, k N, λ i k k i [, p] N, k + λk i =, λ i < ρ ( < Si ρ ( <, il exise une marice inversible P elle que λ k. k N, k = P....... P = P P λ ( k p = max λ i k = (ρ ( k k P P (ρ ( k i [,p] N k + k = 2 x = b (M N x = b ( I M N x = M b x = M Nx + M b a n N, x (n+ x = M N ( x (n x par récurrence on obien : n N, x (n x = ( M N n ( x ( x b M N éan diagonalisable, une condiion nécessaire e suffisane pour que la suie ( x (n converge vers n N x es que : ρ ( M N < Parie 2 D = 2 λ ; D 2 = (2 λ 2 = (2 λ D D si on pose D = En développan par rappor à la première ligne, on obien p N, p 3, D p = (2 λ D p D p 2 ; D = ; D = 2 λ ; p N, p 2, D p = (2 λ D p D p 2 ; 2 Soi x un veceur propre associé à la valeur propre λ de, ( 2I p x = (λ 2 x. Or 2I p =........... 2I p = max(, 2 = 2 λ 2 x = ( 2I p x 2I p x = 2 x Comme x >, λ 2 2 3 Comme (2 λ [ 2, 2],!θ [, π], (2 λ = 2 cos θ La suie (D p p N es une suie récurrene linéaire à deux ermes, d équaion caracérisique : r 2 2r cos θ + = de racines e iθ e e iθ Si < θ < π, les racines son disinces M99RP3C.ex - page
{ a, b C, p N, D p = ae ipθ + be ipθ D = a + b =, D = ae iθ + be iθ = 2 cos θ On rouve p N, D p = ei(p+θ e i(p+θ sin ( θ = 2i sin θ sin θ Si θ = a, b R, p N, D p = a + bp, a =, a + b = 2 p N, D p = Si θ = π, on rouve par un calcul similaire p N, D p = ( ( p si θ = ou θ = π, alors D p { λ = 2 2 cos θ, θ ], π[ Donc λ es valeur propre de si e seulemen si sin ( θ = sin θ Les valeurs propres de son les p réels deux à deux disincs λ k = 2 2 cos adme p valeurs propres disinces, M p (R es diagonalisable. ( ce que l on savai déjà, éan smérique réelle Parie 3 M = 2 I p x (n+ = Jx (n + 2 b avec J = I p 2 2 de(j λi p = de(i p ( 2 λi p = p de ( (2 2λ I p 2 Les valeurs propres de J son les réels λ els que 2 2λ = λ k, λ k valeur propre de { ( } kπ Soi Specre (J = cos, k p La foncion cosinus es décroissane sur [, π], cos ( π ρ (J = cos ( 3 -ρ (J = 2 sin 2 π 2 ( π 2 ( ( pπ π = cos, ρ (J < ( x (n n N converge, or x R, sin(x x -ρ (J 2 4 ( 2 π2 2p 2 Si p es grand, ρ (J es proche de, la méhode n es pas rès performane Problème B Parie x >, ( kπ, k p ( x + o( 2 f es coninue sur ], + [, f( = f a une ie en égale à x f es coninue par morceaux sur [, + [ Si [, + [, f( e + e x = o( f es inégrable sur [, + [ sur [, + [ + 2 2 La foncion cosinus es -lipschizienne lle es de classe C sur R e (cos Donc, R, cos( cos(, comme cos (, on a :., R, cos( ( x >, >, R, f( = e x e (x + e x ( cos( e x e cos(, e (x x >, >, R, f( + 3 x > M99RP3C.ex - page 2
a Soi g : (, e e x cos (, g es coninue sur ], + [ R Soi a, b réels els que a < b e c = max( a, b e (x Soi h a,b : + c si <, e + e x si > h a,b es coninue par morceaux sur [, + [, inégrable sur ], + [ ], + [, [a, b], g(, h a,b ( Donc g coninue sur ], + [ R vérifie l hpohèse de dominaion locale sur ], + [ R, F x es coninue sur R b g es de classe C sur ], + [ R ], + [, R, g (, = e x sin( ], + [, R, g (, e x, la foncion e x es inégrable sur ], + [ g es de classe C e vérifie l hpohèse de dominaion locale sur ], + [ R, g vérifie l hpohèse de dominaion sur ], + [ R, F x es de classe C sur R e R, F x( = e x sin(d e x sin( = Im ( x+i, comme x >, x + i Une primiive de e x ( x+i sin( es Im = e x ( x sin( cos( = G( x + i x 2 + 2 G =, G( = + x 2 + 2, R, F x( = c Soi >, exisen e x d = x 2 + 2 d Dans la seconde inégrale, faisons le changemen de variable u = x x x es un C difféomorphisme de [, + [ sur [x, + [ x u e x d = du, >, x u e x x F x es coninue sur R, F x ( = d = Si x, [, x], e x e e e en inégran : e x ln(x d puisque les deux inégrales d = x d Si x <, on obien le même encadremen x Donc d = ln(x. F x ( = ln(x [ ] F x éan de classe C sur R, F x ( = F x ( + d = ln(x + x 2 + 2 2 ln(x2 + 2 x >, R, F (x, = 2 ln(x2 + 2 x d d e ln(x Parie 2 a Soi R, en faisan une inégraion par paries on obien : cos( d = sin( sin( + M99RP3C.ex - page 3 sin( 2 d
la foncion sin( 2 es inégrable sur [, + [ ( sin( ( 2 = o + 2 d aure par sin( 2 d a une ie réelle quand end vers + : sin( =, + + cos( d exise la foncion e cos( es coninue par morceaux sur [, ], e cos( e cos( e d = d + d cos( d la foncion e es inégrable sur [, + [ b >, z > h( = + e e cos( d a une ie réelle lorsque end vers + h es coninue par morceaux sur [, + [ sin( d 2 d exise >, h( 2e z, comme z >, la foncion 2e z es inégrable sur [, + [ Donc h es inégrable sur ], + [ c l applicaion : es un C difféomorphisme de [, [ sur [, [ en faisan le changemen de variable u =, on obien : e cos( / d = e u cos(u du qui a une ie lorsque end vers +, d après a u 2 >, soi h : (z, e z e cos( h es coninue sur ], + [ ], + [ e cos( k >, z [k, + [, ], + [, h(z, e k = h k ( d après II--b h k es coninue e inégrable sur ], + [, h vérifie l hpohèse de dominaion locale sur ], + [ ], + [ Donc H es coninue sur ], + [ 3 Uilisons la définiion séquenielle des ies Soi (z n n N une suie de réels de [, + [ de ie + lorsque n end vers + Soi f n : e e cos( zn, ], + [ (f n n N es une suie de foncions coninues sur ], + [ qui converge simplemen sur ], + [ vers la foncion nulle n N, ], + [, f n ( e e / cos( = h ( h es coninue e inégrable sur ], + [, d après le héorème de convergence dominée, pour ou enier n, f n es inégrable sur ], + [ e n + f n = f n = n + Donc H(z n = e H(z = n + z + 4 En reprenan les noaions de II-2, h es de classe C sur ], + [ ], + [ h ( z (z, = e z e cos( k >, z [k, + [, ], + [, h (z, z 2e k = ϕ k ( ϕ k es coninue e inégrable sur ], + [ h e h vérifien l hpohèse de dominaion locale sur ], + [ ], + [ z M99RP3C.ex - page 4
H es de classe C sur ], + [ e z ], + [, H (z = e z ( e cos( d une primiive de e (z+ + e z coss ψ définie par : >, ψ( = e (z+ ( + e z z + z 2 ( z cos( + sin( + ψ = e z ], + [, + H (z = z z 2 + z + ( z2 + Donc il exise α foncion de la variable elle que : z ], + [, H(z = ln z + + α( Comme H(z =, on obien α = z + ( z2 + Donc >, z >, H(z = ln z + 5 Pour, ϕ( = e u cos(u du u a Soi z >, ϕ es coninue sur [, + [ e + ϕ = e z ϕs coninue sur [, + [, e z ϕ( = + o(e z e z ϕs inégrable sur [, + [ e sur ], + [ ϕ es de classe C sur ], + [ e >, ϕ ( = e Soi I(, = e z e cos( d cos( Par une inégraion par paries on rouve I(, = [ e z ϕ(] z e z ϕ(d e ϕ ( = ϕ( = H(, + e ϕ ( = I(, = H(z = H( z, + e z ϕ(d b Comme ϕ =, pour ou >, il exise > el que si, ϕ( < + z e z ϕ(d = z e z ϕ(d + z e z ϕ(d e z ϕ(d ϕ( d = B consane indépendane de z e z ϕ(d e z d = z e z z e z ϕ(d Bz + il exise α > el que si < z < α, H(z H( < 2 H es coninue en 6 Si >, F (, = H( = H(z puisque Hes coninue en z ( z2 + = ln z z + = ln( Donc comme F (, es paire : R, F (, = ln ( Cee égalié prolonge à x = si le résula obenu dans la parie I M99RP3C.ex - page 5