Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites. Normal, il y e a pas. Alors pourquoi l étudier? Au mois pour être sûr que vous ayez bie assimilé la otio de limite : si vous avez bie compris la covergece des suites, vous e devriez pas avoir de problème ici. Les séries sot très proches des itégrales sur u itervalle o boré, et ous y feros allusio à plusieurs reprises. Vous appredrez plus tard qu il s agit de deux cas particuliers du même objet. Cepedat, vous êtes pas du tout obligés d avoir assimilé les itégrales pour compredre les séries. Table des matières Cours. Défiitios et propriétés...........................2 Séries à termes positifs ou uls....................... 5.3 Critères de Cauchy et de d Alembert................... 0.4 Séries à termes quelcoques........................ 4.5 Sommes de séries.............................. 7.6 Vitesse de covergece........................... 9 2 Etraîemet 22 2. Vrai ou faux................................. 22 2.2 Exercices................................... 25 2.3 QCM..................................... 32 2.4 Devoir.................................... 35 2.5 Corrigé du devoir.............................. 37 3 Complémets 43 3. De Zéo d Élée à vo Neuma..................... 43 3.2 Le théorème de Merto........................... 46 3.3 La série harmoique............................ 49 3.4 De seriebus divergetibus.......................... 50 3.5 Vous avez le choix!............................. 54 29 avril 204
Cours. Défiitios et propriétés Défiitio. Soit (u ) N ue suite de réels ou de complexes. O appelle série de terme gééral u, et o ote u la suite des sommes partielles, (s ) N, où pour tout N, s = u 0 + + u = u i. Comme premier exemple de série, observos le développemet décimal d u réel strictemet compris etre 0 et. x = 0, a a 2... a..., où pour tout, a {0,,..., 9}. a Cette écriture correspod e fait à la série de terme gééral. La somme partielle s 0 est l approximatio décimale par défaut à 0 près. Voici les 50 premières décimales de. 2 2 = 0.7070678865475244008443620484903928483593768847... Les ombres décimaux s = 0.7, s 3 = 0.707, s 6 = 0.70706 sot des sommes partielles de la série. Les deux séries les plus souvet utilisées sot la série géométrique et la série expoetielle. Série géométrique Le terme gééral d ue série géométrique est u = r. Les sommes partielles ot ue expressio explicite. s = r i = + r + + r = i=0 i=0 + si r = r + r si r Série expoetielle Le terme gééral de la série expoetielle est u = /!, où! (factorielle) désige le produit des etiers de à. Par covetio, 0! =. Les sommes partielles s sot des ratioels mais ot pas d expressio explicite. Observos que importe quelle suite (s ) N peut être vue comme ue série, de terme gééral u = s s, pour et u 0 = s 0. Das la plupart des cas, les sommes partielles ot pas d expressio explicite, et c est souvet pour cela que l o parle de série plutôt que de suite.
Défiitio 2. O dit que la série u coverge vers s si la suite des sommes partielles coverge vers s, qui est appelée somme de la série. u = s lim u k = s. k=0 Das le cas cotraire, o dit que la série diverge. Par exemple, le réel x est la limite de ses approximatios décimales, et aussi la somme de la série a. 0 La série géométrique r coverge si et seulemet si r <. Das ce cas, la somme est. r r < = r = r. La somme de la série expoetielle est le ombre e, dot le logarithme épérie vaut.! = e 2.7828. Voici u exemple de série dot les sommes partielles sot explicitemet calculables. E effet, doc et u = ( + )( + 2) =. ( + )( + 2) = + + 2 u 0 + u + u = 2 + 2 3 + + + + 2 = + 2, ( + )( + 2) = lim + 2 =. Cosidéros ue série u et défiissos la foctio e escalier f sur [0, + [ par : N, t [, + [, f(t) u. La somme partielle s est l itégrale de f sur l itervalle [0, +]. La série u coverge si et seulemet si l itégrale + 0 f(t) dt coverge (voir figure ). u = + 0 2 f(t) dt.
u + Figure Somme d ue série, vue comme l itégrale d ue foctio e escaliers sur [0, + [. Réciproquemet, l itégrale d ue foctio quelcoque sur [0, + [ peut être vue comme la somme de la série dot le terme gééral est l itégrale sur [, + [. Nous utiliseros par la suite cette pareté etre séries et itégrales. Comme la covergece d ue itégrale e déped que du comportemet de la foctio à l ifii, la covergece d ue série e déped pas de ses premiers termes. Chager u ombre fii de termes d ue série ajoute ue même costate à toutes les sommes partielles à partir d u certai rag. Cela e chage pas la ature, covergete ou divergete. Si elle est covergete, sa somme est évidemmet modifiée. Par exemple : =! = e. Le fait de calculer la somme d ue série à partir de = 0 est puremet covetioel. O peut toujours effectuer u chagemet d idice pour se rameer à ue somme à partir de 0. Par exemple : e posat m = 2. =2 ( ) = m=0 (m + )(m + 2) =, Le terme gééral d ue série covergete ted vers 0. Théorème. Si la série u coverge, alors la suite (u ) N ted vers 0. u = s = lim u = 0. La cotraposée de ce résultat est souvet utilisée : ue série dot le terme gééral e ted pas vers 0 e peut pas coverger. 3
Démostratio : Pour tout N, posos s = k=0 u k. Pour tout, u = s s. Si u coverge, la suite (s ) N coverge vers la somme s de la série. Il e est de même de la suite (S ) N. Par liéarité de la limite, la suite u ted vers s s = 0. Par exemple la série de terme gééral { si = 2 k u = 0 sio diverge : même si les termes o uls sot très rares il y e quad même ue ifiité! Le fait que le terme gééral tede vers 0 est qu ue coditio écessaire de covergece. De ombreuses séries divergetes ot u terme gééral qui ted vers 0. Par exemple, la série de terme gééral u = diverge. E effet : + s 2 s = + + + 2 2 = 2. La suite des sommes partielles est pas de Cauchy, doc elle e coverge pas. La liéarité des limites etraîe immédiatemet le théorème suivat. Théorème 2. Soiet u et v deux séries covergetes, de sommes respectives s et t. Soiet α et β deux complexes quelcoques. Alors la série de terme gééral αu + βv est covergete, et sa somme est αs + βt. Par exemple : 2 + 3 = 2 + 3 = 2 + 3 = 2 + 3 2 = 7 2. Comme coséquece de la liéarité, observos que si u coverge et v diverge, alors u + v diverge. Comme autre coséquece, pour α 0, αu coverge si et seulemet si u coverge. Pour les séries à termes complexes la covergece équivaut à celle des parties réelle et imagiaire. Propositio. Soit (u ) N ue suite de complexes. Pour tout, otos a et b la partie réelle et la partie imagiaire de u. La série u coverge si et seulemet si les deux séries a et b coverget. Si c est le cas, o a : u = a + i b. Démostratio : Rappelos qu ue suite de ombres complexes coverge si et seulemet si la suite des parties réelles et la suite des parties imagiaires coverget. Si (A ) N et (B ) N sot deux suites de réels : ( lim A = A et lim B = B ) 4 ( lim A + ib = A + ib )
Il suffit d appliquer ce résultat à A = a et B = b, k=0 k=0 car la partie réelle d ue somme est la somme des parties réelles, et la partie imagiaire d ue somme est la somme des parties imagiaires. Cosidéros par exemple la série géométrique r, où r est u complexe de module ρ < et d argumet θ : r = ρe iθ. Pour tout, r = ρ e iθ. Les parties réelle et imagiaire de r sot a = ρ cos(θ) et b = ρ si(θ). O déduit de la propositio précédete que : ( ) a = Re r et ( ) b = Im r. Le calcul doe : ρ cos(θ) = ρ cos(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ) et ρ si(θ) = ρ si(θ) + ρ 2 2ρ cos(θ)..2 Séries à termes positifs ou uls Les séries à termes positifs ou uls sot plus faciles à étudier. E effet si u 0 pour tout, la suite des sommes partielles est croissate. s s = u 0. Ue suite croissate (s ) N a que deux comportemets possibles. Soit elle est majorée et elle coverge, soit elle ted vers +. Les séries à termes positifs se comparet comme les itégrales de foctios positives. Théorème 3. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls. O suppose qu il existe 0 0 tel que pour tout 0, u v. Si v coverge alors u coverge. Si u diverge alors v diverge. Démostratio : Comme ous l avos observé, la covergece e déped pas des premiers termes. O peut doc étudier les sommes partielles à partir de 0. Pour tout 0, otos s = u 0 + + u et t = v 0 + + v. Les suites (s ) 0 et (t ) 0 sot croissates, et de plus pour tout N s t. Si la série v coverge, alors la suite (t ) coverge. Soit t sa limite. La suite (s ) est croissate, et majorée par t, doc 5
elle coverge, doc la série u coverge aussi. Iversemet, si la série u diverge, alors la suite (s ) ted vers +, et il e est de même pour la suite (t ). Comme premier exemple, cosidéros u développemet décimal. Soit (a ) ue suite d etiers tous compris etre 0 et 9. La série = a 0 coverge. E effet, so terme gééral u = a 9 est majoré par. La série géométrique 0 0 coverge, car <. La série 9 coverge aussi par liéarité, d où le résultat. 0 0 Nous avos déjà vu que la série Nous allos e déduire que E effet : ( + )( + 2) coverge. = lim 2 coverge. 2 2 (+)(+2) E particulier, il existe 0 tel que pour 0 : = 2. 2 2 ( + )( + 2). E fait c est vrai pour 4, mais il est iutile de calculer ue valeur précise de 0. O e déduit que la série de terme gééral coverge, d où le résultat par liéarité. 2 2 Motros maiteat que (l()) α coverge, = pour tout réel α. E effet : lim (l())α = 0. Doc il existe 0 tel que pour 0, 3 E multipliat les deux membres par 2 : (l())α. (l()) α 3 2. 6 0
Comme la série coverge, il e est de même de la série (l()) α, par le théorème 2 3 3. Iversemet, ous avos vu que la série diverge. O e déduit facilemet que les séries l() et diverget égalemet. Le théorème de comparaiso permet d utiliser des équivalets. Théorème 4. Soiet (u ) et (v ) deux suites à termes strictemet positifs, équivaletes au voisiage de +. u u v lim + =. v Alors les séries u et v sot de même ature (covergetes ou divergetes). Démostratio : Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, u v < ε ( ε)v < u < ( + ε)v. Fixos ε <. Si u coverge, alors par le théorème de comparaiso 3, ( ε)v coverge, doc v égalemet. Réciproquemet, si u diverge, alors ( + ε)v diverge, et v aussi. Par exemple, 2 + 3 + 4 + 2 3 + 4 coverge, + l() 3 coverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série 2 coverge. Par cotre 2 2 + 3 + 3 + 2 2 + 4 diverge, + l() 2 diverge. Das les deux cas, le terme gééral est équivalet à, et ous avos vu que la série diverge. Les théorèmes 3 et 4 permettet de rameer les séries à termes positifs à u catalogue de séries dot la covergece est coue. Das ce catalogue, o trouve les séries de Riema α et de Bertrad (l()) β. O les étudie e utilisat les itégrales correspodates grâce au théorème suivat, illustré sur la figure 2. Théorème 5. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate. La série de terme gééral u = f() est de même ature (covergete ou divergete) que l itégrale + 0 f(t) dt. 7
u u + + Figure 2 Comparaiso etre ue série à termes positifs et l itégrale d ue foctio décroissate sur [0, + [. Démostratio : Comme f est décroissate, les iégalités u f(x) u + sot vraies pour tout x [, + ]. E itégrat etre et + o obtiet : u + f(t) dt u +. Par la relatio de Chasles, la somme de 0 à doe : u 0 + + u + 0 f(t) dt u + + u +. La série u coverge et a pour somme s, si et seulemet si la suite des sommes partielles coverge vers s. Das ce cas + 0 f(t) dt est majorée par s, et comme x 0 f(t) dt est foctio croissate de x, l itégrale coverge. Réciproquemet, si l itégrale coverge, alors + 0 f(t) dt est majorée, la suite des sommes partielles aussi, et elle coverge. Rappelos que le poit de départ de la sommatio a pas d ifluece sur la covergece des séries. Le théorème 5 reste vrai pour des foctios défiies sur [N, + [ au lieu de [0, + [. Nous l appliquos à f(t) = t α, puis f(t) = t (l(t)) β. x 2 x t α dt = α (x α ) si α l(x) si α = t (l(t)) β dt = β (l(x) β l(2) β ) si β l(l(x)) l(l(2)) si β = 8
Séries de Riema Séries de Bertrad Si α Si α > α = α = diverge. coverge. Si β =2 (l()) β diverge. Si β > =2 (l()) β coverge. Nous retrouvos e particulier le fait que coverge, alors que diverge. 2 Voici deux exemples d utilisatio des équivalets pour la comparaiso avec les séries de Riema et de Bertrad. La série l ( + ) coverge. 2 E effet : et la série de Riema La série E effet : 2 = l ( + ) 2 coverge. = ( cos ( cos si( ) + ) l() 2, diverge. ) l() si( ) + 2 l(), et la série de Bertrad l() diverge. Nous allos à ouveau appliquer le théorème de comparaiso, pour motrer que si le terme gééral d ue série est u produit de facteurs dot l u est domiat, alors la ature de la série est dictée par le terme domiat. Propositio 2. Soiet r et r deux réels tels que 0 < r < r <. Soit (a ) N ue suite telle que ( r r ) a soit borée. Alors la série r a coverge. 9
Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : ) r ( a < M. r E multipliat les deux membres par r, o obtiet : r a Mr. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque r coverge. Comme applicatio de cette propositio, si r est tel que 0 < r < et α est u réel quelcoque, la série α r coverge. Propositio 3. Soiet α et α deux réels tels que < α < α et (a ) ue suite telle que (α α ) a soit borée. Alors la série α a coverge. Démostratio : Par hypothèse, il existe M tel que : (α α ) a < M. E multipliat les deux membres par α, o obtiet : α a M α. D où le résultat par le théorème de comparaiso 3, puisque α coverge. Comme coséquece de cette propositio, pour tout α > et pour tout réel β, α (l()) β coverge. Das le catalogue des séries dot la ature est coue, o trouve aussi les séries géométriques et la série expoetielle. Pour la comparaiso avec les séries géométriques, il existe deux critères mieux adaptés que les équivalets. Ils fot l objet de la sectio suivate..3 Critères de Cauchy et de d Alembert Rappelos tout d abord que la série géométrique r coverge si r <, diverge sio. Les critères de Cauchy et de d Alembert permettet de comparer ue série à termes positifs avec les séries géométriques. Pour comparer u avec r, le critère de Cauchy porte sur u = (u ), le critère de d Alembert sur u + u. Voici le premier. Théorème 6. (Critère de Cauchy) Soit u ue série à termes positifs ou uls. 0
S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u < r <, alors u coverge. S il existee u etier 0 tel que pour tout 0, u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, u < r = u < r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Das le secod cas, u > = u >. Le terme gééral e ted pas vers 0, doc la série diverge. Comme exemple d applicatio, reveos sur les développemets décimaux. État doée ue suite (a ) d etiers tous compris etre 0 et 9, la série a coverge. E 0 effet, u = a 0. Or a 9 = exp( l(9)), qui ted vers. Doc il existe 0 tel que pour > 0, u < 2, et la première partie du critère s applique. Observos 0 que la suite u e coverge pas, sauf si les a sot tous uls ou tous o uls : a vaut 0 si a = 0. Das les cas où la suite ( u ) coverge, la positio de sa limite par rapport à détermie la ature de la série u. Corollaire. Soit u ue série à termes positifs, telle que u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si u ted vers, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u < l + l = l + <, 2 2 et le premier cas du théorème 6 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u > l (l ) =, et le secod cas du théorème 6 s applique.
Par exemple, ( ) 2 + coverge, 3 + 4 car u ted vers 2 <. 3 ( ) 2 + 4 diverge, 2 + car u >. Le critère de Cauchy e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. lim α = lim (l()) β =. Or certaies de ces séries coverget, d autres diverget. Le critère de d Alembert est plus facile à appliquer, par cotre il échoue plus souvet que celui de Cauchy. Théorème 7. (Critère de d Alembert) Soit u ue série à termes strictemet positifs. S il existe ue costate r < et u etier 0 tels que pour tout 0, u + u < r <, alors u coverge. S il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u + u >, alors u diverge. Démostratio : Rappelos que la ature de la série e déped pas de ses premiers termes. Das le premier cas, o vérifie par récurrece que : u + u < r = u < u 0 r 0 r. Si 0 < r <, alors la série r coverge, d où le résultat par le théorème de comparaiso 3. Si u + u >, la suite (u ) est croissate, elle e peut doc pas tedre vers 0 et la série diverge. Observos que le théorème e peut s appliquer que si les u sot tous o uls. E particulier, il e s applique pas aux développemets décimaux, cotrairemet au critère de Cauchy. Défiissos la suite u par : u = si = 2k 3 k 2 si = 2k + 3 k+ 2
Le rapport u + u vaut 2 si est pair, si est impair. Il est doc toujours iférieur à 3 2 2/3, et la série coverge. Défiissos maiteat : 2 k si = 2k 3 u = k 2 k si = 2k + 3 k+ Le rapport u + u vaut si est pair, 2 si est impair. Le critère de d Alembert 3 e s applique pas. Pourtat, u coverge vers 2 <, doc le critère de Cauchy 3 s applique (la série coverge). Ici ecore, quad la suite u + u coverge, la positio de la limite par rapport à détermie la ature de la série. Corollaire 2. Soit u ue série à termes positifs, telle que u + u coverge vers l. Si l < alors u coverge. Si l > alors u diverge. Si lim u + u =, o e peut pas coclure e gééral. Démostratio : Par défiitio de la limite, si l <, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, u + u < l + l 2 = l + 2 et le premier cas du théorème 7 s applique. Si l >, alors il existe 0 tel que pour tout > 0, et le secod cas du théorème 7 s applique. u + u > l (l ) =, <, Par exemple, pour tout réel positif r, la série expoetielle r! coverge. car u + u = r ted vers 0 <. (O pourrait aussi appliquer le critère de Cauchy, mais + c est mois facile.)! 3 (2 ) coverge, car u + u = + 2+ ted vers 2 <. (2)! (!) 2 diverge, car u + u = (2+)(2+2) (+) 2 ted vers 4 >. 3
Le critère de d Alembert e s applique i aux séries de Riema, i aux séries de Bertrad. α (l()) β lim = lim ( + ) α ( + ) (l( + )) =. β Plus gééralemet, si u est ue fractio ratioelle e et l(), alors les deux critères échouet. Das ce cas, il faut calculer u équivalet et appliquer le théorème 4. Nous avos vu u exemple pour lequel seul le critère de Cauchy doait la répose. Il est e effet plus puissat, comme le motre la propositio suivate. Propositio 4. Soit (u ) ue suite à termes positifs. Si u + lim = l alors lim u = l. u Démostratio : Pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0, Par récurrece, o e déduit : or : lim l ε < u + u < l + ε. u 0 (l ε) 0 < u < u 0 (l + ε) 0. u 0 (l ε) 0 = l ε et lim u 0 (l + ε) 0 = l + ε. Doc il existe > 0 tel que pour >, l 2ε < u < l + 2ε, d où le résultat..4 Séries à termes quelcoques Quad ue série est pas à termes positifs, la première chose à faire est d examier la série des valeurs absolues, ou des modules s il s agit de ombres complexes. Défiitio 3. O dit que la série u est absolumet covergete si la série u coverge. Théorème 8. Ue série absolumet covergete est covergete. Démostratio : Supposos pour commecer que les u sot réels. Pour tout N, otos { { u + u si u = 0 0 si et u u 0 = 0 si u < 0 u si u < 0 4
Pour tout N : 0 u + u et 0 u u Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors u + et u coverget. Par liéarité, u + u coverge, or u + u = u. D où le résultat. Passos maiteat au cas où les u sot complexes. Notos a la partie réelle de u et b sa partie imagiaire. Pour tout N : 0 a u et 0 b u. Par le théorème de comparaiso, si u coverge, alors a et b coverget aussi. Doc a et b coverget, e appliquat le cas des séries à termes réels. Doc u coverge (propositio ). Par exemple, pour tout θ, la série = e iθ 2 est absolumet covergete. E effet, eiθ = et coverge. 2 2 2 Comme autre exemple, pour tout complexe z, la série expoetielle z! est absolumet covergete, car r! coverge pour tout réel positif r (applicatio du critère de d Alembert). Il existe des séries covergetes, mais qui e sot pas absolumet covergetes. Cosidéros par exemple u = si = 2k k+ si = 2k + k+ Les termes successifs s aulet deux à deux, de sorte que les sommes partielles valet s = si = 2k k+ 0 si = 2k + La suite des sommes partielles ted vers 0. Par cotre la suite des sommes partielles de u ted vers +, par comparaiso avec la série de Riema. Pour traiter ce type de cas, o dispose du théorème suivat, dit théorème d Abel (u résultat aalogue existe pour les itégrales). Théorème 9. Soiet (a ) N et (b ) N deux suites telles que : 5
. La suite (a ) N est ue suite décroissate de réels positifs, et ted vers 0. 2. Les sommes partielles de la suite (b ) N sot borées : Alors la série a b coverge. M, N, b 0 + + b M. Démostratio : L idée de la démotratio est d effectuer u chagemet das la sommatio, qui s apparete à ue itégratio par parties. Pour tout 0, posos B = b 0 + + b. Par hypothèse, la suite (B ) est borée. Nous écrivos les sommes partielles de la série a b sous la forme suivate. s = a 0 b 0 + a b + + a b = a 0 B 0 + a (B B 0 ) + a (B B ) = B 0 (a 0 a ) + B (a a 2 ) + + B a. Comme B est boré, et a ted vers 0, le terme B a ted vers 0. Nous allos motrer que la série B (a a + ) est absolumet covergete. E effet, B (a a + ) = B (a a + ) M(a a + ), car la suite (a ) est ue suite de réels positifs, décroissate, et B est boré par M. Or : M(a 0 a ) + + M(a a + ) = M(a 0 a + ), qui ted vers Ma 0 puisque (a ) ted vers 0. La série M(a a + ) coverge, doc la série B (a a + ) aussi, par le théorème de comparaiso 3. Doc la série B (a a + ) est covergete, doc la suite (s ) est covergete. Le cas d applicatio le plus fréquet est celui où b = e iθ. Corollaire 3. Soit θ u réel tel que θ 2kπ, k Z. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Les séries e iθ a, cos(θ)a, si(θ)a coverget. Démostratio : Pour appliquer le théorème d Abel 9 avec b = e iθ, ous devos vérifier que les sommes partielles de la suite (e iθ ) sot borées. Or e iθ = (e iθ ), et par hypothèse e iθ est différet de. O a doc : + + e iθ = e i(+)θ e iθ 2 e iθ. D où le résultat. La covergece des séries cos(θ)a et si(θ)a est ue coséquece directe de la propositio. 6
U cas particulier fréquemmet recotré est celui où θ = π, soit b = ( ). O parle alors de série alterée. Termios par ue mise e garde : il est pas possible de remplacer a par u équivalet à l ifii das le théorème 9, car la décroissace est pas coservée par équivalece. Voici par exemple deux séries alterées. ( ) coverge, ( ) + ( ) diverge. Le théorème 9 s applique a la première, mais pas à la secode, car si la suite +( ) est positive (pour 2), elle est pas décroissate. Pourtat, o a bie : Pour motrer que ( ) + ( ) + ( ) +( ) diverge, calculos : ( ) + ( ) = + ( ) ( ) + ( ) = + ( ). Ceci est le terme gééral d ue série à termes positifs divergete (équivalete à la série de Riema ). La différece de deux séries covergetes e peut pas être divergete. Or ( ) coverge, doc ( ) diverge..5 Sommes de séries +( ) Il y a pas beaucoup de séries pour l istat dot vous coaissiez la somme, à part la série expoetielle, les séries géométriques. Il e existe bie d autres. Voici par exemple deux résultats classiques, dot vous recotrerez la justificatio ailleurs : = = π2 2 6 et = ( ) = l(2). Vous aurez beaucoup plus de techiques à votre dispositio après le chapitre sur les séries etières. E attedat, vous pourrez quad même calculer certaies sommes, e combiat celles que vous coaissez. Voici quelques exemples. Cosidéros la série /( 2 ). C est bie ue série covergete, car so terme gééral est positif, et équivalet à 2. Nous allos démotrer que : =2 2 = 3 4. Utilisos la décompositio e élémets simples. 2 = 2 2 + 7
Par récurrece, o e déduit l expressio des sommes partielles. s = 2 + 4 2 2( + ), d où le résultat. E utilisat la même techique de décompositio e élémets simples, vous pourrez aussi calculer les sommes suivates. = = 2 ( + ) = π2 6. 3 2 + 7 + 6 ( + )( + 2)( + 3) = 5 3. Voici maiteat deux exemples de calcul de sommes que l o ramèe à ue série géométrique. Pour le premier, ous reveos sur les développemets décimaux. Si u ombre x est ratioel, alors so développemet décimal, obteu e divisat deux etiers, est périodique. Réciproquemet, si le développemet décimal d u réel est périodique, alors ce réel est u ratioel. Nous allos le calculer. Supposos que x s écrive : x = 0,a... a p a... a p... Le réel x est la somme de la série suivate. x = k=0 ( a 0 + + a ) p 0 p (0 p ). k O retrouve la série géométrique r k, avec r = 0 p. O e déduit : x = ( a 0 + + a ) p 0 p 0. p Soit r tel que r <. Nous allos motrer que Pour cela écrivos : s = = r = = r = r = = r = r r r + r s, r = 8 r ( r) 2. r + r = ( )r
d où le résultat, e résolvat cette équatio e s. La même techique permet de motrer que : 2 r = r2 + r ( r). 3 Quad le terme gééral est le quotiet d u polyôme e par!, o peut toujours se rameer à la série expoetielle. Si le polyôme est, ( ),..., la simplificatio est immédiate.! = ( )! = = ( )! = e. =2 ( 2)! = e. U polyôme e de degré peut toujours s exprimer comme combiaiso liéaire de,, ( ),... Par exemple, 2! = ( ) +! = 2e. Vous pourrez procéder de même pour calculer les sommes suivates. 2 + 2! = 3e. 3 2! = e..6 Vitesse de covergece Combie faut-il ajouter de termes d ue série pour avoir ue boe approximatio de sa somme? Pour cotrôler l erreur commise e remplaçat la somme globale par ue somme partielle, il faut examier le reste. Défiitio 4. Soit u ue série covergete de somme s, et (s ) la suite des sommes partielles. O appelle reste à l ordre la quatité r = s s = k=+ Nous allos doer quelques exemples de séries dot o peut borer le reste. Nous commeços par les séries géométriques. Soit r tel que r <. Rappelos que la somme de la série géométrique est : r = r. 9 u k.
So reste à l ordre vaut : s s = r r+ r = r+ r. Le reste ted doc vers 0 à vitesse géométrique, ce qui est assez rapide. Par exemple, pour r = 2, le reste à l ordre 20 vaut 9,5 0 7, le reste à l ordre 00 vaut 8 0 3. Examios maiteat la série expoetielle. Pour borer so reste, cosidéros les deux suites (s ) et (s ) défiies par : s = + + ( )! +! et s = + + ( )! + 2!. La suite (s ) est croissate et coverge vers e. O vérifie facilemet que la suite (s ) est décroissate pour. Les deux suites sot doc adjacetes et coverget vers la même limite e. O a doc : r = e s s s =!. La covergece est beaucoup plus rapide que pour ue série géométrique. Numériquemet, o trouve r 0 = 2,7 0 8, r 20 = 2 0 20, r 50 = 6,6 0 67. Nous allos maiteat examier des séries dot la covergece peut être beaucoup plus lete. Commeços par les séries alterées, déjà évoquées au paragraphe précédet. Propositio 5. Soit (a ) ue suite de réels positifs, décroissate, tedat vers 0 à l ifii. Posos u = ( ) a. Le reste à l ordre de la série u est majoré par la valeur absolue du premier terme o sommé : r a +. Démostratio : Notos s = u 0 + + u. Pour tout k N, posos α k = s 2k et β k = s 2k+. Nous vérifios que (α k ) et (β k ) sot deux suites adjacetes. E effet, α k+ α k = a 2k+ + a 2k+2 0 et β k+ β k = a 2k+2 a 2k+3 0. Doc (α k ) est décroissate, et (β k ) est croissate. De plus α k β k = a 2k+ ted vers 0. Les deux suites ot doc la même limite s. Pour tout k N, o aura : β k β k+ s α k+ α k. Selo que est pair ou impair, le reste r peut être boré comme suit. r 2k = s α k α k β k = a 2k+, r 2k+ = s β k α k+ β k = a 2k+2. 20
Pour ue série alterée, la vitesse de covergece est doc dictée par la décroissace vers 0 de la suite (a ). Celle-ci peut être assez lete. Par exemple, la série ( ) coverge, et sa somme (pour ) est l(2). Numériquemet, le reste à l ordre 00 est 5 0 3. Examios maiteat les séries dot la covergece peut être obteue par comparaiso avec ue itégrale, grâce au théorème 5. Propositio 6. Soit f ue foctio de R + das R +, décroissate, telle que l itégrale + 0 f(t) dt coverge. Soit r le reste à l ordre de la série de terme gééral u = f(). O a : + r f(t) dt r. Démostratio : C est ue coséquece immédiate des iégalités suivates, que ous avios déjà recotrées das la démostratio du théorème 5 (voir figure 2). u + f(t) dt u +. Das ce cas, la vitesse de covergece de la série est essetiellemet celle à laquelle l itégrale de la foctio sur [, + [ ted vers 0. Pour les séries de Riema α avec α >, l itégrale se calcule explicitemet. O trouve : r α α+ r. Si α est assez proche de, la covergece peut doc être extrêmemet lete. Par exemple, la série coverge. Sa somme (pour ) est π2. Numériquemet, le 2 6 reste à l ordre 00 est proche de 0 2. 2
2 Etraîemet 2. Vrai ou faux Vrai-Faux. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. 2. Si la série u est absolumet covergete, alors la série u 2 coverge. 3. Si la série u coverge, alors la série u coverge. 4. Si les séries u et v diverget, alors la série u + v diverge. 5. Si la série u coverge, alors la série /u diverge. 6. Si la série u coverge, alors la série cos()u coverge. 7. Si la série u est absolumet covergete, alors la série cos()u coverge. 8. Si la série e i u est absolumet covergete, alors la série cos(2)u coverge. 9. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot strictemet positives est supérieur à ( 0 0 ). 0. U ombre réel x [0, ] dot toutes les décimales sot égales à 2 ou à 3 est compris etre ( 2 0 ) et ( 3 0 ).. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à quad ted vers l ifii, alors 2 cos()u coverge. 2. Si u > 0 pour tout et u est équivalet à cos()u coverge. quad ted vers l ifii, alors 3. Si u > 0 pour tout et si la suite (u ) est décroissate, alors cos()u coverge. 4. Si la suite (u ) est décroissate et ted vers 0, alors cos()u coverge. Vrai-Faux 2. Parmi les affirmatios suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. Si r alors r coverge. 2. Si r < alors 2 r coverge. 3. Si r < alors e r coverge. 4. Si r alors cos()r coverge. 5. Si r alors cos()r diverge. 6. Si la suite (u ) est borée, alors u r est soit absolumet covergete, soit divergete. 7. Si r < et si la suite (u ) est borée, alors u r coverge. 22
Vrai-Faux 3. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?.! (2)! 2. (!) 2 (2)! 3.! + ( + )! 4. (!) / 5. 2 + 3 6. 2 + 2 7. 2 + 2 2 8. 2 + 2 2 Vrai-Faux 4. Les séries suivates coverget : vrai ou faux et pourquoi?. 2 + l() 6 + 2 + 3 2. 2 + (l()) 2 6 + 2 + 3 3. 2 + (l()) 2 5 + 2 + 3 4. ( + cos())( 2 + ) (l()) 2 6 + 2 + 3 5. cos 6 ()( 2 + ) (l()) 2 6 + 2 + 3 6. cos 2 ()( 2 + ) (l()) 6 + 2 + 3 7. cos 2 ()(si(( 2 + ) ) (l()) 2 + 2 + 3 Vrai-Faux 5. Les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes : vrai ou faux et pourquoi?. cos 3 () ( ) 3 2. cos 2 () 23
3. cos 3 () 4. cos 3 () 6 2 + 5. cos 3 ()( 2 + ) 3 6. cos 3 ()( + ) 3 Vrai-Faux 6. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. 2. 3. 4. =2 =2 =2 = + ( ) = 2 ( + ) 2 + ( ) = ( + )( + 2) = 3 + ( )( 2) = 2 ( 2 ) 2 = 5. 2 = =2 4 6. 3 = =2 8 7. 8. 9. =2 =2 =3! = e 2 ( + )! = e 3 2 ( 2)! = e = Vrai-Faux 7. Parmi les égalités suivates lesquelles sot vraies, lesquelles sot fausses et pourquoi?. 2. =3 =4 ( ) = ( )( 2) = 2 24
3. 4. 5. 6. = =2 = =2 4 + 6 ( + )( + 2)( + 3) = 4 + 2 ( 2 )( 2 + 2) = 2 3 2 + 3 ( )! = 8e 2.2 Exercices 2 + 2 ( )! = 7e 3 Exercice. E examiat la limite du terme gééral, motrer que les séries suivates diverget. si() ; ( + ( ) ( ) ( ) cos(/)) ; ; + + Exercice 2. Utiliser le théorème de comparaiso ou u équivalet, pour démotrer que. les séries suivates coverget cos( ) ( ) l() 3 si( ) ; + 2 si ; ( + ) 2 ( ( )) + l ; si(π 4 + ) 3 4 ; 2 2 + ; e 3 ; ( ( )) cos ; 2. les séries suivates diverget ( ) ( + l ; 2 + 2 si argcosh + 3 ( + ) 2 (+ ) ; + ( ) ; 2 + + 2 + ; ( 3 + ) 3 2 +. Exercice 3. Utiliser le critère de Cauchy pour détermier la ature des séries suivates. l (l ) ; ( ) + 3 ; 2 + ( ) + 3 ( ) 2 + ; 25 ( ) 2. 2 +. ) ;
Exercice 4. Utiliser le critère de d Alembert pour détermier la ature des séries suivates.! ; (l ) (3)! ;! 9(!) 3! α ; (discuter selo la valeur du réel α). α (l )! ; Exercice 5. Détermier la ature des séries suivates e ; e ; 2 + 2 3 2 + ; e + ; l ( ) + ; + ( + 3 2 +! ; si 2 + cos 2 ; ) l ;. 3/ ; 2 2 si 2 (α). e 5 + ; e 4 + si ; e ; + ( l ; + ) ; (e ( + ) ) ; (+)π π ( ) 3 2 + 3 l ; si x x 2 dx ; ( l + ) ( ) ; ; (l ) ; l( + ) cos ; (!) 2 /2 (2)! ; ( cos()) 4 2 3 + 3 si(). Exercice 6. O cosidère ue suite (u ) défiie par u 0 R + et pour tout N par l ue des formules suivates. u + = si(u) + u + = l(+u) 2 u + = cos(u ). Motrer que (u ) ted vers 0. 2. Étudier la limite du rapport u + /u. 3. E déduire que la série u est covergete. Exercice 7. Soiet a et b deux réels. Pour tout N, o pose u = + a + + b + 2.. Vérifier que la suite (u ) ted vers 0 si et seulemet si a + b =. 2. Détermier a et b pour que la série u soit covergete. 26
Exercice 8. Soit u ue série à termes positifs ou uls, covergete.. Motrer que pour tout α >, la série u α coverge. 2. Motrer que les séries si(u ) et arcta(u ) coverget. 3. Soit f ue applicatio de R + das R + telle que f(0) = 0, admettat ue dérivée à droite e 0. Motrer que la série f(u ) coverge. Exercice 9. Soit u ue suite à termes réels positifs ou uls. Motrer que les séries de u termes gééraux u, +u, l( + u ) et u dx 0 sot de même ature (covergetes +x 3 ou divergetes). Exercice 0. Soiet u et v deux séries à termes positifs ou uls, covergetes.. Motrer que les séries mi{u, v } et max{u, v } coverget. 2. Si a et b sot deux réels tels que 0 < a < b, alors 0 < a < 2ab/(a + b) < ab < b (2ab/(a + b) et ab sot respectivemet la moyee harmoique et la moyee géométrique de a et b). Motrer que u v et u v u +v coverget. Exercice. Soit u et v deux séries réelles covergetes et w ue série réelle telle que pour tout N, u w v.. Motrer que pour tout N, 2. E déduire que w coverge. 0 w u v u Exercice 2. Soit f la foctio défiie sur [2, [ par f(x) = u = f() et s = k=2 u k. x l x. Soit pour tout 2,. Vérifier que F : x l(l(x)) est ue primitive de f. E déduire les iégalités : s F ( + ) F (2) et s u 2 F () F (2) 2. Déduire de la questio précédete que s est équivalet à l(l() quad ted vers l ifii. 3. O pose a = s l(l ). Motrer e utilisat des développemets limités que la série de terme gééral (a a ) coverge. E déduire que S l(l ) est boré. 4. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 3? Exercice 3. Pour tout, o ote u = / et s = u k= 27
. Motrer que pour tout 2, S 2( ) S 2. E déduire que S est équivalet à 2 quad ted vers l ifii. 3. Quelle est la plus petite valeur de telle que s > 0 5? Exercice 4. E utilisat la comparaiso avec ue itégrale, démotrer les résultats suivats. Si γ Si γ > =3 =3 (l()) (l(l())) γ (l()) (l(l())) γ Exercice 5. Soit u ue suite à termes réels (quelcoques). diverge. coverge.. Doer u exemple tel que u coverge et u 2 diverge. O suppose das les questios suivates que u et u 2 coverget. 2. Motrer pour tout k N, u k coverge. 3. Soit f ue applicatio de R das R deux fois cotiûmet dérivable, telle que f(0) = 0. Motrer que f(u ) coverge. Exercice 6. Soit u etier strictemet positif. O cosidére l équatio x +x+ = 0. Motrer que cette équatio admet ue uique solutio das R+. O la ote u. 2. Motrer que la suite (u ) ted vers 0. 3. Motrer que la série u diverge. Exercice 7. Motrer que les séries suivates coverget, mais e sot pas absolumet covergetes si() 2 + ; si 3 () cos() ; + 2 l() ; si 5 () l(l()) ; ( ) cos() ; Exercice 8. Détermier la ature des séries suivates. ( ) l ; ( ) ( ) ( ) ; + ( ) ( ) + ( ) ; ( ) + ( ) ; si(3) cos() ; ( ) + ( ) ; (+)π π si(x) x dx ; (+)π π si 2 (x) x dx. 28
Exercice 9. Soit k u etier.. Motrer que cos 2k (x) est ue combiaiso liéaire de, cos(2x),..., cos(2kx). E déduire que la série cos 2k ()/ est divergete. 2. Motrer que cos 2k+ (x) est ue combiaiso liéaire de cos(x),..., cos((2k+)x). E déduire que la série cos 2k+ ()/ est covergete. Exercice 20. Soit u ue série covergete à termes complexes. Motrer que la série u coverge. Exercice 2. O cosidère la série u, où u = si() + cos(). Vérifier que la suite (/( + cos()) est pas décroissate. 2. Motrer que la suite (/( cos 2 ()) est décroissate. 3. Motrer que la suite ( /( cos 2 ()) est décroissate. 4. Vérifier que u = E déduire que u coverge. si() si() cos() cos 2 () cos 2 (). Exercice 22. Soiet a et b deux réels. O cosidére la série u avec u = a. +b. O suppose b. Pour quelles valeurs de a la série est-elle absolumet covergete? 2. Même questio pour b >. 3. O suppose a =. Pour quelles valeurs de b la série est-elle covergete? 4. Représeter das le pla les poits de coordoées (a, b) tels que la série est absolumet covergete, covergete, divergete. Exercice 23. O cosidère la série de terme gééral u, où u = ( 2 ).. Écrire la décompositio e élémets simples de la fractio ratioelle X(X 2 ). 2. E déduire ue expressio explicite e foctio de de k=2 k(k 2 ) 29
3. Déduire de ce qui précède la covergece de la série u et la valeur de la somme s = k=2 u k. Exercice 24. O cosidère la série de terme gééral : u = l ( ) = l 2. Démotrer que cette série coverge. 2. Doer ue expressio explicite de s = u k. k=2 3. E déduire la valeur de la somme s = k=2 ( 2 ) Exercice 25. Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes : u k. 2 =3 3 +2 + 2 +3 ; = ( 2)3 + ( 3)2 ; = = ( 2 2)3 + ( 2 3)2 ; 2 + 2! =2 ; 2 + 3 2 ; = 2 + 2 + 3 ( )! =2 ; 4 2 2 + ; ( 2 2 + 3)3 + ( 2 3 + 2)2 ; 3 + 2 2 + 3! =3 2 3 4 ; ; =3 = 3 + 2 + 3 +! 4 + 2 ( 2 )( 2 2). Exercice 26. Si u est ue série covergete à termes strictemet positifs, o ote r so reste d ordre : r = k=+ u k. O suppose qu il existe k ]0, [ et 0 N tels que u + u que pour tout 0, 0 < r u k +. k pour tout 0. Motrer Exercice 27. Soit (a ) N ue suite de réels. O dit que le produit ifii a coverge, s il existe π R tel que la suite de terme gééral a k coverge vers π. k=0 ; 30
. Motrer que si le produit ifii a coverge, alors, a 0 et O pose désormais a = + u. lim a =. + 2. O suppose que N, a >. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 3. O suppose que N, a ]0, ]. Motrer que le produit a coverge si et seulemet si la série u coverge. 4. O suppose que N, a ]0, + [. Motrer que si la série u coverge absolumet, alors le produit a coverge. 5. Motrer que pour tout 2, ( ) k 2 E déduire 6. Motrer que + =2 ( 2 ). k=2 + ( = + ( ) = + 2. ) = O pourra calculer ( + )( ). 2 2+ 7. Motrer que le produit ifii + i coverge. O pourra appliquer le résultat de la questio 2. 8. Motrer que le produit ifii ( + i ) diverge. O pourra écrire ( + i ) = + i eiθ ( avec θ = arcta ). Exercice 28. Soit (u ) N ue suite de réels, telle que la série u soit covergete mais o absolumet covergete. O ote (p ) la suite des termes positifs et (m ) la suite des termes égatifs. p = { u si u > 0 0 sio et m = { u si u < 0 0 sio 3
. Motrer que les séries p et m sot divergetes. 2. Soit a u réel quelcoque. Costruire ue bijectio σ a de N das N telle que lim u σa(i) = a. + i= Idicatio : supposat a > 0, predre les premiers termes positifs dot la somme dépasse a, puis ajouter des termes égatifs jusqu à ce que la somme repasse edessous de a, puis itérer. 3. Costruire ue bijectio σ + de N das N telle que lim u σ+ (i) = +. + i= 4. Costruire ue bijectio σ de N das N telle que lim u σ (i) =. + i= Exercice 29. Soit (u ) N ue suite de réels tels que la série u soit absolumet covergete. Soit σ ue bijectio de N das N.. Motrer que la série u σ() est absolumet covergete. 2. Motrer que 2.3 QCM u σ() = Doez-vous ue heure pour répodre à ce questioaire. Les 0 questios sot idépedates. Pour chaque questio 5 affirmatios sot proposées, parmi lesquelles 2 sot vraies et 3 sot fausses. Pour chaque questio, cochez les 2 affirmatios que vous pesez vraies. Chaque questio pour laquelle les 2 affirmatios vraies sot cochées rapporte 2 poits. m=0 u m. Questio. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la suite (u ) ted vers 0, alors la série u coverge. B C Si la série u diverge, alors la série u 2 diverge. Si la série u diverge, alors la suite (u ) e ted pas vers 0. D E Si la série u coverge, alors la suite (u 2 ) ted vers 0. Si la série u coverge, alors la série u 2 coverge. Questio 2. Pour tout N, soit u u réel strictemet positif. A Si la série u coverge, alors la série si(u ) coverge. 32
B Si la série u diverge, alors la série (cos(u ) ) diverge. C Si la série u diverge, alors la série u / diverge. D Si la série u diverge, alors la série ta(u ) diverge. E Si la série u coverge, alors la série e u coverge. Questio 3. Soit r et α deux réels strictemet positifs. A Si r alors la série r coverge. B Si r <, alors la série α r coverge. C Si r =, alors la série α r diverge. D Si r et si α <, alors la série α r coverge. E Si r < et si α >, alors la série α r diverge. Questio 4. Pour tout N, soit u u réel positif ou ul. A Si la suite ( u ) ted vers /2, alors la série u coverge. B Si la suite ( u ) ted vers, alors la série u coverge C Si la suite ( u ) ted vers 2, alors la série u / diverge D Si la suite ( u ) est majorée par, alors la série u coverge E Si la suite ( u ) coverge, alors la suite (u ) coverge. Questio 5. Pour tout N, soit u u ombre complexe o ul. A Si la suite ( u + u ) ted vers alors la série u coverge. B Si la suite ( u + u C Si la suite ( u + u D Si la suite ( u + u E Si la suite ( u + u Questio 6. La série proposée coverge. A l( + si(/)) B l( + si(/ 2 )) C ( + si(/ 4 )) D l( + si(/ 4 )) E l( + si(/ 2 )) ) est miorée par alors la série u coverge. ) est majorée par alors la série u / 2 coverge. ) ted vers /2 alors la série 2 u coverge. ) ted vers 2 alors la série u / 2 coverge. Questio 7. Le critère de covergece des séries alterées permet d affirmer que la série proposée coverge. A l() + ( ) B ( ) + ( ) C ( ) si 2 () 33
D ( ) l() E ( ) arcta() Questio 8. L égalité proposée est vraie. + A =2 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + B + = (2 3) = = ( + )(2 ) + C + =2 (2 3) = = ( + )(2 ) + D =3 (2 3) = ( + 2)(2 + ) + E (2 3) = ( )(2 ) =2 =3 Questio 9. L égalité proposée est vraie. A 2 = B C D E + = =2 = + =2 =2 2 = 3 4 3 = 2 3 = 3 4 3 = 2 Questio 0. L égalité proposée est vraie. A ( )! = e B C D E + =2 =3 + = ( 2)! = e + 2 = 2e! + = 2e! + ( )! = 2e Réposes : DE 2 AD 3 BD 4 AC 5 CD 6 DE 7 DE 8 AB 9 AC 0 BD 34
2.4 Devoir Essayez de bie rédiger vos réposes, sas vous reporter i au cours, i au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, doez-vous deux heures ; puis comparez vos réposes avec le corrigé et comptez u poit pour chaque questio à laquelle vous aurez correctemet répodu. Questios de cours : Soiet u et v deux séries et 0 u etier tel que pour tout 0, 0 u v. Pour tout N, o pose s = u k et t = v k.. Motrer que les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0, et qu il existe u réel a tel que pour tout N, s t + a. 2. E déduire que si v coverge, alors u coverge et si u diverge, alors v diverge. 3. O suppose que u est équivalet à v quad ted vers l ifii. Démotrer que u coverge si et seulemet si v coverge. 4. O suppose qu il existe r < et 0 N tel que pour tout 0, u + ru. Motrer que la série u coverge. 5. O suppose que u diverge. Démotrer que la série de terme gééral ( ) /s coverge. Exercice : Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe a > 0 et b > tels que u + = a ( ) u + O. b. Pour tout N, o pose v = a u. Démotrer que où c = mi{b, 2}. v + v ( ) = + O c 2. E déduire que la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. E déduire que la suite (v ) coverge. 4. Utiliser le résultat précédet pour démotrer que si a, alors u diverge, et si a > alors u coverge. (Vous veez de justifier la règle de Raabe Duhamel). Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = + 2 + + = 35 k=, k.
. Démotrer que pour tout k 2, k+ 2. E déduire que pour tout, k k t dt u k k t dt. l( + ) h l() +. 3. E déduire que u diverge et que h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Pour tout, o pose δ = u + t dt. Motrer que 0 δ u u +. E déduire que la série δ coverge. 5. E déduire qu il existe u réel strictemet positif γ tel que lim h l() = γ. + (γ 0.57725665 est la costate d Euler.) 6. Pour tout, o pose v = ( ) u = ( ) /. Motrer que la série v coverge. 7. Vérifier que pour tout k, /k = 0 tk dt. E déduire l expressio suivate des sommes partielles. 8. Motrer que pour tout 9. E déduire que ( t) s = v = dt. k= 0 + t s 0 + t dt +. k= v = l(2). 0. Quelle est la plus petite valeur de telle que r = s l(2) < 0 3?. Démotrer l égalité s 2 = h 2 h. Retrouver la limite de (s ) e utilisat le résultat de la questio 5. 36
2.5 Corrigé du devoir Questios de cours :. Pour tout 0 : s + s = u 0 et t + t = v 0 Doc les suites (s ) et (t ) sot croissates à partir de 0. De plus, s s 0 = u 0 + + + u v 0 + + + v = t t 0. Doc pour tout N : s t + max{s k t k, k = 0,..., 0 }. 2. Ue suite croissate coverge vers ue limite fiie si et seulemet si elle est majorée. La série v coverge si et seulemet si la suite (t ) coverge. Supposos que ce soit le cas, et otos t la limite. Alors pour tout N, s est majorée par t + a, doc (s ) coverge, doc u coverge. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Comme t s + a, il e est de même de la suite (t ), doc v diverge. 3. Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe u etier 0 tel que pour tout 0, u v εv. Fixos ε = /2 : pour tout 0 2 v u 3 2 v. Par liéarité, la covergece de la suite (t ) équivaut aux covergeces des suites ( 2 t ) et ( 3 2 t ). E appliquat ce qui précède : et v coverge = 3 2 v coverge = u coverge, v diverge = 2 v diverge = u diverge. 4. Motros par récurrece que pour tout 0, u u 0 r 0. C est vrai pour = 0. Supposos que ce soit vrai pour, alors : u + ru r ( u 0 r 0) = u0 r + 0, d où le résultat. Pour 0 < r <, la série r coverge. Par liéarité, il e est de même de la série v, avec v = (u 0 r 0 ) r. Or pout tout 0, 0 u v. Doc u coverge, e appliquat le résultat de la questio 2. 37
5. La suite (s ) est croissate à partir de 0. Si u diverge, alors la suite (s ) ted vers +. Elle est doc o ulle à partir d u certai rag. Posos 2 = max{ 0, }. À partir du rag 2, la suite (/s ) est défiie, décroissate, et elle ted vers 0. Doc la série de terme gééral ( ) /s coverge, par applicatio du critère de covergece des séries alterées (théorème d Abel). Exercice :. Calculos u développemet limité du rapport v + /v. v + v = = = ( ) + a u + u ( + ) a ( a ( )) + O b ( + a ( )) ( + O a ( )) 2 + O b où c = mi{b, 2}. ( ) = + O c, 2. Par compositio du développemet limité de la questio précédete avec la foctio l, o obtiet : ( ) ( ) v+ l = O, c v doc il existe ue costate C et u etier 0 tel que pour tout > 0, ( ) l v+ C v, c Comme c b >, la série de terme gééral C/ c coverge. Doc la série de terme gééral l(v + /v ) coverge. 3. Les sommes partielles de la série de terme gééral l(v + /v ) sot «télescopiques» : ( ) vk+ l = l (v k+ ) l (v k ) = l (v + ) l (v 0 ). k=0 v k k=0 Puisque la série de terme gééral l(v + /v ) coverge, la suite de ses sommes partielles, et doc la suite (l(v )) coverget. Par compositio avec la foctio exp, la suite (v ) N coverge. 4. Notos d la limite de la suite (v ). Comme v = a u, u est équivalet à d a. Si a la série d a diverge, doc u diverge. Si a > la série d a coverge, doc u coverge. 38
Exercice 2 : O cosidère la série harmoique, de terme gééral u = /. O ote h ses sommes partielles, défiies pour par : h = + 2 + + = k= k.. La foctio t /t est décroissate sur [, + [. Pour tout k, t [k, k + ], k + t k. Doc k+ k+ k k + dt k+ k t dt k k dt, ou ecore k+ k + k t dt k. Pour tout k 2, o applique l iégalité de gauche à k : O obtiet doc la double iégalité : k+ k k k k t dt. t dt u k k k t dt. 2. Sommos l iégalité de gauche pour k allat de à : + t dt k= k, doc l( + ) h. Sommos esuite la secode iégalité, pour k allat de 2 à : doc h l(). k=2 k t dt, 3. La suite (l()) N ted vers +, il e est de même pour la suite des sommes partielles (h ). Doc la série u diverge. De plus Or l( + ) l() l( + ) l() = l() + l( + ) l() h l() l() + l() 39 = + l( + ) l()..
La suite ( l(+) ) ted vers. Comme l() l() + l() = + l, la suite ( l()+ ) ted égalemet vers. La suite ( h ) est ecadrée par deux l() l() suites qui coverget vers, doc elle coverge aussi vers : h est équivalet à l() quad ted vers l ifii. 4. Le résultat découle de l ecadremet suivat, déjà démotré das la questio. O e déduit : δ = u u + = + + t dt = u. + + t dt 0 et δ = u t dt u u + La série u u + a des sommes partielles «télescopiques» : u u k+ = u u +. k= Comme la suite (u ) ted vers 0, la série u u + coverge. Doc la série δ coverge, par le théorème de comparaiso. 5. Calculos les sommes partielles des δ. δ k = k= k+ u k k= k= k = h + y dt = h l( + ) t dt ( = (h l()) + l + ) ( = h l() + O ) Puisque la suite des sommes partielles des δ coverge, il e est de même pour la suite (h l()). Notos γ la somme de la série de terme gééral δ : γ = = δ = lim + = 40 δ k = lim h l(). +
6. La série v est ue série alterée. Pour lui appliquer le critère de covergece des séries alterées, il suffit d observer que la suite (/) est décroissate et ted vers 0. 7. Pour tout k, [ ] t t k k dt = = 0 k k. 0 E sommat de à, o obtiet : s = = = = k=( ) k k ( ) k t k dt k= 0 ( ) k t k dt 0 k= 0 ( t) dt. + t 8. Repreos l idetité de la questio précédete : s = Or : Doc : 0 ( t) dt = + t 0 s 0 t 9. O a : 0 + t dt 0 + t dt = 0 0 t dt + ( )+ + t 0 + t dt. t dt = dt = l(2). + t +. t + t dt +. L iégalité de la questio précédete motre que s l(2) ted vers 0. La suite des sommes partielles (s ) coverge doc vers l(2) : = v = l(2). 0. La majoratio de la questio 8 motre que r < 0 3 pour > 000. Le calcul umérique motre que le premier rag tel que r < 0 3 est = 500. 4
. Écrivos : s 2 = 2 + 3 + + 2 2 = ( + 3 + + ) ( 2 2 + 4 + + ) 2 = ( + 2 + + ) ( 2 2 2 + 4 + + ) 2 = ( + 2 + + ) 2 ( + 2 2 2 + + ) = h 2 h D après la questio 5, h l() coverge vers γ, il e est doc de même de h 2 l(2). Doc : lim + = lim 2 + = lim 2 h + = lim 2 l(2)) + l(2) (l() h ) + = γ + l(2) γ = l(2) 42
3 Complémets 3. De Zéo d Élée à vo Neuma Qu ue somme de termes e ombre ifii puisse doer u résultat fii itrigue depuis logtemps, au mois depuis Zéo d Élée (v. 480 420 av. J.C.). Ses textes origiaux e ous sot pas parveus, mais ous coaissos quelques us de ses fameux paradoxes, par la discussio qu e fait Aristote (384 322 av. J.C.) das sa Physique, «le livre fodametal de la philosophie occidetale» selo Heidegger. Voici commet Aristote éoce le paradoxe «de dichotomie» Si sur ue gradeur d, o pred la moitié, puis la moitié de la moitié puis ecore la moitié du reste, et aisi de suite sas limitatio de divisios, la gradeur obteue e additioat ue moitié de chaque divisio successive (divisio appelée dichotomie) e pourra jamais être égale exactemet à la distace d. Avat d arriver à so but, u mobile doit arriver à la moitié de so parcours. Mais auparavat, il doit arriver à la moitié de la moitié... Le mobile doit parcourir ue quatité ifiie d uités d espace. Il arrivera doc jamais à so but. Pour autat, vous avez pas été choqués d appredre que = 2 + 4 + 8 + = = 2. Voici maiteat commet Aristote éoce le «paradoxe d Achille et de la tortue». Le plus let e sera jamais rattrapé à la course par le plus rapide ; car il est écessaire que le poursuivat gage d abord le poit d où a pris so départ le poursuivi, e sorte qu il est écessaire que le plus let, à chaque fois, ait quelque avace. Il est questio i d Achille i de tortue. Achille était probablemet préset das la versio origiale, par référece au passage suivat de l Iliade d Homère. Aisi qu u homme das u rêve arrive pas à poursuivre u fuyard et que celui-ci à so tour e peut pas plus le fuir, que l autre le poursuivre ; aisi Achille e ce jour arrive pas plus à atteidre Hector à la course, qu Hector à lui échapper. Selo Aristote, «parcourir l ifii est impossible» : voyos cela. Disos que l avace d Hector (qui est deveu officiellemet tortue qu u bo milléaire après Zéo) est de km, que sa vitesse e km/h est v, alors que la vitesse du «bouillat Achille» est V > v. Il y a deux maières de calculer. La plus simple est d égaler V t et vt + pour trouver l istat du cotact : /(V v). La maière compliquée est celle du paradoxe : à l istat /V, Achille est arrivé au poit de départ d Hector, mais Hector est v/v. L. Coraz : l écriture ou le tragique de la trasmissio, l Harmatta, Paris (994) 43