REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINITERE DE L ENEIGNEMENT UPERIEUR ET DE LA RECHERCHE CIENTIFIQUE UNIVERITE MANTOURI DE CONTANTINE FACULTE DE CIENCE DE L INGENIEUR DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL THEE Présnté n vu d l obtnton du grad d DOCTEUR D ETAT EN GENIE CIVIL Opton : Matéraux Par Ahd BEROUAL CARACTERIATION DE HETEROTRUCTURE PAR LA METHODE DE IMPEDANCE ET PAR LA PERMITTIVITE DIELECTRIQUE EFFECTIVE COMPLEXE outnu l 6 dvant la osson d xan : Présdnt : Dr : CHABIL Hon Rapportur : Dr : HOUARI Haèn Exanaturs : Dr : HABITA Md Faouz Dr : BELACHIA Mouloud Dr : BELLEL Azzdn Profssur Unvrsté Mntour Constantn Profssur Unvrsté Mntour Constantn Profssur Unvrsté d Annaba Profssur Unvrsté d kkda M.C Unvrsté Mntour Constantn
Rrnts C traval a été réalsé au sn du laborator Matéraux t Durablté ds Construtons d l Unvrsté Mntour d Constantn n ollaboraton av l ntr d gén éltrqu (CEGELY Eol ntral d Lyon. J rr Monsur l Profssur L.Nolas Drtur du CEGELY qu a aull dans son laborator. J rr Monsur l Présdnt t Mssurs ls brs du jury pour l honnur qu l font n aptant d jugr traval. J xpr a profond grattud t a ronnassan nvrs Monsur l Profssur Haèn Houar pour l ad qu l a apporté tout au long d traval. J rr égalnt touts ls prsonns qu ont ontrbué d près ou d lon à la réalsaton d traval.
A la Méor d s parnts. A tous ls Mns.
Tabls ds atèrs INTRODUCTION GENERALE Bblograph 6 CHAPITRE I : PERMITTIVITE DIELECTRIQUE COMPLEXE ET LOI DE MELANGE I. Introduton 8 I. Phénoèns d polarsaton 9 I.. Polarsaton éltronqu I.. Polarsaton onqu I..3 Polarsaton dpolar I..4 Polarsaton arosopqu I..5 Polarsaton ntrfaal I.3 Prttvté oplx t prts déltrqus 3 I.3. Défntons 3 I.3. Influn d la fréqun 5 I.4 Los d élangs 7 I.4. Théors du hap éltrqu loal 7 I.4. Prttvté fftv t hap d xtaton 9 I.4.3 Théor oléulars ds lux hétérogèns I.4.4 Théors ds lux fftfs 3 I.4.5 Attrbut stohastqu 6 I.4.6 Influn d la géoétr ds nlusons sur la prttvté 8 I.4.7 Matéraux oposts déltrqus av un phas ondutr dsrèt 3 I.5 Conluson 3 Bblograph 3
CHAPITRE II : METHODE DE CARACTERIATION DE HETEROTRUCTURE II. Introduton 38 II. Classfaton ds atéraux 38 II.. Classfaton basé sur la ondutvté éltrqu 38 II.. Classfaton basé sur ls nvaux d énrg 38 II..3 Classfaton basé sur la prttvté déltrqu 39 II..4 Classfaton basé sur la susptblté agnétqu 4 II.3 Méthods d aratérsaton 4 II.3. Méthods nuléars 4 II.3. Méthod thrqu 4 II.3.3 Méthod éltrqu résstvté 4 II.3.4 Méthods déltrqus 4 II.3.4. Méthod apatv 4 II.3.4. Méthod T.D.R. (T Doan Rfltotry 43 II.3.5 Méthod aoustqu (ultra sons 43 II.3.6 Méthods agnétqus 44 II.3.7 Méthods ds rayons X 44 II.4 Conluson 45 Bblograph 46 CHAPITRE III : MODELIATION DE HETEROTRUCURE PAR DE CIRCUIT ELECTRIQUE : METHODE DE L IMPEDANCE ELECTRIQUE EQUIVALENTE III. Introduton 5 III. Prnp d bas d la éthod d l pédan équvalnt 5 III.3 Los d élangs 5 III.4 Thnqu d sur d l pédan éltrqu 57 III.5 Valdaton xpérntal ds los d élangs 58 III.6 Rprésntaton d un hétérostrutur à dux phass 63 III.7 Proédur d détrnaton d l pédan équvalnt 67 III.8 Applaton : Hétérostruturs av nlusons longus dstrbués pérodqunt 7
III.8. Hétérostruturs av trous 7 III.8.. Matérau hôt déltrqu sans prts 7 III.8.. Matérau hôt déltrqu av prts 73 III.8..3 atérau hôt ondutur 77 III.8..4 Matérau hôt t nlusons déltrqus av prts 78 III.8. Hétérostruturs av ds onduturs o nlusons 8 III.8.. Matérau hôt déltrqu sans prts 8 III.8.. Matérau hôt déltrqu av prts 8 III.9 Valdaton xpérntal 83 III. Rarqu 85 III. Conluson 86 Bblograph 87 CHAPITRE IV : METHODE NUMERIQUE POUR LA DETERMINATION DE LA PERMTTIVITE DIELECTRIQUE EFFECTIVE COMPLEXE IV. Introduton 89 IV. Méthods nuérqus 9 IV.. Méthod ds dfférns fns 9 IV.. Méthod ds élénts fns 93 IV..3 Méthod ds dfférns fns dans l doan ds tps 96 IV..4 Méthod ds équatons ntégrals d frontèr 97 IV.3 Applaton aux atéraux oposts 98 IV.4 Dsrpton géoétrqu ds atéraux odèls IV.5 Modélsaton d l hétérostrutur 4 IV.6 Conluson 5 Bblograph 6 CHAPITRE V : APPLICATION DE LA METHODE DE EQUATION INTEGRALE DE FRONTIERE POUR LA DETERMINATION DE TENEUR EN EAU ET DE CAVITE DAN DE HETEROTRUCTURE A TRAVER LA PERMITTIVITE DIELECTRIQUE COMPLEXE V. Introduton 9
V. Applaton d la éthod ds équatons ntégrals d frontèr 9 V.3 Thnqu xpérntal V.4 Résultats t dsusson V.5 Conluson 8 Bblograph 9 CONCLUION GENRALE ANNEXE 3 v
INTRODUCTION GENERALE
L dé d assor ds atéraux d naturs dfférnts pour onvor d nouvaux atéraux dts oposts ou hétérostruturs d prforans supérurs à lls d s onsttuants prs séparént a été ntrodut l y a plus d un sèl. Et dpus ll n a ssé d progrssr t d nvahr d nobruss thnologs grâ aux proprétés très ntérssants qu présntnt s atéraux : Un légèrté prttant lur ntégraton dans l doan d l aéronautqu t l aérospatal un rgdté fasant d ux un atérau hapon (ro dans ls applatons rlvant ds doans ds sports t losrs un apttud à la s n for ls rndant un partnar portant d la onstruton autoobl un résstan à la orroson ls qualfant à êtr un atérau d hox dans l ndustr naval. Dans l doan du gén vl ls hétérostruturs ont pénétré fortnt ; ls applatons ourants onrnnt l gros œuvr l sond œuvr ans qu l assanssnt t l aublnt. ; l béton aré n st un xpl typqu. L suès ds hétérostruturs provnt d lur apttud à êtr onçus «à la art». L onptur put n odfr à volonté ls oportnts n jouant sur la natur ds atéraux onsttuants t lurs proprétés la géoétr ds nlusons (for t tall lur onntraton t lur dsposton dans la atr. Cpndant ds problès afftant la prforan d s atéraux puvnt surgr au ours d lur xplotaton t d fat nar la sûrté d fontonnnt ds struturs dont l font part. Il s agt n partulr d l apparton d fssurs d avtés d au dans s avtés t d détéroraton d rnforts résultant d dfférnts ontrants (agrsson hqu éhauffnt séss auvas dosag. Il st par onséqunt portant d aratérsr s atéraux lors d lur onpton t d suvr l évoluton d lurs proprétés durant lur xplotaton. Dvrss éthods ont été dévloppés pour aratérsr ls hétérostruturs. Par ls éthods dévloppés on put tr la éthod thrqu [] ls éthods nuléars [] la éthod basé sur la sur d la résstvté applé «éthod éltrqu» [3-5] t ls éthods basés sur la sur d la prttvté déltrqu applé «éthods déltrqus» [6-8]. Cs drnèrs ont onnu un dévloppnt rarquabl s drnèrs annés. Ans plusurs thnqus basés sur la détrnaton d la prttvté déltrqu rlatv (ou onstant déltrqu ont vu l jour : la éthod apatv [ 6] la éthod d réfltoétr onnu sous l appllaton éthod T.D.R. (T Doan Rfltotry [7 8] t ls éthods radars [9 ]. La prttvté fftv ds hétérostruturs dérvant ls rlatons ntr ls proprétés rosopqus t arosopqus ds hétérostruturs t lur onsttuants a été dért par d nobruss foruls analytqus t théors applés «los d élangs». Ls
prèrs ont été proposés l y déjà plus d 5 ans ; l s agt ds élèbrs foruls d Claussus Mossott d Maxwll-Garntt t d Raylgh. Cpndant ls travaux sur ls los d élangs s poursuvnt nor. La rason d tt évoluton st qu ls los d élangs n puvnt prédr qu ls proprétés éltrqus d rtans hétérostruturs partulèrs t sulnt dans rtans as spéfqus. Ls problès prnpaux qu s posnt nor onrnnt ls grands onntratons d la harg dans la atr ls ntratons ultpolars qu n sont pas prss n onsdératon ls rapports portants ds valurs d prttvtés ds phass onsttuants la for ds nlusons t la répartton ds partuls dans la atr. Dpus nvron tros dénns t grâ aux progrès onsdérabls réalsés dans la odélsaton t ls aluls éltroagnétqus ls fforts t tntatvs utlsant ls éthods nuérqus pour l alul d la prttvté déltrqu fftv ds hétérostruturs ont prs d obtnr ds valurs plus prohs ds valurs xats qu lls donnés par ls los d élangs analytqus. Ls éthods nuérqus onsttunt un ston ds athéatqus applqués tratant d l élaboraton t d l étud ds éthods d résoluton approxatv ds problès d aluls dans ls odèls athéatqus. La rhrh d éthods d résoluton approxatv ds problès athéatqus physqus t autrs possèd un longu tradton (C.F. Gauss I. Nwton J.B.J. Fourr. Cpndant l dévloppnt ds éthods nuérqus odrns n a oné qu dans ls annés 5 du XX sèl grâ à l plo ds ordnaturs t aux dévloppnts ds possbltés d aluls. La odélsaton ds hétérostruturs prt lurs analys d un anèr unvrsll t un éono d tps t d oût qu st d un ns portan ds ponts d vu sntfqu t ndustrl. Mas prt avant tout un étud plus oplèt d lurs proprétés o par xpl la prédton d lur prttvté fftv n fonton ds paraètrs onsttuant ls ponts fabls ds los d élangs qu ltnt lurs applatons. D nobruss éthods nuérqus rapds t ffas ont été élaborés. Ls travaux portant sur s éthods sont ntrés sur la réaton d nouvlls thnqus d aluls t nglobnt l analys ds rrurs t du oût d s éthods. Il n st d ê d la odélsaton ds struturs hétérogèns t ds aluls d lurs prttvtés fftvs. C traval port sur la aratérsaton ds hétérostruturs odèls par : ( un nouvll éthod basé sur la sur d l pédan équvalnt pour ds systès à géoétr spl t ( un éthod nuérqu utlsant ls équatons ntégrals d frontèr pour ds atéraux à géoétr oplx. Il s agt d prévor la valur fftv d un 3
proprété donné (prttvté déltrqu t résstvté éltrqu aratérsant un élang (hétérostrutur tout n onnassant ls valurs d haun ds onsttuants d tt ê proprété ans qu ls proportons du élang. Ls hétérostruturs qu nous onsdérons sont onsttués prnpalnt d atéraux déltrqus t/ou onduturs rnontrés dans la onstruton. L prr haptr st onsaré à la défnton d la prttvté oplx grandur aratérstqu ds atéraux déltrqus à la dsrpton ds phénoèns d polarsaton à la présntaton ds los d élangs t ds problès fondantaux rnontrés dans la prédton d la prttvté fftv oplx ds hétérostruturs. Dans l duxè haptr nous xposons ls dfférnts typs d lassfaton ds atéraux t dérvons ls éthods atulls prttant d aratérsr ls hétérostruturs t lurs spéftés. L haptr tros st onsaré à la aratérsaton ds hétérostruturs onsttués d atrs hoogèns à tros dnsons (atr hôt t d nlusons déltrqus ou ondutrs n utlsant un nouvll éthod basé sur la détrnaton d l pédan équvalnt. Ctt éthod prt d rallr dux éthods : la éthod éltrqu t la éthod déltrqu. Nous présntons d abord ls prnps d bas d la éthod ds pédans équvalnts qu nous applquons pour détrnr l pédan équvalnt d struturs typs à savor ds struturs «sandwh» dont ls onsttuants puvnt êtr ds déltrqus ds onduturs ou ls dux à la fos (déltrqus t onduturs. Ls rlatons ans établs sront valdés sur plusurs typs d atéraux t utlsés par la sut. Dans un duxè étap nous détrnons l pédan équvalnt d dux struturs typs : atérau rux t un atérau ontnant d long onduturs. Enfn nous présntons un valdaton xpérntal d notr éthod n onsdérant ds éhantllons ontnant ds nlusons dntqus algnés n for d tubs arré nastrés dans un atr polyèr t qu puvnt êtr rpls d ar ou d au. L quatrè haptr port sur la dsrpton ds éthods nuérqus pour la détrnaton d la prttvté fftv ds hétérostruturs. Nous présntons d anèr plus détallé la éthod ds équatons ntégrals d frontèr (MEIF utlsé dans notr traval ans qu ls odèls d hétérostruturs (for ds nlusons onsdérés. La odélsaton ds hétérostruturs odèls t ls sulatons sont fftués à l'ad du od d alul Ph3d. Dans l haptr nq nous applquons la éthod ds équatons ntégrals d frontèr n utlsant l od d alul PHI3D dévloppé au Cntr d Gén Eltrqu d 4
Lyon (Fran pour évalur la présn d nlusons t lur onntratons dans un strutur donné. Ctt éthod prt la détrnaton d la prttvté déltrqu oplx d un hétérostrutur donné av ds nlusons dstrbués pérodqunt n partant du prr prnp d l éltrostatqu st à dr l équaton d Lapla. Ds valdatons xpérntals ont été nés sur ds hétérostruturs où ls nlusons sont ds avtés vds ou rpls d au. 5
Bblograph [] B. Pnnt D. Méln and J. Aurol Masurnt of th ostur ontnt varaton n non saturd opatd lays Goonfn 93 Arnould Barrès and Cô (ds 993. [] J.P. Baron La sur d la tnur n au par ls éthods nuléars Journés d Physqu. L.C.P.C. 987 pp.5-56. [3] P.J. Tudajsk A.. huahr. Prron P. Gu and J.J. Baudon On th rlatonshp btwn porosty and ltral rsstvty n nttous systs Cnt and Conrt Rsarh Vol. 6 No. 4 996 pp. 539-544. [4] P.J. Tudajsk Eltral ondutvty of Portland nt ortars Cnt and Conrt Rsarh Vol. 6 No. 4 996 pp. 59-534. [5] Zhongz Xu Png Gu Png X and J.J. Baudon Applaton of A.C. pdan thnqus n studs of porous nttuous atrals Cnt and Conrt Rsarh Vol. 3 993 pp. 7-5. [6] Davs J.L. Chudobak W.J. In stu thod for asurng rlatv prttvty of sols Gologal urvy of Canada Ottawa 975 papr 75- A pp.75-79. [7] G.C. Topp J.L. Davs A.P. Annan Eltroagnt dtrnaton of sol watr ontnt usng T.D.R. Evaluaton of nstallaton and onfguraton of paralll transsson lns ol n oty of Ara. Journal Vol. 46 98. [8] G.C. Topp J.L. Davs Masurnt of sol watr ontnt usng T.D.R. : a fld valuaton ol n oty of Ara. Journal Vol. 49 985. [9] O. Buyukozturk H.C. Rh Radar Iagng of onrt spns for nondstrutv tstng Construton and Buldng Matrals Vol. N 3 997 pp. 95-98. [] H.C. Rh O. Buyukozturk Eltroagnt proprts of onrt at rowav frquny rang ACI Matrals Journal Vol. 95 N 3 998 pp. 6-7. 6
CHAPITRE I PERMITTIVITE DIELECTRIQUE COMPLEXE ET LOI DE MELANGE 7
I. Introduton L étud d la prttvté fftv ds atéraux oposts ront au début du XIXè sèl. Et ls rhrhs dans doan ontnunt d anèr ntns n vu d nouvlls applatons thnologqus. L onpt d la prttvté fftv st pratqunt ndspnsabl dans la odélsaton ds atéraux oposts à basss fréquns []. La prttvté fftv (ou onstant déltrqu arosopqu prt d dérr ds lux qu rstnt hoogèns tant qu ls ffts d dsprson sont nsgnfants lorsqu ls onds rado pénètrnt l atérau. La tall ds nlusons dans l atérau dvrat êtr bauoup plus fabl qu la varaton spatal du hap éltroagnétqu ndnt don d sa longuur d ond. Dans tt ga d basss fréquns ls ffts d dsprson dus à la présn ds nlusons sont néglgés. Bn qu ls prts d dsprson n sont pas nluss dans la prttvté fftv n rason d rstrtons quas-statqus ls prts par absorpton sont prss n onsdératon. ls onsttuants du opost sont av prts l n sra d ê du opost. Et la prttvté du opost sra alors oplx. La prttvté fftv dépnd ds prttvtés ds atéraux onsttuants d lurs fratons voluqus t d la for ds nlusons. L'aès à la prttvté fftv dépnd du dgré d oplxté d la strutur du opost. l élang a un strutur pérodqu la prttvté fftv put êtr évalué analytqunt sous rtans ondtons (fors ds dsprsons orntaton du hap éltrqu par ds los dts d élangs. Par ontr pour ds lux dont la strutur st désordonné t la onntraton ds nlusons st portant l n'xst pas d solutons rgouruss n d éthods systéatqus d alul d la prttvté fftv. La ulttud ds los d élangs rnontrés dans la lttératur rflèt s dffultés. Ds travaux rénts ont ontré qu pour ds lux où ls onntratons d'nlusons sont portants l rours aux éthods nuérqus s'avèr ndspnsabl. Plusurs théors t odèls ont été dévloppés pour alulr ls grandurs éltrqus fftvs ds atéraux hétérogèns onsttués d dux ou plusurs phass n fonton ds prttvtés d haqu onsttuant t d sa onntraton. Cs théors sont basés sot sur un approh typqunt phénoénologqu (théor d Wnr [ 3] Wagnr [3-5] Raylgh [3 5] sot sur ds los d élangs oléulars (théors d Clausus-Mossott [4] Onsagr [ 3 4]. Ds théors plus générals onsstant à étudr ls prttvtés fftvs ds systès à dux oposants sans s préoupr ds détals d lurs oportnt (Looynga [6] MLahlan [7-9] ont été égalnt dévloppés. 8
Dans qu va suvr nous présntons ls dfférnts typs d polarsaton la prttvté oplx ds atéraux ans qu l nflun d s paraètrs sur ls prts déltrqus. Nous ntrodurons par la sut ls prnpaux odèls (los d élang prttant d alulr ls grandurs éltrqus aratérstqus ds atéraux oposts déltrqus. I. Phénoèns d polarsaton Ls prts déltrqus sont dus aux ouvnts ds porturs d hargs sut à l applaton d un hap éltrqu. L fft d s ouvnt st applé polarsaton ndut. L'fft d la polarsaton déltrqu avat été déouvrt par Mhal Faraday n 837. On dstngu plusurs typs d polarsaton (Tablau I.: éltronqu onqu dpolar arosopqu ntrfaal (ou du typ Maxwll - Wagnr spontané (Fgur I.; lls- puvnt o-xstr ou apparaîtr séparént. Fgur I.. Varaton d la prttvté déltrqu n fonton d la fréqun Tous s typs d polarsaton puvnt êtr lassés n dux groups slon lurs aratèrs: la polarsaton élastqu (ou d résonan t la polarsaton d rlaxaton. La polarsaton total P st la so ds dfférnts typs d polarsaton [-] : P ( N k α k E L (I. k k 9
α k st la polarsablté N k l nobr d dpôls k par unté d volu t E L l hap ndutur qu polars l dpôl. I... Polarsaton éltronqu Ell st présnt dans tous ls déltrqus sans xpton. Ell résult ds déplants orbts éltronqus xtrns par rapport au noyau d'un ato. L'ato st onsdéré o foré d'un noyau pontul portant un harg Z. C noyau st ntouré d'éltrons onfnés dans un sphèr d rayon R à l'ntérur d laqull ls onsttunt un dnsté d harg unfor. En l'absn d hap l noyau s trouv au ntr d la sphèr. Un hap loal E L ré ds fors F r tndant à xtrar l noyau d la sphèr hargé. Mas un déplant δ du noyau par rapport au ntr d la sphèr ré à son tour ds fors d'attraton oulobnn F a tndant à ranr l noyau au ntr d tt sphèr (Tablau I.. La polarsaton éltronqu s établt n qulqus -5 s; ll st don ndépndant d la fréqun jusqu à l'ultravolt. La déforaton d l orbt qu l aopagn st élastqu 'st à dr qu l traval néssar à son apparton n st pas onvrt n halur as stoké dans l hap éltrqu. La polarsaton élastqu éltronqu ans qu ls dpôls nduts dsparassnt quand l hap st suppré. I... Polarsaton onqu (ou atoqu La polarsaton onqu (ou atoqu résult du déplant ds atos lés par ds lasons onqus. Dans l as ds lasons onqus ls éltrons d valn parournt ls orbts partagés av d autrs atos. On rnontr ls lasons onqus dans la plupart ds déltrqus solds non-organqus av un strutur rstalln (xpl: un onorstal onqu d strutur ubqu spl. Dans un strutur donné l déplant ds ons sous l'aton d'un hap loal d'un quantté x par rapport à lurs postons d rpos donn nassan à un polarsaton dt onqu (ou atoqu. x orrspond à l'équlbr ntr ls fors d rappl t la for du au hap loal. Pour ls ptts déplants ls fors d rappl puvnt êtr supposés proportonnlls à x (tablau I..
Vu l'nrt ds ons rlatvnt lourds typ d polarsaton s'établt n nvron -3 s don plus lntnt qu la polarsaton éltronqu t dépnd d la harg d l'on t ds fors d lasons onqus utulls. La polarsaton onqu d ê qu la polarsaton éltronqu rént ds dpôls nduts; ll n provoqu pas d prts d énrg t dsparaît av la supprsson du hap applqué. C st don un polarsaton élastqu. Ell xst jusqu aux fréquns orrspondant à l'nfraroug; ll st propr à la plupart ds atéraux éraqus. I..3. Polarsaton dpolar (ou d'orntaton La polarsaton dpolar (ou d'orntaton onsst n l'orntaton sous l aton du hap éltrqu ds oléuls polars 'st à dr lls qu possèdnt un ont dpolar prannt. La strutur d s oléuls st asyétrqu: l ntr d gravté résultant d touts ls hargs négatvs d un tll oléul n oïnd pas av lu d touts ss hargs postvs la oléul st un dpôl éltrqu. L aratèr dpolar st généralnt propr aux oléuls ds oposés hqus ayant ds lasons onqus as égalnt aux oposés ayant ds lasons ovalnts qu ont un strutur asyétrqu (par xpl H O. La fgur I..a orrspond à la oléul CO qu parfatnt syétrqu n présnt pas d ont dpolar spontané. La fgur I..b orrspond à ll d H O qu présnt un ont dpolar P (Tablau I.. O C O O P P H H P P P P P (a (b P Fgur I. Polarsaton dpolar ou d'orntaton
I..4. Polarsaton arosopqu La polarsaton arosopqu (applé égalnt polarsaton d la harg spatal dért l prossus du déplant lté ds hargs lbrs. Ell put êtr rnontré dans ls déltrqus lquds t solds surtout av un strutur non-hoogèn ou aorph. La polarsaton arosopqu s'établt lntnt. lon l typ d atérau t ds ondtons d sur (tpératur hygroétr l ourant d déplant qu l'aopagn lorsqu'un tnson onstant st applqué put êtr obsrvé pndant qulqus llsonds jusqu à ds ntans d hurs. La polarsaton arosopqu dans ls déltrqus lquds résult d l'aassnt ds ons au vosnag ds éltrods. Dans ls déltrqus solds l ouvnt ds hargs st lté à aus ds états énrgétqus loaux d aptur ou ds barrèrs d potntl. Ls dux phénoèns résultnt d la non-hoogénété du atérau. I..5. Polarsaton ntrfaal La polarsaton ntrfaal (ou du typ Maxwll-Wagnr apparaît dans ls déltrqus non-hoogèns dont ls prttvtés ( t t ls ondutvtés (σ t σ ds atéraux onsttuants t sont tlls qu: / σ. (I. ' ' σ / Ell résult d un auulaton d hargs à la frontèr ds dux lux dus à l'nsbl ds phénoèns d graton. En fft ls porturs d hargs jaas totalnt absnts dans un déltrqu grnt sous l'fft du hap t tndnt à s onntrr autour d défauts tls qu ls purtés ls launs t ls jonts d grans. Ctt polarsaton st aratérsé par l tps d'établssnt l plus long d tous qu put attndr plusurs nuts t ê davantag (Tablau I.. C typ d polarsaton possèd auss un aratèr d rlaxaton; l tps d rlaxaton augnt quand la ondutvté déroît. Généralnt la polarsaton ntrfaal s affabl au vosnag ds fréquns supérurs aux fréquns aoustqus.
Typ d polarsaton E E Eltronqu Ionqu Par orntaton Intrfaal ato noyau anon aton oléul polar gran Ls déplants ds hargs sont très fortnt xagérés Tablau I. I.3 Prttvté oplx t prts déltrqus.3. Défntons Un déltrqu st aratérsé par sa prttvté rlatv ou onstant déltrqu r. Dans l as d un déltrqu parfat r st l quotnt d la apaté C x ntr dux éltrods supposés noyés dans déltrqu par la apaté C v d la ê onfguraton d éltrods dans l vd: C x r (I. Cv La prttvté absolu st l produt d la prttvté rlatv r par la prttvté du vd ( 885. - F/ : 3
r. (I.3 La prttvté absolu défnt la possblté d êtr travrsé par un ourant éltrqu sous l aton du hap éltrqu. C résult d dvrss ontrbutons d déplants ds hargs : déplant ds éltrons déplants ds atos t ds ons orntaton ds dpôls éltrqus t déplant ds hargs d spa. En fft la dnsté d ourant travrsant déltrqu n présn d un hap éltrqu snusoïdal st [34] : D( t J ( t σ E( t (I.4 t En passant par la transforé d Fourrr on aura : ou nor où J ( ω σe( ω jωd( ω (I.5 [ σ jω ( χ'( ω jχ"( ω ] E( ω J ( ω (I.6 [ σ ω "( ω jω '( ω ] E( J ( ω ω (I.7 * ( χ'( ω χ"( ω '( ω j"( ω ( j (I.8 ω χ t χ sont ls oposants réll t agnar d la susptblté éltrqu χ du lu. t sont ls oposants réll t agnar d la prttvté éltrqu oplx du lu. Ctt prttvté oplx tnt opt d dsspaton d énrg ds prts par absorpton t par dffuson. On défnt égalnt un prttvté oplx rlatv : * r j (I.9 ' r " r où r jou l rôl qu avat r dans l as ds solants parfats. La prttvté oplx absolu st d la ê anèr égal au produt d la prttvté oplx rlatv par. La oposant n phas qu présnt J av E st à l orgn ds prts déltrqus ; ll rprésnt la dsspaton d un pussan dans l déltrqu. Cs prts sont dus au traval néssar à l établssnt d la polarsaton t à la onduton ohqu résdull σ du déltrqu [5 6]. 4
L fatur d dsspaton déltrqu st égal au quotnt " r ' r ; quotnt st applé auss tangnt d l angl d prt ou tanδ; δ st l angl opléntar du déphasag ntr la " r tnson applqué au déltrqu t l ourant qu n résult ( tanδ. ' En pratqu l n st pas possbl d s affranhr ds prts par onduton [3] ; dans as tan δ " r ( ω ( σ / ω. (I. ' ( ω r r I.3. Influn d la fréqun En général ls proprétés déltrqus ds atéraux varnt onsdérablnt av la fréqun du hap éltrqu applqué. L apparton ds prts déltrqus put êtr xplqué o sut: aux très basss fréquns la polarsaton sut l hap altrnatf qu fat qu sa ontrbuton à la onstant déltrqu st axal t ls prts n apparassnt pas. Aux fréquns très élvés l hap altrn trop vt pour qu la polarsaton puss augntr t l n y a auun ontrbuton à la onstant déltrqu auun énrg n'st prdu dans l lu []. Mas qulqu part ntr s dux xtrês la polarsaton on à prndr du rtard par rapport au hap éltrqu d'où dsspaton d l'énrg. L fatur d prts attnt un valur axal à un fréqun f lé au tps d rlaxaton aratérstqu par la rlaton: τ. (I. πf ω La prttvté t la polarsaton d rlaxaton dépndnt du tps; on dstngu dux états d'équlbr pour haun d ss aratérstqus. Dans un hap statqu ( ω la prttvté déltrqu vaut s t dans ls fréquns optqus ( ω ωopt ll vaut. L'équaton typqu dérvant odèl spl d rlaxaton déltrqu st l'équaton d dsprson d Dby 5
* s ( ωτ. (I. s ω τ ω τ L équaton d Dby put êtr ért sous dfférnts fors slon la aratérstqu xpérntal hrhé. Plusurs typs d polarsaton puvnt êtr dérts qualtatvnt d la ê anèr t st pourquo dans la plupart ds as on put applqur l équaton d Dby. Il faut pndant rapplr qu tt équaton a été établ spéfqunt pour l as d la rlaxaton dpolar. L'nonvénnt d odèl st qu l n onsdèr qu un sul tps d rlaxaton t ot ls ntratons oléulars alors qu ls déltrqus dpolars réls orrspondnt rarnt à odèl. D fat on n put pas toujours dérr l phénoèn d rlaxaton à l ad d tt équaton spl d Dby ar bn souvnt ls déltrqus s aratérsnt par plusurs tps d rlaxaton o st l as par xpl ds substans arooléulars t ds oposts. Col-Col Davdson-Col ans qu d autrs hrhurs ont proposé ds odfatons d l équaton d Dby n y ntrodusant ds xposants prqus nant à un augntaton du nobr d tps d rlaxaton prs n onsdératon. Néanons touts s tntatvs d dsrpton ds phénoèns d dsprson t d rlaxaton déltrqu n xplqunt pas la oplxté ds phénoèns t rlatons obsrvés pour un grand nobr d orps solds surtout dans l sptr ds basss fréquns. Il sbl qu ls prossus résultant ds ntratons ntr plusurs oléuls hargés t rsponsabls d la polarsaton du déltrqu jount un rôl fondantal. Par onséqunt la dsrpton ds éanss physqus (à l'éhll rosopqu plqués dans ls proprétés déltrqus ds atéraux dur toujours ouvrt. Et la dépndan xponntll du ourant (t ou d la polarsaton du tps n sont pas ls suls dsrptons possbls d problè. Déjà au début du sèl drnr un lo xponntll onnu sous l no d lo d Cur - von hwdlr avat été proposé: n ( t ~ t (I.3 Crtans auturs n partulr R.M. Hll A.K. Jonshr t L.A. Dssado ont rarqué qu tt lo possèd un aratèr unvrsl. Cs auturs ont présnté un odèl unvrsl d ntratons d plusurs orps n passant du doan du tps au doan d la 6
fréqun pour obtnr ds équatons légèrnt dfférnts pour ds ntrvalls d basss t hauts fréquns []. I.4 Los d élangs I.4. Théors du hap éltrqu loal L'approh théorqu du problè d la prttvté déltrqu ds élangs déltrqus nésst l alul ds polarsabltés t ds onts dpolars ds nlusons oposant l élang. C ondut au alul du hap loal au nvau d haqu nluson t oblg à un passag par l état ésosopqu d la atèr. L hap éltrqu loal E l st par défnton l hap régnant à l plant d un dpôl donné autrnt dt st la résultant du hap arosopqu applqué E t ds haps réés par tous ls autrs dpôls E j [7]: ( l E E E (I.4 j j Consdérons un atérau déltrqu s trouvant dans un hap éltrqu E t ls partuls du déltrqu s trouvant dans un avté arosopqu sphérqu (Fgur I.. L déltrqu qu ntour tt avté st onsdéré o hoogèn. L hap régnant à l ntérur d la avté sra la résultant du hap arosopqu xtérur E du hap arosopqu E provnant ds hargs nduts sur la surfa d la avté don du lu ontnu unforént polarsé par P (s la avté st sphérqu hap st détrné par un alul éltrostatqu éléntar: E P/3 l fatur /3 étant l offnt d dépolarsaton d un sphèr t du hap E rprésntant la so ds haps ndvduls réés par ls n dpôls (partuls stués à l ntérur d la avté. L hap éltrqu loal d déltrqu sra alors: E l E E E. (I.5 7
Fgur I.. Cavté arosopqu stué dans l hap éltrqu xtrn E. L alul du hap éltrqu loal st l'un ds prnpaux problès d la théor ds déltrqus. C st un problè très oplx qu n a toujours pas été résolu d un anèr oplèt t prés. Néanons n utlsant rtans approxatons t n partant d prnps bn fondés on arrv à obtnr ds rlatons spls ntr l hap loal E l t l hap xtérur E. L hap loal t l hap applqué (xtérur sont lés slon Lorntz (88 par la rlaton [7]: P ' E l E E. (I.6 3 3 Lorntz st part du prnp qu ls haps éltrqus rés par ls partuls rplssant la avté sphérqu du déltrqu s annulnt à l ntérur d tt avté (E. C prnp lt l doan d applaton d l équaton dérvant l hap d Lorntz. Ell n'st satsfat qu dans l as où ls partuls n ont pas d onts dpolars prannts ou quand lls sont dstrbués d façon désordonné ou bn quand lls onsttunt un résau rstalln ayant un syétr portant (dans as E. D spls onsdératons d syétr ontrnt qu tr (E s annul pour tout dstrbuton ubqu t purnt aléators ds dpôls (n>>. L odèl du hap loal d Lorntz n'st don applabl qu dans l as ds déltrqus non dpolars av ds partuls sphérqus. On n put don néglgr l hap E provnant du vosnag l plus proh d la partul dans l as ds gaz 8
ondnsés ou ds lquds av ls partuls dpolars. Touts ls équatons basés sur l odèl du hap loal d Lorntz n dérvnt pas orrtnt ls prossus s produsant dans ls déltrqus dpolars ondnsés. En 936 Onsagr [8] a proposé un nouvau odèl du hap loal pour ls déltrqus dpolars. Afn d alulr l hap loal Onsagr a traté un oléul o un dpôl pontul polarsabl plaé dans un avté sphérqu l lu xtérur étant un déltrqu ontnu t hoogèn. L hap loal d systè srat onsttué du hap A d la avté réé par l hap xtérur E t du hap d réaton R régnant égalnt dans la avté as qu st réé par ls hargs nduts par l dpôl: E l A R E rµ (I.7 où r '( (I.8 ' ( ' ( (I.9 3( ' α d µ étant l ont dpolar t α d la polarsablté dpolar. L hap d'onsagr prnd n opt ls fabls dstans ntr ls partuls; par onséqunt l put êtr applqué aux systès ontnant un nobr portant d dpôls par unté d volu. Cpndant l fat qu odèl suppos qu l dpôl st ntouré d un lu ontnu t hoogèn lt son applaton. En 939 Krkwood [9] a proposé un odèl un pu plus aéloré qu lu d'onsagr. Mas la théor la plus général du hap loal t la plus onsdéré aujourd hu st ll proposé par Fröhlh n 958 []. Néanons ls los d élangs onnus s basnt toujours sur l hap loal d Lorntz. I.4. Prttvté fftv t hap d'xtaton La prttvté fftv ou la prttvté arosopqu ff st défn o l rapport ntr l déplant t l hap éltrqu: D E (I. ff 9
L déplant D dépnd d la polarsaton P dans l atérau: D E P E. (I. ff La polarsaton P st par défnton la so d tous ls onts ultpolars nduts. Ell put don êtr rlé à un aratérstqu ds onsttuants rosopqus du lu: la polarsablté. Dans l as où ls onts ultpolars d ordr supérur à dux sont néglgabls [] on obtnt un rlaton ntr la polarsaton (dpolar P t la polarsablté α d la for: P N k α k ( El k (I. k où la soaton s fftu sur ls dfférnts typs d dpôls; N k st l nobr d dpôls k par unté d volu t E l st l hap ndutur qu polars l dpôl. Ctt équaton prt d rlr ls aratérstqus rosopqus t arosopqus du lu [7]. En substtuant (I. dans (I. l vnt : ( ff E N kα k ( El k. (I.3 k Par onséqunt s on put établr un rlaton ntr l hap arosopqu applqué E t l hap loal E l on put alors obtnr un rlaton ntr ff grandur arosopqu aratérstqu du lu t α k aratérsant ss onsttuants éléntars. L établssnt d rlatons ntr ls grandurs arosopqus t ls grandurs rosopqus d la atèr st un problè physqu d un grand oplxté t nésst d nobruss approxatons qu sont lon d êtr satsfasants. En fft on suppos qu l équaton (I.3 qu rl la fonton déltrqu ff à la polarsablté α s applqu auss bn au as ds atos t ds oléuls qu à lu d un nluson d plusurs ntans d Angströ d un atérau k aratérsé lu ê par un fonton déltrqu k. Il faut pour la qu la rlaton lnéar (I. sot applabl qu suppos qu : ( l approxaton dpolar st valabl auss bn pour l ato qu pour l nluson qu lt ls fors aptabls pour ll- t ( l hap st unfor sur l dpôl qu lt la tall supérur d l nluson
(approxaton quas-statqu. Dans s ondtons la fonton déltrqu fftv ff st donné par : ( ff E N α ( E (I.4 k k k k où N k st l nobr d nlusons k par unté d volu α k lurs polarsablté t (E k l hap ndutur sur l nluson k α k st rlé à la fonton déltrqu du atérau k par l'équaton: ( k E Na kα k ( El k (I.5 où Na k st l nobr d atos k par unté d volu du atérau k t (E l k l hap loal dans l atérau pur. L équaton (I.4 dvnt alors Na k ( E k ff ( k. (I.6 N ( E ( k k l k Na k /N k st égal à la fraton voluqu oupé par l atérau k dans l opost. Il faut antnant détrnr la rlaton ntr l hap ndutur ésosopqu (E k polarsant l nluson t l hap loal rosopqu (E l k polarsant ss atos. C st très présént l problè à un éhll ntrédar traté à tros dnsons par Lorntz t qu ondut à l équaton d Claussus-Mossott qu nous dérrons dans l paragraph suvant. D autrs approhs plus spls sont pndant nvsagabls; lls ondusnt à ds théors dont l hap d applaton st rédut as qu onsttunt parfos d très bonns approxatons. I.4.3 Théor oléular ds lux hétérogèns La prèr vrson du odèl déltrqu d'un élang hétérogèn à dux phass a été proposé par Mossott t Clausus. En 848 l astrono Mossott [] a onstaté qu l oportnt d la poussèr onsttué d partuls dntqus put êtr dért par la quantté N k α k / 3 laqull quantté st proportonnll à la dnsté d la poussèr (N k st l
nobr d partuls par unté d volu t α k st la polarsablté d haqu partul. En 879 Clausus [] l throdynan a ontré qu l rapport /( état ( proportonnl à la dnsté étant la prttvté arosopqu. Fnalnt ls dux dsrptons rosopqu (Mossott t arosopqu (Clausus ont été réuns n un sul applé aujourd hu rlaton d Clausus-Mossott [3]: k N α 3 k k. (I.7 Ctt équaton avat été établ n supposant qu l hap loal état dntqu au hap xtrn [] t n adttant l odèl du hap loal d Lorntz (équaton (I.6: P (- E NαE l (I.8 Ell n put don dérr qu l oportnt d systès dlués t n s applqu pas aux déltrqus dpolars. Dans l analys -dssus (équatons (I.7 t (I.8 la polarsablté α st la so d touts ls polarsabltés: éltronqu atoqu onqu t ntr faal. Au nvau oléular la valdté d tt soaton ds polarsabltés st dsutabl dans l as ds élangs ontnant ds oléuls polars o l au. L'équaton d Claussus-Mossott a été ontsté par Onsagr qu n a dérvé un forul av un orrton tnant opt d la présn ds dpôls. Av sa forul l état possbl d xplqur ls proprétés frroéltrqus ds atéraux où la tpératur jou un rôl portant. D autrs analyss sur l rôl ds oléuls polars n suspnson ont été fats égalnt par Krkwood t Fröhlh. Néanons à partr d tt rlaton unqu d Claussus-Mossott on put rtrouvr touts ls grands théors lassqus d la fonton déltrqu du lu fftf. Il sufft pour haun d lls d défnr l lu dans lqul bagnnt ls nlusons.
I.4.4 Théors ds lux fftfs La aratérsaton d un lu non hoogèn par s fontons déltrqus n'st pas s évdnt pusqu'on dot onnaîtr l'arrangnt géoétrqu xat ds onsttuants du atérau. Cpndant s la longuur d'ond du rayonnnt éltroagnétqu st bauoup plus grand qu la dnson d la partul ls théors lassqus ds lux non hoogèns présunt qu l atérau put êtr traté o un substan hoogèn av un fonton déltrqu fftv. Ctt quantté dépnd ds proprétés ds onsttuants auss bn qu d lurs fratons d volu t qu d lurs talls. Ls los d élang ls plus élèbrs sont ll du lu fftf (EMT onnu sous l no d théor d Maxwll-Garntt (MGT t ll du odèl d l approxaton du lu fftf (EMA onnu sous l no d théor d Bruggan. La théor d Maxwll-Garntt st dérvé d la rlaton d Claussus-Mossott (équaton (I.7; ll st basé sur la polarsaton ndut par un hap unfor xtrn sur ds nlusons sphérqus solés plaés dans l atérau hôt. La forul élèbr établ par Maxwll- Garntt n 94 [4] a pour xprsson: ff ff k p k (I.9 où l onsttuant dért par onsttu un atr ontnu dans laqull sont rgés ls nlusons k (ou s l s agt d un sul typ d nlusons ff étant la prttvté fftv du lu. Dans un artl orgnal Colours n tal glasss and tall fls daté d 94 Maxwll- Garntt avat traté la oloraton ds vrrs par la dsprson d un très fabl quantté d partuls étallqus dans un atr ontnu. L doan d applaton d tt théor st larnt défn à la fos par ls hypothèss d bas t par sa forulaton à savor qu l nsbl ds nlusons st équvalnt à un dpôl unqu solé dans la atr dont la polarsablté st la so ds polarsabltés ndvdulls (Fgur I.3. Ls nlusons sont don sans ntratons; l s agt sultanént d fabl volu d'nlusons t d grands dstans ntr partuls. En pratqu l put êtr dffl d dédr lqul ds oposants dvrat êtr onsdéré o l atérau hôt (l as d la éraqu porus. Et l odèl d Maxwll- Garntt st nrtan pour ls onntratons d nlusons supérurs à 5% [6 5 6]. 3
Fgur I.3. La llul unté rprésntatv du lu odélsé par la théor d Maxwll-Garntt. Touts ls nlusons (odélsés par ds sphèrs sont ranés à un nluson unqu: lls sont sans ntratons. Pour tratr problè un autr théor a été proposé par Bruggan n 935 [7]. Dans l odèl d Bruggan (ou odèl du lu fftf approxatf l'hypothès d l xstn du atérau hôt xplt n st plus onsdéré [6 5 8]. Au lu d la ls partuls d'un oposant qulonqu d un atérau spl sont supposés nastrés dans un lu fftf d prttvté égal à la prttvté du élang ff qu l on ssay d trouvr (Fgur I.4. Ans ff dot êtr détrné à partr d la rlaton: ff ff ( f f. (I.3 ff ff Fgur I.4. Cllul unté d la théor d Bruggan. Ell st oplx t ls dux nlusons typs bagnnt dans l lu oyn: lls sont don n ntraton. Pour ls fabls fratons voluqus ls dux théors MGT t EMA donnnt ds résultats très prohs pour ls onstants déltrqus fftvs. Cpndant l odèl EMA 4
assur la valdté aux fratons voluqus plus élvés pusqu'l trat ls dux onsttuants d anèr syétrqu [8]. La duxè hypothès dans la théor EMA port sur la géoétr d la partul pusqu l st néssar d rlr ntr ux ls haps ntrn t xtrn assoés à la partul. Habtullnt on suppos qu ls partuls sont sphérqus. Ls théors -dssus basés sur ls prnps d l éltrostatqu ont été odfés par d autrs auturs durant l XX sèl pour prndr n opt n partulr l paraètr tall ds nlusons gnoré jusqu là dans la théor ds élangs. En 94 Frk [93] a été l prr à nlur l fatur d for pour prndr n opt la for ds partuls. L tr d xntrté qu l ntrodust st basé sur l aspt géoétrqu ds nlusons sphéroïdals allongés ou aplats aux pôls. Bötthr [3] a proposé un forul prttant d rtrouvr la prttvté fftv ds lux où la onntraton ds partuls st s élvé qu haqu partul st ntouré par l élang plutôt qu par un oposant. Ctt rlaton a pour xprsson: ( ff ff ff / 3θ ( /(. (I.3 où st propr à la atr t st propr aux nlusons; θ st la fraton voluqu du oposant dsprsé. Un autr équaton ntérssant a été dévloppé par Looynga [6] qu a supposé qu n élangant dux onsttuants dont ls prttvtés sont tlls qu ff ff t ff ff t v vrsa la prttvté fftv ff du élang put êtr ért sous la for suvant: /3 /3 { θ ( } /3 3 ff. (I.3 L équaton -dssus a été égalnt obtnu ndépndant par Landau t Lfshtz [3] o ndqué dans la référn [33]. Cs foruls t bauoup d autrs ont été proposés au XX è sèl pour l alul d la prttvté fftv. Toutfos ls résultats obtnus par ls dfférnts foruls pour l ê lu odèl n sont pas toujours n parfat aord. Ils dffèrnt slon ls équatons utlsés. Néanons touts ls prédtons obtnus à partr ds dfférnts approhs 5
puvnt êtr nglobés par un régon sous for d lntll. Cll- a été proposé par Brgan t troud [34] t Mlton [35]. I.4.5 Attrbut stohastqu Dans touts ls théors susntonnés ê s l élang état onsdéré o un ntté aléator auun attrbut stohastqu pndant n'a été xpltnt onsdéré [33]. Ls dsrptons analytqus ds aratérstqus déltrqus d'un élang foré par un dsprson voluqu aléator d nlusons forés dans un élang ontnu sont n général oplqués à aus d la natur statstqu ds loalsatons spatals aléators t ds orntatons d la phas dsprsé. Cla vut dr qu s un tl élang st sous au hap éltrqu la onduton éltrqu t la polarsaton dépndrant d la dsprson spatal aléator t d l orntaton rlatv ds nlusons forés dans l élang. Ls aratérstqus du lu t plus partulèrnt la prttvté déltrqu srant don d natur statstqu pusqu'lls sont détrnés par la dsprson aléator ds partuls. Un tll attrbuton stohastqu aux élangs déltrqus a été dévloppé n prr par Lhtnkr [36] t Lhtnkr t Rothr [37]. D après s auturs la fonton qu dért la prttvté fftv ff d'un élang à dux onsttuants d prttvtés déltrqus t (l nobr d onsttuants pouvant êtr étndu t θ (la fraton voluqu srat détrné par l nduton du hap éltrqu dans l élang t par ds onsdératons statstqus dus à la dsprson voluqu aléator (t orntaton rlatv ds nlusons. Ans la valur d la prttvté fftv d un élang statstqu put êtr dért par un rtan fonton F o sut: F θ q (I.33 ff ( où q st l fatur d for dépndant d la for ds nlusons. Tous ls travaux théorqus sur sujt ont u pour but d détrnr d anèr xplt la fonton F dans tt équaton. L'évaluaton xplt d la fonton F rvnt à assurr ls proprétés du systè atrl détrné par ls aratérstqus d ss oposants. Touts ls rhrhs fftués sur t aspt avant Lhtnkr t Rothr ont ondut à un rlaton fontonnll général du typ: 6
F ff θf ( ( θ F ( (I.34 ( av ff F ( θ. L équaton (I.34 détrn la lo d élang. La fonton F (t ans la valur d ff put êtr détrné sulnt s la fonton F dans tt équaton st xpltnt onnu. Ls dfférnts travaux nés pour évalur analytqunt la fonton F (ou la fonton F pour dvrs typs d élangs déltrqus ont about à plusurs los d élang qu ont été présntés dans un rvu oplèt publé par Brown [38] t van Bk [39]. Ls forulatons d élangs déltrqus xstants puvnt êtr rgroupés n tros atégors prnpals: ( ls forulatons basés sur l nduton du hap éltrqu dans l élang ontnant ds nlusons sphérqus qu agssnt ou non utullnt ls uns sur ls autrs (Lornz [4] Raylgh [4] Bruggan [7] Bötthr [3] Mrdth t Tobas [4] Looynga [6]; ( ls analyss basés sur l nduton du hap éltrqu dans l élang ontnant ds nlusons forés (o llpsoïds sphéroïds allongés ou aplats aux pôls nlusons sous fors d dsqus ou fssurs t. t où ls ffts d dépolarsaton dus aux fors ds nlusons sont sot prs n opt sot gnorés (ontrbutons sgnfatvs d Wnr [43] Frk [93] llars [44] Poldr t Van antn [45] Lwn [46] Haon [47] Bond t Pyrlass [48] hvola t Kong [5]; ( ls forulatons basés sur la théor ds élangs t tnant opt d l'aspt aléator. Ls étuds qu tratnt d tt trosè atégor basé sur ds onsdératons statstqus ds élangs déltrqus sont rlatvnt pu nobruss. En fft on n put s référr qu'aux suls travaux d Lhtnkr [36] t d Lhtnkr t Rothr [37]. En onsdérant la théor ds élangs s drnrs ont dédut un lo logarthqu d élang à partr ds prnps généraux d statstqu. Pour un élang à dux onsttuants tt lo st donné par la rlaton: k k ff θ ( θ ( k. (I.35 Pour k égal à ou à on obtnt dux systès qu dérvnt ls frontèrs d Wnnr [43 ] t quand k tnd vrs zéro on obtnt un forul dérvant un systè désordonné: ( θ θ ff (I.36 7
ou nor log( ff θ log( ( θ log(. (I.37 Ls étuds xpérntals onfortnt la forul d Lhtnkr ê pour l as ds lux ansotrops. Ctt lo logarthqu st onsdéré o un bonn lo pour la dsrpton du oportnt déltrqu (statqu ou dynaqu ds élangs statstqus pour touts ls fratons voluqus. Dans la lo logarthqu d Lhtnkr la for géoétrqu ds nlusons n jou pas un rôl portant dans la détrnaton du oportnt déltrqu arosopqu du élang. Tous ls ptts ffts d dépolarsaton qu puvnt surgr n rason d l'orntaton rlatv ds partuls poruss n sont pas prs n opt par la aratérsaton stohastqu résultant d un dsprson aléator ds nlusons dans l volu onsdéré du élang. Par onséqunt o l déontr l équaton (I.37 la prttvté d tls élangs st un fonton sulnt ds prttvtés t ds volus rlatfs ds onsttuants du élang. I.4.6 Influn d la géoétr ds nlusons sur la prttvté En onsdérant un élang déltrqu ontnant ds nlusons forés dsprsés aléatornt dans l atérau hôt l st néssar d attrbur la for ou l fatur d for aux nlusons n quston pour xplqur ls ffts d la dépolarsaton. Ls nlusons (partuls sont applés forés quand au ons dux dnsons transvrsals dffèrnt d un anèr sgnfatv o 'st l as ds llpsoïds ds sphéroïds allongés ou aplats aux pôls ds dsqus ou ds fssurs. Pour ntrodur la for ds nlusons Frk [93] a dévloppé un xprsson pour la prttvté fftv d un élang déltrqu où l fatur d for apparaît d anèr xplt. a dsrpton analytqu du élang st basé sur l nduton du hap éltrqu dans l systè dsprsé. La prttvté fftv du élang st xpré n fonton ds prttvtés du atérau hôt t ds nlusons d la fraton voluqu θ ds nlusons t du fatur d for x pour rprésntr ls ffts d la dépolarsaton dans l flux d l nduton éltrqu: 8
( x' θ x' ( θ ff (I.38 ( θ ( x' θ où x dépnd du rapport /. Cpndant ls résultats obtnus à partr d la forul d Frk dévnt d un anèr sgnfatv ds résultats xpérntaux. Ksdnasay t Nlakantasway [49] ont nlus l'aspt statstqu dans la forul d Frk sur ls bass d la lo logarthqu pour obtnr l fatur d for odfé x : (θ (θ θ [ ] (θ θ θ ( [ ] x (I.39 θ M θ où M st un fonton du rapport d dux d axs ds nlusons a/b. Indépndant d la for d la tall d l'état physqu d la onntraton voluqu ou d l'orntaton d dfférnts phass la répons déltrqu fftv du élang s trouv toujours ntr dux lts onnus sous l no d frontèrs d Wnnr suggérés par l autur n 9 [44]. La prttvté ds systès hétérogèns st étrotnt lé à l agnnt ds partuls dans l systè par rapport à la drton du hap applqué o on put l vor sur l'xpl spl d un systè stratfé à dux onsttuants (Fgur I.5. Quand ls drtons du hap t ds stratfatons oïndnt (obnason parallèl Fgur I.5a la prttvté fftv st donné par la rlaton: ff θ ( θ (I.4 Fgur I.5. Frontèrs d Wnnr. 9
t quand ls drtons du hap t ds stratfatons sont prpndulars (obnason sér Fgur I.5b ll st donné par la rlaton: ff. (I.4 θ ( θ I.4.7 Matéraux oposts déltrqus av un phas ondutr dsrèt Un lass ds atéraux oposts déltrqus s réfèr à un systè à dux phass hôt - nluson dans lqul l nluson st un phas dsrèt ondutr dsprsé aléatornt ou txturé o un nfonnt ordonné dans la atr hôt déltrqu. D tls oposts sont ssntllnt ds élangs déltrqu - ondutur. La prédton d la prttvté fftv t/ou d la ondutvté d s lux oposts n st pas évdnt. Néanons dpus qu la lo d Maxwll - Garntt a été établ d nobruss tntatvs ont été fats pour évalur ls aratérstqus déltrqus fftvs d tls systès [34]. En odélsaton ds élangs ondutur - solant dux approhs prnpals ont été poursuvs. La prèr plqu l tratnt du oportnt déltrqu ds élangs ntèrnt ndépndant ds ffts d la onduton ds nlusons t la duxè utls ls xprssons pour ls proprétés déltrqus oplxs ds élangs déltrqu - déltrqu où la phas ondutr st traté o un atérau déltrqu av d très forts prts. Dans duxè as ls théors d élangs onrnant ls oposts déltrqu - déltrqu ont été étndus aux atéraux à forts prts pour tnr opt ds nlusons ondutrs ; la prttvté oplx du élang st alulé n supposant qu la prttvté ds nlusons ondutrs st nfn. C'st ans qu'a été foralsé athéatqunt l déouplag d l'aspt déltrqu du phénoèn d onduton. Dans la plupart ds as l apparaît qu suls ls oportnts statqu ou quas statqu (à basss fréquns d tls élangs déltrqu - ondutur ont été étudés pour dédur la 3
prttvté (sans prts statqus s t/ou la ondutvté n ourant ontnu (DC σ d du élang. En utlsant par xpl l onpt d dux sphèrs onntrqus d ondutvtés dfférnts où l'un st nfré dans l autr pour rprésntr un élang à dux phass Looynga [3] a dédut la rlaton suvant: θ ( σˆ ff σˆ (σˆ 3σˆ ff ( σˆ ff σˆ σˆ. (I.4 Indépndant Bötthr [3] st arrvé à la ê forul à partr ds onsdératons du hap ntrn assoé à ds nlusons sphérqus. La prttvté fftv dans tous ls as st alulé à partr d l'xprsson: ff σ" ff σ " ff I( σ ff. (I.43 ω I.5 Conluson Il rssort d haptr qu la aratérsaton d un lu hétérogèn t par onséqunt la détrnaton d sa prttvté fftv nésst la onnassan ds proprétés ds ss onsttuants (prttvtés oplxs géoétr. Ls odèls t théors d alul d la prttvté fftv ds élangs établs dans l adr d l approxaton quas-statqu nous srvront d référn pour dsutr nos résultats. D autr part ls los d élangs rnontrés dans la lttératur n donnnt qu la prttvté fftv ds oposts av ds onsttuants déltrqus alors qu ls hétérostruturs puvnt êtr onsttués d déltrqus t/ou d onduturs. 3
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