COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010
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Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires..................... 5 1.1.2 Enoncés complexes...................... 6 1.2 Nier un énoncé............................ 7 1.3 Prouver ou infirmer un énoncé................... 8 1.3.1 Démonstrtion directe.................... 8 1.3.2 Démonstrtion pr contrposition............. 9 1.3.3 Démonstrtion pr l bsurde................ 10 1.3.4 Démonstrtion pr récurrence................ 10 2 Notion de limite 11 2.1 Cs des fonctions........................... 11 2.1.1 Limite en un point...................... 11 2.1.2 Limites infinies........................ 16 2.1.3 Limites en l infini....................... 18 2.1.4 Pssge à l limite dns les inéglités........... 20 2.1.5 Limite à guche et à droite................. 21 2.2 Cs des suites............................. 22 2.2.1 Limite finie.......................... 22 2.2.2 Limite infinie......................... 24 2.2.3 Monotonie et limite..................... 25 2.2.4 Critère de Cuchy...................... 26 3 Continuité et dérivbilité des fonctions numériques 29 3.1 Rppels sur les fonctions....................... 29 3.1.1 Injectivité, surjectivité.................... 29 3.1.2 Monotonie........................... 30 3.2 Continuité............................... 31 3.2.1 Propriétés élémentires................... 31 3.2.2 Théorème de l vleur intermédiire............ 32 3.2.3 Notion d extremum...................... 34 3.2.4 Résultts globux...................... 35 3.3 Dérivbilité.............................. 36 3.3.1 Définition et propriétés élémentires............ 36 3.3.2 Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis...... 38 3.3.3 Représenttion grphique.................. 39 3.3.4 Dérivées d ordre superieur.................. 40 3
4 TABLE DES MATIÈRES 3.4 Rppels sur les fonctions usuelles.................. 40 3.4.1 L fonction exponentielle.................. 40 3.4.2 Les fonctions trigonométriques............... 42 4 Intégrtion des fonctions continues morceux 43 4.1 Introduction.............................. 43 4.2 Définition de l intégrle....................... 45 4.2.1 Cs des fonctions en esclier................ 45 4.2.2 Cs des fonction continues pr morceux......... 46 4.3 Théorème fondmentl de l Anlyse................ 50 4.4 Intégrtion pr prties........................ 51 4.5 Chngement de vrible....................... 52 5 Formule de Tylor, développements limités 53 5.1 Ordre de grndeur.......................... 53 5.1.1 Générlités.......................... 53 5.1.2 Cs des puissnces...................... 54 5.2 Formule de Tylor.......................... 55 5.3 Développements limités....................... 57 5.4 Développements limités usuels.................... 61 5.5 Appliction u clcul de limites................... 61
Chpitre 1 Éléments de logique Dns cette première prtie du cours, on introduit très rpidement quelques outils permettnt de formliser les idées mthémtiques et d obtenir des moyens systémtiques de triter les problèmes. 1.1 Fbriquer des énoncés 1.1.1 Enoncés élémentires Dns cette prtie, on tente de donner les outils nécessires à l formultion précise d énoncés mthémtiques. On veut pr exemple formliser des phrses du type suivnt : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif. tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel. etc. Plus précisément, on cherche une mnière systémtique décrire des énoncés utilisnt le moins de mots possible (de mnière à éliminer toute mbiguité et de rccourcir les énoncés. On introduit donc les nottions suivntes (ou quntificteurs) : Définition 1.1.1 pour tout se note il existe se note pprtient se note tel que se note tq On ppeler énoncé élémentire toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Exemple 1.1.1 Avec ces nottions on peut trduire de l mnière suivnte : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif se trduit pr [0, + [, b [0, + [, + b 0 le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif se trduit pr x R, x 2 0 5
6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel se trduit x R +, y R, tq x = y 2 Exercice 1.1.1 Trduire il existe un nombre rtionnel dont le crré vut deux. Exercice 1.1.2 Soit f : E F. On dit que f est surjective si tout élément de F est l imge pr f d u moins un élément de E. Trduire cette définition vec des quntificteurs. Remrque 1.1.1 (importnte) Les quntificteurs et ne commutent ps. Pr exemple les énoncés suivnt ne sont ps du tout équivlents : x R, y R, x y y R, x R, x y. Les quntificteurs permettent de fbriquer des énoncés élémentires. Pour obtenir des énoncés plus complexes, on peut utiliser des mots de liison entre énoncés : et, ou, implique, contrire. 1.1.2 Enoncés complexes Disposnt d énoncés élémentires, il possible de fbriquer des énoncés plus compliqués. Pr exemple, si A et B sont deux ssertions, on voudr prler des enoncés : A et B, A ou B, etc. Définition 1.1.2 A et B se note A B A ou B se note A B A implique B se note A = B contrire de A se note A. Exemple 1.1.2 Soit f : E F. On dit que f est injective si deux éléments quelconques de E et différents ont des imges différentes. Avec l ide des quntificteurs, cel se trduit x R, y R, (x y = f(x) f(y)) Exercice 1.1.3 Soit f : R R une ppliction. On dit que f est croissnte si deux éléments quelconques de R ordonnés ont leurs imges pr f rngées dns le même ordre. Trduire cette phrse vec des quntificteurs. Définition 1.1.3 On ppeler énoncé mthémtique ou ssertion toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Si l on une informtion à priori sur l vércité des ssertions A et B on peut conclure sur l vercité d ssertions fbriquées vec A et B, en utilisnt les tbles de vérité. Dns les tbleux suivnts on note V une ssertion vrie et F une ssertion fusse. 1. Tble de vérité du contrire A = V A = F A = F A = V
1.2. NIER UN ÉNONCÉ 7 2. Tble de vérité du et B = V B = F A = V A B = V A B = F A = F A B = F A B = F 3. Tble de vérité du ou B = V B = F A = V A B = V A B = V A = F A B = V A B = F 4. Tble de vérité du implique B = V B = F A = V A = B = V A = B = F A = F A = B = V A = B = V Exercice 1.1.4 Ecrire l tble de vérité de A ou B. Comprer vec celle de A = B. 1.2 Nier un énoncé Tout énoncé mthémtique peut être nié en utilisnt les règles suivntes : ÉNONCÉ Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) est vérifiée Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) est vérifiée L ssertion A et l ssertion B sont vries L ssertion A est vrie ou (non exclusif) l ssertion B est vrie. Si l ssertion A est vrie lors l ssertion B est vrie ÉNONCÉ CONTRAIRE Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) n est ps vérifiée Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) n est ps vérifiée L ssertion A est fusse ou (non exclusif) l ssertion B est fusse. L ssertion A et l ssertion B sont fusses. L ssertion A est vrie ET l ssertion B n est ps vrie En utilisnt les quntificteurs, les règles précédentes prennent l forme suivnte : ÉNONCÉ x E, P(x) x E, tq P(x) A B A B A = B ÉNONCÉ CONTRAIRE x E, tq P(x) x E, P(x) A B A B A et B Remrque 1.2.1 On noter que l négtion trnsforme les quntificteurs en et en.
8 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE Exemple 1.2.1 Considérons l ssertion A suivnte L ssertion contrire de A est x Q, tq x 2 = 2. x Q, x 2 2. Exemple 1.2.2 On rppelle qu une fonction f : E F est injective si x E, y E, (x y = f(x) f(y)). Avec les règles précédentes, on obtient l négtion de f est injective : x E, y E, tq x y et f(x) = f(y). Exercice 1.2.1 Nier les énoncés suivnts : f : E F est surjective. R, b R, c R, x R, x 2 + bx + c = 0. Exercice 1.2.2 On dit qu une fonction f : R R est croissnte si l propriété suivnte est vérifiée : Nier cet énoncé. x R, y R, (x y = f(x) f(y)). 1.3 Prouver ou infirmer un énoncé 1.3.1 Démonstrtion directe Les règles élémentires pour démontrer une ssertion sont les suivntes : 1. Enoncé du type x E, A(x). On se donne x u hsrd dns E (on ne prend surtout ps de vleur prticulière pour x) et on démontre l propriété A(x) en utilisnt des propriétés connues. 2. Enoncé du type x E, A(x). On doit prouver l existence d un x E tel que A(x) est vrie (il n est ps nécessire et souvent ps possible de montrer A(x) pour tout x). 3. Enoncé du type A et B. On démontre A puis on démontre B (ou inversement). 4. Enoncé du type A ou B. On suppose que A est fux et on en déduit que B est vrie (ou inversement). 5. Enoncé du type A = B. On suppose que A est vrie et on démontre B. A l ide de ces règles bsiques et en procédnt inductivement on peut tenter de démontrer n importe quel énoncé. Pour infirmer un énoncé A, on doit démontrer A. Exemple 1.3.1 L énoncé A suivnt : x [0, 2], x 2 + 1 < 6 est vri.
1.3. PROUVER OU INFIRMER UN ÉNONCÉ 9 Preuve. L énoncé est de l forme x [0, 2], A(x) vec l propriété A(x) : x 2 + 1 < 6. On fit ppel à l première des règles ci-dessus. On se donne x [0, 2] et on démontre A(x). Comme x [0, 2], x 2 4 et donc x 2 + 1 5. Pr suite x 2 < 6. Exemple 1.3.2 L fonction f : R R + définie pr f(x) = (x 1) 2 est surjective. Preuve. On doit démontrer l propriété suivnte : y R +, x R, tq f(x) = y. Soit y R +. On cherche x R tel que f(x) = y. Autrement dit, on cherche x R tel que (x 1) 2 = y. Comme y 0, x = y + 1 est bien défini et on bien sur (x 1) 2 = y. Exercice 1.3.1 Soient f : R R et g : R R deux fonctions croissntes. Montrer que f g est croissnte. On suppose en outre que f et g ne prennent que des vleurs positives. Montrer que fg est croissnte. 1.3.2 Démonstrtion pr contrposition Ce type de démonstrtion s utilise pour les ssertions du type A = B. Une ssertion du type A = B est vrie si et seulement si s contrposée B = A est vrie. 1 Pour démontrer A = B, on peut donc supposer que B est vrie et étblir A. Exemple 1.3.3 L fonction f : R R définie pr f(x) = 2x 5 est injective. Preuve. On doit démontrer l ssertion suivnte : x R, y R, (x y = f(x) f(y)). D près l règle 2, on commence pr se donner x R et y R u hsrd. On doit montrer l impliction suivnte : (x y = f(x) f(y)). On montre plutot s contrposée, qui s écrit : f(x) = f(y) = x = y. On invoque ensuite l règle 1. On suppose que f(x) = f(y) et on doit démontrer que x = y. Or f(x) = f(y) implique 2x 5 = 2y 5. On retrnche 5 ux deux membres de l éqution et on divise pr deux. Il vient x = y. Ceci montre bien que f est injective Exercice 1.3.2 Soient f : R R et g : R R deux fonctions injectives. Montrer que f g est injective. Exercice 1.3.3 Soit p un entier nturel. Montrer que si p 2 est pir lors p est pir. 1 En effet, l ssertion A = B est équivlente à A ou B qui est lui même équivlent à ( B) ou A. Or cette dernière ssertion est exctement B = A.
10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE 1.3.3 Démonstrtion pr l bsurde Pour démontrer une ssertion A on peut supposer que son contrire A est vri et boutir à une contrdiction. Exercice 1.3.4 Démontrer que 2 n est ps rtionnel. On pourr procéder pr l bsurde et supposer qu il existe deux entiers et b premiers entre eux tels que b = 2. 1.3.4 Démonstrtion pr récurrence Ce type de preuve s utilise pour étblir des ssertions du type n N, A n. Le schém de l démonstrtion est le suivnt. Etpe 1 On démontre A n pour n = 0. Etpe 2 On se donne n N quelconque, on suppose que A n est vrie on démontre A n+1. Attention, dns l étpe 2, on doit prendre un entier n quelconque. Il est interdit de prendre une vleur prticuliere pour n. L vlidité de ce type de preuves découle de l construction xiomtique des entiers nturels pr le mthémticien Giuseppe Peno. Exercice 1.3.5 Démontrer pr récurrence les propriétés suivntes : 1. Démontrer que pour tout n N on n k=1 1 p(p + 1) = 2. Démontrer que pour tout n N, on n n + 1 1 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6
Chpitre 2 Notion de limite 2.1 Cs des fonctions 2.1.1 Limite en un point Soit f une fonction et x 0, l deux réels fixés. On veut donner un sens précis à l phrse suivnte : lorsque x devient proche de x 0, les vleurs de f(x) deviennent proches de l. Dns ce cs on dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0, ou encore que f pour limite l lorsque x tend vers x 0. Pour se fire une idée intuitive de l limite d une fonction en un point x 0, on peut clculer des vleurs successives de f(x) pour x de plus en plus proche de x 0. Ceci ne constitue en rien une démonstrtion. Pr exemple, si on pose f(x) = x 2, lors f(0.1) = 0.01, f(0.01) = 0.0001, f(10 3 ) = 10 6, etc. Ceci suggère que lim x 0 x 2 = 0. On en verr une démonstrtion pr l suite. Si on pose f(x) = sin( 1 x ) pour x > 0, lors f(1/π) = 0, f(1/(2π)) = 0, f(1/(3π)) = 0, etc. On donc des points x k = 1 kπ de plus en plus proches de 0 tels que f(x k) = 0. Pourtnt f ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. En effet, on peut clculer f en d utres point proches de 0 : f(2/π) = 1, f(2/(5π)) = 1, f(2/(9π)) = 1, etc. Il est donc nécessire de donner une définition rigoureuse de l notion de limite. On introduit d bord quelques nottions. Soit I R un intervlle fini ou infini (ex : I = [0, 1], I =], 3],..). On note I l fermeture de I définie de l mniere suivnte : si I = [, b], ], b], [, b[ ou ], b[ vec, b R, lors I = [, b]. si I = [, + [ ou ], + [ vec R, lors I = [, + [ 11
12 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE si I =], ] ou ]], [ vec R, lors I =], ]. L intervlle I s obtient prtir de I en fermnt les crochets lorsque c est possible. Définition 2.1.1 Soit l R. On dit que l fonction f pour limite l qund x tend vers x 0 si : ǫ > 0, δ > 0 tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) l < ǫ) (2.1) Dns ce cs, on note lim x x0 f(x) = l. f(x) l + ǫ l l ǫ x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Lien entre ǫ et δ Remrque 2.1.1 Dns l définition de l limite (2.1), il fut comprendre ǫ comme un écrt mximum entre f(x) et l ; et δ comme un écrt entre x et x 0. L définition demnde donc que l écrt (c..d. ǫ) entre f(x) et l puisse être rendu ussi petit que voulu, pourvu que l écrt (c..d. δ) entre x et x 0 soit petit. Remrque 2.1.2 Avec cette définition, il est clir que si x 0 I et lim x x0 f(x) = l, on nécessirement f(x 0 ) = l. On urit pu prendre une utre définition de l limite, exclunt le comportement de f en x 0. Pr exemple, on dit que f pour limite l qund x tend vers x 0 en étnt different de x 0 si ǫ > 0, δ > 0, ( x x 0 < δ et x x 0 = f(x) l < ǫ). (2.2) Exemple 2.1.1 Soit f : [ 1, 1] R définie pr x [ 1, 1], f(x) = x 2. Alors lim x 0 f(x) = 0. Preuve. On doit prouver que (2.1) est vérifiée. Pour cel on se donne ǫ > 0 et on cherche δ > 0 tel que (2.1) soit vérifiée. Prenons δ = ǫ et supposons que x [ 1, 1] est tel que x < δ = ǫ. Pr définition de f, on f(x) = x 2 < δ 2 = ǫ 2 = ǫ. Ceci montre bien (2.1).
2.1. CAS DES FONCTIONS 13 Exemple 2.1.2 Soit f : [0, 2] R définie pr x [0, 1], f(x) = x 2 + 1. Alors lim x 1 f(x) = 2. Preuve. On doit vérifier l ssertion (2.1) pour l fonction f(x) = x 2 + 1. Soit ǫ > 0. On cherche δ > 0 tel que x 1 < δ = f(x) 2 < ǫ. Or f(x) 2 < ǫ x 2 1 < ǫ 1 ǫ < x 2 < 1 + ǫ 1 ǫ 1 < x 1 < 1 + ǫ 1 (2.3) Prenons δ = min( 1 + ǫ 1, 1 1 ǫ). Comme ǫ > 0 lors δ > 0 et on évidement x 1 < δ = 1 ǫ 1 < x 1 < 1 + ǫ 1. En tennt compte de (2.3), il vient x 1 < δ = f(x) 2 < ǫ. Proposition 2.1.1 Soit f : I R une ppliction et x 0 I. On suppose que f une limite en x 0, lors cette limite est unique. Preuve. Supposons pr l bsurde que f possède deux limites différentes l et l lorsque x tend vers x 0. Quitte à intervertir leurs roles, on peut supposer que l < l. Posons ǫ = l l 4 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 et δ > 0 tels que x I, x x 0 < δ = f(x) l < ǫ et x I, x x 0 < δ = f(x) l < ǫ. Soit x I tel que x x 0 < min(δ, δ ). D près les ssertions ci-dessus, on f(x) < l + ǫ et f(x) > l ǫ. En prticulier, l ǫ < l+ǫ. D où ǫ > l l 2. Or on choisit ǫ = l l 4, on en déduit une contrdiction. Exercice 2.1.1 Montrer que lim x 0 1 1+x = 1 et que lim x 1(x 2 x 1) = 1 Exercice 2.1.2 Trduire à l ide de quntificteurs l propriété suivnte : l fonction f ne tend ps vers l qund x tend vers x 0. En déduire que l fonction f(x) = sin( 1 x ) ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. Exercice 2.1.3 Soient f : I R et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l et l 0. Montrer qu il existe δ > 0 tel que x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) 0. Proposition 2.1.2 (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l 1 et lim x x0 g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2
14 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE ii) lim x x0 (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g de x 0 et on lim x x0 ( f l1 g )(x) = l 2 est bien définie pour x proche Preuve. Preuve de i) On se donne ǫ > 0. Il existe α > 0 et β > 0 tels que x x 0 < α = f(x) l 1 < ǫ/2 et x x 0 < β = g(x) l 2 < ǫ/2. Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x) + g(x) (l 1 + l 2 ) f(x) l 1 + g(x) l 2 < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ. (2.4) Ceci montre que lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2. Preuve de ii) On se donne ǫ > 0. On définit ǫ 1 = ǫ 2 = min( ǫ 3, ǫ Alors, il existe α 1 > 0 et α 2 > 0 tels que 3(1+l 1), x x 0 < α 1 = f(x) l 1 < ǫ 1 et x x 0 < α 2 = g(x) l 2 < ǫ 2. ǫ 3(1+l 1) ). Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x)g(x) l 1 l 2 = g(x)(f(x) l 1 ) + l 1 (g(x) l 2 ) g(x) l 2 f(x) l 1 + l 2 f(x) l 1 + l 1 g(x) l 2 ǫ 1 ǫ 2 + l 2 ǫ 1 + l 1 ǫ 2 ǫ (2.5) grce ux choix fit pour ǫ 1, ǫ 2. Preuve de iii) Le fit que f g est bien définie près de x 0 est une conséquence de l exercice 2.1.3. Le reste de l preuve est lissé en exercice. Corollire 2.1.1 Soit f : R R une fonction polynomile (c est à dire f(x) = N k=0 kx k ). Soit x 0 R. Alors lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Preuve. Soit f une polynômile. Elle peut s ecrire f = N k=0 f k vec f k (x) = k x k. D près le i) de l proposition 2.1.2, il suffit donc de montrer que pour tout k N, on bien lim x k = x k x x 0 (2.6) 0 Or, on évidemment lim x x0 x = x 0, de sorte que (2.6) est une conséquence immédite du ii) de l proposition 2.1.2. Exemple 2.1.3 Soit f : R R définie pr f(x) = x 2 + 1 x 2 +x+1. Alors lim x 1 f(x) = 2 3 Preuve. En effet, lim x 1 x 2 1 + x + 1 = 3 donc (d près iii)) lim x 1 x 2 +x+1 = 1 3. Comme pr illeurs lim x 1 x 2 = 1 on obtient le résultt nnoncé en joutnt les deux limites (d près i)).
2.1. CAS DES FONCTIONS 15 Proposition 2.1.3 (Composition) Soient f : I R et g : J R où I et J sont deux intervlles. On suppose que f(i) J de sorte que g f est bien définie. On suppose qu il existe x 0 I, y 0 J et l R tels que lim x x0 f(x) = y 0, lim y y0 g(y) = l. Alors lim x x0 (g f)(x) = l. Preuve. Soit ǫ > 0. Comme g tend vers l lorsque y tend vers y 0, il existe α > 0 tel que y J ]y 0 α, y 0 + α[, g(y) l < ǫ. (2.7) De même comme f tend vers y 0 lorsque x tend vers x 0, en ppliqunt l définition de l limite vec ǫ = α, on peut ffirmer qu il existe δ > 0 tel que Autrement dit, x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) y 0 < α. (2.8) x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) ]y 0 α, y 0 + α[. (2.9) Comme f(i) J, quel que soit x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on y := f(x) J ]y 0 α, y 0 + α[. Pr conséquent en ppliqunt (2.7), on obtient g(y) l < ǫ. En résumé, on vient de prouver que x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, g(f(x)) l < ǫ ce qui chève l démonstrtion. Exemple 2.1.4 Soit f(x) = (x 2) 3 1 1+(x 2) 2 pour tout x R. Alors lim x 3 f(x) = 1 2. Preuve. En effet f(x) = g h(x) vec h(x) = x 2 et g(y) = y 3 1 1+y. Or 2 lim x 3 h(x) = 1 et lim y 1 g(y) = 1 2. Le résultt découle donc de l proposition précédente. Proposition 2.1.4 Soient f, g, h trois fonctions de I dns R. Soient x 0 I et l R. On suppose que x I, g(x) f(x) h(x) et Alors, lim g(x) = l = lim h(x). x x 0 x x 0 lim x x 0 f(x) = l. Preuve. Soit ǫ > 0. Comme lim x x0 g(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = l ǫ < g(x)).
16 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Comme lim x x0 h(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = h(x) < l + ǫ). Soit δ = min(δ, δ ). Supposons que x I vérifie x x 0 < δ. En utilisnt les deux ssertions ci dessus et le fit que g(x) f(x) h(x), il vient l ǫ < g(x) f(x) h(x) < l + ǫ. D où f(x) l < ǫ. 2.1.2 Limites infinies On se donne f : I R et x 0 I. On veut formliser l énoncé suivnt : lorsque x se rpproche de x 0 l vleur de f(x) devient de plus en plus grnde. Définition 2.1.2 On dit que f tend vers + qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.10) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) = +. On dir que f tend vers qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.11) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) =. f(x) M x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Fonction ynt une limite infinie en un point Remrque 2.1.3 Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur minimle pour f(x) qund x est proche de x 0. En d utres termes, l définition (2.10) ffirme que f(x) peut être rendu ussi grnd que voulu (c..d. plus grnd que M), pourvu que x soit proche de x 0 (c..d. x x 0 < δ).
2.1. CAS DES FONCTIONS 17 Remrque 2.1.4 Il est évident que lim f(x) = lim ( f(x)) = +. x x 0 x x 0 Exercice 2.1.4 Soit f l fonction définie sur ]1, + [ pr f(x) = 1 x 1. Montrer que lim x 1 f(x) = +. Exercice 2.1.5 Soit f l fonction définie sur R \ {1} pr f(x) = 1 x 1. Montrer que f n ps de limite en 1. Comprer à l exercice précédent. Définition 2.1.3 Soit f : I R. On dit que f est mjorée sur I si On dit que f est minorée sur I si On dit que f est bornée sur I si M R, x I, f(x) M. m R, x I, f(x) m. M 0, x I, f(x) M. Remrque 2.1.5 Une fonction est bornée si et seulement si elle est mjorée et minorée. Exercice 2.1.6 Soit f définie pr f(x) = 1 x+1. Montrer que f est bornée sur R +. Montrer que f n est ps bornée sur ] 1, + [. Proposition 2.1.5 Soient f : I R et g : I R deux fonctions. Soit x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = + et que g est minorée sur I lors lim x x0 (f + g)(x) = +. Preuve. On doit montrer que M R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = (f + g)(x) M). (2.12) Soit M R quelconque. Comme g est minorée, il existe A R tel que pour tout x I, g(x) A. Pr illeurs, comme lim x x0 f(x) = +, on sit que R R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = f(x) R). (2.13) En ppliqunt cette propriété vec R = M A, on trouve δ > 0 tel que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[ on f(x) M A. On en déduit que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on (f + g)(x) M A + A = M.
18 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE 2.1.3 Limites en l infini On veut formliser l notion suivnte : lorsque x devient de plus en plus grnd, f(x) prend des vleurs de plus en plus proches d une vleur l fixée. Définition 2.1.4 Soient R, l R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers l lorsque x tend vers plus l infini (noté lim x + f(x) = l) si ǫ > 0, M R, x M, f(x) l < ǫ (2.14) On dit que f tend vers l lorsque x tend vers moins l infini (noté lim x f(x) = l) si ǫ > 0, M R, x M, f(x) l < ǫ (2.15) f(x) l + ǫ l l ǫ M x Fonction ynt une limite en plus l infini Remrque 2.1.6 Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur de x à prtir de lquelle on est certin que f(x) ser proche de l. Exercice 2.1.7 Soit f : R R définie pr f(x) = 1 1+x 2. Montrer que f tend vers 0 en ±. Exercice 2.1.8 Soit f : R R une fonction et g : R R définie pr x R, g(x) = f( x). Montrer que lim f(x) = l lim g(x) = l. x x + Définition 2.1.5 Soient R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers + (resp. ) lorsque x tend vers l infini (noté lim x + f(x) = +, resp. lim x + f(x) = ) si M R, A R, x A, f(x) M (resp. f(x) M) (2.16)
2.1. CAS DES FONCTIONS 19 Exercice 2.1.9 Donner une bonne définition de : lim x f(x) = ±. Exercice 2.1.10 Soit f : R R définie pr f(x) = xsin(x). Montrer que f n est ps bornée. Montrer que f n ps de limite en l infini. Proposition 2.1.6 (Propriétés élémentires) Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = l 1 et lim x + g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x + (f + g)(x) = l 1 + l 2 ii) lim x + (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g grnd et on lim x + ( f l1 g )(x) = l 2 est bien définie pour x ssez Preuve. C est une vrition de l preuve de l proposition 2.1.2 Exemple 2.1.5 Soit f(x) = 5x3 +x 1 2x 3 +x 2 pour x > 0. Alors, lim x + f(x) = 5 2. Preuve. En effet, f(x) = x3 (5 + 1 x 2 1 x 3 ) x 3 (2 + 1 x ) = f 1(x) f 2 (x) vec f 1 (x) = 5 + 1 x 2 1 x 3 et f 2 (x) = 2 + 1 x. Or lim x + f 1 (x) = 5 et lim x + f 2 (x) = 2. Pr suite, lim x + f(x) = 5 2. Proposition 2.1.7 Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et que g est minorée. Alors lim (f + g)(x) = +. x + Preuve. Soit M R. Comme g est minorée, il existe m R tel que x (, + [, g(x) m. Comme lim x + f(x) = +, il existe A tel que x A, f(x) M m. Pr suite, x A, (f + g)(x) M m + m = M. Corollire 2.1.2 Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et lim x + g(x) = +. Alors lim (f + g)(x) = +. x +
20 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Preuve. Il suffit de vérifier qu une fonction tendnt vers + qund x tend vers + est nécessirement minorée pour x ssez grnd. Exemple 2.1.6 L fonction f(x) = x 2 + sin(x) vérifie lim x + f(x) = +. Remrque 2.1.7 Attention, il n y ps de règle qund on retrnche des limites infinies. Pr exemple on lim x = +, x + lim x + x2 = +, lim x 1 = + x + et lim x + (x2 x) = +, lim x (x 1) = 1. x + Proposition 2.1.8 Soient f, g, h trois fonction de (, + [ à vleurs dns R et soit l R. On suppose que x (, + [, g(x) f(x) h(x) et Alors lim g(x) = l = lim h(x). x + x + lim f(x) = l. x + Preuve. L démonstrtion est similire à celle de l proposition 2.1.4. 2.1.4 Pssge à l limite dns les inéglités Proposition 2.1.9 Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe x 0 I et l R tels que lim x x0 f(x) = l. i) Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. ii) Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M. Preuve. Preuve de i) On suppose pr l bsurde que l < m. Posons ǫ = m l 2 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 tel que x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) l < ǫ. En prticulier, on pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) < l + ǫ = m + l 2 ce qui contredit l définition de m. Preuve de ii) Identique. Lissée en exercice. < l, Remrque 2.1.8 Il n y ps de théorème nlogue vec des inéglités strictes. Pour s en rendre compte, il suffit de prendre f(x) = x pour x ]0, 1[. On bien f(x) > 0 pour tout x ]0, 1[ mis lim x 0 f(x) = 0.
2.1. CAS DES FONCTIONS 21 Proposition 2.1.10 Soit I = (, + [ (ou ], b)). Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe l R tels que lim x ± f(x) = l. Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M. Preuve. L démonstrtion est identique à celle de l Proposition 2.1.9. 2.1.5 Limite à guche et à droite Pour illuster le propos de cette prtie, commencons pr l étude d un exemple. Soit f :] 1, 1[ R définie pr f(x) = x + 1 si x < 0 et f(x) = x 1 si x 0. Alors f n ps de limite lorsque x tend vers 0. En effet,pour tout n N, f(1/n) = 1+1/n et f( 1/n) = 1 1/n. Donc pour n grnd f(1/n) s pproche de 1, lors que f( 1/n) s pproche de 1. En fit il est possible démontrer que si l on considère seulement les vleurs positives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. De même, si l on considère seulement les vleurs négtives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. Ceci nous pousse à introduire les définitions suivntes. Définition 2.1.6 Soit f : I R une fonction et J I. On ppelle restriction de f à J l fonction f J : J R définie pr x J, f J (x) = f(x). Remrque 2.1.9 L restriction de f à J n est rien d utre que l fonction f où l on utorise x à ne prcourir que J. Exemple 2.1.7 Soit f : [ 1, 1] R définie pr f(x) = x 2 si x 0 et f(x) = x 2 si x 0. Soit J = [0, 1], lors f [0,1] est l fonction f [0,1] : [0, 1] R définie pr f [0,1] (x) = x 2 pour tout x [0, 1]. Définition 2.1.7 Soit f :], b[ R une fonction et x 0 ], b[. Soit l R {+ } { }. On dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à guche (ou pr vleurs inferieures) si lim x x0 f ],x0[(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x<x 0 f(x) = l (ou lim x x f(x) = l). 0 On dir f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à droite (ou pr vleurs superieures) si lim x x0 f ]x0,b[(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x>x 0 f(x) = l (ou lim x x + f(x) = l). 0 Remrque 2.1.10 On peut trduire cette définition vec des ǫ. Pr exemple, si l R, lors lim x x f(x) = l si et seulement si 0 ǫ > 0, δ > 0, x ]x 0 δ, x 0 [, f(x) l < ǫ. On peut fire de même vec les limites infinies. Exemple 2.1.8 Soit f : R R définie pr f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = 0. Alors f(x) = et lim f(x) = +. + lim x 0 x 0
22 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Exemple 2.1.9 Soit f : R R définie pr f(x) = sin((1/x) si x > 0 et f(x) = xsin(1/x) si x < 0. Alors lim x 0 f(x) = 0 mis f n ps de limite en 0 pr vleurs superieures. Proposition 2.1.11 Soit f :], b[ R et x 0 ], b[. Alors lim f(x) = l f(x 0 ) = l, lim f(x) = l et lim f(x) = l. x x 0 x x 0 x x + 0 Preuve. Découper en morceux. 2.2 Cs des suites Une suite numérique u est une ppliction de l ensemble des entiers nturels N vleurs dns R. Cel peut ussi être vu comme une collection de nombres réels indéxée pr N. On note u = (u n ) n N une telle collection. Cel signifie que le premier élément de l collection est u 1, le second u 2, etc. Définition 2.2.1 (Opértions élémentires)soient u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux suites numériques. i) On définit l suite w = u + v pr n N, w n = u n + v n. ii) On définit l suite w = u.v pr n N, w n = u n.v n. ii) On suppose que n N, v n 0. On définit l suite w = u v pr n N, w n = un v n. Remrque 2.2.1 Si on sit seulement que v n 0 pour n n 0 pour un certin n 0 (pr exemple n 0 = 34), il est possible de définir l suite quotient pour des indices superieurs n 0.On note cette suite ( un v n ) n n0. 2.2.1 Limite finie On veut donner une définition précise de l notion suivnte : les termes de l suite ssociés à des entiers de plus en plus grnds sont de plus en plus proches d une vleur fixe. Définition 2.2.2 Soient u = (u n ) n N une suite numérique et l R. On dit que l suite (u n ) n N converge vers l qund n tend vers l infini si : Dns ce cs on note lim n + u n = l. ǫ > 0, N N, n N u n l < ǫ (2.17) Exercice 2.2.1 Montrer que (u n ) n N tend vers l qund n tend vers l infini dns les cs suivnts : 1. u n = 2 + 3 n et l = 2. 2. u n = 2 + 3 n et l = 2. 2