Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR CNRS 5142 1 lauret.bordes@uiv-pau.fr 2 sophie.mercier@uiv-pau.fr Résumé. Les processus de reouvellemet sot fréquemmet utilisés e fiabilité pour décrire les istats successifs de défaillace d u système soumis à ue maiteace parfaite et istataée. E situatio de maiteace imparfaite, différets modèles ot été proposés, parmi lesquels les processus géométriques itroduits par Lam das [6]. Das ce modèle, les temps iter-défaillaces sot idépedats et idetiquemet distribués à u facteur d échelle près a > 0, et ce de maière géométrique. Ue limitatio de ce modèle réside e la décroissace ou la croissace très rapide des temps iter-défaillaces résultat de la progressio géométrique. Nous cosidéros ici ue versio plus flexible où ue évolutio o géométrique du facteur d échelle est possible. Le processus de comptage correspodat est dit Processus Géométrique Étedu (PGE). Ue première étape das l étude des PGE cocere l ajustemet semi-paramétrique basée sur l observatio de temps iter-défaillaces. Nous cosidéros das u premier temps l estimatio du paramètre euclidie e suivat ue démarche proposée par Lam, puis ous proposos ue estimatio de la distributio du processus de reouvellemet sous-jacet. Plusieurs résultats de covergece, icluat des vitesses de covergece, sot obteus. Esuite ous e veos à l applicatio des PGE e fiabilité où les temps de saut du processus sot des temps de défaillace et où les maiteaces sot supposées istataées. Ue première quatité d itérêt est la pseudo-foctio de reouvellemet associée à u PGE, dot o motre qu elle satisfait ue pseudo-équatio de reouvellemet. Lorsque le système se détériore (cas a < 1), ue politique de maiteace prévetive est proposée : lorsqu u temps iter-défaillaces est iférieur à u seuil prédéfii, le système est cosidéré trop détérioré et est remplacé à euf. Cette politique de maiteace est évaluée via ue foctio coût, sur u horizo ifii. Cette étude est illustrée umériquemet. Mots-clés. Maiteace imparfaite, processus de reouvellemet, estimatio semiparamétrique. Abstract. Reewal processes have bee widely used i reliability, to describe successive failure times of systems submitted to perfect ad istataeous maiteace actios. 1
I case of imperfect maiteace, differet models have bee developed to take this feature ito accout, amog which geometric processes itroduced by Lam i [6]. I such a model, successive lifetimes are idepedet ad idetically distributed up to a multiplicative scale parameter a > 0, i a geometric fashio. A drawback i Lam s settig is the fast icrease or decrease of the successive periods, iduced by the geometric progressio. We here evisio a more flexible progressio, where the multiplicative scalig factor is ot ecessarily a geometric progressio ay more. The correspodig coutig process is here amed Exteded Geometric Process (EGP). As a first step i the study of a EGP, we cosider its semiparametric estimatio based o the observatio of the first gap times. We start with the estimatio of the Euclidea parameter a followig the regressio method proposed by Lam. We ext proceed to the estimatio of the ukow distributio of the uderlyig reewal process. Several cosistecy results, icludig covergece rates, are obtaied. We ext tur to applicatios of EGPs to reliability, where successive arrival times stad for failure (ad istataeous maiteace) times. A first quatity of iterest is the pseudo-reewal fuctio associated to a EGP, which is proved to fulfill a pseudoreewal equatio. Whe the system is deterioratig (case a < 1), a prevetive reewal policy is proposed: as soo as a lifetime is observed to be too short, uder a predefied threshold, the system is cosidered as too deteriorated ad replaced by a ew oe. This reewal policy is assessed through a cost fuctio, o a ifiite horizo time. Numerical experimets illustrate the study. Keywords. Imperfect maiteace, reewal processes, semiparametric estimatio. 1 Le processus géométrique étedu Soit (T ) 0 les temps de défaillace successifs d u système satisfaisat 0 = T 0 < T 1 < < T <. O défiit les temps iter-défaillaces par X = T T 1 pour 1 et o suppose que (X ) 1 satisfait X = a b Y, où (Y ) 1 est la suite des temps d iterarrivées d u processus de reouvellemet (PR), a ]0, + [ et (b ) 1 est ue suite croissate de réels positifs telle que b 1 = 0 et b diverge vers l ifii lorsque ted vers l ifii. Pour éviter les cas particuliers o suppose que Y 1 vérifie P (Y 1 > 0) > 0. Ce modèle, développé das [3], éted la défiitio du processus géométrique de Lam qui e cosidère que le cas où b = 1 et X = a 1 Y (pour 1) (voir [6]). Bie que la suite (b ) 1 puisse être paramétrée, ici ous supposos que (b ) 1 est complètemet spécifiée. Par coséquet, les paramètres icous sot a ]0, + [ et la foctio de répartitio (f.d.r.) F du processus de reouvellemet sous-jacet (Y ) 1. Nous avos doc affaire à u modèle de type semi-paramétrique. 2
2 Estimatio semi-paramétrique Supposos T 1 < < T observés, o s itéresse à l estimatio de a et F. Cocerat le paramètre euclidie a, o suit la méthode proposée par Lam das ue série d articles (voir [6]). L estimateur de a se déduit d ue régressio liéaire simple coduisat à l estimateur ( 1 â = exp b k log X k 2 log X ) k i=1 b i 1 b2 k ( 1 b k) 2. Partat de â, o costruit ue pseudo versio (Ỹ) 1 des temps iter-arrivées (Y ) 1 e posat Ỹ = â b X. Alors o peut espérer estimer F par la f.d.r. empirique ˆF défiie par ˆF (x) = 1 1 { Ỹ k x} pour tout x R +, où 1 { } désige la foctio idicatrice d esembles. Posos var(e ) = σ 2, α 2 = 1 b2 k ( 1 b 2 k) et θ = α. E utilisat des résultats de [1, 2, 5], portat sur le comportemet asymptotique de sommes podérées de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées, ous obteos les résultats suivat si E((log X 1 ) 2 ) < + : 1. α (â a) p.s. 0, 2. lim sup + α 2 b log log(â ) log(a) 2 2σ p.s., 3. Si de plus θ /b +, alors θ (â a) d N (0, a 2 σ 2 ), 4. Si de plus log (X 1 ) admet ue desité g borée et b lim sup 2 log = 0, + α 2 alors ˆF F coverge vers 0 presque sûremet lorsque ted vers l ifii. Si par exemple b = ( 1) γ avec γ > 0, o a θ + γ γ+1/2 (γ + 1) 2γ + 1 et la coditio θ /b + est satisfaite. Lorsque b = 1, o obtiet le même résultat de ormalité asymptotique pour 3/2 (â a), que celui éocé par Lam [6]. Cette partie s achève par ue applicatio à des doées réelles cocerat les = 29 défaillaces successives du système de climatisatio de la cabie d u Boeig 720 (voir [7]) et par ue étude de Mote Carlo permettat d appréheder le comportemet des estimateurs à distace fiie. 3
3 Applicatios e fiabilité Cosidéros maiteat u système réparable, dot les réparatios sot istataées et dot les temps de pae sot modélisés par u PGE. Si les paramètres du PGE sot estimés ou cous, ce modèle peut être utilisé à des fis de prévisio et/ou d optimisatio de la politique de maiteace. Pour u objectif de prévisio, ue quatité d itérêt typique peut être le ombre moye de défaillaces surveues das l itervalle de temps [0, t], c est-à-dire la pseudo foctio de reouvellemet associée à u PGE vu comme processus de comptage. 3.1 Pseudo-foctio de reouvellemet Das u premier temps o propose des coditios pour que la pseudo foctio de reouvellemet soit fiie. D après [4] ue coditio écessaire est lim + T = + presque sûremet. Utilisat ue versio de la loi forte des grads ombres pour variables aléatoires idépedates mais o idetiquemet distribuées [8], o motre que cette coditio est équivalete à i 1 ab i = +, coditio supposée satisfaite das ce qui suit. Si N(t) = i 1 1 {T i t} (t 0) otos k (t) l espérace mathématique de N(t) lorsque X 1 est distribuée selo la loi de a b k Yk. La foctio de reouvellemet d itérêt état (t) = 1 (t), e supposat que lim + a b > 1/E (Y 1 ) o motre que : 1. k (t) < + pour tout t 0 et tout k 1. 2. k satisfait l équatio de reouvellemet markovie k = F k + f k k+1, pour tout k 1, où F k (resp. f k ) désige la f.d.r. (resp. desité) de X k. Pour le cas a 1 ous proposos ue méthode umérique permettat d approcher k. E revache, pour a < 1 la pseudo foctio de reouvellemet peut être approchée par ue méthode de Mote-Carlo. Toutefois ous obteos u miorat c (t) de (t) qui coverge vers (t) lorsque c ted vers 0 fourissat aisi ue approximatio par défaut de (t). 3.2 Ue politique de remplacemet Lorsque les temps iter-défaillaces sot décroissats (cas a < 1), ue politique prévetive de remplacemet est étudiée. Elle suppose le remplacemet du système, dot le coût est c R, dès qu u temps iter-défaillaces X i est iférieur à u iveau prédéfii s (s > 0). Le coût de réparatio (istataé) est égal à c F, avec c R c F. O pose C(s) le coût asymptotique par uité de temps de cette politique de remplacemet. Par des argumets classiques de la théorie du reouvellemet ous motros d ue part l existece de C(s) 4
et d autre part ous obteos so expressio. E effet, e supposat a ]0, 1[ et e otat C (s; [0, t]), le coût cumulé sur l itervalle de temps [0, t] pour u seuil s, le coût asymptotique par uité de temps existe presque sûremet et s obtiet par C (s; [0, t]) C (s) = lim t + t = c R + c F E (τ s 1) E (T τ s) p.s. où τ s = if{ 1 : X < s}. De plus avec E (τ s 1) = v s k = i=1 + v s k et E (T τ s) = E (Y 1 ) a b i ( 1 + + a b k+1 vk s k ( s ) F pour tout k 1 et F = 1 F. Des outils umériques ot été développés pour approcher C (s). Des résultats umériques illustret à la fois l approximatio de la pseudo-foctio de reouvellemet aisi que le calcul approché du coût asymptotique uitaire C(s) de la politique de remplacemet e foctio du seuil s. Bibliographie [1] Bai, Z. D. et Cheg P. E. Marcikiewicz strog laws for liear statistics, Statistics & Probability Letters, 46, 105 112. [2] Bai, Z. D., Cheg, P. E. et Zhag C. H. A extesio of Hardy-Littlewood strog law, Statistica Siica, 7, 923 928. [3] Bordes, L. et Mercier, S. (2011). Exteded geometric processes: semiparametric estimatio ad applicatio to reliability, submitted. [4] Çilar, E. (1975). Itroductio to Stochastic Processes, Pretice-Hall, Eglewood Cliffs. [5] Cuzick, J. A. (1995). Strog law for large for weighted sums of I.I.D. radom variables, Joural of Theoretical Probability, 8(3), 625 641. [6] Lam, Y. (2007). The Geometric Process ad its Applicatios, World Scietific. [7] Lidsey, J. K. (2004). Statistical Aalysis of Stochastic Processes i Time, Cambridge Uiversity Press. [8] Petrov, V. V. (1995). Limit Theorems of Probability Theory: Sequeces of Idepedet Radom Variables, Oxford Uiversity Press. ) 5