MODELISATION ET SIMULATION EN 3D

Palais d la Découvt Univsité Pi t Mai Cui Diction d la médiation scintifiqu Dépatmnt d Physiqu Av. F. D. Roosvlt 758 Pais 4 plac jussiu 755 Pais Laboatoi d Modélisation n Mécaniqu Rappot d stag d maîtis d mécaniqu Réalisé pa : Vincnt-Pi Avons Nicolas d Champvallins MODELISATION ET SIMULATION EN 3D D UN VOL AVEC RENDEZ-VOUS SPATIAL Sous la diction d : M. Alain BIOGET Mm. Rné GATIGNOL Palais d la découvt Univsité Pi t Mai Cui M. Pi - Yvs LAGREE CNRS-UPMC Anné univsitai -3 1

Rmcimnts Nous tnons à mci codialmnt : Pou l Palais d la découvt M. Jan Audouz, Dictu du Palais d la découvt. M. Kamil Fadl, Chf du Dépatmnt d Physiqu, M. Alain Biogt, Médiatu scintifiqu, dictu du stag, M. Jan Michl Pascal, Chf du svic Multimédia, Mm Sophi Michaut, infogaphist au svic multimédia Pou l Univsité Pi t Mai Cui Mm. Rné Gatignol, Rsponsabl du DEA d Mécaniqu, sponsabl du stag, M. Pi Yvs Lagé, Chagé d chch au L.M.M.

TABLE DES MATIERES Intoduction 4 Rappls su la théoi d la gavitation nwtoninn 5 Logicil utilisé.. 8 L obit ISS... 9 L lancmnt.. 1 Ls manœuvs obitals.. 1 L phasing. 19 Ls manœuvs d nté.1 L obitogaphi..33 Conclusion 35 Bibliogaphi 36 Annxs... 37 3

INTRODUCTION Dans l cad d c stag, l Palais d la découvt, établissmnt d'nsignmnt supéiu s'occupant d vulgaisation scintifiqu, nous a dmandé d modélis t d simul un mission spatial, l décollag d un fusé puis la mis n obit d un vaissau pou un ndz-vous avc la station spatial intnational t l tou du vaissau su la t. Nous dvions donc, d'un pat, pogamm 1 équation d la gavité n tois dimnsions avc t sans scond mmb t ainsi éalis un simulation numéiqu d la mission spatial n utilisant ls calculs, issus d la modélisation, avc un application multimédia gâc au logicil macomdia dicto 8.5. L fuit d not tavail dvais êt pésnté t xpliqué aux visitus du Palais, au cous d'un xposé, pou lu fai compnd ls application d la gavitation dans l domain spatial. Nous avons donc dans un pmi tmps modélisé l mouvmnt d l I.S.S. puis, avc l aid d psonn tavaillant au CNES M Cistoph Thalbaut, l lancmnt. Pa la suit nous avons étudié l tansft d Hohmann t nfin la chut dans l atmosphè n tnant compt du changmnt d caactéistiqus d l ai. Not stag nous a pmis égalmnt d abod l poblèm d lchangmnt d inclinaison obital. 4

1.Rappls su la théoi d la gavitation nwtoninn Pnons un objt soumis uniqumnt à la foc d gavitation, nous avons : st la distanc nt ls cops m la mass d l objt M la mass d la t G st la constant d gavitation F=-mMG/_ ainsi n appliquant l pincip fondamntal d la dynamiqu on a : SF= m g nous obtnons : g =- G M G M OP G M =- =- x + y + z x + y + z OP ( x + y + z ) OP 3 =x_+y_+z_ La convntion d pé st situé n annx p38 Ainsi nous pojtons l accéléation su ls 3 axs x, y,z t nous obtnons nos 3 équations difféntills du scond od avc scond mmb : & x =- G M x f( x) 3 = ( x+ y+ z) & y =- G M y f( y) 3 = ( x+ y+ z) z G M z= f =- ( x+ y+ z) Nous allons ésoud c systèm pa un méthod d ésolution numéiqu, cll d Rung-Kutta à l od 4. Pnons : Ê ˆ = Á x Ê ˆ Á x Ê ˆ Á x X y V = X = Á y V = X = Á y Ë z Á Á Ë z Ë z Ainsi nous obtnons l systém : Ê ˆ V =X 3 Á - Á Á V = Á- Á Á - Ë 5 ( z) G M ( x+ y+ z) G M 3 x y 3 ( x+ y+ z) G M z ( x + y + z ) 3

Détaillons l schéma suivant la diction x : kvx k x1= Dt. vx 1=-Dt. G M x+ y+ z ( ) 3 x nsuit on a : puis on calcul : kx x 1= x+ 1 v x1= vx+ k vx 1 t l on a : kvx kx = Dt. vx1 =-Dt. G M x + y+ z ( ) x 3 kx x = x+ v x= vx+ on continu l systém jusqu à k x4, k vx4. k vx 1 Et au final, on a : t+dt ( x x x3 x = x+ k + k + k + k 6 t+dt ( vx vx vx3 v = k k k k x v + + + + x 6 on poduit l mêm schéma pou y, z, v,. y vz 1 1 vx 4 1 1 vx 4 Ainsi on obtint ls vitsss t positions d l objt à chaqu pas d tmps. Nous avons aussi un équation su la consvation d éngi : Pnons E, l éngi mécaniqu, à tout momnt on a : E = K+ U E = mv? - G Mm = ct ) ) 6

Nous avons aussi la consvation du momnt cinétiqu L : Schéma tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Soit Ê ˆ = Á dans la bas Ë Æ Æ Æ u, v, w Ê ˆ Æ Æ Á = d = Á dt Á q Æ Æ V dans la bas u, Ë mêm bas. Ê sing ˆ V V cos g Á Ë Æ Æ, v w o V st aussi égal à Á toujous dans la ainsi nous avons Æ Æ L = ŸV = m q? = ct Ctt consvation du momnt cinétiqu aboutit su la scond loi d Kpl : La loi ds ais 7

.Logicil utilisé Pou modélis cs équations nous avons utilisé un logicil multimédia Macomdia Dicto 8.5 qui pmt d pogamm ls tajctois dans un langag objt l Lingo t y appliqu un imagi D ou 3D. C logicil pouait psqu êt sépaé n dux d un pat pou la D t d aut pat pou la 3D tllmnt la pogammation pou l imagi d l un t l aut diffè. Cci xpliqu qu l on n a pas pu éutilis ls pogamms déjà fait. En fft pou la pogammation 3D il faut pnd l contôl d l univs 3D, ainsi on doit impot la totalité ds objts nécssais a l imagi, cux ci ayant été éalisé à l aid d un logicil d dssin 3D. L contôl d l univs étant éalisé à l aid d command pédéfini qui sont lativmnt difficil à mtt n œuv. C st pouquoi dvant la difficulté d utilisation d c logicil nous avons tout d abod modélis l poblèm à l aid d un langag qu nous connaissions t maîtisions, l Fotan, qui nous a pmis d valid not modélisation à l aid ds coubs obtnus qu nous n avons pas éussi à avoi avc macomédia dicto. 8

3.Obit d l ISS L but d ctt pati st d modélis la tajctoi d la station spatial intnational (ISS) n utilisant ls équations du mouvmnts. Nous pndons pou la t un ayon d 6378 km t un mass d 5.98 E 4 ISS st situé su un obit ciculai autou d la t, à un distanc d 39 km d la sufac tst, d plus son plan obital à un inclinaison d 51.6 pa appot au plan équatoial. Ainsi ll put avoi ointations diffénts suivant la fac tst qu l on gad, un SUD-EST t l aut NORD-EST, 1 hus apès si on gad la mêm fac. Ainsi, n utilisant ls équations pécdmmnt cités nous obtnons aisémnt ls positions d la stations à n impot qul momnt. 6+6 'posiss.dat' 4+6 +6 -+6-4+6-6+6-8+6-6+6-4+6 -+6 +6 4+6 6+6 8+6 9-5+6-4+6-3+6-+6-1+6 1+6 +6 3+6 4+6 5+6

4.L lancmnt L lancmnt s pass n phass : -Un pmiè, qui va nous pmtt d injct la fusé su un pmié obit contnu dans l mêm plan qu l ISS mais à un altitud moins élvé. -Un scond phas où l on tansféa la fusé d la pmié obit vs cll d ISS, ctt phas nommé Tansft d Hohmann sa plus dévlopé dans not chapit Ls manœuvs obitals. M Chistoph Talbot du dépatmnt lancu du CNES d Evy nous a founi ls ésultats d lu modélisation d la tajctoi d la fusé jusqu à la pmié obit.nous n avons pas modélisé ctt étap su avis d M Alain Biogt. Néanmmoins, nous allons déci ctt pmié phas du vol. Not fusé décoll d Kouou n Guyan, positionné aux coodonnés suivants : Latitud=5.4 Longitud=-5.8 On attnda qu la tajctoi d ISS soit ointé NORD-EST. La fusé décoll vticalmnt t pnd tès vit un ointation nod-st. Voici la ajctoi d lancmnt d la fusé. Tajctoi d la fusé 'lanc.dat' 3 1-1 - -3-4 -3--1 1 - -15-1 -5 5 1 15 3 4-5 1

Comm nous pouvons l voi su l obitogaphi, ll suvol l atlantiqu, pass au dsus d l Euop t d la Russi t pass d l aut côté d la t suvolant l oint puis l Austali t l sud d l océan pacifiqu. La fusé lagua ss boosts au bout d 3 minuts, au dssus d l atlantiqu losqu ll sa à un altitud d 6 km, sa coiff s désolidaisa à 11 km d altitud t à 14 km l Etag d Populsion Cntal sa lui aussi détaché d la fusé apès 1 minuts d vol, laissant plac à l Etag d Populsion Scondai. Un pmi boost d L EPS aua liu au bout d 18mn ntaînant, un vol ballistiqu d la fusé d un dué d 53 minuts. Ensuit, un scond boost st communiqué à la fusé l injctant su un pmiè obit ciculai dit obit bass à km d altitud. A5ES - Mission ATV - xx51.6 Altitud = fonction ( Tmps ) 5 Altitud géodésiqu (mèts) 15 1 5 Sépaation EPC Sépaation coiff Sépaation boosts Fin 1 boost EPS début d phas balistiqu nd boost EPS Injction ATV aphiqu tié ds cumnts voyés pa l CNES 5 1 15 5 3 35 4 45 Tmps (sconds) Nous ntons maintnant dans la scond phas : l tansft d Hohmann. 11

5.Ls manœuvs obitals L tansft d Hohmann Nous allons tout d abod étudi l tansft obital dit tansft d Hohmann, ctt manœuv intvint dans l pocssus du lancmnt, n ffft un fois qu not ngin st satllisé su un obit bass, il st nécssai d ffctu ctt manipulattion afin d l tansfé su un obit haut, coplanai à la pmiè, cll d ISS pa xmpl. La manœuv s fait n étaps, tout d abod, nous avons not ngin satllisé n obit bass, nous allons ffctu un poussé dans l sns d son mouvmnt slon sa tajctoi, ainsi un D v positif va appaaît. L ngin va ainsi commnc à déci un llips ayant l cnt d la t comm un ds dux foys, t son péigé l ndoit où lui a été communiqué la poussé. Nous attndons qu not vaissau aiv jusqu à l apogé d l llips pou lui donn un poussé t un D, positif aussi, ainsi l ngin va soti d l llips v t sta su un obit ciculai ayant pou ayon la distanc nt l cnt d la t t l apogé d l llips. Schéma tié du cous d DESS d M Robt Guiziou B A 1

Calcul ds D v : Not obit bass s situ à km d la sufac tst, soit 6578 km dpuis l cnt d la t t not obit haut à 39 km. Soit v ob, not vitss pmtant un obit ciculai à un distanc du cnt d la t :? g =w? = vob = GM? G. M vob = Soit v ll, la vitss d l ngin su l llips : G=6.67 E -11 m3/kg.s_ M=5.98 E 4 kg À Rb=6578 km, on a v ob =7.787 km/s À Rh=6768 km, (39 km d la sufac tst), on a v ob Pnons E, l éngi mécaniqu,à tout momnt on a : E = K+ U E= mv? -G Mm Soit, l éngi mécaniqu d not ngin su l llips. Ell distanc du cnt d la t à l ngin n m m mass d l ngin n kg G constant M mass d la t n kg Nous avons not momnt cinétiqu L constant : L= m? j donc o = + j v v ainsi E mv = ll - + L m??? mv mv = + L m?? G Mm =7.677 km/s Au péigé, point A, t à l apogé d l llips, point B, not vitss adial v st null. 13

Pou =Rh ou =Rb on a = L -G m Mm Ell??? -? + G = m L E Mm ll Ell Nous avons l équation slon ayant Rh t Rb comm solution, nous savons qu où a st l dmi gand ax d l llips. Plaçons nous su l obit ciculai, avc éngi mécaniqu d l ngin. Ec On a = Rb Ainsi Rb= -G Mm soit = U, on put éci Ec E = U - c E, o = U + K, ainsi c Ec = Ec -K Rplaçons nous maintnant su l obit lliptiqu. Soit v ll=a. vob ainsi = a? K + U = ( a? -) K= (-a?) E ll n pnant l quotint a, on voit qu il st invsmnt popotionnl aux Rb éngis. = Rb a - 1 a? a= Rh+ Rb= -G Mm Rb a = t 14 E E ll Ec c o Rh=a-Rb Ell E c a= Rb -a? Ainsi Rh= a? Rb - a? donc nous avons l équation : Rh- a? Rh- a? Rb=

a= Rh Rh + Rb a =1.1436475 v ll =7.814566 km/s v Dv= - ll ob ainsi nous appliquons un Dv n A d.6866 km/s. Not ngin décit donc un llips, à son apogé, au point B, nous allons appliqu un ém D v afin d postionn l vaissau su l obit d ISS. Nous avons v ob =7.677 km/s. En utilisant la consvation d l éngi mécaniqu nous avons m m E v G G Mm v Rb Mm llb = lla - = - Ra Ainsi v = v + GM( Rb - ) RbRh Rh llb lla v =7.5936 km/s vllb Nous dvons donc appliqu un Dv, toujous dans la mêm diction t dans l mêm sns d l ngin. Dv = v - =.834 km/s ob vllb L changmnt d inclinaison obital C gn d opéation st éguliémnt ffctué su ls satllits pou ls cal su lus obits d oigin, mais on l utilis aussi su la station spatial intnational.en fft un légé coction lui st appoté pou la positionn dans la bonn obit ca un lég décalag d angl put s cé au bout d un ctain tmps. L intsction du plan obital avant manouv t du plan obital apès manouv nous donn points qu l on appll nœuds. La manœuv s ffctu uniqumnt à cs nœuds. En fft un bonn impulsion, nomal au plan d l obit, au passag du nœud, nous pmtta d cé c changmnt d inclinaison obital. 15

Schéma tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Pou modélis l poblém posé, nous nous somms svis ds ésultats du cous d M Guiziou, ainsi nous pations d un ds équations d Clohssy- Whiltshi, au péalabl nous nous sons placé dans l pé local suivant : Schéma tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Voilà ls 3 équations : Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Dans not cas, sul l équation slon Y nous intss. 16

Dans un pmi tmps nous allons modélis la poussé nomal pa l intmédiai d un g pndant un dué T. Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Puis un fois la poussé ffctué, nous auons ctt ém équation : Nous pndons comm conditions initials, ls valus finals d not pmié phas, c st à di pou t=t. Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Nous auons not coction d inclinaison D i quand not Y sa maximal. Dans not cas : Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Ainsi on a : Equations tié du cous d DESS d M Robt Guiziou Nous nous plaçons su l obit d ISS à =6768 km La vitss obital st d v ob Ainsi w = vob =.113431 ad/s Not impulsion P du 15 s T=15s =7.677 km/s ca g = P avc m=166 kg mass d l ISS m G. M vob =. 17

Ainsi pou un coction d.1 On a : g = i? m P = D w sinw T P= m Diw? =8496 kn sinw T On voit donc qu la coction d inclinaison obital coût tès ch n éngi, pou dévi l ISS d.1, on doit déliv 85 kn pndant 15 s. On utilis donc ctt manœuv pou d ptit changmnt d angl. 18

6.Phasing Ctt opéation consist à calcul ls diffénts fnêt d ti possibl afin qu l ndz vous spatial puiss xist. En fft apès l décollag d la fusé, touts ls opéations sont calculés à la scond pès afin qu l ndz vous obital ait liu l plus tôt possibl. Un fois la fusé placé su l obit d l ISS, ll doit s touv à un cout distanc d la station ca un top gand poussé pouait la fai décoch d l obit. Pou bin ffctu l ndz vous nous dvons absolumnt attnd qu l ISS soit à un ctain position pou qu l on puiss ffctu l lancmnt. Nous allons calcul l tmps nécssai à l injction d la fusé su l obit haut t l décalag angulai, dans l plan d l obit d la station, qui st cé n considéant qu la fusé t la station patnt du mêm ndoit au mêm momnt.(mais à ds altituds diffénts). La vitss angulai d l ISS st constant, ll st d : F =1.1348776 E -3 ad/s La pmié phas, l injction su l obits bass dud = 449 s. t1 Not fusé aua attint un angl Ê ycosq + zsinq = - ˆ j p actaná - 1 Ë x x=.14 E 6 y=-3.93 E 6 z=-4.8 E 6 j 1 =5.71643 ad Puis ll st n obit bass pndant D t À Rb=6578 km, on a v ob =7.787 km/s ainsi =185 s j = vob =1.183794466 E -3 Rb j = D. * j t =1.84416996 ad On déclnch maintnant l tansft d hohmann. Notj sa décalé dp, ainsi D j= j j 3 1 + = 3.14159654 ad j + j 3 = 9.49763388 ad 19

Pou calcul D nous allons utilis la 3ém loi d Kpl. t3 ls caés ds péiods d évolution sont popotionnls au cub ds dmi gands axs d l llips. 3 a =KT? a pésnt l dmi gand ax d not llips (n m) T pésnt la péiod d évolution d l llips (n s) où K st la constant d popotionnalité applé constant d Kpl. Avc K= GM 4p? a =*639++39=6685 km Ainsi T=5437.74 s Soit ainsi D D t t t t t3 t = T = 718.87 s 3 =D +D +D = 449+185+718.87 1 D =893.87 on a donc : t DF =D. F =9.4769554 ad Nous avons alos un décalag angulai d d = Dj-DF =.9 ad Un fois la fusé aivé su l obit haut, la station sa décalé dié ll d.9 ad. Il suffit donc d annul c décalag n faisant pati la station d un position décalé d.9 ad au nivau du lancmnt. Il fauda attnd un tmps D t, un fois l ISS passé au dssus d Kouou, avant d fai décoll la fusé. Dt = d =79.345s F

6.Ls manœuvs d nté La nté s fait n plusius étaps.tout d abod not capsul s désolidais d la station, oint son populsu dans la bonn diction afin d ffctu un cont poussé. L but d ctt manipulation st d diminu la vitss tangntill (qui était la vitss obital pu d tmps avant) afin d cé un vitss nomal, du à la gavitation qui déplaça not ngin vs la t. Ainsi not cont-poussé P va intvni dans nos équations du mouvmnt ntaînant un Dv su l mouvmnt d la capsul. Un fois la cont poussé ffctué not capsul lagua l modul d poussé qui sa désintég dans ls hauts couchs d l atmosphé. L étap la plus délicat dans cs manœuvs d nté st l aivé d la capsul su l début d l atmosphé tst, qu l on considéa à 1 km d la sufac, ca ds focs d fottmnts impotants commnc à appaaît. La bonn éussit d la misssion dépnd d la façon dont la capsul st ointé, l angl d incidnc g, nt la tangnt local à l obit d l altittud considéé t la tajctoi d la capsul, pmt d bin position la capsul los d sa nté dans l atmosphé. Calcul d l angl g : Los d c calcul, nous considéons not capsul dans l quat d ccl A n bas, à doit c st à di pou ls x> t y>. 1

Soit V l vctu nomé d la vitss t Vt, l vctu tangnt au ccl d 1 km d ayon.l angl nt cs dux vctus st l angl g. Schéma du cou d DESS d M Robt Guiziou on doit s plac dans l pé (x, y,z ) d l obit incliné d 51.6. Ainsi on a :

On a y ' = y.cosq + z. sinq x ' = x y' y.cosq + z.sinq a= atan( ) = atan( ) x' x Ê x ˆ Á vitss Á cos + sin V = v qv v q Ê -sina ˆ y z t Vt = Á vitss Á cos a, ls dux vctus étant només, lu Á Ë Ë poduits scalai st égal à cos g.ainsi : g =accos( v x vitss * - sina v cos q+ y v sinq z +. * cos a +). vitss En intoduisant divss valus pou la cont pousé P, voilà c qu nous obtnons : En fft 4 cas puvnt s podui : -1. g <.8 la capsul n nt pas dans l atmosphè t décit un llips. -Tajctoi pou un poussé d 13679.1 N 'posatv.dat' 'posatv.dat' 'posfot.dat' 'fott.dat' 5 4 3 1-1 - -3-4 -5-6 -4-4 3-1 - -3 6-4 4 3 1

-. g <.8 la capsul bondit su l atmosphé tst, l angl st top ptit, la vitss nomal n st pas assz impotant, ls focs d fottmnts sont assz fots pou éjct la capsul su un llips. Au tou suivant la capsul toucha l atmosphé, t s touva nco un pu finé, la capsul continua à déci un llips jusqua c qu son angl d nté soit suffisammnt gand. Voici la tajctoi pou un poussé d 1547 N t un pmi angl d nté d.35.au bout d n tou ls fottmnts éduiont suffisammnt la vitss pou qu la capsul tomb. 'posatv.dat' 'posatv.dat' 'posfot.dat' 5 4 3 1-1 - -3-4 -5-6 -4-4 -1 - -3 6-4 4 3 1 4

-. g >6, l angl st top impotant, la vitss st top gand, ls focs d fottmnts vont dvni top gands c qui va ntaîn un élévation d la tmpéatu aux paois d la capsul, cla st du à la dissipation d éngi, ainsi la capsul va bûl dans ls hauts couchs. -3.8 <g <6, l angl st bon, ainsi la nté put s fai coctmnt. Tajctoi pou un poussé d 7358.7 N t un angl d nté d 'posatv.dat' 'posatv.dat' 'posfot.dat' 5 4 3 1-1 - -3-4 -5-6 -4-4 -1 - -3 6-4 4 3 1 On chcha toujous à minimis ct angl ca il influ aussi su la pis d g d not capsul t donc aussi d nos passags. Pou modélis la nté, nous avons ajout à not équation d mouvmnt un tm d cont-poussé (P/m) t un tm d fottmnt qui pésnta la 5

tainé (F). Ss dux tms sont ointés suivant la diction d la capsul, dans l sns invs d la tajctoi. La cont poussé P/m : En fait la cont poussé st lié avc Dv d la manié suivant : m P = Dv Dt Nous pndons undt d 15 s t un mass m d 3 kg. Ls focs d fottmnts : Pou la modélisation ds fottmnts nous n avons tnu compt qu d la foc d tainé, n fft pa manqu d infomation nous n avons pu obtni l Cz nouspmttant d intodui un légé foc d potanc, d plus ll st vaiabl avc l pilotag. Donc nous avons sulmnt : F = 1 v SCx SCx Nous pndons l M d un capsul d typ appolo, qui st égal à.3 m_/kg. D plus nous modélisons l atmosphè pa quatoz couchs diffénts d à 1 km d la sufac tst, modèl qu nous avons écupéé du cous du DESS d tchniqu spatial d l Univsité d Aix-Masill II. Voici l modèl choisi : Où z st l altitud : z < 17 ho=1.93*xp(-.1*z) 17 z < ho=3.893*xp(-.185*z) z < 5 ho=1.3553*xp(-.1377*z) 5 z < 3 ho=.11643*xp(-.15489*z) 3 z < 35 ho=3.51386*xp(-.1718*z) 35 z < 4 ho=1.3476*xp(-.1446*z) 4 z < 45 ho=1.4184*xp(-.13544*z) 45 z < 5 ho=.69735*xp(-.194*z) 5 z < 6 ho=.6188*xp(-.1664*z) 6 z < 7 ho=.45374*xp(-.1148*z) 7 z < 8 ho=5.14519*xp(-.15616*z) 6

8 z < 1 ho=4.8456*xp(-.1866*z) 1 z < 11 ho=1.1581*xp(-.1913*z) 11 z < 1 ho=11.811*xp(-.1671*z-.477) Ainsi on put obsv la vaiation d ho n fonction d l altitud. vaiation d ho 14 1 1 Altitud (km) 8 6 4,,,4,6,8 1, 1, 1,4 Rho (kg/m3) 7

La capsul dvant aiv su l sol a un vitss d l od d 7 m/s (soit 5. km/h) Nous avons ajouté ls focs d fottmnt dus aux paachuts. La foc st d la fom : 1 F paachut = SC z v Avc C z = 1 (Cz du paachut) Pou not capsul nous avons ouvt un pmi paachut d finag d 1 mét d damét a pati d 14 kilomèts puis a pati d 5 kilomèts, tois paachuts d 14 mèt d diamèt. Ainsi la capsul aiv su la t avc un vitss d l od d 9.7 m/s soit 35 km/h. Ainsi l équation du mouvmnt dvint Æ g = - G - + q + M + M P M F ( ) x y z Il suffit just d pojt ctt équation slon ls tois dictions x, y t z. C qui nous donn & x=- G M x+ ( ) M P x + M F x + y + z 3 & y=- G M 3 y + P M z=- ( x+ y+ z) G M ( x+ y+ z) 3 z + M P Ls nouvaux tms étant ds constants, nous éutilisons la méthod d Rung-Kutta à l od 4 pou touv ls vitsss t ls positions. Ls focs d fottmnts dépndnt dictmnt d la vitss t xistnt tout au long d la nté d la capsul dans l atmosphé, pa cont l tm d cont poussé, ponctul los d la désobitation, doit êt fixé. Nous allons fai toun l pogamm pou diffénts valus d P, ainsi nous vons l évolution d l angl g. Maintnant nous allons utilis un modèl théoiqu nous pmttant d li la cont poussé, pa l intmédiai d D V, à not angl d inclinaison g. y + z + x Fy M M Fz 8

Schéma tié du cous d DESS d M Robt Guiziou m=g.m Vs : vitss d l objt su l obit d iss V : vitss d la capsul au nivau du contact avc l atmosphé. Dans not cas nous simulons un cont poussé ffctué pa ds éto fusés, ainsi not DV st suivant la diction d Vs mais dans l sns invs, ainsi w =18. Nous avons : V = V -DV s En utilisant la consvation d l éngi su l obit d dscnt C1, nous avons : 1m( V - DV)? -G Mm = 1m s V?-G Mm Ainsi 9 V Ê ( )? 1 1 ˆ V -DV - GM V? s Á - = Ë? GM Ê 1 ˆ - V s D V +D V - Á - = Ë o = GM? s V s V?

?? 1- D V + D V?- + = V V V s s V s V s V V = -1+ D V -DV?? Nous allons maintnant utilis la consvation du momnt cinétiqu, ou ém loi d Kpl su la consvation ds ais : Soit Ê ˆ = Á dans la bas Ë Æ Æ Æ u, v, w V s?? s Ê ˆ Æ Æ Á = d = Á dt Á q Æ Æ V dans la bas u, Ë mêm bas. Ê sing ˆ V V cos g Á Ë Æ Æ, v w o V st aussi égal à Á toujous dans la Nous avons : Æ Ÿ Æ K= V not K st constant qulqu soit la position d no capsul, ainsi : K= Vcosg o n S on a g = t V = V -DV s t n E on a Ainsi : V V =, g g =. soit a= DV V s V s V g K= ( -DV) = cos. (1-a) cosg = o = -1+ a? -a V V s V V s? ( -1+ a? -a)cos? g - (1-a) =? V - s V ( DV) cos = g 3

Nous avons donc :??? (cos? g - ) a? + ( -cos? ) + ( -1)cos? -?? g a g? = g a = D 1 cos V V = - s ( -1)? -cos?? Ainsi gâc à ctt démonstation, nous pouvons dictmnt li not cont poussé P, pa l intmédia d D V, t not angl d nté g. L ésultat touvé cospond bin (à un factu cosg pés) au ésultat du cous donné n annx. g Voici ls coubs pésntant l évolution d g n fonction d P. 9 8 7 6 Angl 5 4 cous pogamm 3 1 4 6 8 1 1 14 16 18 Poussé 31

L évolution ds coubs st similai, not modélisation st poch du modèl théoiqu. Ells ont un allu logaithmiqu, ainsi l évolution d la poussé put êt xponntill n fonction d g. 1 1 poussé log n N 1 1 1 pogamm cous 1 1 1 3 4 5 6 7 8 9 angl n dg En taçant l angl n fonction d la poussé, on voit bin qu not coub ssmbl à un doit ainsi l évolution st bin xponntill. 3

8.Obitogaphi L pincip d l obitogaphi st d pouvoi suiv su un planisphè l mouvmnt d un objt autou d la t. Pou cla il n s agit plus d connaît la position d l objt dans un pè catésin mais à l aid d dux angls la latitud t la longitud (lat t long su l schéma). Angls qu l on put facilmnt calcul avc la position d l objt dans l pè catésin. En fft on a : Lat = Atan( x z + y ) t Pou la longitud plusius cas s pésntnt. Si on st dans la pati A : y Long = Atan( x Dans la patib : Dans la pati C : ) -x p Long = Atan( ) + y x p Long = -Atan( ) - y -y x Et dans la pati D : Long = -Atan( ) Dans not cas l point long = t lat = n cospond pas à la éalité c st pouquoi nous avons ffctué un changmnt d pè. Nous connassions l décalag ca dans ls donnés founit pa l CNES nous avons la latitud t la longitud d la fusé. Avc a = -5.8 on calcul la position d l objt dans l pè (X,Y,Z ) puis on calcul long t lat avc l mêm systèm qu ci-dssus (ctt fois il s appliqu à (X,Y,Z )). x = (x * cos(a) - y * sin(a)) y = (x * cos(a) + y * sin(a)) z = z Où (x, y, z) position d l objt dans (X,Y,Z) t (x, y, z ) position d l objt dans (X,Y,Z ) 33

Ainsi on st bin calé mais on n tint pas compt d la otation d la t, donc on ffctu un scond changmnt d pè x = (x * cos(b) + y * sin(b)) y = (-x * cos(b) + y * sin(b)) z = z Au final, on a : x = x * cos(a-b) - y * sin(a-b) y = x * sin(a-b) + y * cos(a-b) z = z On put donc calcul long t lat dans c pè t tni compt d la otation d la t. On obtint un tacé comm ci dssous pou l décollag d la fusé t la mis n obit d l ATV à km Où la tajctoi noi st cll d la fusé puis d la capsul t la oug cll d l I.S.S. 34

Conclusion C stag nous a pmis d découvi tout la complxité d un mission spatial n paticuli pou l lancmnt. D mêm on a pu c nd compt ds poblèm pou ls ndz-vous spatiaux qui nécssit un ctain pécision dès l décollag puisqu ls suls coctions possibls doivnt absolumnt êt minims pou évit tout changmnt d obit. Enfin la modélisation d l atmosphè nous a appis qu la mag d manœuv pou la nté d un vol habité st tès éduit. Pa aillus, nous avons appis au Palais d la Découvt ls bass d la pogammation n langag objt. Tous ls ésultats consignés dans c appot pndont plac, dès l mois d sptmb, dans un diapoama pou l Palais d la Découvt qui abod l thèm d la gavitation. Ls logicils d simulation d tajctois sviont d bas à la constitution d'un bon intactiv laissé à la lib disposition du public. Not stag va s polong ct été pa ds vacations au cous dsqulls nous amélioons ls pogamms pou ajout plus d intactivité t un millu pésntation n paticuli l affichag ds tajctoi. La mission simulé aua liu d ici un an losqu l ESA (Euopan Spac Agncy) lanca l pmi modul ATV chag d avitaill la station spatial intnational. Bilbliogaphi 35

Cous d DESS tchniqus d l ai t d l spac d M Robt GUIZIOU Equation d Clohssy-Whiltshi t ndz-vous spatial Rnté atmosphéiqu d un planu hypsoniqu à pati d un obit bass Manœuv d nté Manœuvs obitals Mouvmnts Kplins l cous st consultabl su intnt à : http://atmmis.univ-ms.f/cybmca/fomcont/mcaspa/indx.htm Cous d physiqu généal.mécaniqu d D.SIVOUKHINE aux éditions MIR Mécaniqu d L.LANDAU t E.LIFCHITZ.1 macomdia dicto 8.5 shockwavstudio manul d utilisation Annxs 36

Convntion d pè Rpè équatoial (X,Y,Z) : Réfénc équatoial intill figé à l instant d libéation d la cntal (Oigin au cnt d la T), nous somms donc dans un pé géocntiqu, il st d plus gallilén. O = cnt d la T, X = intsction du plan méidin passant pa la tabl d lancmnt H-3s t l plan équatoial Y = nomal au plan méidin t diigé vs l st Z = nomal au plan équatoial t diigé vs l pôl nod Réféncs d la tajctoi : Rayon équatoial : 6378.135 m 37

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