Durée : 4 heures Eléments de correction du Bc Blnc - S Lycée Frnçis de Vlence- obligtoire vril EXERCICE Bcclurét S Asie juin 9 et Libn juin Commun à tous les cndidts 5 points L exercice comporte qutre questions indépendntes. Pour chcune d entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est excte. Il s git de déterminer l bonne réponse et de justifier le choix insi effectué. Un choix non justifié ne rpporte ucun point. outefois, toute trce de recherche, même incomplète, ou d inititive, même non fructueuse, ser prise en compte dns l évlution.. Question L solution f de l éqution différentielle y + y = 6 qui vérifie l condition initile f ) = est définie sur l ensembler des nombres réels pr : Réponse ) : f x)= e x + Réponse ) : f x)= e x + Réponse ) : f x)= e x L fonction constnte x est solution de l éqution et les solutions de l éqution y + y = sont de l forme x K e x. Les solutions sont donc de l forme : f x) = K e x +. Or f ) = K + = K =. Donc réponse ).. Question Une urne contient une boule blnche et deux boules noires. On effectue tirges successifs d une boule vec remise on tire une boule u hsrd, on note s couleur, on l remet dns l urne et on recommence). Réponse ) : Réponse ) : Réponse ) : ) ) 7 ) ) 7 )! 7 ) )!! Il s git d un schém de Bernoulli : on renouvelle fois de mnière indépendnte une expérience à deux issues consistnt à tirer un boule dns une urne contennt boules dont une blnche. L probbilité de tirer une blnche est de /. On ppelle X l vrible létoire donnnt le nombre de boules blnches obtenues ) à l issue des expériences. X suit une loi binomile de prmètres ) ) 7 ;/). px = )= ) ) 7 px = )=. Donc réponse ).. Question Dns l espce muni d un repère orthonorml crtésienne : x y+ z = 5 et le point A ; ; ). Le projeté orthogonl du point A sur le pln P est le point : O, ı, j, ) k, on considère le pln P d éqution Réponse ) : H ; ; 4) Réponse ) : H 4 ; ; 4) Réponse ) : H ; ; ) L perpendiculire à P contennt A pour équtions prmétriques : x = +t y = t, t R z = +t Le projeté orthogonl de A sur P est donc le point commun à cette droite et à P. Ses coordonnées vérifient donc le système : x = +t x = +t y = t y = t z = +t z = +t x y+ z = 5 + t t)+ +t) = 5
x = +t y = t z = +t 4t = 4 x = y = z = t = Une utre méthode est de tester chcune des propositions : H est il sur le pln P? et AM) est il orthogonl u pln P? L bonne réponse est ). 4. Question 4 L vleur moyenne de l fonction f définie sur l intervlle [ ; ] pr f x)= est égle à : + x Réponse ) : π Réponse ) : π 4 L vleur moyenne de l fonction f est : m= + x dx. Cette intégrle ne peut être clculée, mis sur [ ; ] : x x + x + x. Ces fonctions étnt positives, on obtient en intégrnt sur [ ; ] : dx + x dx dx, soit m. Or π,57, donc l seule réponse possible est l réponse ). Réponse ) : π 5. Question 5 On considère, dns le pln complexe rpporté à un repère orthonorml direct A d ffixe = i et le point B d ffixe b= +i. Réponse ) : Le tringle OAB n est que rectngle. Réponse ) : Le tringle OAB n est qu isocèle. O, u, ) v, le point Réponse ) : Le tringle OAB est rectngle isocèle. Soit Z = b, on sit que Ar g Z )= BO, BA) et que Z = BA b BO. b= +i i)= + i, donc b= i=i i i)= ib. Z = ib b = i est de module et d rgument π. Donc BO, BA)= π et BA=BO. Le tringle ABO est donc isocèle rectngle de sommet B., donc l seule réponse possible est l réponse ). EXERCICE Bcclurét S Métropole & L Réunion - septembre Commun à tous les cndidts 6 points Soit f l fonction définie sur l intervlle ] ; + [ pr f x)= x ln x). L courbe représenttive C de l fonction f est donnée en nnexe à rendre vec l copie). Prtie : Étude de l fonction f. Étudier le signe de f x) suivnt les vleurs du nombre réel x. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f x) est celui de ln x. Or ln x> >ln x ln e>ln x e> x pr croissnce de l fonction ln. On donc : f x)> < x< e ; f x)= x = e ; f x)< x > e.
. Déterminer les limites de l fonction f ux bornes de son ensemble de définition. Au voisinge de zéro : f x)= x x ln x. On sit que lim x ln x=, donc lim f x)=. x x Au voisinge de plus l infini : On lim x =+ et lim ln x =. Pr produit des limites on obtient : lim f x)=. x + x x Remrque : l lecture de l nnexe correspond bien à ces résultts.. Déterminer l dérivée de l fonction f sur l intervlle ] ; + [ et dresser le tbleu de vritions de l fonction f sur l intervlle ] ; + [. f produit de fonctions dérivbles sur ] ; + [ est dérivble sur cet intervlle et : f x)= ln x+ x ) = ln x = ln x. x Or ln x > ln x< ln x < ln x < pr croissnce de l fonction ln. De même ln x > x >. Conclusion : l fonction est croissnte sur ] ; ] et décroissnte sur [ ; + [. x e + f x) + f x) 4. Soit un nombre réel strictement positif. On considère l tngente ) u point A de l courbe C d bscisse.. Déterminer, en fonction du nombre réel, les coordonnées du point A, point d intersection de l droite ) et de l xe des ordonnées. On Mx ; y) ) y f )= f )x ) y + ln = ln x ) y = x ln +. Le point d intersection de l droite ) et de l xe des ordonnées une bscisse nulle, d où y =, ordonnée du point A. Conclusion : A ; ). b. Expliciter une démrche simple pour l construction de l tngente ). Sur l nnexe à rendre vec l copie) construire l tngente ) u point A plcé sur l figure. Il suffit de trcer le qurt de cercle centré en O de ryon qui coupe l xe des ordonnées u point A ; ) Du point ; ) donné sur l figure on trce l verticle qui coupe C u point A ; f )). L tngente est l droite AA ). Voir à l fin l figure. Prtie II : Un clcul d ire Soit un nombre réel strictement positif. On note A ) l mesure, en unité d ire, de l ire de l région du pln limitée pr l courbe C, l xe des bscisses et les droites d équtions respectives x = et x = e.. Justifier que A ) = f x) dx, en distingunt le cs < e et le cs > e. On vu à l question. que sur ] ; e] l fonction f est positive. L mesure de l surfce limitée pr l courbe C, l xe des bscisses et les droites d équtions respectives x = et x = e est donc égle à l intégrle A ) = f x) dx. On vu que sur [e ; + [, f x) <. Dns ce cs l surfce limitée pr l courbe C, l xe des bscisses et les droites d équtions respectives x = et x = e est donc égle à f x) dx = A ) en permutnt les bornes d intégrtion.. À l ide d une intégrtion pr prties, clculer A ) en fonction de. On donc A )= x ln x) dx. e f x) dx =
{ u x) = x Posons vx) = ln x d où ux) v x) = x = x outes ces fonctions étnt continues et dérivbles sur ] ; + [, on peut donc intégrer pr prties : [ x ] e [ A )= ln x) + x x x ] e dx= x ln x) + dx= [ x ] e [ x x ] e ln x)+ = 4 ln x) + x = 4 e ) ) )= ln e 4 ln.. EXERCICE Bcclurét S Antilles-Guyne juin Réservé ux cndidts n ynt ps suivi l enseignement de spécilité 5 points 6 5 4 v 4 5 6 7 8 9 O u C FIGURE Le pln est muni d un repère orthonorml direct O, u, ) v d unité cm. B. Restitution orgnisée de connissnces. L reltion ) se trduit pr z ω z ω = z ω, ou encore z ω =. z ) ω L reltion ) se trduit pr : rg = θ π). z ω b. Le nombre complexe z ω pour module et pour rgument θ, on z ω peut donc écrire, en utilisnt l forme exponentielle, que : z ω z ω = eiθ. On en déduit lors que z ω=e iθ z ω) d où : z = e iθ z ω)+ω.. L éqution : z 4 z+ 6 = pour discriminnt = 6 <. Il y donc deux solutions complexes conjuguées : z = 4 4i = i et z = z = D +i... On b = ) +i=4 + i = 4 cos π 6) + i sin π )) 6 = 4e i π 6. On en déduit que = b= 4e i π 6. b. Voir figure. c. Comme et b sont conjugués, les points A et B sont symétriques pr rpport à l xe réel et l on donc O A= OB = =4. Pr illeurs AB = +i i) = 4i =4. Ainsi O A = OB = AB, le tringle O AB est donc équiltérl. A 4. D près l question : d = e i π c )+= ) + i 8i)=4 +4i. 5. On constte que d = b, utrement dit : OD = OB, ce qui signifie que D est l imge de B pr l homothétie de centre O et de rpport. 4 5 6 7 8 9 6. OB = AB cr le tringle O AB est équiltérl ; de même BD = OB cr B est le milieu de [OD] puisque OD = OB ). On donc BO = B A = BD et les points O, B et D sont lignés, donc le point A pprtient u cercle de dimètre [OD] et de centre B). Le tringle O AD est donc rectngle en A. Autre méthode : ) d AO ; AD )= ) +6i rg = rg = rg i )= π +i π). 4
EXERCICE 4 Bcclurét S Antilles-Guyne septembre Commun à tous les cndidts Dns cet exercice, les résultts pprochés seront donnés à, près. 4 points Lors d une épidémie chez des bovins, on s est perçu que si l mldie est dignostiquée suffismment tôt chez un niml, on peut le guérir ; sinon l mldie est mortelle. Un test est mis u point et essyé sur un échntillon d nimux dont % est porteur de l mldie. On obtient les résultts suivnts : si un niml est porteur de l mldie, le test est positif dns 85 % des cs ; si un niml est sin, le test est négtif dns 95 % des cs. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probbilités pour l popultion entière et d utiliser le test pour un dépistge préventif de l mldie. On note : M l évènement : «l niml est porteur de l mldie» ; l évènement : «le test est positif».. Construire un rbre pondéré modélisnt l sitution proposée.,85, M,5,99 M,5,95. Un niml est choisi u hsrd.. Quelle est l probbilité qu il soit porteur de l mldie et que son test soit positif? On suit l première brnche : l probbilité est égle à pm) p M )=,,85=,85. b. Montrer que l probbilité pour que son test soit positif est, 58. L probbilité qu il soit non porteur de l mldie et que son test soit positif troisième brnche) est égle à,99,5=,495. ) On donc p)= pm) p M )+ p M p M )=,85+,495=,58.. Un niml est choisi u hsrd prmi ceux dont le test est positif. Quelle est l probbilité pour qu il soit porteur de l mldie? Il fut clculer p M)= pm ) =,85 p),58,466. 4. On choisit cinq nimux u hsrd. L tille de ce troupeu permet de considérer les épreuves comme indépendntes et d ssimiler les tirges à des tirges vec remise. On note X l vrible létoire qui, ux cinq nimux choisis, ssocie le nombre d nimux ynt un test positif.. Quelle est l loi de probbilité suivie pr X? On ici un schém de Bernoulli de prmètres n= 5 et p =,58. X suit donc l loi binomile B5 ;,58). L probbilité que k nimux soient mldes est égle à : ) 5,58 k,58) 5 k. k On obtient le tbleu de l loi de probbilité de X suivnt : X=x i 4 5 p X= x i ),74 7,8 4,8, 7, b. Quelle est l probbilité pour qu u moins un des cinq nimux it un test positif? L évènement contrire est : tous les nimux ont un test négtif qui d près le tbleu précédent une probbilité d environ,74 7. L probbilité pour qu u moins un des cinq nimux it un test positif est donc :,747=,58. 5
5. Le coût des soins à prodiguer à un niml ynt régi positivement u test est de euros et le coût de l bttge d un niml non dépisté pr le test et ynt développé l mldie est de euros. On suppose que le test est grtuit. D près les données précédentes, l loi de probbilité du coût à engger pr niml subissnt le test est donnée pr le tbleu suivnt : Coût Probbilité,94 5,58, 5. Clculer l espérnce mthémtique de l vrible létoire ssocint à un niml le coût à engger. On d près les données du tbleu : E=,945+,58+,5=5,8+,5= 7,. Ceci représente le coût moyen pr niml b. Un éleveur possède un troupeu de bêtes. Si tout le troupeu est soumis u test, quelle somme doit-il prévoir d engger? Pour bêtes, le coût ser en moyenne de : 7,= 46. ANNEXE Exercice ) à rendre vec l copie), B,5, f ),5 ) A C,5 O 4 5,,5,,5 6