Probabilités : Loi biomiale Christophe ROSSIGNOL Aée scolaire 204/205 Table des matières Répétitio d expérieces idetiques et idépedates 2. Défiitio................................................. 2.2 Modélisatio d ue répétitio...................................... 2 2 Loi de Beroulli 2 Schéma de Beroulli Loi biomiale 4. U exemple pour compredre...................................... 4.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale................................. Espérace, variace, écart-type..................................... 7.4 Complémets sur les coefficiets biomiaux.............................. 7 4 Itervalle de fluctuatio et prise de décisio 8 4. Quelques rappels de Secode...................................... 8 4.2 Itervalle de fluctuatio à 95 % selo la loi biomiale......................... 8 4. Prise de décisio à partir d u échatillo............................... 9 Table des figures Répétitio d expérieces idetiques et idépedates......................... 2 Loi de Beroulli............................................ 4 U exemple de schéma de Beroulli................................. 5 Ce cours est placé sous licece Creative Commos BY-SA http://creativecommos.org/liceses/by-sa/2.0/fr/
2 LOI DE BERNOULLI e prélimiaire au cours : Activités : Activités page [TrasMath] Répétitio d expérieces idetiques et idépedates. Défiitio Défiitio : Il y a répétitio d expérieces idetiques lorsque la même expériece aléatoire est répétée plusieurs fois, das les mêmes coditios. Des expérieces aléatoires sot idépedates si l issue de l ue quelcoque de ces expérieces e déped pas de l issue des autres expérieces. Exemple : Ue ure cotiet 4 boules rouges, boules vertes et deux boules oires. O tire successivemet deux boules avec remise. Il y a bie répétitio de deux expérieces idetiques et idépedates. Remarque : Si le tirage avait été sas remise, les expérieces auraiet été i idetiques (pas le même ombre de boules pour le deuxième tirage, i idépedates (la répartitio des boules du deuxième tirage déped de la couleur de la première boule tirée..2 Modélisatio d ue répétitio O utilise u arbre podéré pour représeter cette répétitio. Sur chaque brache, o idique la probabilité de l issue correspodate. Exemple : O repred l exemple précédet. O obtiet l arbre podéré de la figure. Propriété : La probabilité d u évéemet sur l arbre est obteue e multipliat les probabilités portées sur ses braches. La probabilité d u évéemet correspodat à plusieurs chemis est obteue e ajoutat les probabilités de chaque chemi. Exemple : O repred l exemple précédet. La probabilité de tirer ue boule verte puis ue boule rouge est : p (V, R2 = 9 4 9 = 4 9 = 4 27 La probabilité de tirer deux boules de même couleur est : p = p (R, R2 + p (V, V 2 + p (N, N2 = 4 9 4 9 + 9 9 + 2 9 2 9 = + 9 + 4 = 29 8 8 Exercices : 2, 4 page 25 ;, page et 5 page 7 2 20 page 2 et, 7 page 7 [TrasMath] 2 Loi de Beroulli Défiitio : O appelle épreuve de Beroulli toute épreuve à deux issues possibles : u succès (oté S ou u échec (oté S. La loi de Beroulli est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y preat la valeur si l issue est u succès, et 0 si l issue est u échec. O ote p = p (Y = = p (S. p est appelé paramètre de la loi de Beroulli. O dit aussi que loi loi de probabilité de la variable aléatoire Y suit la loi de Beroulli.. Simulatio de la loi du ombre de succès. 2. Répétitio d expérieces idetiques et idépedates.. Loi géométrique troquée. 2
2 LOI DE BERNOULLI Figure Répétitio d expérieces idetiques et idépedates
SCHÉMA DE BERNOULLI LOI BINOMIALE Remarques :. O peut représeter la loi de Beroulli par l arbre podéré de la figure 2. 2. La loi de probabilité de Y est alors : Figure 2 Loi de Beroulli 0 p (Y = p p Exemple : O lace u dé équilibré à six faces, les faces état umérotés de à. O cosidère qu il y a u succès lorsque le résultat du lacer est u, u échec sio. Il s agit d ue épreuve de Beroulli de paramètre. Elle correspod à la loi de Beroulli : 0 p (Y = Propriété : Soit Y ue variable aléatoire suivat la loi de Beroulli de paramètre p. Démostratio : E (Y = p et V (Y = p ( p E (Y = p (Y = 0 0 + p (Y = = p = p 5 V (Y = p (Y = 0 (0 E (Y 2 + p (Y = ( E (Y 2 = ( p p 2 + p ( p 2 = p ( p [p + p] = p ( p Schéma de Beroulli Loi biomiale Activité : Activité 2 page 7 4 [TrasMath]. U exemple pour compredre Exemple : O cosidère l expériece aléatoire cosistat à lacer trois fois de suite u dé à faces o truqué. La variable aléatoire X représete le ombre de fois que le uméro est sorti au cours de ces lacers. O peut modéliser cette expériece par ue répétitio idépedate de l épreuve de Beroulli de l exemple du 2. O obtiet l arbre podéré de la figure. La variable aléatoire X peut predre les valeurs 0,, 2 ou. 4. La plache de Galto. 4
SCHÉMA DE BERNOULLI LOI BINOMIALE. U exemple pour compredre Figure U exemple de schéma de Beroulli 5
.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale SCHÉMA DE BERNOULLI LOI BINOMIALE X = 0 correspod à l évéemet { S S S }. O a doc : p (X = 0 = 5 5 5 = ( 5 X = correspod à l évéemet { S S S ; S S S ; S S S }. O a doc : = 25 2 p (X = = 5 5 + 5 5 + 5 5 = ( 5 X = 2 correspod à l évéemet { S S S ; S S S ; S S S }. O a doc : p (X = 2 = 5 + 5 + 5 = ( X = correspod à l évéemet {S S S}. O a doc : p (X = = = ( = 2 2 = 75 2 2 5 = 5 2.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale Défiitio : O appelle schéma de Beroulli d ordre l expériece cosistat à répéter fois de maière idépedates la même épreuve de Beroulli de paramètre p. La loi biomiale de paramètres et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X preat preat comme valeurs le ombre de succès (S obteus au cours des épreuves du schéma de Beroulli. O dit aussi que loi loi de probabilité de la variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et p. Remarque : Das l exemple du., o a doc u schéma de Beroulli d ordre. La variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et. Défiitio : Le ombre de chemis de l arbre ( podéré associé à u schéma de Beroulli d ordre coduisat à succès pour répétitios est oté. ( Les ombres etiers sot appelés coefficiets biomiaux. Remarques : (. se lit «parmi» 2. Grâce au., o a déjà trouvé que ( 0 = ; ( = ; ( 2 = et ( =.. O peut utiliser la calculatrice pour trouver les coefficiets biomiaux. Voir le TP 2 page 4 5 [TrasMath]. Propriété : Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et p.. Les valeurs de X sot {0 ; ; 2 ;... ; } 2. Pour tout {0 ; ; 2 ;... ; } : p (X = = ( p ( p 5. Calculer des probabilités suivat ue loi biomiale.
SCHÉMA DE BERNOULLI LOI BINOMIALE. Espérace, variace, écart-type Remarque : O peut utiliser la calculatrice pour trouver calculer des probabilités suivat ue loi biomiale. Voir le TP 2 page 4 [TrasMath]. Exercices : 5,, 7 page 27 ; 8, 9 page 2 et 5, 52 page 9 7 44, 4, 47 et 5 page 9 8 [TrasMath]. Espérace, variace, écart-type Propriété : (admis Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et p. So espérace est : E (X = p Sa variace est : V (X = p ( p So écart-type est : σ (X = p ( p Exercices : 9, 0 page 28 et 52 page 9 9 [TrasMath].4 Complémets sur les coefficiets biomiaux Propriété : Soit u etier aturel,. ( (. = et =. 0 2. Si est u etier aturel tel que 0 : ( ( =. Si est u etier aturel tel que : ( ( + + = ( + + Démostratio :. Das l arbre, u seul chemi réalise 0 succès et u seul chemi réalise succès. 2. Comme succès correspodet à échecs, il y a autat de chemis meat à succès qu à ( succès. +. est le ombre de chemis qui réaliset + succès parmi + répétitios. Il y + e a de deux types : Exemple : (a ceux qui commecet ( par u succès : il reste alors succès parmi répétitios. leur ombre est doc. (b ceux qui e commecet pas ( par u succès : il reste alors + succès parmi répétitios. leur ombre est doc. + ( ( 2 = 0 ( 2 + = + 2 = Remarque : E particulier, la deuxième formule permet de calculer résultats sot détaillés das le tableau, appelé triagle de Pascal. Exercices : 5 page 40 ; 59, 0 page 4 et 4 page 42 0 [TrasMath]. Calculer des probabilités suivat ue loi biomiale. 7. Utiliser la loi biomiale. 8. Utilisatio de la calculatrice. 9. Espérace d ue loi biomiale. ( 0. Utilisatio des formules sur les. ( de proche e proche. Les 7
4 INTERVALLE DE FLUCTUATION ET PRISE DE DÉCISION 0 2 4 5 0 2 2 4 4 4 5 5 0 0 5 Table Triagle de Pascal 4 Itervalle de fluctuatio et prise de décisio 4. Quelques rappels de Secode Défiitios :. O appelle échatillo de taille la série statistique formée des résultats obteus lorsqu o répète fois ue expériece das les mêmes coditios. 2. La distributio de fréqueces associée à l échatillo est le tableau des fréqueces issues de cette échatillo. Exemple : O lace dix fois de suite ue pièce bie équilibrée. O obtiet P (Pile, F (Face, F, F, P, P, F, P, F, F. Il s agit d u échatillo de taille 0 (o a répété l expériece 0 fois. La distributio de fréqueces est : Résultat Pile Face Remarques : Effectif 4 Fréquece 0,4 0,. Les distributios de fréqueces variet d u échatillo à l autre pour la même expériece. C est ce qu o appelle la fluctuatio d échatilloage. 2. Même pour des échatillo de même taille, la distributio de fréqueces peut varier.. Lorsque la taille de l échatillo augmete, les distributios de fréqueces ot tedace à se stabiliser. Plus précisémet, o a la propriété suivate, vue e classe de Secode : Propriété : (admise Soit u caractère dot la proportio das ue populatio doée est p. Si 0, 2 p 0,8 et si 25, alors 95 % des échatillos de taille aurot ue distributio de fréquece das la quelle la fréquece du caractère sera das l itervalle : [ p ; p + ] Cet itervalle est appelé itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. 4.2 Itervalle de fluctuatio à 95 % selo la loi biomiale Défiitio : Soit u caractère dot la proportio das ue populatio doée est p. L itervalle de fluctuatio à 95 % d ue fréquece, pour u échatillo de taille, selo la loi biomiale de paramètres et p est : [ a ; b ] avec { a : plus petit etier tel que p (X a > 0, 025 b : plus petit etier tel que p (X b 0, 975 8
RÉFÉRENCES 4. Prise de décisio à partir d u échatillo Remarque : O admettra que si 0, p 5 et ( p 5, cet itervalle de fluctuatio est sesiblemet le même que celui vu e Secode. Exercice : page 4 [TrasMath] 4. Prise de décisio à partir d u échatillo O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u caractère est p. O observe la fréquece f de ce caractère das u échatillo de taille et o cosidère l hypothèse «la proportio de ce caractère das la populatio est p». O a alors la règle de décisio suivate : Si f [ a ; ] b : o cosidère que l hypothèse est pas remise e questio et l o accepte au seuil de risque de 5 % ; Si f / [ a ; ] b : o rejette l hypothèse au seuil de risque de 5 %. Module : TP 24 page 5 2 [TrasMath] Exercices :, page 0 et, 2 page 4 [TrasMath] Référeces [TrasMath] trasmath re S, éditio 20 (Natha 2, 4,, 7, 9. Comparaiso d itervalles de fluctuatio à 95 %. 2. U dé truqué?. Prise de décisio à partir d u échatillo. 9