Uiversité Paris-Dauphie Aée 28-29 U.F.R. Mathématiques de la décisio L3 - Statistique Mathématique Exame Durée 2h. Le barême est doé à titre idicatif. Exercice : 5 poits) Soit X,...,X ) u échatillo de va iid de même loi que X, où X admet pour desité de probabilité fx, θ) par rapport à la mesure Lebesgue, défiie par : fx, θ) = kx p+) exp θ ) x>, x avec θ ], + [ u paramètre réel icou et p > u ombre cou.. O pose U =. Motrer que U Gammap, θ) et e déduire la costate k, EU et X VarU. O applique la méthode du chagemet de variable. Soit g ue foctio cotiue borée alors par chagemet de variable y = /x, o a EgU)) = k g/x)x p+) exp θ/x) dx = k gy)y p exp θy)dy. O recoaît la desité d ue Gammap, θ) à la costate k = θ p /Γp) près. O e déduit EU = p/θ et VarU = p/θ 2. 2. Détermier ue statistique exhaustive complète pour θ. O est das le cadre du modèle expoetiel à u paramètre avec cθ) = θp Γp), hx) = x p+) x>, α θ) = θ, T x) = x. Etat doé que α Θ) = α ]; + [) =]; + [, ouvert de dimesio et que T est affiemet idépedate, o e déduit que X i est ue statistique exhaustive complète pour θ.
3. Détermier θ l estimateur du maximum de vraisemblace de θ. O est das le cadre d u modèle régulier expoetiel où βθ) = p lθ) otatio de la page 79 du polycopié). Or β es deux fois cotiûmet dérivable de dérivée secode p/θ 2 < doc l EMV vérifie β θ ) = θ = p 4. A l aide de la questio, détermier la loi de Z = et motrer que : E θ = pθ p, Var θ = pθ) 2 p ) 2 p 2). D après la questio, / est ue suite iid de va suivat la loi Gammap, θ) doc Z Gammap, θ). O e déduit que ) θ p E θ ) = pe = p Z z Γp) zp exp θz)dz = pθ u p exp u)du Γp) e effectuat le chagemet de variable u = θz. O recoaît la quatité Γp ) et la relatio Γp) = p )Γp ) permet de coclure pour le calcul de l espérace. Reste à calculer E/Z 2 ). Avec le même chagemet de variable que précédemmet, o obtiet E/Z 2 ) = θ 2 Γp 2)/Γp) d où Var θ = p) 2 E/Z 2 ) et le résultat souhaité suit facilemet. pθ)2 p ) 2 = pθ)2 p )p 2) p ) 2 5. L estimateur θ est-il sas biais? covergeat? efficace? L estimateur θ est biaisé d après la questio précédete. Il e peut doc pas être efficace. Il est toutefois covergeat car asymptotiquemet sas biais et de variace tedat vers. Exercice 2 :5 poits) Soit X,, X ) u échatillo de va iid de desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R + : fx, θ) = e x θ) x θ, où θ R est icou.. Calculer l EMV de θ oté θ. O écrit la vraisemblace L θ) = e θ P mix,...,x ) θ qui est maximale lorsque θ = mix,...,x ). 2. Détermier la forme de la zoe de rejet d u test des hypothèses H : θ θ cotre H : θ > θ utilisat l EMV θ. La zoe de rejet sera de la forme W = { θ > k} où k est u seuil à calculer e foctio du seuil souhaité. 2 )
3. Détermier la statistique T du test du rapport de vraisemblace pour les mêmes hypothèses H et H. Qu e déduire pour le test de la questio 2? La vraisemblace L θ) vérifie le critère de factorisatio pour l EMV θ avec hx) = e P x i et gθ, θ ) = e θ bθ θ. Doc l EMV est ue statistique exhaustive. De plus, pour tout θ < θ o a V θ,θ = e θ θ bθ θ qui est ue foctio croissate e θ. O est doc das u modèle à RVM pour T = θ et le test de la questio 2 est UPP parmi tous les tests de iveau P θ W) Karli-Rubi). 4. Détermier la foctio de répartitio de T. O a P θ T x) = P θ T > x) = par idépedace des. Mais pour x > θ o a pour tout i doc P θ > x) = x P θ > x), e u θ) du = exp x θ)) P θ T x) = exp x θ))) = exp x θ)) pour x > θ et P θ T x) = autremet. 5. Expliciter la zoe de rejet du test du rapport de vraisemblace pour les mêmes hypothèses H cotre H de iveau α fixé et détermier sa foctio puissace. La suite de tests associée est-elle cosistate? Etat doé que W = { T > k} o cherche k > θ tel que α = P θ T > k) = exp k θ )) et o trouve k = θ + l α ). La foctio puissace vaut βθ) = P θ W) = P θ T > k) = e du) u θ) = expθ k)) θ k = α exp θ θ )) e remplaçat k par sa valeur pour tout θ > θ. Quad et comme θ θ > alors expθ θ )) doc βθ). La suite de test est bie cosistate. Problème poits) Soit X,...,X ) u échatillo de va iid de foctio de répartitio F supposée cotiue et strictemet croissate. O ote F la foctio de répartitio empirique F x) = 3 j= Xj x
La statistique de Cramer & Vo Mises est défiie par T = R F x) Fx)) 2 dfx). La présece de l itégrale das le terme précédet red so utilisatio ardue. E pratique, o l approche par la statistique T = RF x) Fx)) 2 df x) = F ) F )) 2. Le but de ce problème est de quatifier l erreur d approximatio alors commise.. Motrez que F ) est ue variable aléatoire uiforme et e déduire que EF ) = 2 et VarF ) = 2. Ue foctio cotiue et strictemet croissate est iversible. Soit F so iverse allat de [; ] das R. Pour tout x [, ] o a PF ) x) = P F x)) = FF x)) = x. Doc F ) suit ue loi uiforme sur [, ] et o e déduit la valeur de so espérace et de sa variace. 2. Motrez que F x) B, Fx)) et e déduire l espérace et la variace de F x). O a Xj x qui suit ue loi de Beroulli de paramètre Fx) = P Xj x = ) doc F x) = X j x B, Fx)) par idépedace des d où EF x)) = Fx) et VarF x)) = Fx) Fx)). 3. E déduire que E T = 6. E appliquat Fubii, o obtiet E T = EF x) Fx)) 2 dfx) = Fx) Fx)) dfx) R R = t t) dt = 6 4. Motrez que T = ) 2 i F)). O remarque que l expressio de T est idépedate de l ordre das lesquels les sot sommés. Doc T = F ) ) F) )) 2 = ) 2 i F)). 5. E admettat que motrer que T = + k= 2k T T = 6 2 + 2 ) 2 FX k)) F ). 4
O calcule T T = + = + = + = + = + 6 2 2 ) 2 ) ) 2 i 2i F)) F)) ) 4i 2F)) 4i FX 2 i) ) 4i 2 F ) F ) 6. E déduire que lim 3/2 E T T ) = et que Var T T ) = 3. Le fait qu ue variable uiforme comme F ) ait pour moyee /2 et pour variace /2 implique que T T = 2 F ) EF )) 6 2 d où E T T ) = + 6 2 = 6 2 et Var T T ) = 3VarFX ) = 3 7. Motrer aussi que 3/2 T T ) N, ). Coclure. 2 L idetité précédete T T = 2 F ) EF )) 6 2 et le théorème de limite cetrale implique le résultat. O e déduit que l erreur d approximatio est de l ordre de 3/2. 8. Facultatif) Motrer que T = 2k + k= ) 2. FX k)) 5