Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : /8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : Identfcaton du modèle de Webull Résumé On aborde c le problème de l dentfcaton des paramètres du modèle de WEIBULL sur un échantllon d essas représentatf du comportement à rupture d un matérau fragle (typquement, acer ferrtque à basse température) La méthode de régresson lnéare et la méthode du maxmum de vrasemblance sont les deux méthodes retenues On en détalle le prncpe ans que les méthodes de résoluton assocées, s appuyant dans les deux cas sur un procédé tératf Enfn, on montre leur extenson au cas où l un des deux paramètres de ce modèle (la contrante de clvage) dépend de la température Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 2/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : Table des matères Introducton 3 2 Rappels 3 2 Le modèle de WEIBULL 3 22 Identfcaton des paramètres 3 3 Méthode de la régresson lnéare 4 3 Prncpe 4 32 Résoluton 5 4 Méthode du maxmum de vrasemblance 6 4 Prncpe 6 42 Résoluton 6 5 Dépendance des paramètres avec la température 7 5 Régresson lnéare 7 52 Maxmum de vrasemblance 8 6 Concluson 8 7 Bblographe 8 Descrpton des versons du document 8 Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 3/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : Introducton Lorsqu elles font appel au modèle de WEIBULL (cf POST_ELEM [U4822]), les étude de modélsaton de la rupture fragle des acers nécesstent en général une dentfcaton préalable des paramètres de ce modèle Afn d évter une laboreuse dentfcaton «à la man» de ces paramètres qu nécessterat de relancer tératvement l opératon POST_ELEM avec l opton WEIBULL, une procédure de recalage automatque a été mplantée dans Code_Aster Dans ce document, on rappelle brèvement les équatons du modèle de WEIBULL pus on défnt le problème d dentfcaton posé On décrt alors le prncpe des deux méthodes de résoluton retenues (régresson lnéare et maxmum de vrasemblance) en ncluant le cas où l un des deux paramètres du modèle dépend de la température 2 Rappels 2 Le modèle de WEIBULL On consdère une structure de comportement élastoplastque soumse à une sollctaton thermomécanque m] On suppose que la probablté de rupture cumulée de cette structure sut la lo de WEIBULL [bb] à deux paramètres suvante : P f w = exp[ w éq 2- u expresson dans laquelle le module de WEIBULL m décrt la queue de la dstrbuton statstque des talles des défauts à l orgne du clvage, u est la contrante de clvage et w est la contrante de WEIBULL qu dépend de l hstore du champ de contrante prncpale dans la zone plastfée de la structure Par exemple, dans le cas d un trajet de chargement monotone, elle s écrt : w = m p La sommaton porte sur les volumes de matère V p plastfés, I p Ip m V p V 0 éq 2-2 désgnant la contrante prncpale maxmale dans chacun de ces volumes ( V 0 est un volume caractérstque du matérau) 22 Identfcaton des paramètres De façon très générale, on consdère une base expérmentale consttuée d essas de dfférentes natures (type, 2,, n), chaque type d essa étant réalsé n j fos de sorte que le nombre total d essas s élève à : j=n N= n j j = Cette base expérmentale pourrat par exemple être consttuée d essas sur éprouvettes axsymétrques entallées de rayons d entalle dfférents menés à dfférentes températures Compte - tenu de la nature aléatore des proprétés à rupture du matérau consdéré, cette base ne consttue qu un échantllon Plus le nombre de ces échantllons sera mportant, plus l sera représentatf du comportement du matérau consdéré Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 4/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : Parm les dfférentes méthodes d dentfcaton proposées dans la lttérature (vor par exemple [bb2]), nous en retenons deux : la méthode de régresson lnéare, souvent utlsée, ans que celle du maxmum de vrasemblance préconsée par l «European Structural Integrty Socety (ESIS)» [bb3] Remarque : Une étude systématque comparatve des résultats donnés par ces deux méthodes [bb2] en foncton du nombre d échantllon prélevé aléatorement sur une dstrbuton théorque a montré que la méthode du maxmum de vrasemblance condut à une melleure estmaton des paramètres du modèle de WEIBULL La méthode de régresson lnéare demeurant néanmons très utlsée, nous l avons ntégrée à nos développements Dans les deux méthodes de recalage retenues, on effectue un premer calcul des contrantes de WEIBULL avec un jeu de paramètre donné (typquement, m=20, s u =3000 MPa ) On classe ces N essas à l ade de leur contrante de WEIBULL attente au moment de la rupture On dspose donc d une lste crossante de contrantes de WEIBULL w,, w,, N w, telle que pour chaque, le nombre d éprouvettes rompues avec une contrante de WEIBULL nféreure ou égale à w est n w cumulée P f P f = N (en général n w = ) Parm les dfférents estmateurs possbles de la probablté de rupture Remarque : correspondant à w [bb2], nous chosssons celu généralement recommandé : Dans le cas partculer où la contrante de WEIBULL dépend de la température, le classement précédent dot se fare température par température, chaque température correspondant à une lo statstque dfférente L estmateur de la probablté de rupture précédent devent donc : P f = N T température T, pour laquelle l y a eu N T essas, s l éprouvette a été cassée à la Les deux méthodes de recalage retenues sont valables tant que [éq 2-] reste vrae S l dentfcaton est menée sur des résultats d essas ansothermes alors que la contrante de clvage est supposée dépendre de la température, cette condton n est plus vérfée (cf POST_ELEM [U4822]) Dans ce cas partculer, on ne pourra donc pas applquer les développements qu suvent 3 Méthode de la régresson lnéare 3 Prncpe L écart théore-expérence est mesuré par l expresson : 2 LogLog P f W LogLog P f éq 3- («Log» désgne le logarthme népéren) On veut mnmser cet écart par rapport à (m, u ) Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 5/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : 32 Résoluton La méthode de recalage habtuellement utlsée s appue sur des régressons lnéares successves : à l tératon k, les valeurs ( m k, u k ) du module et de la contrante de clvage sont connus Il est donc possble, avec ces valeurs, de calculer les contrantes de WEIBULL W k aux dfférents nstants de rupture grâce à [éq 2-] On classe alors ces nouvelles contrantes de WEIBULL par ampltude crossante et on en dédut les nouvelles estmatons des probablté de rupture P f k à l tératon k Pour ces valeurs de contrantes de WEIBULL fxées, la mnmsaton de [éq 3-] se ramène à une smple régresson lnéare sur le nuage de ponts ( Log W k, LogLog P f k ) pusque s on reporte LogLog P en foncton de Log W, on obtent f une drote de pente m qu coupe l axe des abscsses en ( Log u ) Les nouvelles valeurs ( m k, u k ) de ces paramètres sont donc données par (annulaton des dérvées partelles de [éq 3-] par rapport à chaque paramètre) : X N k Y j k Y k X k, j m k = éq 32- X N k X j k X 2 k, j u k =exp N X k m avec X k =Log W k Y k et Y k =LogLog, éq 32-2 P f k On répète ces tératons tant que la dfférence entre les jeux de paramètre obtenus aux tératons (k) et (k+) est sgnfcatve (typquement, cnq tératons) La mesure de cet écart est donnée par : Max[ m m k k m k, ] uk u k uk Remarque : S m est fxé, uk est toujours donnée par [éq 32-2] En revanche, s u est fxé, X k Y k m k n est plus donné par [eq 32-] mas : m k = X k 2 log u X k Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 6/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : 4 Méthode du maxmum de vrasemblance 4 Prncpe Notons p f w la densté de probablté assocée à la probablté de rupture cumulée P f w : p f w = m s m w u u exp[ w u La quantté p f w d W est égale à la probablté de casser une éprouvette soumse à une sollctaton correspondant à une contrante de WEIBULL comprse dans l ntervalle [ W, W d W ] La probablté pour que toutes les éprouvettes de la base aent cassé s élève donc à : pm, u d w = p f W d w, éq 4- p étant la foncton de vrasemblance La méthode du maxmum de vrasemblance consste alors à chosr les paramètres du modèle de WEIBULL de façon à ce que la foncton de vrasemblance défne par [éq 4-] (en pratque plutôt son logarthme népéren) sot maxmale m] 42 Résoluton On utlse à nouveau un procédé tératf Là encore, à l tératon W k m k = N k = m k k, ( m k, u k ) ans que les sont connus Pour ces valeurs de contrantes de WEIBULL fxées, la maxmsaton de Log p condut à un nouveau couple ( m k, uk ) donné par : =N m k = N = = N Log W k N f = N = W k =N = m k Log W k W k m k W k m k éq 42-2 =0 éq 42- A chaque pas, la résoluton de [éq 42-] peut être réalsée à l ade de la méthode de Newton, le gradent de f m étant donné par : df m =- N dm m 2 =N W = m Log 2 W =N W = = N W = = N m W = m2 m Log W 2 Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 7/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : Remarque : S m est fxé, u k est donné par [42-2] En revanche, s u est fxé, m k n est plus soluton de [42-] mas de : f m k = N = N Log W k W k m k =0 m k = u u Cette équaton peut être à nouveau résolue à l ade de la méthode de Newton, le gradent étant à présent donné par : df dm m =- N = N m W m Log 2 W 2 = u u 5 Dépendance des paramètres avec la température S on souhate caler ndépendamment les deux paramètres température par température, l sufft de décomposer la base d essas en autant de sous - bases par température et d applquer à chacune de ces sous-bases les méthodes précédentes S, en revanche, on souhate seulement fare varer la contrante de clvage u avec la température, on procède de la façon suvante 5 Régresson lnéare L estmaton des probabltés de rupture étant à présent effectuée température par température (cf remarque du [ 22]), l sufft de caler la contrante de clvage sur chaque nuage de ponts assocé aux dfférentes températures (T) L équaton [éq 32-2] devent donc : u k =exp N T T X k m T Y k ( N T désgnant le nombre d essas pour la sous - base correspondant à la température (T)), le module de WEIBULL étant donné par : m k = T N T T, j T T N T X k Y j k X k X j k T, j T Y k X k X 2 k Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)
Verson Ttre : Identfcaton du modèle de Webull Date : 2/09/2009 Page : 8/8 Responsable : Aurore PARROT Clé : R70209 Révson : 52 Maxmum de vrasemblance La contrante de clvage est donnée pour chaque température (T) consdérée par : m k étant soluton de : f m k = N m k u k T = m k = N = N T T Log W k T W k T m k, N T T W k T m k Log W k W k m k =0 6 Concluson La commande RECA_WEIBULL du Code_Aster permet d effectuer le calage des paramètres du modèle de WEIBULL [U48206] L utlsateur donne en entrée de cette commande les concepts résultats assocés aux dfférents calculs non lnéares effectués L éventuelle dépendance de la contrante de clvage avec la température est mplctement spécfée lorsque des températures dfférentes sont assocées à chacun de ces concepts résultats (s toutes ces températures sont dentques ou s elles ne sont pas spécfées, l n y a pas de dépendance avec la température de ce paramètre) L utlsateur peut effectuer ce recalage par la méthode du maxmum de vrasemblance ( METHODE : MAXI_VRAI ) ou celle de la régresson lnéare (METHODE : REGR_LIN ) Les grandeurs détermnées par la commande RECA_WEIBULL sont reportées dans une table dans laquelle on trouve la valeur des paramètres dentfés, les probabltés de rupture estmées à partr des résultats expérmentaux ans que les probabltés de rupture théorque calculées avec les paramètres dentfés 7 Bblographe [] F BEREMIN, «A local crteron for cleavage fracture of a nuclear pressure vessel steel», Metall Trans 4A, pp 2277-2287, 98 [2] A KHALILI, K KROMP, «Statstcal propertes of webull estmators», Journal of Materal Scence, 26, pp 674-6752, 99 [3] ESIS, TC on «Local Approach», Procedure to measure and calculate local approach crtera usng notched tensle specmens», P6, 998 Descrpton des versons du document Verson Aster Auteur(s) Organsme(s) 0/05/00 R MASSON, W LEFEVRE (EDF/RNE/MTC) Descrpton des modfcatons Texte ntal Fasccule r702 : Mécanque de la rupture Document dffusé sous lcence GNU FDL (http://wwwgnuorg/copyleft/fdlhtml)