Table des matières Suites T.S. I.Suites : Le Best of du programme de 1S...1 A.Pourquoi les suites? qu'est-ce que c'est?...1 B.Défiitio et otatios...1 C.Deux faços de défiir ue suite :...2 D.Représetatio graphique d ue suite...3 E.Suites majorées, miorées et borées...3 F.Ses de variatio d'ue suite...3 G.Les suites arithmétiques...4 H.Suites géométriques...6 II.Le raisoemet par récurrece...8 A.Étude d'u exemple...8 B.Propriété de récurrece...9 III.Limite d'ue suite...10 A. Suite covergete...10 B. Suites divergetes...10 C. Suites de référece : Puissaces positives et égatives de...11 D.Opératios algébriques sur les limites et formes idétermiées...11 IV.Limites et comparaiso...12 V.Cas particuliers de covergece : Les suites mootoes et les suites géométriques...13 A.Suites mootoes...13 B. Cas des limites de suites géométriques...13 VI.Limites possibles pour ue suite récurrete...14 I. Suites : Le Best of du programme de 1S A. Pourquoi les suites? qu'est-ce que c'est? Ituitivemet : Ue suite umérique est ue liste ifiie de ombres réels. Das certais cas, les valeurs d'ue foctio u 'ot de ses que si x est u ombre etier. Par exemple, la recette u( x) d'u bar e foctio du ombre x de café vedus : Le bar e peut pas vedre 17,3 cafés : Il e ved soit 17 soit 18. Das ce cas, o se restreit aux valeurs etières de la variable, o ote le ombre de cafés vedus (au lieu de x ) et la recette u() (au lieu de u( x) ) ou, avec la otatio habituelle des suites, u. Si chaque café est vedu 1,75, la recette sera u =1,75. [recette bééfice] Il arrive aussi que l'o s'itéresse à ue certaie quatité à itervalle de temps réguliers, soit par ce qu'il e se passe rie etre ces deux istats, soit parce qu'o 'a pas les moye ou le besoi de savoir ce qui se passe à tout istat. Das ces cas aussi o préfère les suites aux foctios. Par exemple, la quatité d'arget sur u compte e baque das le cadre d'u placemet e chage qu'à chaque versemet des itérêts : Si les itérêts e sot versés qu'ue fois par a, o peut oter u l arget préset sur le compte au bout de aées. Il est importat de bie faire la différece etre l'idice et la valeur du ombre u. Par exemple, si après avoir placé de l'arget pedat 3 as vous avez 2400, alors =3 et u 3 =2400. O dit que le terme d'idice 3 (ou de rag 3) a pour valeur 2400. B. Défiitio et otatios Exemple 1. La liste (1, 3,5, 7, 9,., 2+1,.) costitue la suite des ombres impairs ragés e ordre croissat. O ote les termes d ue suite avec la otatio idicielle déjà vue pour les polyômes. Aisi das l'exemple des ombres impairs, u 1 =1; u 2 =3; u 3 =5; u 4 =7; u 5 =9... etc. Plus gééralemet, u est le ombre défii par u =2 1. Das cette écriture, l'idice (le ombre écrit e bas à droite de u) sert juste à uméroter les termes de la suite. Il 'idique PAS la valeur du ombre u. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 1
O peut cosidérer que u 1 est l image de l etier 1 par ue foctio u de l esemble N des etiers aturels das R, que u 2 est l image de l etier 2 par cette même foctio et que de faço géérale, u est l image de l etier par cette foctio u. Illustratio : Idice = Atécédet ~ x : 1 2 3 4 Terme correspodat à cet idice = Image (u f ( x)) : u 1 u 2 u 3 u 4 u Défiitio 1. Ue suite umérique est ue foctio de N das R (défiie à partir d u certai rag). Autremet dit, u:{ N R u Ue suite umérique est doc rie d autre qu ue foctio dot le domaie de défiitio est réduit aux valeurs etières. Notatio 2. La otatio (u ) 0 désige la suite elle-même c'est-à-dire la foctio u: N R (que l o peut assimiler à l esemble des termes de la suite) et u désige l image de l etier, appelé aussi terme d idice de la suite (u ) 0, terme que l o peut aussi oter u() e utilisat la otatio usuelle pour les foctios. Remarque 3. u désige doc u seul terme. E particulier, «u est croissate» e veut rie dire sas les parethèses! Il faut écrire «(u ) est croissate». Remarque 4. Ue suite peut être défiie qu à partir d u certai rag 0 ; u 0 est alors so terme iitial et o ote la suite (u ) 0. Par exemple, La suite de terme gééral u = 4 est défiie que pour 4, o la ote doc (u ) 4. La suite de terme gééral u = 1 est défiie que pour 1, o la ote doc (u ) 1. Comme pour les foctios, o omet souvet de préciser l esemble de défiitio et, comme pour les foctios, das ce cas c'est à vous de le trouver. C. Deux faços de défiir ue suite : O peut défiir ue suite (1) soit e défiissat so terme gééral par ue formule explicite e foctio du rag par ue formule du type u = f ( ). Exemple 2. Soit (u ) 1 la suite défiie par u = 2 pour tout 1 alors u 1 =1;u 2 =4 ;u 3 =9 (2) soit par récurrece c'est-à-dire que l o doe le premier terme et ue formule permettat de calculer u terme de la suite e foctio du (des) précédet(s). Exemple 3. Soit (u ) 0 la suite défiie par { u 0=2. O obtiet u +1 =u (1 u ) u 1 =u 0 (1 u 0 )=2(1 2)= 2 ; u 2 = 6 ; u 3 = 42. Défiitio 5. Ue suite pour laquelle chaque terme (sauf le ou les premiers) est défii e foctio de terme(s) précédet(s) est appelée suite récurrete. Oui, vous avez bie compris, pour calculer le 100 ème terme d ue suite récurrete, il faut a priori calculer de proche e proche tous les termes précédets! (ce qui peut être log ). Heureusemet, les calculatrices le fot (vous savez leur demader bie sûr?) Fiches sur l utilisatio des calculatrices : http://xmaths.free.fr/tice/calculatrice/fiches.htm Exercice 4. Détermier le terme gééral d ue suite récurrete (quad c est possible). Soit (u ) 0 la suite défiie par u 0 =0 et u +1 =u +2+1. 1) Calculer les quatre premiers de cette suite. 2) Émettre ue cojecture sur l expressio de u foctio de. 3) La démotrer. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 2
P 6. Ue méthode pour motrer que deux suites sot égales. Ue suite est etièremet détermiée par so premier terme et la relatio de récurrece qui permet de calculer u terme à partir du précédet. Par coséquet, si deux suites ot le même premier terme et si elles satisfot la même relatio de récurrece alors elles sot égales. D. Représetatio graphique d ue suite Défiitio 7. O se place das u repère O ; i, j. La représetatio graphique de la suite (u ) est l esemble des poits de coordoées, u. (exactemet comme pour 'importe quelle foctio) Exemple 5. Soit la suite défiie par u = 1 y 1 pour 1. Représetatio avec e abscisses et u e ordoée. Représetatio semblable à celle de importe quelle foctio : x u f ( x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x A savoir obteir avec votre calculatrice! Fiches sur l utilisatio des calculatrices : http://xmaths.free.fr/tice/calculatrice/fiches.htm E. Suites majorées, miorées et borées Défiitio 8. Soit ue suite de ombres réels. O dit que la suite (u ) est : majorée par le ombre M lorsque u M pour tout etier aturel ; miorée par le ombre lorsque u m pour tout etier aturel ; borée si elle est à la fois majorée et miorée. Exemple 6. Soit la suite défiie par u = 1 pour 1. Cette suite est miorée par 0 puisque mais 1, u 0 aussi par 1, 3 etc puisque 1, u 1 et 1, u 3 : Les ombres 0, 1 et 3 sot tous les trois des miorat de (u ). De même, cette suite est majorée par 1 mais ce majorat 'est pas uique puisque tous les ombres plus grads que 1 sot aussi des majorats. F. Ses de variatio d'ue suite Défiitio 9. Soit ue suite de ombres réels. O dit que la suite est : croissate à partir du rag 0 lorsque u + 1 u pour tout etier 0 ; strictemet croissate à partir du rag 0 lorsque u + 1 > u pour tout etier 0 ; décroissate à partir du rag 0 lorsque u +1 u pour tout etier 0 ; strictemet décroissate à partir du rag 0 lorsque u + 1 < u pour tout etier 0 ; mootoe à partir du rag 0 si elle est croissate ou décroissate à partir du rag 0 ; statioaire à partir du rag 0 lorsque u +1 =u pour tout etier 0 tous les termes sot égaux à partir d'u certai rag). costate si tous ses termes sot égaux. Exercice 7. La suite de terme gééral u =cos(2π) est......... La suite de terme gééral v =3 9 est........ (c'est-à-dire dire que Remarque : O peut devier le ses de variatio d ue suite grâce à sa représetatio graphique ou so tableau de valeurs doé par la calculatrice. (Vous savez le faire, bie sûr?) Ue fois le résultat devié, il faut le démotrer, d où : COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 3
Méthode 10. Commet démotrer qu ue suite est croissate ou décroissate? Méthode la plus géérale : O calcule, pour tout idice [O garde la lettre das le calcul], la différece de deux termes cosécutifs c'est à dire u + 1 u. Si o obtiet ue quatité positive pour tout etier [il faut doc garder das les calculs, o e peut pas le remplacer par ue valeur], alors la suite (u ) est croissate. Si o obtiet ue quatité égative, alors la suite (u ) est décroissate. Si o obtiet ue quatité de sige variable alors la suite (u ) est i croissate i décroissate. Das certais cas particuliers, o peut avoir recours à d autres méthodes: Si u = f (), o peut utiliser le ses de variatio de f sur R +. E effet. Si f est croissate sur R +. alors (u ) est croissate et si f est décroissate sur R +. alors (u ) est décroissate (réciproques fausses). Si u a u sige costat, c'est à dire si tous les termes sot positifs ou si tous les termes sot égatifs, o peut comparer u +1 u et 1. G. Les suites arithmétiques 1. Défiitio et formule explicite Défiitio 11. Ue suite est dite arithmétique si l o passe de chaque terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r, autremet dit si u +1 =u +r pour tout etier aturel ; r est alors appelé raiso de la suite. u 0 u 1 u 2 u 3... q q q Exemples 8. 1) La suite des ombres etiers est ue suite arithmétique de raiso r = 1. 2) La suite des ombres pairs est ue suite arithmétique de raiso r = 2. 3) La suite des multiples de 7 est ue suite arithmétique de raiso r = 7. 4) Si u loyer augmete de 50 chaque aée, alors la suite qui doe le loyer l aée est ue suite arithmétique de raiso 50. P12 Caractérisatio des suites arithmétiques par leur formule explicite Toute suite défiie par ue relatio du type u = a + b est arithmétique de raiso a, avec b=u 0 si la suite est défiie à partir de l idice 0. Réciproquemet, toute suite arithmétique peut s écrire u = a + b où a = r est la raiso de la suite arithmétique, et b=u 0 si la suite est défiie à partir de l idice 0. Ue écriture du type u = a + b caractérise doc les suites arithmétiques (la raiso est a). P 13. Méthodes pour motrer qu ue suite est arithmétique. O utilise la défiitio, c'est-à-dire que l o écrit u +1 sous la forme u + 1 =u + r, où r est u ombre qui e déped pas de. Variate : O calcule u +1 u pour tout idice. Si o obtiet ue quatité costate (= qui e déped pas de ) r alors la suite est arithmétique de raiso r. Si par cotre la quatité u +1 =u déped de, alors la suite est PAS arithmétique. O peut aussi utilise la caractérisatio vue précédemmet: La suite (u ) est arithmétique si et seulemet si so terme gééral peut s écrire u =a+b et das ce cas, la raiso est a. Exemples 9. 1) u =3 2 COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 4
Première méthode : E calculat les premiers termes de la suite o peut supposer qu elle sera arithmétique. Motros le : u + 1 u =3(+ 1) 2 (3 2)=3, qui e déped pas de. La suite est doc arithmétique de raiso r = 3 et de premier terme u 0 = 2. Autre méthode : u =3 2 doc u est de la forme u =a+b ; d'après la caractérisatio P12, elle est doc arithmétique de raiso a=3. 2) u = 2 +1 u 0 =1; u 1 =2; u 2 =5 doc u 1 u 0 =1 3=u 2 u 1. La suite est doc pas arithmétique puisque la quatité u +1 u 'est pas costate. [Rédactio qui vous sera utile! À reteir...] P14 Commet calculer u terme quelcoque d ue suite arithmétique? O utilise l ue des relatios suivates u =u 0 + r pour tout etier aturel ; u =u 1 +( 1)r pour tout etier aturel ; u =u p + ( p)r pour tout et p de N. u 0 u 1 u 2 u 3... u + r + r + r + r Pour retrouver ces formules : La première doit être vérifiée pour = 0 (o doit évidemmet avoir u 0 =u 0!), la deuxième doit être vérifiée pour = 1 (o doit avoir u 1 = u 1 ) et la troisième doit être vérifiée pour = p (o doit avoir u p =u p ). Bie sûr, les deux premières sot u cas particulier de la troisième. Exemples 10. Soit (u ) ue suite arithmétique. Calculer u 26 das les deux cas suivats : 1) u o =6 et r=5 u 26 =u 0 +26 r=6+26 5=136 2) u 10 =3 et r= 2 u 26 =u 10 + (26 10)r=3+ 16( 2)= 29 2. Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique P15 Commet calculer la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique? ( Premier terme+ Derier terme) O utilise la relatio suivate : S=( Nombre de termes) ce que l'o 2 (P+ D) { Pest le premier termede la somme peut écrire sous forme plus codesée : S=N où D est le derier terme dela somme 2 N est le ombre de termesde la somme. Remarque : Cette formule 'est valable que si la suite est arithmétique. Pour appliquer cette formule ous auros besoi de savoir compter le ombre de termes d'ue somme de termes cosécutifs. O utilise : P16 Le ombre de termes d ue somme de termes cosécutifs = «idice du derier terme» - «idice du premier terme» +1 Exemple 11. La somme u 13 + u 14 + u 15 + + u 45 comporte doc 45 13+ 1 termes. P17 U cas particulier à coaître: La somme des premiers etiers = 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ + = 3. Représetatio d ue suite arithmétique (+ 1) 2 Ue suite arithmétique est représetée das le pla (avec e abscisses et u e ordoées) par des poits aligés sur ue droite. Si la suite arithmétique a pour raiso r et pour premier terme u 0, alors u =u 0 +r et les poits de coordoées (,u ) sot aligés sur la droite d équatio y=u 0 + r.. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 5
25 20 15 10 5 0 Suites arithmétiques de premier terme 0 et de raiso r > 0 0 2 4 6 8 10 12 r =2 r =1,2 r =0,5 15 10 5 0-5 -10-15 Suites arithmétiques de premier terme 10 et de raiso r < 0 0 2 4 6 8 10 12 r =-2 r =-1,2 r =-0,5 4. Ses de variatio d ue suite arithmétique P18 Ses de variatio d ue suite arithmétique : Soit u ue suite arithmétique de raiso r : Si r > 0 alors u est strictemet croissate, Si r = 0 alors la suite u est costate, Si r < 0 alors la suite u est strictemet décroissate. H. Suites géométriques 1. Défiitio et formule explicite Défiitio 19. Ue suite est dite géométrique si l'o passe de chaque terme au suivat e multipliat toujours le même ombre q, c'est à dire si u +1 =qu pour tout etier aturel. q est appelé raiso de la suite. u 0 u 1 u 2 u 3... q q q Exercice 12. À faire à l'ardoise 1) Si la populatio d ue ville augmete de 3% chaque aée, alors la suite qui doe populatio de la ville l aée est ue suite géométrique de raiso q=1,03. 2) Si la populatio d ue ville augmete de 230 persoes chaque aée, alors la suite qui doe populatio de la ville l aée est ue suite arithmétique de raiso r=230. 3) Si la populatio d u village dimiue de 2% chaque aée, alors la suite qui doe populatio du village l aée est ue suite géométrique de raiso q=0,98. P20 Caractérisatio des suites géométriques par leur formule explicite Toute suite défiie par ue relatio du type u =λ q est géométrique de raiso q. Réciproquemet, toute suite géométrique de raiso q est de la forme u =λ q, avec λ=u 0 si la suite est défiie à partir de l idice 0. Ue écriture du type u =λ q caractérise doc les suites géométriques. P21 Diverses méthodes pour motrer qu ue suite est géométrique O utilise directemet la défiitio, c'est-à-dire que l o écrit u +1 sous la forme u +1 =qu Variate :Après s être assuré que u 0 pour tout etier, o calcule u + 1 u. Si obtiet ue quatité costate (= qui e déped PAS de ) q alors la suite est géométrique de raiso q. Si obtiet ue quatité qui déped de alors la suite est PAS géométrique. O peut aussi utilise la caractérisatio vue précédemmet: (u ) est géométrique si et seulemet si so terme gééral peut s écrire u =λ q et das ce cas, q est la raiso de la suite. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 6
Exemples 13. Recoaître ue suite géométrique. Les suites (u ) 0 et (v ) 1 défiies respectivemet par u = 1,01 5 1) u = 1,01 5 et v = 2 sot-elles géométriques? est de la forme u =λ q avec λ= 1 5 géométrique de raiso q=1,01 et de 1 er terme u 0 = 1 5. et q=1,01 doc la suite (u ) 0 est ue suite 2) v = 2 doc v 1 =1;v 2 =4; v 3 =9. O a v 2 v 1 =4 9 4 = v 3 v 2, doc la suite (v ) 1 est pas géométrique puisque la quatité u + 1 u 'est pas costate. [Rédactio qui vous sera utile! À reteir...] P22 Commet calculer u terme quelcoque d ue suite géométrique? O utilise l ue des relatios suivates u =u 0 q pour tout etier aturel ; u =u 1 q 1 pour tout etier aturel ; u =u p q p pour tous etiers et p. Exemples 14. Soit ue suite géométrique. Calculer u 7 das les deux cas suivats : 1) u 0 = 1 4 et q = 2 u 7=q 7 u 0 =2 7 1 4 =27 2 =32. 2) u 4 =81 et q= 1 3 u 7 =q 3 u 4 =( 1 3 3) 81= 1 3 3 34 =3. 2. Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique P23 Commet calculer la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique? O utilise la relatio suivate : Si q 1 o a 1+ q+ q 2 + q 3 + q 4 + + q = 1 q+ 1 ce qui permet de démotrer la formule 1 q Premier terme ( Derier terme raiso) plus géérale S= 1 raiso { P est le premier terme dela somme où q est la raiso N est le ombrede termes dela somme. Si q = 1 S=N P (Formule évidete) P ( D q) = 1 q Exemples 15. Calculer S = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + + 4096. Nous avos affaire à la somme de termes d ue suite géométrique de raiso q = 2 et dot le 1 er terme est égal à 1 : S= P D q 1 q = 1 4096 2 =8191. 1 2 u 0 u 1 u 2 u 3... u q q q Remarques : 1) Ces formules e sot valables que si la suite est géométrique. Premier terme Derier terme raiso 2) Das la formule (2) : S=, au umérateur, la raiso e 1 raiso multiplie QUE le derier terme, et PAS la différece du premier et du derier terme (sio o aurait mis des parethèses autour de «premier terme - derier terme»). q Exercice 16. Soit (u ) la suite défiie par u =3 2+2 2 9 géométrique puis calculer S p =u 0 +u 1 +u 2 +u 3 +...+ p.. Motrer que (u ) est ue suite COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 7
Voir les graphiques page 13. 3. Représetatio graphique d ue suite géométrique et ses de variatio d ue suite géométrique Étape 1 : Ses de variatio de la suite P24. Ses de variatio d ue suite géométrique : Soit ue suite défiie par : u =q Si q> 1 alors Si q=1 alors Si 0< q< 1 alors Si q< 0 alors q est strictemet croissate, q est costate, q est strictemet décroissate, q est i croissate i décroissate. q, suivat les valeurs de q. Étape 2, Cas gééral : Ses de variatio de 'importe quelle suite géométrique. Toute suite géométrique s écrit u =λ q. Le théorème précédet doe le ses de variatio de q. Il e reste plus qu à multiplier par λ pour obteir otre suite. Si λ >0, les suites q et λ q ot le même ses de variatio et si λ <0, q et λ q ot des ses de variatio opposés. II. Le raisoemet par récurrece Source pour pour ce paragraphe : Le cours de Pierre Lux. Merci à lui! A. Étude d'u exemple E classe, démotrer la formule qui doe la somme des premiers carrés: 1, 1 2 +2 2 +3 3 +...+ 2 = (+1)(2+1) et leur laisser l'exemple ci-dessous à lire à la maiso. 6 O cosidère la propositio 1 P() dépedat d'u etier : «10 ( 1) est u multiple de 11.» (O rappelle qu'u ombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 k avec k Z.) Vérifios que cette propositio est vraie pour les etiers = 0, 1, 2, 3, 4 : Pour = 0 : 10 0 ( 1) 0 =1 1=0=11 0 Pour = 1 : 10 1 ( 1) 1 =10 ( 1)=10+ 1=11=11 1 Pour = 2 : 10 2 ( 1) 2 =100 1=99=11 9 Pour = 3 : 10 3 ( 1) 3 =1000 ( 1)=1000+ 1=1001=11 91 Pour = 4 : 10 4 ( 1) 4 =10 000 1=9999=11 909 O pourrait cotiuer aisi les vérificatios, mais quel que soit le ombre de vérificatios effectuées, o e peut pas affirmer que cette propositio est vraie pour tout etier aturel. Pour justifier que cette propositio est vraie pour tout etier aturel, démotros le résultat suivat : Si la propositio est vraie pour le rag, alors elle est vraie pour le rag suivat + 1. Pour cela, supposos que la propositio est vraie pour u certai rag ( état u etier aturel fixé ). Alors pour cet etier aturel, o a : 10 ( 1) u multiple de 11 c'est-à-dire 10 ( 1) =11 k avec k Z [ est fixé mais sa valeur est arbitraire, o e peut doc pas le remplacer par ue valeur. O doit garder ] O veut alors démotrer que la propositio est vraie pour + 1 c'est-à-dire que 10 + 1 ( 1) + 1 =11 k pour u certai k ' Z : Puisque 10 ( 1) =11 k avec k Z, o peut écrire : 10 =11k + ( 1). Or 1 Ue propositio est ue affirmatio peut être vraie ou fausse. E particulier pour ue propositio qui déped de, elle pourrait être vraie pour certaies valeurs de et fausse pour d'autres. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 8
10 =11k +( 1) (i) 10 10 =10[ 11k +( 1) ] 10 +1 =110 k+10 ( 1) (ii) 10 +1 ( 1) +1 =110 k +10 ( 1) ( 1) +1 (iii) = 110 k+( 1) [ 10 ( 1) 1 ] =110 k +( 1) 11 10 +1 ( 1) +1 =11[10 k +( 1) ]=11k ' ou` k '=10 k+( 1). Explicatios : (i) E multipliat les deux membres par 10 ; (ii) E soustrayat ( 1) + 1 aux deux membres ; (iii) E factorisat ( 1). k état u etier, le ombre k =10 k+ ( 1) O a doc démotré que : est aussi u etier. 10 + 1 ( 1) + 1 =11 k ', k ' Z. O a doc démotré le caractère héréditaire de la propositio : Si la propositio est vraie pour u etier, alors elle est vraie pour l'etier suivat +1. O peut alors observer que : puisque la propositio est vraie pour 0, elle est vraie pour 1 ; puisqu'elle est vraie pour 1, elle est vraie pour 2 ; puisqu'elle est vraie pour 2, elle est vraie pour 3... Il apparaît alors "clairemet" que la propositio est vraie pour tous les etiers de N. E assimilat l'esemble N des etiers aturels à ue échelle sur laquelle o voudrait moter, le pricipe du raisoemet qui viet d'être fait est le suivat : si o sait moter sur le premier barreau de l'échelle [Iitialisatio] et si l'o sait passer d'u barreau au barreau suivat, [Hérédité] alors o peut atteidre tous les barreaux de l'échelle. [Coclusio] Le type de raisoemet aisi effectué est appelé raisoemet par récurrece. Il est basé sur la propriété suivate : B. Propriété de récurrece Propriété 25. Soit P () ue propositio dépedat d'u etier et 0 u etier fixé. Si P ( 0 ) est vraie, et si pour tout etier 0 : P() P(+1) alors P() est vraie pour tout etier 0. [Iitialisatio] [Hérédité] [Coclusio] Remarque : Cette propriété, que l'o e démotre pas et qui semble teir du "bo ses" est e fait u axiome des mathématiques, c'est-àdire u éocé posé à priori qui sera ue des bases de la théorie mathématique. E géométrie u axiome célèbre est l'axiome d'euclide : "Par u poit doé il passe ue parallèle et ue seule à ue droite doée". Pratique : U exemple (utile pour la suite!) de démostratio par récurrece. Exercice 17. Démotros par récurrece que si a>0 alors pour tout N, o a (1+a) 1+a. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 9
III. Limite d'ue suite A. Suite covergete U graphique permet de se faire ue idée ituitive de la otio de limite : Exemple 18. Les 50 premiers termes de la suite de terme gééral u sot représetés cidessous, avec u e abscisse et e ordoée. O dit que cette suite coverge vers 3. A partir d'u certais rag, tous les poits sot das ue bade cetrée sur la limite (qui est 3 das cet exemple) de largeur aussi petite que l'o veut : Sur ce dessi, das la bade (verte) etre les droites d'équatio y=2,8 et y=3,1. Défiitio 26. O dit qu ue suite admet ue limite, ou coverge vers, lorsque tout itervalle ouvert coteat cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Autremet dit, pour tout itervalle ouvert ]a, b[ coteat le ombre, o peut trouver u idice 0 tel que pour tout 0, o a l ]a,b[. Exercice 19. Complétez : Sur le dessi ci-dessus, =3 ; ]a, b[ =..... et 0 =...... coviet. Ue autre valeur possible pour 0 est...... Propriété 27. Si ue suite (u ) coverge vers, ce ombre est uique. O l'appelle la limite de la suite. O ote lim u = l. B. Suites divergetes Défiitio 28. Ue suite est dite divergete si elle est pas covergete. Il existe deux types de suites divergetes : les suites qui ot ue limite ifiie : ou + ; les suites qui 'ot pas de limite (i fiie, i ifiie, comme ( 1) par exemple). Exemple. Les premiers termes de la suite de terme gééral u =+ 8si sot représetés cidessous, avec u e abscisse et e ordoée. (Les poits représetet les termes de la suite, la courbe e poitillés sert juste à mieux visualiser l'ordre das les termes apparaisset) COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 10
Défiitio 29. Suites qui tedet vers l'ifii : O dit que la suite u ted vers + si tout itervalle de la forme ]A ;+ [ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. O ote alors lim u =. Autremet dit, pour tout itervalle de la forme ]A ;+ [, o peut trouver u idice 0 tel que pour tout 0, o a l ]a,b[. Exercice 20. Complétez : Sur le dessi ci-dessus, A=25 et e otat 0 u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das ]A ;+ [, o voit que 0 =...... coviet. Ue autre valeur possible pour 0 est...... Remarque : o a ue défiitio similaire pour ue suite ayat comme limite. Exemple de suites divergete 'ayat pas de limite du tout. Soit la suite défiie par so terme gééral : w =( 1). ( 1) =1 pour pair et ( 1) = 1 pour impair doc les termes de la suite w vot alterer etre 1 et 1. Cette suite 'a pas de limite. C. Suites de référece : Puissaces positives et égatives de Propriété 30. Les suites de terme gééral 1, 1, 1 2 et plus gééralemet 1 avec p>0 3 p 1 aisi que coverget vers 0. Exemple 21. v = 1 1 6. O a lim 6=0. Propriété 31. Les suites de terme gééral, 2, 3 et plus gééralemet p avec p> 0 aisi que tedet vers +. Exemple 22. v = 7, o a lim v =+ +. D. Opératios algébriques sur les limites et formes idétermiées 1. Limite d ue somme Si u a pour limite + + + et si v a pour limite ' ' ' + alors u+v a pour Forme + ' + + limite idétermiée COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 11
Défiitio 32. Dire qu ue limite est ue forme idétermiée sigifie qu il est possible que la limite soit fiie ou ifiie ou même qu elle existe pas! O e peut pas le savoir avat de trasformer l expressio pour lever l idétermiatio e factorisat, simplifiat etc. [Idétermiée Idétermiable!] 2. Limite d u produit Si u a pour limite 0 + ou =0 et si v a pour limite ' + ou + ou + ou alors u v a pour limite ' + ou + ou Forme O le détermie par O le détermie par idétermiée la règle des siges la règle des siges Si u a pour limite Alors 1 u 3. Limite d u iverse a pour limite 0 1 4. Limite d u quotiet =0 par valeurs supérieures + (par la règle des siges) =0 par valeurs iférieures (par la règle des siges) + ou 0 u =u v 1 v produits. doc o obtiet les limites de ce type e combiat les règles sur les iverses et celle sur les 5. Bila : Liste des formes idétermiées P 33. Liste des formes idétermiées :,, 0 0, 0, 00 et 1. Attetio aux otatios : «0 est ue forme idétermiée» sigifie que si la première suite ted vers 0 et la deuxième vers +, o e peut pas coaître directemet la limite de leur produit. Bie sûr si la première suite est égale à 0 la limite vaut 0. Morale de l'histoire : E regardat les tableaux, o voit que les limites sot ce qu'o atted ituitivemet sauf quad il y a u problème càd ue forme idétermiée. Bref, il suffit de coaître la liste des formes idétermiées (pas besoi de reteir ces tableaux) et de faire preuve de bo ses quad il 'y pas de forme idétermiée. IV. Limites et comparaiso P 34. Limite et ordre: Le passage à la limite respecte l'ordre mais peut élargir les iégalités : Soiet u et v des suites ayat ue limite (fiie ou o) et soit 0 u etier aturel. (1) Si 0, u v alors lim u lim v. + + (2) Si 0, u < v alors lim + u lim + Remarque : Cette propriété 'est utilisable que si o sait déjà que les suites ot ue limite. Elle permet alors de comparer des limites (mais pas de prouver leur existece). Les théorèmes: P 35. Théorèmes des gedarmes [admis] Soiet u, v et w des suites et soit 0 u etier aturel. Si 0, u v w et si lim u = lim w = alors lim v =. + + + O peut traduire cette propriété par «Ue suite ecadrée par deux suites de même limite coverge vers cette limite commue.» v. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 12
«Théorème des gedarmes» car la suite v est coicée etre les «gedarmes» u et w et elle est doc bie obligée d'aller où ils l'emmèet. Das le même gere, pour des limites ifiies : Deux théorèmes de comparaiso : Propriété 36. ( ROC exigible) Théorème de comparaiso 1 = Théorème de mioratio Si u v à partir d'u certai rag et si lim u =+ alors lim v =. + O peut traduire cette propriété par «Ue suite supérieure à ue suite qui ted vers + ted aussi vers +. «Théorème de mioratio» car la suite v dot o cherche la limite est miorée (par u). Propriété 37. Théorème de comparaiso 2 = Théorème de majoratio Si u v à partir d'u certai rag et si lim v = alors lim u =. + + O peut traduire cette propriété par «Ue suite iférieure à ue suite qui ted vers ted aussi vers. «Théorème de majoratio» car la suite u dot o cherche la limite est majorée (par v). V. Cas particuliers de covergece : Les suites mootoes et les suites géométriques A. Suites mootoes Rappel : Ue suite (ou ue foctio) est dite mootoe si elle est soit croissate soit décroissate. P38 ( ROC exigible) Majoratio par leur limite des suites croissates et covergetes Si ue suite est croissate et covergete alors elle est majorée par sa limite. Théorèmes de covergece mootoe : Covergece des suites croissates majorées et décroissates miorées P39 Si ue suite est croissate et majorée alors elle est covergete. P40 Si ue suite est décroissate et miorée alors elle est covergete. Remarque : Ce théorème e permet pas de trouver la valeur de la limite (elle 'est pas forcémet égale au majorat ou au miorat) mais il garatit so existece. P41 ( ROC exigible) Suites croissates o majorées Si ue suite est croissate et NON majorée alors elle ted vers +. B. Cas des limites de suites géométriques Propriété 42. Soit ue suite géométrique de terme gééral q Coditio sur q limite? Exemple Si q 1 alors (q ) 'a pas de limite u = 1,3 Si 1< q <1 Si q=1 Si q >1 alors lim q =0 + lim 0,4 =0 + alors lim 1 =1 La suite est costate et vaut 1. alors lim q =+ + ( ROC exigible) lim 1,001 =+ + Résultats à rapprocher des représetatios graphiques ci-dessous. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 13
Sur tous ces graphiques u 0 =10. O obtiedrait des graphiques très similaires avec d autres valeurs positives de u 0 mais par cotre les ses de variatios seraiet iversés pour des valeurs égatives de u 0. q>0 Suite (q ) avec q > 0 35 30 25 20 15 10 q >1 Variatios : La suite (q ) est croissate. Limite : La suite (q ) a pour limite +. q = 1: La suite (q ) est costate et égale à 1. Elle a doc pour limite 1. 5 0 q<0 0 2 4 6 8 10 12 14 e abscisse et u e ordoée Suites géométriques (q ) avec q < 0 0 < q < 1: Variatios : La suite (q ) est décroissate. Limite : La suite (q ) a pour limite 0. 40 30 20 q <0 et q >1 : Variatios : La suite (q ) est pas mootoe. Limite : La suite (q ) a pas de limite. 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14-10 -20-30 -40 e abscisse et u e ordoée. Les traits etre deux poits servet juste à mieux visualiser les suites. Exemples. 1) u =5, comme 5 1, o a lim u =+. + 2) S =1+ 1 3 + 1 9 + 1 27 + + 1 3. Quelle est la limite de S? Solutio : S est ue somme de termes cosécutifs de la suite de terme gééral u =( S =( 1 0 3) +( 1 1 3) +( 1 2 3) +( 1 3 3) + +( 1 3) lim + ( 1 + 1 =0 doc lim S 3) = 3 + 2 (1 0)= 3 2. + 1 3) 1 doc S = ( 1 1 1 3 VI. Limites possibles pour ue suite récurrete q <0 et q <1 : Variatios : La suite (q ) est pas mootoe. Limite : La suite (q ) a pour limite 0. 1 3) qui est ue suite géométrique. = 3 2 ( ( 1 1 + 1 3) ). Comme 1< 1 < 1, o a 3 Il arrive que grâce au théorème de covergece mootoe o arrive à prouver qu'ue suite est covergete sas coaître sa limite. Pour la détermier, o utilise souvet : COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 14
P43 Si ue suite défiie par u +1 = f (u ) est covergete vers ue limite et si f est cotiue e, alors vérifie = f ( ). Cette propriété sert aussi à détermier à priori les valeurs possibles pour la limite d'ue suite. Exemple. La suite (u ) défiie par { u +1 =(u )2 +u +2 u 0 = 7 est-elle covergete? Solutio: [raisoemet par l'absurde] Si la suite était covergete, comme la foctio x x 2 +x+2 est cotiue, la limite de u vérifierait écessairemet = 2 + +2 càd 2 +2=0 ce qui est impossible. Cette suite est doc divergete (Elle peut évetuellemet avoir ue limite ifiie; à ce stade o 'e sait rie). Sources : Les cours de M. Dupot, de M. Lux et de Mme Dubois, que je remercie ici, le livre Sésamath, le livre Math x, le livre Déclic et l excellet site http://xmaths.free.fr/ de Xavier Delahaye. Objectifs pour le chapitre sur les suites e TS Liste à cocher au fur et à mesure de vos révisios Objectifs e Première S Gééralités sur les suites Savoir modéliser ue situatio par ue suite Savoir calculer à la mai des termes d'ue suite à partir de sa défiitio explicite ou par récurrece. Bie faire la différece etre l'idice et le ombre u. Savoir détermier le ses de variatio d'ue suite. Savoir obteir u tableau de valeur d ue suite à la calculatrice aisi que sa représetatio graphique. Fiches sur l utilisatio des calculatrices : http://xmaths.free.fr/tice/calculatrice/fiches.htm Savoir lire et compredre des algorithme permettat de calculer u terme de rag doé ou l'idice à partir duquel la suite dépasse ue valeur doée Utiliser ue suite auxiliaire pour obteir ue formule explicite (suites arithmo-géométrique par exemple) Suites arithmétiques et géométriques Savoir recoaître ue suite arithmétique et ue suite géométrique. Savoir prouver qu'ue suite 'est PAS arithmétique ou PAS géométrique. [Rédactio : voir exemples 9 et 13 ] Savoir doer ue écriture explicite (c'est-à-dire u e foctio de ) pour ue suite arithmétique et ue suite géométrique coaissat u terme et la raiso. Savoir détermier le ses de variatio d ue suite arithmétique et ue suite géométrique. Savoir calculer la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique et ue suite géométrique. Objectifs additioels e TS Savoir retrouver les démostratios des ROC du cours et faire des démostratios similaires à ces modèles. Savoir faire u raisoemet par récurrece. Coaître les limites des suites de référece y compris les suites géométriques. Savoir maipuler les iégalités pour obteir des majoratios, des mioratios ou des ecadremets de suites. [Rie de ouveau au iveau des maipulatios d'iégalités depuis la secode]. Lors d'u calcul de limites, savoir recoaître ue forme idétermiée et savoir «lever l'idétermiatio» (e factorisat et simplifiat par exemple). Savoir utiliser des majoratios, des mioratios ou des ecadremets d'ue suite pour trouver sa limite via les théorèmes de comparaiso. Savoir utiliser u graphique sur lequel figure la première bissectrice (càd la droite d'équatio y= x ) pour visualiser les termes de la suite (sas faire aucu calcul!) et pour faire des cojectures sur le ses de variatio de et sa limite. Savoir que si (u ) est défiie par u + 1 = f (u ) et si f est cotiue alors la limite de (u ), si elle existe, vérifie forcémet = f ( ). Savoir écrire u algorithme qui pour ue suite croissate détermie à partir de quel terme elle atteit ou dépasse ue valeur doée. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 15
TD, savoir-faire : Costructio des termes d ue suite récurrete sur u des axes au moye de la première bissectrice. O ote f la foctio défiie sur [ 1;+ [ par f (x)= x+ 1 et c sa courbe représetative. La suite est (u ) 0 défiie par u 0 = 0,8 et pour tout 0, u + 1 = f (u ). Le but est de représeter les premiers termes de la suite sur l axe des abscisses sas les calculer. I - Costructio des premiers termes sur l axe des abscisses Sur le dessi ci-dessous la droite Δ a pour équatio y=x. 1) Placer u 0 sur l axe des abscisses. Sachat que u 1 = f(u 0 ), costruire u 1 sur l axe des ordoées. 2) Soit A 1 le poit de Δ d ordoée u 1. Quelle est so abscisse? Placer u 1 sur l axe des abscisses. 3) Sachat que u 2 = f(u 1 ), costruire u 2 sur l axe des ordoées puis sur l axe des abscisses. 4) Costruire aisi pas à pas les premiers termes de la suite jusqu à u 5 sur l axe des abscisses. II Ifluece du premier terme : 1) Costruire (sur l axe des abscisses) sur le même graphique mais d'ue autre couleur les termes v 0, v 1, v 2, v 3 et v 4 de la suite (v ) 0 défiie par v 0 = 4 et pour tout 0, v + 1 = f (v ). 2) Quel ses de variatio peut-o cojecturer pour (u ) 0 et (v ) 0? 3) Les suites (u ) 0 et (v ) 0 semblet-elles être covergetes? Si oui, cojecturer leur(s) limite(s). III Même chose à la calculatrice : Istallez-vous traquillemet chez vous avec votre calculatrice et so mode d emploi jusqu à obteir ce même diagramme à la calculatrice. (TI 89 : Das le meu Y =, choisir F7 axes Web). Aexes : Fiches méthode sur l utilisatio de la calculatrice : http://xmaths.free.fr/tice/calculatrice/fiches.htm Fiche méthode sur les suites: http://www.ilemaths.et/maths_1_suite_cours2.php COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 16
Démostratios Démostratio de P15. S = P + (P + r) + (P + 2r) + + (D 2r) + (D r) + D (somme de N termes) S = D + (D r) + (D 2r) + + (P + 2r) + (P + r) + P (La même somme) S = (P + D) + (P + D) + (P + D) + + (P + D) + (P + D) + (P + D) (e ajoutat membre à membre) Cette somme compred N termes tous égaux à P + D d où S = N(P + D) cqfd. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 17
Corrigé des exemples du cours Corrigé de l'exemple Erreur : source de la référece o trouvée. COURS Mme Helme-Guizo http://mathematoques.weebly.com 18