LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge Théorème : Soient n N, f : [, b] R de clsse C n telle que f (n) soit dérivble sur ], b[. Alors il existe c ], b[ tel que (b ) k f(b) = + (b )n+ f (n+) (c). démonstrtion : On définit l fonction ϕ sur [, b] pr ϕ(x) = f(b) (b x) k f (k) (x) A (b x) n+, où A est un réel tel que ϕ() = 0. ϕ est donc dérivble sur ], b[ et vérifie ussi ϕ(b) = 0. Pr le théorème de Rolle, il existe donc un réel c ], b[ tel que ϕ (c) = 0. Or, pour tout x ], b[, on ϕ (x) = = k= n (b x) k (k )! f (k) (x) (b x) k f (k+) (x) = (b x)n (b x) k f (k+) (x) + A (n + )(b x) n (b x) k f (k+) (x) + A (n + )(b x) n f (n+) (c) + A (n + )(b x) n, donc puisque ϕ (c) = 0, cette dernière églité ppliquée à x = c nous donne f (n+) (c) = A (n + ) A = f(n+) (c), et le théorème est démontré.
2 Formules de Tylor Définition : L quntité définie dns l églité ci-dessus, c est-à-dire est ppelée reste de Lgrnge. (b ) n+ f (n+) (c), Remrques :. Le réel c n est ps forcément unique. En effet, il provient du théorème de Rolle, et considérnt pr exemple l fonction sin sur [0, 2π], on voit bien effectivement que sin (π/2) = sin (3π/2) = 0. 2. Si l on pose h = b et c = + θ h vec θ ]0, [, le théorème donne l églité qui est ussi souvent utilisée. f(b) = h k + f(n+) ( + θ h) h n+, 3. Si = 0, cette formule est usi ppelée formule de Mc-Lurin, et il en ser de même pour toutes les formules qui suivront. 67..2 Formule de Tylor vec reste intégrl (ou Tylor-Lplce) Théorème 2 : Soient n N, f : [, b] R de clsse C n+. Alors (b ) k f(b) = + (b x) n f (n+) (x) dx. démonstrtion : On effectue une récurrence sur l entier n N. Initilistion : Si n = 0, l églité ci-dessus devient f(b) f() = f (x)dx, issue du théorème fondmentl de l nlyse. Hérédité : On suppose f de clsse C n+2 sur [, b]. On veut montrer que le résultt est encore vri u rng n +, le supposnt vri u rng n, en procédnt à une intégrtion pr prties. On pose u(x) = f (n+) (x) qui est donc de clsse C sur [, b], et v (x) = (b x)n v(x) = (b x)n+, vec v qui est lors ussi de clsse C sur [, b]. Pr intégrtion pr prties, (b x) n f (n+) (x) = = ] b (b x)n+ [ f (n+) (x) (b )n+ f (n+) () + + (b x) n+ (b x) n+ f (n+2) (x)dx f (n+2) (x)dx. Cette dernière églité chève notre récurrence.
Formules de Tylor 3 67..3 Applictions Ordonner une fonction Exercice : Ordonner l fonction x x 3 9x 2 + 7x + 5 suivnt les puissnces de (x 2). Solution : On pplique l formule de Tylor-Lgrnge sur l intervlle ]2, + [, en notnt que f (4) 0 sur cet intervlle : f(x) = f(2) + f (2)(x 2) + f (2) (x 2) 2 + f(3) (2) (x 2) 3 2 3! = 7(x 2) 3(x 2) 2 + (x 2) 3. On urit ussi pu poser f(x) = (x 2) 3 + b(x 2) 2 + c(x 2) + d, développer f(x) et fire une identifiction des coefficients (c est certinement l méthode qui urit été utilisée en Terminle), mis cette méthode est beucoup plus rpide (puisque même les dérivées sont fcilement clculbles!). Approximtion d une fonction pr un polynôme Si f est une fonction de clsse C n+ sur [,x] pour R fixé et x R, lors f(x) (x ) k x n+ M, où M = sup f (n+) (t). t [,x] Exemple : Pour = 0 et x R, on, vec l fonction exp, x k ex xn+ ex n 0. Exercice : Soit n N. Montrer que pour tout réel x 0, e x x k x = + (x t) n e t dt, et en déduire l encdrement ci-dessous : 0 +! + + e +! + + +. Solution : Pour montrer l églité, il suffit l formule de Tylor vec reste intégrl à l fonction exp en 0 à l ordre n sur l intervlle [0, x]. En ppliqunt cette églité à x =, on obtient lors e = + ( t) n e t dt. 0 L intégrle est clirement une quntité positive (puisque t [0, ]), ce qui suffit à justifier l première inéglité. Pour montrer l seconde, on v montrer que ( t) n e t. Posons f(t) = ( t) n e t définie sur [0, ], de sorte qu elle y soit dérivble. On insi f (t) = e t ( t) (n ) (n + t). On constte que f est négtive sur [0, ], donc f y est décroissnte. Or f(0) =, ce qui implique que tout x [0, ] vérifie f(x). Pr suite, e = et le résultt est insi démontré. + ( t) n 0 e t dt + 0 n dt = +,
4 Formules de Tylor 67.2 Résultt locux 67.2. Formule de Tylor-Young Théorème 3 : Soient I un intervlle, f : I R une fonction n fois dérivble sur I, et I. On suppose f de clsse C n u point. Alors, u voisinge de, f(x) = (x ) k + o ( (x ) n). démonstrtion : Procédons pr récurrence sur l entier n N. Initilistion : Pr continuité de f en, on l églité f(x) f() = o(), qui correspond exctement à l églité du théorème pour n = 0. Hérédité : Supposons le résultt vri jusqu u rng n. Soit f dérivble n fois en. Alors f est (n ) fois dérivble en, et on peut lui ppliquer l hypothèse de récurrence : f (x) = n On définit lors l fonction Ψ sur I pr f (k ) () Ψ(x) = f(x) (x ) k + o ( (x ) n ). (x ) k, et l on remrque déjà que Ψ() = 0. Ψ est dérivble sur I et d près ce qui précède, Ψ (x) = f (x) (k )! (x )k = o ( (x ) n ). Pr définition, cel revient à écrire que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que x < η Ψ (x) ε x n. Ψ vérifie donc les hypothèses du théorème des ccroissements finis, que l on pplique insi sur [, x] : x < η Ψ(x) = Ψ(x) Ψ() sup Ψ x ε x n, I ce qui prouve que Ψ(x) = o ( (x ) n) et chève insi notre récurrence. Notons que l condition x < η montre bien que cette formule est locle. Exercice : Redémontrer cette formule en utilisnt celle de Tylor-Lgrnge. On suppose lors dns l intérieur de I. Il existe lors h, k > 0 tels que [, + h[ I et ] k, ] I. On ne risonne que sur l intervlle [, + h[, l utre se tritnt de mnière bsolument identique. Soit lors x [, + h[, qui nous permet d ppliquer l formule de Tylor-Lgrnge sur l intervlle [, x] [, + h[ : Cette églité est équivlente à n c x ], x[ f(x) = ( (x ) n f(x) (x ) k + f(n) (c x) (x ) k ) (x ) n. = f(n) (c x) f (n) ().
Formules de Tylor 5 En pssnt à l limite lorsque x tend vers, le réel c x tend vers (cr c x ], x[), et le membre de droite tend vers 0 pr continuité de f (n) en (hypothèse du théorème). On en déduit lors que f(x) (x ) k = o ( (x ) n), et le résultt est insi démontré. 67.2.2 Applictions Développements limités Définition 2 : Soient I un intervlle, f : I R et x 0 I. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n N u point x 0 s il existe 0,..., n R tels que pour tout x I on it f(x) = k (x x 0 ) k + o ( (x x 0 ) n). L fonction polynomile P(x) = n k(x x 0 ) k est ppelée prtie principle du développement limité de f à l ordre n en x 0. Pr cette définition, on constte fcilement que l formule de Tylor-Young fournit des développements limités pour des fonctions de clsse C n définies sur un intervlle contennt x 0, outil surtout utilisé pour des fonctions dont les dérivées ne sont ps dures à clculer. On donne comme exemple les développements limités suivnt (on pourr vérifier en exercice leur exctitude...) à l ordre n N u point 0 (α R) : e x = + x + x2 2 + x3 3! + + xn + o(xn ) ; cos(x) = x2 2 + x4 x2n + + ( )n 4! (2n)! + o(x2n ) ; ln( + x) = x x2 2 + x3 xn + + ( )n 3 n + o(xn ) ; ( + x) α α(α ) (α k + ) = + x k + o(x n ). k= Recherche de limites ou d équivlents Exercice : Clculer l limite en 0 de f(x), et donner un équivlent à l infini de g(x) (on rppelle qu une fonction h est dite équivlente à g en l infini si leur limite y tend vers ), où f(x) = 2 cos(x) 2 ( ) x 2 x et g(x) =. x 2 x +
6 Formules de Tylor Solution : Pour le clcul de cette limite, on ur besoin du développement limité du cosinus à l ordre 2 en 0. Comme vu plus hut, on cos(x) = x2 2 + o(x2 ), et pr suite, 2cos(x) 2 x 2 = 2 ( x 2 2 + o(x2 ) ) 2 x 2 = x2 + o(x 2 ) + o() x 2 = lim f(x) =. x 0 Pour l équivlent, on remrque que ce qui est équivlent en l infini à g(x) = e x2 ln( x+ x ) = e x2 ( x 2x 2 +o( x 2 )), e x2 ( x 2x 2 ) = e x+/2 = e x e.