[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Foncion définie par une inégrale Eude de foncions définies par une inégrale Exercice [ 53 ] [correcion] Soi f : x d + x 3 + 3 a) Monrer que f es définie sur R +. b) A l aide du changemen de variable u = /, calculer f(). c) Monrer que f es coninue e décroissane. d) Déerminer lim + f. Exercice [ 53 ] [correcion] Soi g(x) = e x d + 3 a) Calculer g() en réalisan le changemen de variable = /u. b) Eudier les variaions de g sur son domaine de définiion. c) Eudier la limie de g en +. Exercice 3 [ 533 ] [correcion] Soi f : x π/ cos + x d a) Monrer que f es définie, coninue sur R +. Eudier les variaions de f. b) Déerminer les limies de f en + e +. c) Déerminer un équivalen de f en + e +. Exercice 5 [ 535 ] [correcion] Soi f : [, + [ R définie par e x(+ ) + d a) Monrer que f es dérivable sur [, + [ e exprimer f (x). b) Calculer f() e lim f. + c) On noe g l applicaion définie par g(x) = f(x ). Monrer ( ) g(x) + e d = π 4 d) Conclure Exercice 6 [ 536 ] [correcion] Soi f la foncion donnée par π e d = π/ sin x ()d a) Monrer que f es définie e posiive sur ], + [. b) Monrer que f es de classe C e préciser sa monoonie. c) Former une relaion enre f(x + ) e f(x) pour ou x >. d) On pose pour x >, ϕ(x) = xf(x)f(x ) Monrer que x >, ϕ(x + ) = ϕ(x) Calculer ϕ(n) pour n N. e) Déerminer un équivalen à f en +. Exercice 4 [ 534 ] [correcion] a) Jusifier que l inégrale suivane es définie pour ou x > x + d b) Jusifier la coninuié de f sur son domaine de définiion. c) Calculer f(x) + f(x + ) pour x >. d) Donner un équivalen de f(x) quand x + e la limie de f en +. Exercice 7 [ 537 ] [correcion] Soi f : x e x + d a) Monrer que f es définie e coninue sur R +. b) Monrer que f es dérivable sur R + e soluion de l équaion différenielle π y y = x Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Exercice 8 [ 538 ] [correcion] Soi F : x e x + d Monrer que F es soluion sur R + de limie nulle en + de l équaion différenielle y + y = x Exercice 9 [ 54 ] [correcion] On considère les foncions f e g définies sur R + par : e x sin d e g(x) = + x + d a) Monrer que f e g son de classe C sur R + e qu elles vérifien l équaion différenielle y + y = x b) Monrer que f e g son coninues en c) En déduire que sin d = π Exercice [ 54 ] [correcion] a) Jusifier la convergence de l inégrale b) Pour ou x, on pose I = F (x) = sin d e x sin Déerminer la limie de F en +. c) Jusifier que F es dérivable sur ], + [ e calculer F d) En admean la coninuié de F en déerminer la valeur de I. d Exercice [ 543 ] [correcion] Pour x R + e, on pose f(x, ) = e x sinc où sinc (lire sinus cardinal) es la foncion sin prolongée par coninuié en. Pour n N, on pose u n (x) = (n+)π nπ f(x, )d a) Monrer que u n (x) = ( ) n π g n(x, u) du avec g n (x, u) qu on expliciera. b) Monrer que la série de foncions de erme général u n converge uniformémen sur R +. c) On pose U(x) = + u n (x). Jusifier que U es coninue e explicier U sous la n= forme d une inégrale convergene. d) Monrer que U es de classe C sur ], + [ e calculer U (x). e) Explicier U(x) pour x > puis la valeur de U() = sin Exercice [ 49 ] [correcion] On considère la foncion suivane I définie par : x D, I(x) = π/ d (sin ) x d a) Déerminer le domaine de définiion D. b) Monrer que I es de classe C sur D. c) Calculer I(), I(), I(), I(3), I(4). d) Trouver une relaion simple enre I(x + ) e I(x). e) Soi n N. Que vau I(n)I(n )? f) Déerminer des équivalens simples de I aux exrémiés de D. Exercice 3 [ 878 ] [correcion] a) Pour quels x de R l inégrale π/ (sin ) x d exise--elle? Dans ce cas, soi f(x) sa valeur. b) Monrer que f es de classe C sur son inervalle de définiion. c) Que dire de la foncion x (x + )f(x)f(x + )? Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 3 Exercice 4 [ 87 ] [correcion] Pour x R, on pose a) Définiion de f. b) Coninuié e dérivabilié de f. c) Ecrire f() comme somme de série. Exercice 5 [ 875 ] [correcion] Soi Ω = {z C/Rez > }. Si z Ω, on pose f(z) = sin(x) e d z + d a) Monrer que f es définie e coninue sur Ω. b) Donner un équivalen de f(x) quand x end vers. c) Donner un équivalen de f(z) quand Rez +. Exercice 6 [ 88 ] [correcion] Monrer que, pour ou x réel posiif, Exercice 7 [ 88 ] [correcion] On pose, pour x >, arcan(x/) x ln + d = d x e x + d Monrer que f es de classe C sur ], + [ e rouver des équivalens simples de f en e en +. Exercice 8 [ 3 ] [correcion] On considère ϕ : x e ix + d a) Monrer la définie e la coninuié de ϕ sur R. b) Monrer que ϕ es de classe C sur R e monrer que c) Monrer que pour x >, ϕ e ix (x) = i + d ϕ ue iu (x) = i x + u du e déerminer un équivalen de ϕ (x) quand x +. d) La foncion ϕ es-elle dérivable en? Exercice 9 [ 333 ] [correcion] Soi f : x π π cos(x sin θ) dθ a) Monrer que f es définie e de classe C sur R. b) Déerminer une équaion différenielle linéaire d ordre don f es soluion. c) Monrer que f es développable en série enière sur R. d) Exploier l équaion différenielle précédene pour former ce développemen. Exercice [ 334 ] [correcion] Pour x >, on pose x a) Monrer que f es définie e coninue. b) Déerminer les limies de f en + e +. Exercice [ 36 ] [correcion] a) Déerminer le domaine de définiion de d + x cos b) Donner un équivalen de f en e en +. d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 4 Exercice [ 3658 ] [correcion] On pose F (x) = e + x d a) Monrer que F (x) es bien définie pour ou x. b) Monrer que F es de classe C sur [, + [. c) Calculer F (n) () pour ou n N. Exercice 3 [ 376 ] [correcion] a) Déerminer l ensemble de définiion de b) Donner la limie de f en x =. Exercice 4 [ 3736 ] [correcion] On pose f(α) = d ( )( x ) dx x α ( + x) a) Eudier l ensemble de définiion de f. b) Donner un équivalen de f en. c) Monrer que le graphe de f adme une symérie d axe x = /. d) Monrer que f es coninue sur son ensemble de définiion. e) Calculer la borne inférieure de f. Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 5 [ 556 ] [correcion] Pour x >, on pose F (x) = ln + x d a) Monrer que F es de classe C sur ], + [. b) Calculer F (x) e en déduire l expression de Exercice 6 [ 3887 ] [correcion] a) Monrer la coninuié de l applicaion définie sur ], + [ par g(x) = b) Préciser ses limies en e +. Exercice 7 [ 3889 ] [correcion] Soi g : x sin() x + d e x + d Monrons que g es soluion sur R + de l équaion différenielle y + y = x Expression de foncions définies par une inégrale Exercice 8 [ 545 ] [correcion] On considère la foncion g : x ], + [ ln x d a) Monrer que la foncion g es bien définie. b) Jusifier que la foncion es de classe C e exprimer g (x). c) En déduire une expression de g(x) à l aide des foncions usuelles Exercice 9 [ 874 ] [correcion] Eudier f : x ln x d c) Soi θ R. Calculer G(x) = F (x) + F (/x) ln + + ch(θ) + d Exercice 3 [ 546 ] [correcion] a) Jusifier l exisence e calculer cos(x)e d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 5 Soi F : x sin(x) e d b) Jusifier que F es définie e de classe C sur R. Calculer F (x). c) En déduire une expression simplifiée de F (x). Exercice 3 [ 873 ] [correcion] Pour ou x réel, on pose cos(x) + e d e g(x) = Exisence e calcul de ces deux inégrales. Exercice 3 [ 33 ] [correcion] Soien a, b deux réels sricemen posiifs. a) Jusifier l exisence pour ou x R de F (x) = e a e b cos(x) d b) Jusifier que F es de classe C sur R e calculer F (x). c) Exprimer F (x) Exercice 33 [ 553 ] [correcion] Soi F (x, y) = sin(x) e d e x e y d avec x, y > Pour y >, monrer que x F (x, y) es de classe C sur R + e calculer En déduire la valeur de F (x, y). F (x, y) Exercice 34 [ 547 ] [correcion] On pose z : x e ( +ix) d a) Monrer que z es définie, de classe C sur R e vérifie z (x) = (x + i) z(x) b) En déduire l expression de z(x) sachan z() = π/. Exercice 35 [ 548 ] [correcion] On pose z : x e ( +ix) e on donne e d = π/. a) Jusifier e calculer z(). b) Monrer que z es définie, de classe C sur R e z (x) = c) En déduire l expression de z(x). (x + i) z(x) Exercice 36 [ 549 ] [correcion] En dérivan la foncion déerminer l expression de la foncion g(x) = e e ix d Exercice 37 [ 3655 ] [correcion] En dérivan la foncion déerminer l expression de la foncion g(x) = e e x d d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 6 Exercice 38 [ 554 ] [correcion] Exisence e calcul de sachan g() = π/. g(x) = Exercice 39 [ 499 ] [correcion] On éudie e cos(x)d e cos(x) d a) Donner le domaine de définiion de f. b) Calculer f en forman une équaion différenielle. c) Calculer f en exploian le développemen en série enière de la foncion cosinus. Exercice 4 [ 3656 ] [correcion] a) Exisence de F (x) = e ch(x) d b) Calculer F (x) en inroduisan une équaion différenielle vérifiée par F. c) Calculer F (x) direcemen par une inégraion erme à erme. Exercice 4 [ 366 ] [correcion] Pour x >, on pose F (x) = π/ ln ( cos () + x sin () ) d a) Jusifier que F es définie e de classe C sur ], + [. b) Calculer F (x) e en déduire un expression de F (x). Exercice 43 [ 55 ] [correcion] Soi F la foncion définie par : F (x) = arcan(x) ( + ) d a) Monrer que F es définie e de classe C sur R +. b) Déerminer l expression de F (x). c) Calculer arcan d Exercice 44 [ 555 ] [correcion] Ensemble de définiion, dérivée e valeur de f : x Exercice 45 [ 876 ] [correcion] Exisence e calcul de Exercice 46 [ 33 ] [correcion] a) Monrer que pour ou x > ln( + x ) + d. ln(x + ) + d ln( + x) + d = ln arcan x + π 8 ln( + ln( + ) x ) + d b) En déduire la valeur de ln( + ) + d Exercice 4 [ 88 ] [correcion] Exisence e calcul de π ln( + x cos ) cos d Exercice 47 [ 556 ] [correcion] Soi F (x) = π/ a) Jusifier que F es bien définie e coninue. ln( + x sin ) d sur [, + [ Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 7 b) Eudier la dérivabilié sur [, + [ e donner l expression de sa dérivée via le changemen de variable u = an. c) Eablir que F (x) = π(ln( + + x) ln ) Exercice 48 [ 55 ] [correcion] Soi F (x) = ln( + cos x + ) d a) Jusifier que F es définie e de classe C sur [, π/] b) Calculer F (x) sur [, π/] c) Donner la valeur de F () puis celle de F (x) sachan Exercice 49 [ 55 ] [correcion] Pour n N e x >, on pose + k= I n (x) = ( ) k k = π d (x + ) n a) Jusifier l exisence de I n (x). b) Calculer I (x). c) Jusifier que I n (x) es de classe C e exprimer I n(x). d) Exprimer I n (x). Exercice 5 [ 638 ] [correcion] On pose, pour x, F (x) = x cos e d a) Monrer que F es coninue sur [, + [ e end vers en +. b) Monrer que F es deux fois dérivable sur ], + [ e calculer F (x). c) En déduire la valeur de F () puis la valeur de l inégrale convergene sin d Exercice 5 [ 87 ] [correcion] Pour x R +, soi sin e x d a) Jusifier la définiion de f(x). b) Monrer que f es classe C sur R +. c) Calculer f(x) si x R +. d) Monrer que f es coninue en. Qu en dédui-on? Exercice 5 [ 486 ] [correcion] On pose ln e x d a) Préciser le domaine de définiion de f. b) Monrer que f es de classe C e donner une équaion différenielle vérifiée par f. c) Calculer f() avec un logiciel de calcul formel e en déduire expliciemen f. d) Rerouver ce résula par une méhode plus simple. Exercice 53 [ 333 ] [correcion] Pour ou x R, on pose F (x) = ( )) exp ( + x d a) Monrer que F es définie e coninue sur R. b) Monrer que F es de classe C sur ], + [. c) Former une équaion différenielle vérifiée par F sur ], + [. d) En déduire une expression simple de F sur R. Exercice 54 [ 369 ] [correcion] Soi F la foncion définie par : F (x) = arcan(x) ( + ) d a) Monrer que F es définie e de classe C sur R +. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 8 On adme l idenié x ( + x )( + ) = x + x + Exercice 59 [ 94 ] [correcion] Soien f : I R une foncion de classe C e a R els que f(a) = f (a) = = f (α ) (a) = valable pour ou x e dans R b) Déerminer l expression de F (x). Exercice 55 [ 6 ] [correcion] On pose F (x) = e e cos(x) d a) Quel es le domaine de définiion réel I de la foncion F? b) Jusifier que la foncion F es de classe C sur I. c) Exprimer F (x) à l aide des foncions usuelles. Exercice 56 [ 3888 ] [correcion] a) Monrer que l applicaion g : x x ln d es définie sur ], + [. b) Jusifier que g es de classe C e calculer g (x). c) En déduire une expression simple de g(x) pour x >. Eude générale Exercice 57 [ 544 ] [correcion] Soien f : I R R e u, v : I R coninues. Monrer la coninuié de la foncion x v(x) u(x) f(x, )d Exercice 58 [ 3756 ] [correcion] Soi f : R R de classe C vérifian f() =. Monrer que la foncion g : x f(x) x se prolonge en une foncion de classe C sur R e exprimer ses dérivées successives en en foncion de celles de f. a) Monrer qu on a pour ou x I a (x ) α f (α) ()d (α )! b) En déduire qu on peu écrire (x a) α g(x) avec g de classe C sur R. Exercice 6 [ 54 ] [correcion] Soi f une applicaion coninue de R [a, b] dans R. Expliquer pourquoi f es uniformémen coninue sur S [a, b] pour ou segmen S de R. En déduire que F : x b f(x, ) d es coninue sur R. a Pour x R, on pose g(x) = ex d. A l aide de la quesion précédene, éudier la coninuié de g. Rerouver le résula en calculan g(x). Foncion Gamma Exercice 6 [ 557 ] [correcion] On rappelle que la valeur de Γ(/) es connue. En déduire une expression de Γ ( n + ) pour n N à l aide de nombres facoriels. Exercice 6 [ 558 ] [correcion] Sachan Γ () = γ, calculer Γ (). Exercice 63 [ 559 ] [correcion] Sans calculer Γ, éablir que la foncion Γ es convexe. Exercice 64 [ 56 ] [correcion] Démonrer que la foncion Γ : x es définie e de classe C sur ], + [. x e d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 9 Exercice 65 [ 56 ] [correcion] a) Démonrer que la foncion Γ donnée par Γ(x) = x e d es définie e coninue sur ], + [. b) Démonrer que la foncion Γ es de classe C sur ], + [. c) En exploian l inégalié de Cauchy Schwarz, éablir que la foncion x ln Γ(x) es convexe. Exercice 66 [ 56 ] [correcion] L objecif de ce exercice es de calculer a) Monrer que pour ou [, n], b) Eablir que c) Observer que d) Conclure que lim n + n n ln()e d ( ) n e.e n ( ln() n) n d = ln()e d ( ln() n) n ( u) n d = ln n + du u où γ désigne la consane d Euler. Exercice 67 [ 635 ] [correcion] On rappelle e d = π. ln()e d = γ Pour x >, on pose Γ(x) = e x d a) Monrer que cee foncion es définie e indéfinimen dérivable sur ], + [. On éudiera la régularié en se resreignan à x [a, b] ], + [. b) Calculer Γ(n + ) pour n N. c) En réalisan le changemen de variable = n + y n, ransformer l inégrale Γ(n + ) en n n + n e n f n (y)dy où f n (y) = pour y x, f n (y) e y / pour < y e f n (y) ( + y)e y pour y > e. d) En appliquan le héorème de convergence dominée éablir la formule de Sirling : n! πn nn e n Exercice 68 [ 95 ] [correcion] a) Soi a C avec Re(a) >. Donner un équivalen de u n = a(a + )... (a + n). b) Monrer que la foncion Γ ne s annule pas sur {z C, Rez > }. Exercice 69 [ 3654 ] [correcion] L objecif de ce suje es de calculer Pour x, on pose I = F (x) = e d e x ( + ) d a) Jusifier que la foncion F es bien définie b) Déerminer une équaion linéaire d ordre don F es soluion sur ], + [. c) Calculer F () e la limie de F en +. d) En déduire la valeur de I. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Exercice 7 [ 537 ] [correcion] a) Donner le domaine de définiion de la foncion Γ : x x e d b) Calculer l inégrale I n (x) = n x ( n) n d c) Expliquer rapidemen pourquoi ( n) n converge vers e e monrer que Γ(x) = lim n + n x n! x(x + )... (x + n) Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions Correcions Exercice : [énoncé] a) Posons g(x, ) = + x 3 + 3 Pour ou x R +, la foncion g(x, ) es définie, coninue sur R + e g(x, ) / 3 donc f(x) exise. + b) u /u es un C difféomorphisme enre R + e R +. On peu réaliser le changemen de variable = /u qui donne d + + 3 = udu + u 3 Donc puis f() = [ d + = 3 arcan ] + = 4π 3 3 3 f() = π 3 3 c) x g(x, ) es coninue sur R +, g(x, ) es coninue par morceaux sur [, + [ avec g(x, ) + 3 = ϕ() e ϕ inégrable sur [, + [ donc f es coninue. Si x y alors [, + [, g(y, ) g(x, ) donc f(y) f(x). Ainsi f es décroissane. Rq : On peu aussi monrer f de classe C mais cela alourdi la démonsraion d) f end vers en + car d + du f(x) = x 3 + 3 =xu x + u 3 x + Exercice : [énoncé] a) + es inégrable sur R + donc g() exise. 3 u /u es une bijecion C enre R + e R +. On peu réaliser le changemen de variable = /u qui donne d + + 3 = udu + u 3 Donc puis g() = [ d + = 3 arcan ] + = 4π 3 3 3 g() = π 3 3 b) La foncion g es paire. Pour x x, on a pour ou, e x e x donc g es décroissane sur R +. c) Pour x >, donc lim g(x) =. x + g(x) e x d = x Exercice 3 : [énoncé] a) Inroduisons g(x, ) = cos +x définie sur R+ [, π/]. La foncion g es coninue e x e coninue par morceaux en. Pour [a, b] R +, on a (x, ) [a, b] [, π/], g(x, ) + a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur [, π/]. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que f es coninue sur R +. Aussi, pour < x x, on a [, π/], g(x, ) g(x, ) En inégran, on obien f(x ) f(x). La foncion f es donc décroissane. On aurai pu aussi éablir que f es de classe C e éudier le signe de sa dérivée. b) Quand x +, π/ f(x) x + d Quand x + c) f(x) π/4 cos x + π/4 d [ln( + x)]π/4 = ln + + x x x + π/ π/ cos d f(x) x π/ cos d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions donc On sai : f(x) x + x π/, cos Quand x +, donc f(x) x +. f(x) x d = x donc Or e donc π/ d + x π/ π/ π/ d π/ f(x) + x d x + π/ = ln ln x + x x d + x π/ f(x) x ln x d = C = o(ln x) d + x Exercice 4 : [énoncé] a) La foncion x + es définie e coninue par morceaux sur ], ]. Quand +, x + x = avec x < x donc x + es inégrable sur ], ]. b) Posons g(x, ) = x + sur ], + [ ], ]. g(x, ) es coninue par morceaux sur ], ], x g(x, ) es coninue sur ], + [. Soi [a, b] R +, (x, ) [a, b] ], ], g(x, ) a + a = ϕ a () avec ϕ a inégrable sur ], ]. Par dominaion sur ou segmen de ], + [, on peu affirmer que f es coninue sur ], + [. c) Pour x > f(x) + f(x + ) = x d = x d) Quand x +, f(x + ) f() donc f(x + ) = o(/x) puis f(x) /x. Exercice 5 : [énoncé] a) Inroduisons la foncion u : (x, ) [, + [ [, ] e x(+ ) + Pour chaque x [, + [, la foncion u(x, ) es coninue par morceaux sur [, π/]. La foncion f es donc bien définie. La foncion u adme une dérivée parielle u : (x, ) ) e x(+ Celle-ci es coninue en x, coninue par morceaux en e vérifie (x, ) [, + [ [, ], u (x, ) La foncion ϕ : es inégrable sur [, ]. Par dominaion, on peu alors affirmer que f es de classe C e b) On a Pour x, f (x) = u (x, ) d = f() = f(x) donc lim + f =. c) g es de classe C par composiion e g (x) = xf (x ) = x d + = π 4 e x d = e x e x(+) d e x (+ ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 On a alors ( ( ) x g(x) + e d) = x car e d = x L évaluaion en perme de conclure. d) Pour x, e d donc e d = e x (+ ) d + e x e d = e x u du π π g(x) 4 x + Exercice 6 : [énoncé] a) La foncion (sin ) x es définie, coninue e posiive sur ], π/]. Quand +, (sin ) x x avec x > donc (sin ) x es inégrable sur ], π/]. Ainsi f es définie e posiive sur ], + [ b) La foncion g (x, ) = ln(sin )(sin )x es définie, coninue en x e coninue par morceaux en. Soi [a, b] ], + [. Sur [a, b] ], π/] g (x, ) ln(sin )(sin )a = ϕ() avec ϕ es inégrable sur ], π/] car pour α el que a < α <, α ϕ() a+α ln() Par dominaion sur ou segmen, f es de classe C sur ], + [ e f (x) = π/ Ainsi la foncion f es décroissane. c) En inégran par paries f(x+) = π/ ln(sin )(sin ) x d [ ] (sin ) (sin ) x ( cos x+ π/ )d = f(x) cos x + x + f(x+) e donc d) On a e donc par récurrence f(x + ) = x + x + f(x) ϕ(x + ) = (x + )f(x + ) xf(x ) ϕ(x) e) ϕ es coninue e quand x, Or quand x, donc quand x, ϕ() = f()f() = π/ n N, ϕ(n) = π/ ϕ(x) = ϕ( + x) ϕ() = π/ f(x) f() = π/ ϕ(x + ) (x + )f(x + ) x + Rq : En fai on peu monrer que ϕ es une foncion consane. Exercice 7 : [énoncé] a) g : (x, ) e x + es définie coninue en x e coninue par morceaux en sur R + [, + [ avec g(x, ) + = ϕ() e ϕ inégrable sur [, + [. Par dominaion, on peu affirmer que f es définie e coninue sur R +. b) g exise e es coninue en x e coninue par morceaux en sur R+ [, + [. Pour x [a, b] R + on a g (x, ) = + e x e a = ψ() avec ψ inégrable sur R +. Par dominaion sur ou segmen de R +, on peu affirmer que f es de classe C sur ], + [ avec f e x (x) = + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 4 Enfin, f(x) f (x) = e x d = u= x + e u du = x π x Exercice 8 : [énoncé] Considérons f : (x, ) e x + définie sur ], + [ [, + [ Pour ou x ], + [, f(x, ) es coninue par morceaux sur [, + [ e inégrable car f(x, ) + Pour [, + [, la foncion x f(x, ) es de classe C sur ], + [ e e x (x, y) = + e f e x (x, ) = + Pour ou x ], + [, la foncions (x, ) es coninue par morceaux e inégrable. La foncion f es coninue en x, coninue par morceaux en. Soi [a, b] ], + [. Sur[a, + [ [, + [, on a f (x, ) e a avec ϕ : e a coninue par morceaux e inégrable sur [, + [. Par dominaion sur ou compac, la foncion F es de classe C sur R + e F (x) + F (x) = Enfin F + car f(x) Exercice 9 : [énoncé] a) Posons Les foncions e x + d + e x + d = e x d + f(x, ) = e x + e x d = x x + f, f e f exisen e son coninues sur R + R. e x d = x Pour chaque x, les foncions f(x, ) e f (x, ) son inégrables. Soi [a, b] ], + [. Sur [a, b] [, + [, on a f (x, ) e a + e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur [, + [. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que la foncion f es définie e de classe avec f e x (x) = + d On a alors Posons Les foncions g, g f(x) + f (x) = g(x, ) = sin x + e x d = x e g exisen e son coninues sur R + R. La foncion x g(x, ) d es bien définie sur R + (inégrale convergene via inégraion par paries) La foncion g (x, ) es inégrable e sur [a, b] [, + [ g (x, ) x (a + ) 3 = ψ() La foncion ψ es inégrable sur [, + [. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que g es de classe C e Par une inégraion par paries [ g (x) = sin ] + (x + ) b) Pour x R +, g (x) = + donc f es définie e coninue sur R +. g(x) g() = sin (x + ) 3 d cos + (x + ) d = f(x, ) + x sin d = x (x + ) ( cos (x + ) d = x g(x) sin + ) (x + ) d + x sin (x + ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 mais x sin (x + ) d x e + x sin (x + ) d + x donc g es coninue en. c) D une par D aure par e en prenan x donc g (x) f(x) g (x) x d = x ln(x + ) x ln x (x + ) d e x d = x x + sin (x + ) 3 d sin x (x + ) d sin d ( + ) x + g(x) = x g (x) x + Ainsi f g + ce qui perme via résoluion de l équaion différenielle de conclure On en dédui g() = f() i.e. Exercice : [énoncé] a) Par découpage Par inégraion par paries π sin sin d = d = π f = g sin sin d = π sin d + d π [ cos ] x cos π π d Or [ cos ] x cos π π d adme une limie quand x + car le erme inégrale converge. Cela perme de conclure à la convergence de b) Posons I = sin d f(x, ) = e x sin définie sur ], + [ ], + [. Pour ou x >, la foncion f(x, ) es coninue par morceaux sur ], + [ e inégrable car f(x, ) + e f(x, ) + De plus, puisque sin pour ou >, on a F (x) c) f adme une dérivée parielle e x d = x x + (x, ) = e x sin() Celle-ci es coninue en x e coninue par morceaux en. Soi [a, b] ], + [. On a (x, ) [a, b] ], + [, (x, ) e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur ], + [. Par dominaion sur ou segmen, on obien F de classe C sur ], + [ e En exploian on obien F (x) = e x sin() d ( ) e x sin() d = Im e x e i d F (x) = + x Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 d) On en dédui e puisque lim F (x) =, x + Par coninuié en, F (x) = arcan x + C e sur ], + [ F (x) = π arcan x I = π Exercice : [énoncé] a) On réalise le changemen de variable = u + nπ : Ici u n (x) = ( ) n π e x(u+nπ) g n (x, u) = e x(u+nπ) sin u u + nπ sin u u + nπ du b) Pour ou x R + e ou u [, π], g n (x, u) e g n+ (x, u) g n (x, u) donc u n (x) = ( ) n u n (x) avec ( u n (x) ) n décroissane. De plus donc u n (x) n e u n (x) π du nπ = n pour n N. Par applicaion du crière spécial, la série u n (x) converge n + k=n+ u k (x) u n+(x) n + ce qui donne la convergence uniforme de la série de foncions n u n. c) La foncion g n es coninue en x, coninue par morceaux en u e x [, + [ [, π], g n (x, u) sincu Par dominaion, les foncions u n son coninues. Comme somme d une série uniformémen convergene de foncions coninues sur R +, la foncion U es coninue sur R +. De plus, par sommaion d inégrales coniguës x sin U(x) = e d avec cee inégrale qui es définie quand x > e connue convergene quand x =. d) Posons h(x, ) = e x sin définie sur ], + [ ], + [. Pour ou x >, la foncion h(x, ) es coninue par morceaux sur ], + [ e inégrable car h adme une dérivée parielle f(x, ) + e f(x, ) + h (x, ) = e x sin() Celle-ci es coninue en x e coninue par morceaux en. Soi [a, b] ], + [. On a (x, ) [a, b] ], + [, h (x, ) e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur ], + [. Par dominaion sur ou segmen, on obien U de classe C sur ], + [ e En exploian on obien e) En inégran Or donc C = π/. Par coninuié en, U (x) = e x sin() d ( ) e x sin() d = Im e x e i d U (x) = + x U(x) = C arcan x sur ], + [ U(x) U() = e x d = x x + sin d = π Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 Exercice : [énoncé] a) Pour x, I(x) es définie comme inégrale d une foncion coninue sur un segmen. Pour x <, I(x) es une inégrale généralisée en + avec (sin ) x Cee dernière converge si, e seulemen si, x <. Ainsi D = ], + [. b) Posons f : (x, ) (sin ) x = exp(x ln(sin )). Pour ou k N, k f k (x, ) = (ln(sin )) k (sin ) x. k f. x es coninue sur D ], π/] e pour ou a >, k k f (x, ) ln(sin ) k (sin ) a pour ou x a. k Par dominaion sur ou compac, on peu affirmer que I es de classe C sur D. c) On défini la foncion I qu on appellera J pour évier une confusion avec le i de Maple J:=x->in(sin()ˆx, =..Pi/); Puis on calcule les valeurs demandées seq(j(k), k=..4); d) Par inégraion par paries I(x + ) = x+ x+ I(x). e) Regardons les premiers ermes seq(j(n)*j(n-), n=..); On présume I n I n = π n ce que l on éabli par récurrence. f) Puisque I(x) = x+ x+ I(x + ), quand x +, I(x) x + I() = x + Pour obenir un équivalen de I(x) quand x +, commençons par éudier I(n). La foncion I es décroissane e posiive donc I(n + ) I(n) I(n ) puis e enfin π (n + ) I(n) π n I(n) π n Puisque I(n + ) I(n) e I monoone, on a I(x) I(x) x + π x Exercice 3 : [énoncé] a) Posons u(x, ) = (sin ) x définie sur R ], π/]. x + I( x ) e on en dédui Pour ou x R, u(x, ) es coninue par morceaux sur ], π/]. On a u(x, ) + x donc u(x, ) es inégrable sur ], π/] si, e seulemen si, x >. De plus, la foncion u(x, ) es posiive e donc la convergence de l inégrale équivau à l inégrabilié de la foncion. En conclusion, l inégrale exise si, e seulemen si, x >. b) u adme une dérivée parielle u (x, ) = ln(sin )(sin )x Celle-ci es coninue en x e coninue par morceaux en. Pour [a, b] ], + [, on a (x, ) [a, b] ], π/], u (x, ) ln(sin ) (sin )a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable car ϕ() ln a = o ( α ) avec α ], a[ + Par dominaion sur ou segmen, on obien f de classe C avec c) Posons f (x) = Une inégraion par paries avec donne π/ On en dédui π/ ln(sin )(sin ) x d ϕ(x) = (x + )f(x)f(x + ) u () = sin e v() = (sin ) x ( π/ (sin ) x d = (x ) (sin ) x d ϕ(x + ) = ϕ(x) Monrons que cee foncion es en fai consane. Soi a ], [. Pour ou n N, ϕ(a + n) = ϕ(a). π/ (sin ) x d ) Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 8 En posan p = a, la décroissance de f donne Or e donc ϕ(a) = ϕ(a + n) (a + n + )f(p + n)f(p + n + ) (p + n + )f(p + n)f(p + n + ) = ϕ(p + n) = ϕ() (a + n + )f(p + n)f(p + n + ) = a + n + ϕ() p + n + ϕ() n + De façon semblable, ϕ(a) peu êre minorée par une suie de limie ϕ(). On peu donc affirmer que ϕ es consane. Exercice 4 : [énoncé] a) Pour x R, sin(x) e es coninue par morceaux sur ], + [, ( ) sin(x) e = sin(x) O() e = e o + donc f(x) es bien définie pour ou x R. b) Posons g(x, ) = sin(x) e. g adme une dérivée parielle g avec g (x, ) = e cos(x) x g g (x, ) es coninue sur R, (x, ) es coninue par morceaux sur ], + [. Enfin g (x, ) e = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], + [. Par dominaion, on peu affirmer que f es de classe C, a foriori coninue e dérivable. c) La décomposiion + e = e n perme d écrire f() = n= + n= sin()e n d Par la majoraion sin(u) u, on obien sin()e n e n d = n La série [,+ [ sin()e n d converge, on peu inégrer erme à erme f() = + n= sin()e n d On calcule l inégrale sommée en considéran la parie imaginaire de On obien à erme f() = e i e n d + n= n + Exercice 5 : [énoncé] a) Pour a >, on noe Ω a = {z C/Re(z) a}. z z + es coninue par morceaux sur ], ], z + es coninue sur Ω e pour z Ω a, z + a + = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], ] car ϕ() a quand +. Par dominaion, on peu affirmer que f es définie e coninue sur Ω a. Ceci valan pour ou a >, on peu encore affirmer que f es définie e coninue sur Ω. b) On observe f(x) + f(x + ) = x d = x + e par coninuié donc c) Par inégraion par paries f(x + ) x f() f(x) x x + (z + )f(z) = + z+ ( + ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 9 Or avec z+ ( + ) d z+ d z+ = exp((z + ) ln = exp ((Re(z) + ) ln ) = Re(z)+ car les exponenielles imaginaires son de module. On a alors z+ ( + ) d Re(z)+ d = Re(z) + Re(z) + Ainsi puis Exercice 6 : [énoncé] Eudions la foncion donnée par (z + )f(z) Re(z) + f(z) z + z arcan(x/) + Noons u(x, ) = arcan(x/) + définie sur R + ], + [ u(x, ) es coninue par morceaux sur], + [ pour chaque x R + x u(x, ) es coninue sur R + pour chaque ], + [ e u(x, ) π/ + = ϕ() avec ϕ foncion inégrable sur ], + [. On en dédui que la foncion f es définie e coninue sur R +. x u(x, ) es dérivable sur R + pour chaque ], + [ e u (x, ) = ( + x )( + ) x u (x, ) es coninue sur R+ pour chaque ], + [ u (x, ) es coninue par morceaux sur ], + [ pour chaque x R+ e u (x, ) = x ( + ) car x x +. Soi [a, b] ], + [ (x, ) [a, b] ], + [, u (x, ) = a ( + ) = ψ() avec ψ foncion inégrable. Par dominaion sur ou segmen, on obien f de classe C sur ], + [ avec f (x) = ( + x )( + ) d Pour x, on peu décomposer la fracion raionnelle définissan l inégrande e on obien alors ( + )(x + ) = (x )( + ) (x )(x + ) f (x) = x [ ( )] + + ln x + = ln x (x ) Cee idenié se prolonge en x = par un argumen de coninuié. On a alors ln x ln ( d = lim ) ε ε ( d = lim f(x) f(ε) ) ε Or f() = e par coninuié on parvien à ln ( d = f(x) ) Exercice 7 : [énoncé] La foncion f es bien définie sur ], + [ e Posons définie sur ], + [ [, + [. x π u(x, ) = e x + e x + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions u adme deux dérivées parielles u (x, ) = + e x e u (x, ) = + e x Pour chaque x >, les foncions u e u son inégrables e pour ou [a, b] ], + [, on a la dominaion u (x, ) e a = ϕ() avec ϕ inégrable. On en dédui que la foncion x e x + d es définie e de classe C sur ], + [. Il en es de même pour f par opéraions sur de elles foncions. Quand x +, e x d + donc xf(x) π puis π f(x) x + x e x d = x Eudions mainenan f(x) quand x +. Par le changemen de variable u = x, e u x + u du = u e u x + u du u avec Par inégraion par paries, Pour x ], ], ϕ : u e u u [ ] + ln(x + u )ϕ(u) ln(x + u ) ln(u ) + ln( + u ) ln(x + u )ϕ (u) du es inégrable sur ], + [ car ϕ peu êre prolongée par coninuié en e On en dédui ϕ (u) Exercice 8 : [énoncé] a) Posons f : R R R définie par u + e u u ln x + O() ln x x + f(x, ) = La foncion f es définie e coninue sur R. Pour ou (x, ) R, on a eix + f(x, ) + = ψ() avec ψ inégrable sur [, + [. On en dédui que ϕ es définie e coninue sur R. b) Par inégraion par paries ϕ(x) = ix + e ix ix ( + ) d La foncion x e ix ( + ) d es de classe C sur R en veru de la dominaion ( ) e ix ( + ) = ( + ) + On en dédui que ϕ es de classe C sur R avec ϕ (x) = ix ix Or par inégraion par paries e ix ( + ) d + x e ix ( + ) d e la foncion u ( ln(u ) + ln( + u ) ) ϕ (u) e ix ] + [ ( + ) = eix e ix + + ix + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions donc ϕ (x) = x e ix + d + x Enfin, une dernière inégraion par paries donne ϕ (x) = [ x + eix e ix ( + ) d = x ] + + i + eix d ( + ) eix d e la relaion voulue... c) Par le changemen de variable u = x, on obien l expression proposée. On peu décomposer ϕ (x) = i D une par, par inégraion par paries avec e + D aure par avec e Au final ue iu x + u du + ue iu x + u du ue iu [ ] ue iu + x + u du = x u x + u (x + u ) eiu du [ ue iu x + u ] + x u (x + u ) eiu du = ei x + x ei + u x (x + u ) du = x + x + ue iu x + u du = u x + u du + u(e iu ) x + u du [ ] u x + u du = ln(x + u ) u(e iu ) x + u du e iu u ln x x + du < + ϕ (x) = i ln x + o(ln x) + O() i ln x x + d) En veru de ce qui précède Im(ϕ (x)) ln x + x On en dédui que la foncion réelle Imϕ n es pas dérivable en, il en es a foriori de même de ϕ. Exercice 9 : [énoncé] a) Posons u : R [, π] R la foncion définie par u(x, θ) = cos(x sin θ) La foncion u adme des dérivées parielles u (x, θ) = sin θ sin(x sin θ) e u (x, θ) = sin θ cos(x sin θ) Pour chaque x R, θ u(x, θ) e θ u (x, θ) son coninues par morceaux sur [, π] donc inégrable. De plus u es coninue en x e coninue par morceaux en θe x R, θ [, π], u (x, θ) = ϕ(θ) L applicaion ϕ éan inégrable sur [, π], on peu affirmer par dominaion sur ou segmen que la foncion f es de classe C avec f (x) = π b) On remarque e donc π sin θ cos(x sin θ) dθ e f (x) = π f (x) = π π x(f (x) + f(x)) = π π (cos θ ) cos(x sin θ) dθ π Par inégraion par paries, on obien cos θ. (x cos θ cos(x sin θ)) dθ x(f (x) + f(x)) = f (x) sin θ cos(x sin θ) dθ On en dédui que f es soluion de l équaion différenielle linéaire d ordre xy (x) + y (x) + xy(x) = Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions c) Pour ou x R, on peu écrire π π + n= ( ) n (n)! (sin θ)n x n dθ Puisque la série x n (n)! es convergene, un argumen de convergence normale perme une inégraion erme à erme e donc + n= a n x n avec a n = ( )n (n)!π π (sin θ) n dθ d) Nous pourrions calculer l inégrale définissan a n car c es une inégrale de Wallis, mais puisqu on nous demande d exploier l équaion différenielle... Pour ou x R, par dérivaion d une série enière f (x) = + n= (n + )a n+ x n+ e f (x) = + n= L équaion xf (x) + f (x) + x donne alors + n= ( (n + ) a n+ + a n ) x n+ = (n + )(n + )a n+ x n Par unicié des coefficiens d un développemen en série enière de rayon de convergence >, on obien Sachan a =, on conclu (n + ) a n+ + a n = a n = ( )n n (n!) Exercice : [énoncé] a) Par le changemen de variable = ux (bijecion de classe C ) on obien Posons g : ], + [ ], [ R définie par g(x, u) = du + x u u + x u u La foncion g es coninue sur ], + [ ], [ e g(x, u) u = ϕ(u) avec ϕ inégrable sur ], [. On en dédui que f es définie e coninue sur ], + [. b) Quand x + g(x, u) = Par la dominaion précédene De même, on obien f(x) x + + x u u u f(x) x + du u = [arcsin u] = π du = Exercice : [énoncé] a) Puisque cos quand + on peu affirmer, par équivalence de foncions posiives, que l inégrale diverge en. On peu alors conclure que f es définie sur ], + [ (car l inégrale sur un segmen d une foncion coninue converge) mais ne peu pas êre définie sur un domaine plus grand. b) Posons sin g(x) = d Cee fois-ci sin quand + e donc la foncion g es définie e coninue en. Puisque d f(x) + g(x) = = ln x on peu conclure f(x) ln x quand x + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 Aussi + cos() d = ln x + cos() Comme la nouvelle inégrale converge en + (cela s obien par une inégraion par paries) on conclu f(x) ln x quand x + Exercice : [énoncé] a) Posons f : [, + [ [, + [ R définie par f(x, ) = e + x Pour chaque x [, + [, la foncion f(x, ) es coninue par morceaux sur [, + [ e inégrable car f(x, ) + On en dédui la convergence de l inégrale impropre définissan F (x). b) Pour chaque [, + [, la foncion x f(x, ) es indéfinimen dérivable e n f n (x, ) = ( )n n! ( + x) n+ n e La foncion x n f (x, ) es coninue, la foncion n f n (x, ) es coninue par n morceaux e (x, ) [, + [ [, + [, n f (x, ) n n!n e = ϕ n () avec ϕ n : [, + [ R coninue par morceaux e inégrable. Par dominaion, on peu alors affirmer que F es de classe C sur [, + [ e c) En pariculier n N, x [, + [, F (n) (x) = ( ) n n! F (n) () = ( ) n (n!) d n e d Exercice 3 : [énoncé] a) Pour que la racine carrée soi définie pour ], [, il es nécessaire que x [, ]. Pour x ], [, l inégrale définissan f converge par les argumens d inégrabilié suivan ( )( x ) + e Pour x = ±, l inégrale définissan f diverge car ( )( x ) ( )( ) + C e L ensemble de définiion de f es donc ], [. b) Sur [, [, la foncion f es croissane e adme donc une limie en. Par l absurde, si celle-ci es finie égale à l R alors a [, [, a d ( )( x ) l Par inégraion sur un segmen, la foncion de x déerminée par le premier membre es coninue en x =, on en dédui a d ( ) l Or ceci es absurde car par non inégrabilié d une foncion posiive a d ( ) a + Exercice 4 : [énoncé] a) La foncion x /x α ( + x) es définie e coninue par morceaux sur ], + [ avec x α ( + x) x + x α e x α ( + x) x + x α+ Cee foncion es donc inégrable si, e seulemen si, α ], [. La foncion inégrée éan de surcroî posiive, l inégrale définissan f(α) converge si, e seulemen si, α ], [. b) On a f(α) dx x α+ = dx + x α ( + x) dx x α+ ( + x) Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 4 Or + dx + x α+ ( + x) dx x( + x) = C e pour α / On a donc f(α) = dx x α ( + x) dx = C x( + x) dx x α+ + O() = α + O() α c) Par le changemen de variable C bijecif x = /, on obien f(α) = f( α) d où la symérie affirmée. d) Posons u(α, x) = x α ( + x) Pour chaque x ], + [, la foncion α u(α, x) es coninue e pour chaque α ], [ la foncion x u(α, x) es coninue par morceaux. Enfin pour α [a, b] ], [ (avec a > ), on a e Ainsi u(x, α) u(x, α) x a ( + x) x b ( + x) si x [, + [ si x ], ] u(x, α) ϕ a,b (x) pour x ], + [ en posan ϕ a (x) = u(a, x) + u(b, x) qui es inégrable. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que f es coninue sur ], [. e) Par le changemen de variable x = /, on peu écrire e alors dx x α ( + x) = f(α) = d α ( + ) x α + x α x( + x) dx On vérifie que pour x, la foncion α x α + x α es décroissane sur ], /] puis croissane sur [/, [. La foncion f a donc la même monoonie e son minimum es donc d f(/) = = π ( + ) via le changemen de variable u =. Exercice 5 : [énoncé] a) Posons f(x, ) = ln +x. f es définie e coninue sur ], + [ ], ]. Pour x >, f(x, ) x ln donc f(x, ) puis f(x, ) es + inégrable sur ], ]. Ainsi F es définie sur ], + [. f adme une dérivée parielle Soi [a, b] ], + [. Pour x [a, b], + coninue avec (x, ) ln a = ϕ() (x, ) = ln (+x). avec ϕ inégrable sur ], ]. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que F es de classe C e b) Par inégraion par paries, F (x) = F (x) = ln ( + x) d [ ( ln + x )] ( x + x ) d x où la primiive de +x es choisie de sore de s annuler en pour que l inégraion par paries présene deux convergences. Ainsi F d ln(x + ) ln x (x) = = ( + x) x Par opéraions puis G (x) = Or G() = F () avec ln(x + ) ln x x F () = ln( + /x) + ln x x G(x) = G() (ln x) ln + d = + k= ( ) k k ln() d = x ln x Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 Or k ln() d = (k+) donc par convergence de la série des inégrales des valeurs absolues, F () = + ( ) n n. Sachan + n = π π 6, on obien F () = n= n= puis G(x) = (ln x) π 6 c) Par décomposiion en élémens simples Le erme enre croche end vers quand x + e le erme inégrale aussi car cos() (x + ) d x d x = x Ainsi g(x) x + Donc ( + )( + chθ + ) = chθ + chθ ( + chθ) + chθ + ln + + ch(θ) + d = chθ (F () G(eθ )) = θ 4(ch(θ) ) Exercice 6 : [énoncé] a) Par le changemen de variable = xu, g(x) = sin + x d = sin(xu) + u du L applicaion f : (x, u) sin(xu) +u es définie e coninue sur ], + [ [, ] e f(x, u) = ϕ(u) avec ϕ inégrable sur [, ]. Par dominaion, on peu conclure que g es définie e coninue sur ], + [. b) Puisque u [, ], sin(xu) + u x + on peu affirmer, oujours par dominaion, que g(x) x + du = La même echnique ne s applique par pour l éude en +. On va alors ransformer l écriure de l inégrale. Par inégraion par paries [ g(x) = cos() ] x cos() x + (x + ) d Exercice 7 : [énoncé] Considérons f : (x, ) e x + définie sur ], + [ [, + [ Pour [, + [, la foncion x f(x, ) es fois dérivable sur ], + [ f adme une dérivée parielle e x (x, ) = + Pour ou x ], + [, f(x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur [, + [ car f(x, ) + De plus x ], + [, (x, ) es coninue par morceaux. [, + [, x (x, ) es coninue. Enfin, pour [a, b] [, + [. On a (x, ) [a, b] [, + [, (x, ) e a avec ϕ : e a coninue par morceaux e inégrable sur [, + [. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 Par dominaion sur ou segmen, la foncion g es de classe C sur R + e g (x) + g(x) = e x + d + e x + d = e x d = x On peu aussi consaer le résula plus direcemen en procédan aux changemens de variable u = + puis v = ux ce qui ramène l expression éudiée à une primiive g(x) = e x e v v dv e on peu alors vérifier la saisfacion de l équaion différenielle. Exercice 8 : [énoncé] a) L applicaion ln x es définie e coninue par morceaux sur ], [. Quand +, ln x = o ( x ) Quand, ln x L applicaion ln x es donc inégrable sur ], [ Donc g es bien définie. b) Posons f(x, ) = ln ex ln. x >, f(x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur ], [ comme vu ci-dessus. La foncion f adme une dérivée parielle x ln (x, ) = ( )ex x >, (x, ) es coninue par morceaux sur ], [, ], [, x (x, ) es coninue sur ], + [. Pour [a, b] ], + [ (x, ) [a, b] ], [, (x, ) ( )a = ϕ a () avec ϕ a coninue par morceaux e inégrable. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que g es de classe C sur ], + [ e g (x) = ( ) x d = x + x + c) Par inégraion g(x) = ln x + x + + C Eudions C = lim g(x). x + La foncion ln peu êre prolongée par coninuié sur [, ], elle y es donc bornée par un cerain M e alors On en dédui C =. Exercice 9 : [énoncé] Posons g(x) M x dx = u(x, ) = ln x M x + x + définie e coninue par morceaux sur R ], [. Pour ou x R, la foncion u(x, ) es coninue par morceaux sur ], [. Puisque u(x, ) x + x ln e u(x, ) la foncion u(x, ) es inégrable sur ], [ si, e seulemen si, x >. De plus, cee foncion es posiive e donc la convergence de l inégrale équivau à l inégrabilié de la foncion inégrande. On en dédui que la foncion f es définie sur ], + [. La foncion u adme une dérivée parielle u (x, ) = ( )x Cee dérivée parielle es coninue en x e coninue par morceaux en. Pour [a, b] ], + [, on a (x, ) [a, b] ], [, u (x, ) ( )a Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que f es de classe C sur ], + [ avec f (x) = ( ) x d = x + x + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 On en dédui ln x + x + + C La foncion ln es coninue sur ], [ e se prolonge par coninuié en e, elle es donc bornée par un cerain M R + e alors f(x) On en dédui C = puis finalemen M x d = ln x + x + M x + x + Exercice 3 : [énoncé] a) cos(x)e = Re(e ( +i.x) ) e e ( +i.x) = e qui es inégrable sur R +. Par suie cos(x)e d exise e ( ) ( ) cos(x)e d = Re e ( +i.x) d = Re = i.x + x sin x b) g(x, ) = e es définie e coninue sur R ], + [. g(x, ) es coninue par morceaux sur ], + [, se prolonge par coninuié en e es négligeable devan / en + donc la foncion F es bien définie sur R. g es définie sur R ], + [, g ], + [, x g (x, ) es coninue par morceaux sur (x, ) es coninue sur R e pour ou x >, g (x, ) = cos x.e = e = ψ() avec ψ inégrable sur R +. Par dominaion F es de classe C sur R avec F (x) = c) F () = donc F (x) = arcan x. cos(x)e d = + x Exercice 3 : [énoncé] La foncion u(x, ) = e (ix ) / définie sur R ], + [. u(x, ) es coninue par morceaux sur ], + [ pour chaque x R e u(x, ) + On en dédui que la foncion donnée par F (x) = e u(x, ) + e (ix ) d = f(x) + ig(x) es définie sur R. La foncion x u(x, ) es dérivable sur R pour chaque ], + [ e u (x, ) = i e (ix ) x u (x, ) es coninue sur R pour chaque ], + [, u (x, ) es coninue par morceaux sur ], + [ pour chaque x R e u (x, ) = e = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], + [ car prolongeable par coninuié en e vérifian ϕ() +. Par dominaion, on peu affirmer que F es de classe C sur R e F (x) = e (ix ) d A l aide d une inégraion par paries, on obien F (x) = (x + i) F (x) La résoluion de cee équaion différenielle donne Enfin, sachan x)/ ei(arcan F (x) = F () (x + ) /4 π e d = Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 8 on parvien à πe i(arcan x)/ F (x) = (x + ) /4 d où les expressions de f(x) e de g(x). ( ) π arcan x cos e g(x) = (x /4 + ) π sin (x /4 + ) On peu encore évenuellemen «simplifier»en exploian + cos(x) cos x = pou x [ π/, π/] ce qui donne e aussi ( ) arcan x cos = Exercice 3 : [énoncé] On défini f : R ], + [ R par + +x ( ) arcan x sin = signe(x) +x f(x, ) = e a e b cos(x) ( ) arcan x a) Pour x R, la foncion f(x, ) es définie e coninue par morceaux sur ], + [. Quand +, f(x, ) e quand +, f(x, ) b a donc f(x, ) es inégrable sur ], + [. b) Pour x R, la foncion f(x, ) es dérivable e La foncion avec ϕ foncion inégrable. (x, y) = (e b e a ) sin(x) es coninue sur R ], + [ e (x, ) e a + e b = ϕ() On en dédui que F es de classe C sur R e Or donc c) On en dédui F (x) = (e b e a ) sin(x) d ( ) e c sin(x) d = Im e ( c+ix) x d = c + x F (x) = x x + b x x + a F (x) = ( x ln + b ) x + a + C e Pour déerminer la consane, on éudie la limie de F en +. Posons ψ() = e a e b ce qui défini une foncion de classe C inégrable ainsi que sa dérivée sur ], + [. Par inégraion par paries généralisée jusifiée par deux convergences e donc On peu conclure ψ() cos(x) d = x [ψ() sin(x)]+ x ψ() cos(x) d x F (x) = ( x ln + b ) x + a ψ () d ψ () sin(x) d Exercice 33 : [énoncé] f : (x, ) e x e y e (x, ) = e x son définies e coninues sur R + R +. f(x, ) es inégrable sur ], + [ car prolongeable par coninuié en e négligeable devan / en +. Pour a >, x [a, + [ (x, ) e a = ϕ a () avec ϕ a inégrable sur R +. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 9 Par dominaion x F (x, y) es de classe C e F (x, y) = e x d = x Donc F (x, y) = ln x + C e e puisque pour x = y, on a F (x, y) = on obien F (x, y) = ln y ln x Exercice 34 : [énoncé] a) g(x, ) = e ( +ix) es définie e coninue par morceaux sur [, + [. Puisque g(x, ) = e es inégrable sur [, + [, la foncion z es bien définie. g (x, ) = i e ( +ix) es définie e coninue par morceaux sur [, + [, x g (x, ) es coninue sur R, g (x, ) e = ϕ() avec ϕ inégrable sur [, + [. La foncion z es donc définie e de classe C sur R avec z (x) = i e ( +ix) d = b) En muliplian par la quanié conjuguée donc ipp (x + i) z(x) (x + i) = x + i (x + ) = x (x + ) + i (x + ) ( z(x) = C exp i arcan x ) x)/ 4 ln(x Cei(arcan + ) = (x + ) /4 Puisque z() = π, on conclu πe i(arcan x)/ z(x) = (x + ) /4 Exercice 35 : [énoncé] a) On réalise le changemen de variable u =. On obien z() = π. b) g(x, ) = e( +i.x) es définie, coninue par morceaux sur ], + [ e inégrable. g adme une dérivée parielle g (x, ) = i. e ( +ix) g (x, ) es définie e coninue par morceaux sur ], + [, x g (x, ) es coninue sur R, g (x, ) e = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], + [. La foncion z es donc définie e de classe C avec c) z (x) = donc i. e ( +i.x) i d = ipp ( ix) e ( +i.x) (x + i) = x + i (x + ) = x (x + ) + i (x + ) ( z(x) = C exp i arcan x ) x)/ 4 ln(x Cei(arcan + ) = (x + ) /4 Puisque z() = π, on conclu πe i(arcan x)/ z(x) = (x + ) /4 Exercice 36 : [énoncé] Posons f(x, ) = e e ix d = (x + i) z(x) La foncion f(x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur R car e donc la foncion g es définie sur R. La foncion x f(x, ) es dérivable e f(x, ) ± (x, ) = ie e ix Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 La foncion (, x) es coninue par morceaux, la foncion x (x, ) es coninue e (x, ) e = ϕ() avec ϕ inégrable sur R indépendan de x. On en dédui que la foncion g es de classe C e par une inégraion par paries g (x) = ie e ix d = [ i ] + e ix e On en dédui que g es soluion de l équaion différenielle g (x) + xg(x) = Après résoluion de cee équaion différenielle Enfin g() = π donne λ = π. Exercice 37 : [énoncé] Posons g(x) = λe x /4 f(x, ) = e e x xe e ix d La foncion f(x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur R car e donc la foncion g es définie sur R. La foncion x f(x, ) es dérivable e La foncion coninue. Pour a R +, on a f(x, ) ± (x, ) = e e x (, x) es coninue par morceaux, la foncion x (x, ) es (x, ) [ a, a] R, (x, ) ea e = ϕ a () avec ϕ a inégrable sur R indépendan de x. On en dédui que la foncion g es de classe C e par une inégraion par paries g (x) = e e x d = [ ] + e e x + xe e x d On en dédui que g es soluion de l équaion différenielle g (x) xg(x) = Après résoluion de cee équaion différenielle Enfin g() = π donne λ = π. g(x) = λe x /4 Exercice 38 : [énoncé] Posons u(x, ) = e cos(x). La foncion u es définie sur R [, + [ e adme une dérivée parielle u (x, ) = e sin(x) x R, u(x, ) es coninue par morceaux e inégrable sur [, + [ car négligeable devan / en +. x R, u (x, ) es coninue par morceaux sur [, + [. [, + [, x u (x, ) es coninue sur R. Enfin (x, ) R [, + [, u (x, ) e = ϕ() avec ϕ : [, + [ R coninue par morceaux e inégrable sur [, + [. Par dominaion, la foncion g es de classe C e g (x) = e sin(x)d Procédons à une inégraion par paries avec les foncions C u() = e e v() = sin(x) Puisque le produi uv converge en e +, l inégraion par paries impropre es possible e [ ] + g (x) = e sin(x) xe cos(x) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd