Chaitre : Sites (Termiales ES sécialité) Activités réaratoires Activité. :. Voici les remiers termes d e site ( ) ; 4 ; ; 4 ; Comléter la hrase sivate : «Chaqe terme est obte e mltiliat le récédet ar. is e ajotat» Calcler alors 7 :. Voici les remiers termes d e site ( ) 7 ; ; ; 8 ; Comléter la hrase sivate : «Chaqe terme est obte e mltiliat so idice ar. is e sostrayat» Calcler alors 7..Das chac des trois cas a) b) c) sivats o doe les qatre remiers termes d e site ( ). Détermier les dex termes sivats de la site e exliqat votre raisoemet. a) ; ; 7; 5 ; b) 5 ; ; 9; 4 ; c) ; ; ; Activité. (Revoir les résltats de ère sr les sites arithmétiqes et géométriqes). Afi de miex coaître l évoltio de ler olatio, dex villes dresset costat des deriers recesemets. E moyee la ville comte chaqe aée 8 habitats slémetaires et la ville voit sa olatio croître de,5% d e aée sr l atre. a. Modélisatio de la sitatio. O ote ( ), resectivemet ( v ), le ombre d habitats de la ville, resectivemet de la ville, à l aée +. E les dex villes comtaiet totes dex 5 habitats : v 5 Exliqer orqoi la site ( ) est arithmétiqe. Doer sa raiso. Exrimer ( ) e foctio de Exliqer orqoi la site ( v ) est géométriqe. Doer sa raiso. Exrimer ( v ) e foctio de. b. Utilisatio de la calclatrice or tabler les sites ( ) et ( v ) A l aide d mode séqetiel de la TI 8 Stats tabler ces dex sites. A artir de qelle aée la olatio de la ville déassera-t-elle celle de la ville? Activité. Evoltio de art de marché. A er javier 5, e société d etretie de locax idstriels comtait 9 cliets. O estime qe chaqe aée, elle erd 4% de sa clietèle, de l aée récédete, mis q elle récère oveax cliets.. Modélisatio de la sitatio. a) Vérifier qe cette société comtera 74 cliets a er Javier. Combie de cliets comtera-t-elle a er javier 7? b) O ote a so ombre de cliets a er javier de l aée 5+ exliqe orqoi a, a + + Lycée Berthelot Lois Glli Page sr 8 TES Sé Les sites
a et cojectres. f est la foctio défiie sr R ar f ( x ), x +. Aisi, or tot etier atrel, a + f ( a ). Das le grahiqe ci-dessos o a tracé la droite d rerésetat f et la droite rerésetat la droite d éqatio y x. O a lacé a 9 sr l axe des abscisses. O se roose de lacer les termes sivats sr l axe des abscisses, avec la règle iqemet.. Rerésetatio grahiqe de la site ( ) a) exliqer commet ot été lacés a et a b) Placer a, a 4, a 5 c) Cojectrer le ses de variatio de la site ( a ), la limite de cette site lorsqe red de grades valers, et ombre m tel qe or tot N, a m. Gééralités sr les sites et ricie de récrrece. Défiitio : Ue site réelle est e foctio d e artie de N das R. Modes de défiitios d e site Sites défiies ar la doée exlicite de lers termes Exemles : ( ) ; v f ( ) où f ( x ) x² + x ; w 5 Sites défiies ar récrreces. Exemles : et or + + (Remarqe + f ( ) où f ( x ) + x ). Sites arithmétiqes Dire q e site ( ) est arithmétiqe sigifie q il existe ombrer, aelé raiso, tel qe or tot, + + r. Il e réslte qe or tot cole d etiers ( m; ) tel qe m < + ( m )r m Lycée Berthelot Lois Glli Page sr 8 TES Sé Les sites
Cas articlier classiqe : er terme derier terme ( m + ) m + m+ +... + ( m + ) m+ termes ( + ) + + +... + ombre de termes Exemle : L extractio d mierai das e mie a commecé e 995. E 995 o a extrait,9 millier de toes et e, o a extrait 4,4 milliers de toes. O sose qe l agmetatio aelle absole de rodctio est costate. a) Qelle sera la rodctio de l aée 45? b)qelle masse totale de mierai M ara-t-o extrait e 45?. Sites géométriqes Dire q e site ( ) est géométriqe sigifie q il existe ombre q, aelé raiso, tel qe or tot, + q Il e réslte qe or tot cole d etiers ( m; ) tel qe m < m + m+ +... + m+ termes m er terme m m er terme q m ombre de termes m+ ) ( q q ( m + ) ombre de termes si q si q Exemle : Ue ville comte habitats e et 99 habitats e 5. O sose qe l agmetatio aelle relative d ombre d habitats est costate. Qelle sera la olatio de cette ville e 5, arrodie à la cetaie?.4 Ses de variatio d e site Dire q e site ( ) Dire q e site ( ) est croissate sigifie qe or tot, + est décroissate sigifie qe or tot, + Exemles des sites arithmétiqes et géométriqes. Etde des variatios de la site ² +.5 Sites majorées, miorées, borées Défiitios : Dire q e site ( ) est majorée ar M sigifie qe or tot etier atrel, M. v est miorée ar m sigifie qe or tot etier atrel, v m. v M est aelé majorat de la site ( ) Dire q e site ( ) m est aelé miorat de la site ( ) Ue site à la fois majorée et miorée est dite borée. Exemle: est etier atrel,,. Raisoemet ar récrrece. Exemle itrodctif +, est borée Lycée Berthelot Lois Glli Page sr 8 TES Sé Les sites
( ) est la site défiie ar : et or tot N + 5 est etier atrel, otos P la roositio sivate : ( 5) O vérifie facilemet qe P est vraie, P est vraie P est vraie L tilisatio d tabler ermet de vérifier qe P or de très grades valers de (, etc ) Ceedat, cela e démotre as qe la roositio est vraie or tot NN. Ce costat a ameé les mathématicies à défiir rocédé or démoter q e roositio déedat d etier, otée P est vraie or tot etier Ce rocédé est axiome, aelé axiome, o ricie de récrrece.. Axiome de récrrece Eocé d ricie de récrrece. est etier atrel doé, or démotrer q e roositio etier ) O démotre qe P est vraie (iitialisatio) P est vraie or tot, P est vraie, et o démotre ) O sose qe or etier atrel qelcoqe alors qe P + est vraie (O dit q o démotre l hérédité). Exemles est la site à termes ositifs défiie ar : et or tot Exemle : ( ) N +. + 5 est la site à termes ositifs défiie ar :, démoter ar récrrece sr N qe ( ) Exemle : ( ) N. 5 + +, démoter ar récrrece sr N qe ( ) est décroissate. et or tot est miorée ar 5 Exemle : Démoter ar récrrece sr N * qe >. Remarqe : Il est itile d tiliser l axiome de récrrece qad o disose d e méthode directe Exemle ( + ) ² ² + + (idetité remarqable, règles de calcls das R ) Exemle +, «or N,» +. Limites de sites.site de limite fiie (site covergete) Si les termes d e site s arochet assi rès qe l o vet d réel l lorsqe est a or limite l e +, o coverge vers l. lim l. sffisammet grad,o dit qe la site ( ) O ote alors + Exemle. est la site défiie or ar + Tabler sr votre calclatrice. Qe et-o cojectrer. Jstifier qe or >, < + < O a doc redre «roche de à rès» e reat est sffisammet grad ( > ) Lycée Berthelot Lois Glli Page 4 sr 8 TES Sé Les sites
de faço géérale o et redre assi roche de qe l o vet e reat est sffisammet grad, doc lim. +. Site de limite ifiie ( Site divergete vers l ifii) Exemle. est la site défiie or N ar ² Por avoir ² > il sffit de redre > O et motrer qe déasse imorte qel ombre, assi grad soit-il, à coditio qe soit sffisammet grad. O dit qe lim + + Exemle. est la site défiie or N ar O et motrer qe deviet très grad «e valer absole» mais e état égatif à coditio qe soit sffisammet grad. O dit qe lim +. Site d tye f ( ) Théorème (admis) a désige réel o o +. La site est défiie or tot N ( avec ) ar f ( ), et f est e foctio ;+. Si lim f ( x ) a Alors lim a défiie sr [ [ x + + Exemles : lim ; lim ; lim ; lim ² + ; lim + + + ² + + + + lim ( ² + 4 )? ; lim? + + + 4. Proriétés des limites 4. Règles oératoires. Les règles oératoires sr les limites de foctios ( somme rodit qotiet) s aliqet égalemet ax limites de sites + Exemles ; lim ( )? ; lim ( )? ² + + + + 4. limites de sites arithmétiqes. Proriété : Tote site arithmétiqe de raiso r > a or limite + Tote site arithmétiqe de raiso r < a or limite 4. limite d e site géométriqe Théorème : q est réel. (démostratio iqemet or q, mais arès les chaitres exoetielle et logarithme). Si < q < alors lim q ; Si > + q alors lim q + + Si q alors q a as de limite Exemle : 5 ; lim ( )? + Lycée Berthelot Lois Glli Page 5 sr 8 TES Sé Les sites
Exemle : est e site géométriqe de raiso et de remier terme O ote S + + +... ; lim ( S )? + Exercices Exercice. est e site arithmétiqe de raiso r et de remier terme 9 7 calcler Exercice. est e site géométriqe de raiso q et de remier terme 5 calcler Exercice. est e site géométriqe telle qe 5 7 et 7 calcler Exercice 4. Calcler les sommes sivates : a) -5--- -9-7 5 7 b) + + +... + + c) +5+5+.+78 5+9 5 d) + +... + 4 8 44 5488 Exercice 5. Das chac des cas sivats la site est-elle arithmétiqe? Géométriqe? Préciser, lorsqe la site est arithmétiqe o géométriqe, le remier terme, la raiso, l exressio de e foctio de et la somme S des remiers termes coséctifs de la site. a) ² ; b) ² ; c) + 4 d) ² + e) x + Exercice : f est la foctio défiie sr ] ;+ [ ar f ( x ) et est la site défiie x sr N * ar f ( ). ;+, e dédire qe est mootoe. Etdier les variatios de f sr ] [ Exercice 7 : est la site défiie ar et or tot N, + + +, a) tabler cette site à la calclatrice, is la reréseter. b) Cojectrer so ses de variatio. c)démotrer la cojectre d b). Exercice 8 : la site est défiie or tot N, ar. Démotrer qe est borée. Exercice 9: est la site défiie ar et or tot N, + + v est la site défiie or tot N,ar v + + a) Tabler les dex sites. b) Cojectrer e exressio de v e foctio de c) Démotrer ar récrrece la cojectre d b) e dédire l exressio de e foctio de Lycée Berthelot Lois Glli Page sr 8 TES Sé Les sites
Exercice Polyésie ji 9 Exercice : est la site défiie ar et or tot N, +, 9 + a) Tabler cette site à la calclatrice. b) démotrer ar récrrece qe la site est miorée ar et majorée ar. c) exrimer + e foctio de, dédire de la qestio b) qe la site est croissate. d) Démotrer ar récrrece qe or tot N, + 9(, 9 ) e) Etdier la covergece de la site f) or qelles valers de a-t-o 99 Lycée Berthelot Lois Glli Page 7 sr 8 TES Sé Les sites
Exercice Atilles Gyae setembre 8 Exercice Novelle Calédoie Setembre 8 Lycée Berthelot Lois Glli Page 8 sr 8 TES Sé Les sites