T.P. 5 Exercce 1 Dstrbuton normale Connassances préalables : Buts spécfques : Outls nécessares : Noton de moyenne, varance et écart type. Acquérr la noton de dstrbuton normale et ses caractérstques. Paper, crayon. Introducton : On constate que les dstrbutons de données contnues présentent souvent une forme relatvement régulère (en forme de cloche, attegnant progressvement le maxmum avant de dmnuer graduellement) qu on appelle dstrbuton normale ou dstrbuton de Gauss. La dstrbuton normale est une dstrbuton très fréquente dans les phénomènes naturels. Elle est décrte par une équaton complquée qu l n est pas nécessare de présenter c. Ce qu l est mportant de comprendre ce sont ses proprétés ans que sa sgnfcaton. En smplfant, on peut dre qu une dstrbuton est normale dès lors que la majorté des sujets sont regroupés de façon symétrque autour de la moyenne. Par exemple, l y a fort à parer qu une nterrogaton donne des résultats pour lesquels la majorté des étudants auront été moyens, quelques-uns peu performants et quelques uns très bons. On retrouve le même profl s on étude les talles moyennes d une populaton. Par exemple s vous vous levez tous, on retrouvera sans doute une large proporton d entre vous mesurant à peu près la même talle, un ou deux étudants plus petts et un ou deux plus grands. Cette dstrbuton se dstngue d autres comme les bmodales, que l on retrouverat en calculant la talle moyenne d une populaton consttuée d enfants de 10 à 12 ans et d adultes de 20 à 22 ans par exemple. On aurat dans ce cas deux pcs regroupant une parte de la populaton étudée. Les proprétés de la dstrbuton normale sont : - - Les lmtes sont +/- ; L abscsse représente les dfférentes valeurs de et l ordonnée correspond à la densté des fréquences relatves ; Elle est unmodale et symétrque : 50% des ndvdus sont en dessous de la moyenne et 50% au-dessus. La moyenne (c appelée µ) est égale au mode et à la médane. On retrouve 68.26% de la populaton entre ± 1 écart-type (c appelé s ) autour de la moyenne TP 5 2006-2007 1/22
- On retrouve 95.44% de la populaton entre ± 2 écarts types autour de la moyenne. - On retrouve 99.74% de la populaton entre ± 3 écarts types autour de la moyenne - Elle peut donc être décrte ntégralement par deux paramètres : sa moyenne et sa varance (ou son écart-type). Une dstrbuton normale dépend toujours de la valeur de la moyenne et de la varance de la populaton. Fgure 1 : dstrbutons normales avec écart type = 1 et dfférentes moyennes Fgure 2 : Dstrbutons normales avec moyenne = 0 et dfférents écarts types TP 5 2006-2007 2/22
1. Trouvez deux varables qu pourraent être dstrbuées normalement. 2. Parm ces séres dstrbutons, cochez dans la dernère colonne celle(s) qu s approche(nt) le plus d une dstrbuton normale? j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n j dstr. A 1 2 5 7 9 9 7 5 2 1 n j dstr. B 1 5 5 1 0 0 2 7 7 2 n j dstr. C 1 3 5 7 8 8 9 11 13 15 n j dstr. D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 n j dstr. E 1 1 1 1 2 2 2 3 3 5 TP 5 2006-2007 3/22
T.P. 5 Exercce 2 Score Z Connassances préalables : Buts spécfques : Outls nécessares : Consgne : noton et proprétés de moyenne et d écart type, dstrbuton normale Acquérr la noton et proprétés du score Z Paper, crayon. Arrondssez à deux décmales. Concept de score Z (ou score standard) : l s agt d une technque statstque qu consste à convertr un score ndvduel en un score standardsé, encore appelé score centré et rédut ou score Z. Le score Z permet de fournr une ndcaton précse de la poston du score de l ndvdu au sen de la dstrbuton. Exemple : vous obtenez une note de 76 sur 100 à l examen de math. Vous désrez comparer cette note par rapport aux autres notes de la classe. Pour cela, l est utle de connaître la moyenne de la classe. En effet, s la moyenne est de 70/100, vous êtes «meux placé» que s la moyenne est de 90. Toutefos, la moyenne ne vous fournt comme nformaton que votre poston (au-dessus ou en dessous) par rapport à la moyenne. S la moyenne est de 70, vous avez peut-être la melleure note de la classe, mas peut-être vous stuez-vous smplement dans le tas. L écart type peut vous donner une nformaton supplémentare. S l est de 3, une note de 76 est meux placée que s l est de 12 par exemple. Le but de cet exemple est de vous fare prendre conscence que le score en lu-même fournt peu d nformaton s on ne connaît pas la moyenne et l écart type de la dstrbuton. Le score Z se base sur ces 2 ndces pour fournr une nformaton précse sur la localsaton d un score sur une dstrbuton. Voc comment le calculer : Z = S Le sgne du score Z (+ ou -) ndque s le score est au dessus (+) ou en dessous (-) de la moyenne. La valeur numérque du score Z ndque la dstance à partr de la moyenne en termes de nombre d écarts types. 1. Au début de l année scolare, un ensegnant fat passer un test de franças à ses élèves pour connaître leur nveau en cette matère. Les résultats de ce test sont transformés en scores Z. Un élève obtent un score de Z = + 2,4. Que peut-on dre de sa note? TP 5 2006-2007 4/22
2. Une dstrbuton de notes à un examen a une moyenne de 50 et un écart type de 8. Pour cette dstrbuton, quels sont les scores Z correspondant à = 58 et = 46. Pour cette dstrbuton, quelle note correspond à un score Z de +2? Quelle formule générale pouvez-vous trer de vos calculs? 3. La dstrbuton des notes à un examen a une moyenne de 60 et un écart type de 4. Indquez les formules adéquates que vous utlsez pour répondre aux questons suvantes : a) Quel est le score Z d un élève qu obtent la note de 66? b) Quel est le score Z d un élève qu obtent la note de 50? c). A quelle note correspond un score Z de + 2? Indquez la formule que vous utlsez. TP 5 2006-2007 5/22
4. S la moyenne d une populaton vaut 50 et qu une note de 43 correspond à un score Z de 1. Quel est l écart type de cette populaton? 5. Voc un échantllon 5 notes : 1, 3, 5, 6, 7 Z 1 1 2 3 3 5 4 6 5 7 Transformez chaque note de la dstrbuton en un score Z et ndquez ces scores dans le tableau cdessus. Calculez-en la moyenne et l écart type des scores Z. Que pouvez-vous conclure par rapport à la forme, l écart type et la moyenne de cette nouvelle dstrbuton? TP 5 2006-2007 6/22
Proprétés du score Z : S on transforme tous les scores d une dstrbuton en scores Z (comme vous venez de le fare à l exercce précédant), on obtent une dstrbuton de scores Z. Une telle dstrbuton aura les caractérstques suvantes : - la FORME de la dstrbuton des scores Z sera exactement la même que la forme de la dstrbuton des scores orgnaux. - La MOYENNE de la dstrbuton des scores Z sera toujours de 0. Rappelez-vous ce qu a été dt au TP 2 sur les proprétés de la moyenne. S une constante (dans le cas des scores Z, la constante c est la moyenne) est retranchée à chaque score de la dstrbuton, alors la moyenne de la nouvelle dstrbuton équvaut à la moyenne de l ancenne dstrbuton mons la constante (dans notre cas - ). Toutefos, l écart type reste nchangé. nvelle = anc - c c'est-à-dre dans notre contexte : var. centrée = et S var. centrée= S anc - L ECART TYPE de la dstrbuton de scores Z sera toujours de 1. cf. TP3 : proprétés de l écart type : s chaque score d une dstrbuton est dvsé par une constante (dans le cas du score Z, c = écart type), alors la moyenne de la nouvelle dstrbuton est égale à la moyenne de l ancenne dstrbuton dvsée par la constante, et l écart type de la nouvelle dstrbuton est égal à l écart type de l ancenne dstrbuton dvsé par la constante. nvlle = anc c c est-à-dre dans notre contexte : = var. rédute S S var.rédute = S anc c Dans le cas du score Z, on combne ces deux transformatons et on a donc : S Z = = 0 et S Z = = 1 S S TP 5 2006-2007 7/22
T.P. 5 Exercce 3 Score Z et ses usages Utlté du score Z : Le score Z nous sert à comparer des scores provenant de dstrbutons dfférentes. Par exemple en franças, la moyenne de la classe est de 50 et l écart type de 12 ; et en maths, la moyenne vaut 48 et l écart type 4. Aux deux examens, vous obtenez une note de 56. Dans quel cours êtes-vous meux placé par rapport aux autres élèves de la classe? La transformaton de la dstrbuton des notes en une dstrbuton de scores Z permet de répondre à cette queston. En franças, votre note vaut Z = +0,5 et en math, votre note correspond à Z = +2. Par rapport aux autres élèves, votre résultat en math est donc melleur que celu que vous avez obtenu en franças, ben que la note brute sot dentque. 1. Pourquo est-l possble de comparer des scores provenant de dstrbutons dfférentes après que chaque dstrbuton sot transformée en scores Z? 2. Une dstrbuton A se dstrbue autour d une moyenne de 20 et d un écart type de 7. Une dstrbuton B se dstrbue autour d une moyenne de 23 et d un écart type de 2. Dans quelle dstrbuton un score de 27 est-l meux placé par rapport aux autres? Explquez votre réponse. TP 5 2006-2007 8/22
T.P. 5 exercce 4 Applcaton du score Z à la dstrbuton normale Autre utlté du score Z : Noton de probablté dstrbuton normale score Z Comme l a été dt au TP 5, dans une dstrbuton normale, la majorté des scores se stuent autour de la moyenne et les scores extrêmes sont relatvement rares. Ans, la probablté qu un ndvdu tré au hasard at un score proche de la moyenne est plus élevée que la probablté que son score sot extrême. Pour connaître les probabltés d occurrence des dfférents scores l est donc utle de connaître la forme de la dstrbuton. S la dstrbuton est normale, on sat que 50% de la populaton a un score nféreur à la moyenne ; on sat également qu entre la moyenne et 1 écart type, l y a exactement 34,13% de la populaton. Donc 84,13% de la populaton a un score égal ou nféreur à + 1 écart type. Mas qu en est-l d un score stué à 0,67 écart type en dessous de la moyenne??? Pour répondre à cette queston, vous pourrez utlser la formule complexe de la dstrbuton normale. Cette formule permet de connaître la fréquence relatve (et donc la probablté) de vor un score chos aléatorement tomber dans un ntervalle entre 2 valeurs de. Pour faclter le traval et évter de devor utlser cette formule complexe, les statstcens ont créé des tables qu permettent d émettre des probabltés concernant les observatons. Toutefos, une dstrbuton normale dépend toujours de la moyenne et de l écart type de la populaton, l faudrat donc établr des tables dfférentes pour chaque combnason possble de moyenne et d écart type, ce qu est dffclement réalsable. D où toute l mportance des scores Z : la soluton à ce problème consste donc à standardser les données de manère à transformer la dstrbuton en une dstrbuton normale rédute de moyenne 0 et d écart type 1. Cec nous permet de n utlser qu une seule table (celle de la dstrbuton normale centrée et rédute ou standardsée) quels que soent la moyenne et l écart type. Une fos qu on a les probabltés pour les scores Z, on peut alors retrouver les probabltés assocées aux scores bruts. On consdère une varable aléatore dont la dstrbuton est normale, contnue et symétrque par rapport à l'orgne. On sat par calcul ou par lecture d'une table que dans une dstrbuton normale : P ( 1 Z + 1) = 0,6826 = 68,26% P ( 2 Z + 2) = 0,9544 = 95,44% P ( 3 Z + 3) = 0,9974 = 99,74% TP 5 2006-2007 9/22
1. Représentez sur une courbe normale standardsée les probabltés données c-dessus. Réponse 1 : 2. Placez sur le graphque c-dessous les proportons lées aux dfférentes surfaces ndquées. Réponse 2 :.6826. 3413 = 2.9544.9544.6826. 1359 =.3413 ou.1359 = 2 2.9974.9544.9974.9544. 0215 = ou.0215 = 2 2 2 1 Image extrate du ste : www.fao.org/docrep/ 003/6831F/6831f06.htm consulté le 4/3/2006 2 Image extrate du ste : http://www.csteq.com/contenu/scencesnatures/mathematques/lo7.gf consulté le 4/3/2006 TP 5 2006-2007 10/22
T.P. 5 exercce 5 Utlsaton de la table de dstrbuton normale standardsée Outls nécessares : Consgnes générales : Table de dstrbuton normale (Z) Donnez les résultats avec une précson de quatre décmales. 1. À l ade de la table, trouvez la proporton d une dstrbuton normale qu est localsée dans la parte au-dessus des scores Z suvants : 1.1. Z = + 1 1.2. Z = + 0,72 1.3. Z = - 2 1.4. Z = - 0,33 2. Trouvez la proporton de la dstrbuton normale stuée entre la moyenne et les scores Z suvants : 2.1. Z = +0,67 2.2. Z = -1,5 2.3. Z = - 0,5 3. Trouvez la proporton d une dstrbuton normale stuée entre les scores Z suvants : 3.1. Entre Z = - 0,5 et Z = + 0,5 3.2. Entre Z = -1 et Z = +1 4. Trouvez la proporton d une dstrbuton normale stuée en dessous des scores Z suvants: 4.1. Z = + 0,2 4.2. Z = - 0,71 TP 5 2006-2007 11/22
5. Les notes à un examen se dstrbuent normalement avec = 68 et S = 6. Quelle est la probablté qu un étudant at une note supéreure à 72? Quelles sont les étapes à suvre pour répondre à cette queston? 6. Une dstrbuton est normalement dstrbuée avec = 100 et S = 10. 6.1. Quel est le rang percentle pour = 114? 6.2. Quel est le rang percentle pour = 92 7. Les scores d un test psychologque se dstrbuent normalement avec = 500 et S = 100. Quel est le score mnmum nécessare pour être dans les 15% supéreur de la dstrbuton de ce test? 8. Pour cette même dstrbuton, quelle est la probablté qu un ndvdu obtenne un score stué entre 600 et 650? En d autres termes : P(600 < < 650). TP 5 2006-2007 12/22
9. Pour une dstrbuton normale avec une moyenne de 500 et un écart type de 100, calculez : 9.1. Quel score sépare les 40% supéreurs des 60% nféreurs de la dstrbuton? 9.2. Quel est le score mnmum nécessare pour être dans le top 5% supéreur de la dstrbuton? 10. Une populaton se dstrbue normalement avec = 60 et S = 5. Pour cette populaton, que vaut le 34 ème percentle? TP 5 2006-2007 13/22
T.P. 5 exercce supplémentare 1 Calcul de probabltés à partr d une dstrbuton normale de talles Dans une populaton donnée, la talle des sujets se dstrbue suvant une lo normale de moyenne égale à 172 cm et d écart- type égal à 22 cm. On sélectonne au hasard un ndvdu dans cette populaton. 1. Calculez, en supposant que les talles soent mesurées au cm près, la probablté que l ndvdu sélectonné at une talle entre 179,5 et 180,5 cm. Arrondssez la réponse fnale à tros décmales. En utlsant la normale centrée rédute Moyenne: En utlsant les données brutes Moyenne: Varance Varance Probablté recherchée: Probablté recherchée: 2. Calculez, en supposant que les talles soent mesurées au mm près, la probablté que l ndvdu sélectonné at une talle entre 179,9 et 180,1 cm. En utlsant la normale centrée rédute Moyenne: En utlsant la normale de moyenne 172 et d écart type 22 Moyenne: Varance Varance Probablté recherchée : Probablté recherchée : TP 5 2006-2007 14/22
3. Calculez la probablté que l ndvdu sélectonné at une talle exactement de 180 cm. En utlsant la normale de moyenne 172 et d écart type 22 En utlsant la normale centrée rédute Moyenne : Moyenne : Varance Varance Probablté recherchée : Probablté : 4. Que vaut, pour une varable aléatore ayant une dstrbuton contnue, la probablté que la varable aléatore prenne EACTEMENT une valeur partculère? Explquez. TP 5 2006-2007 15/22
T.P. 5 Exercce supplémentare 2 Sére statstque moyenne - ntroducton au calcul des varables centrées ou sem-rédutes Voc l âge des 10 étudants de BA2 : 1 19 2 19 3 22 4 20 5 20 6 19 7 19 8 20 9 21 10 19 N = 1 1. S agt-l d une sére ou d une dstrbuton statstque? 2. Complétez la colonne -. Vous obtendrez une varable centrée ou sem-rédute. 3. Calculez la de cette sére sur base des sommes calculées sur la dernère lgne du tableau. 4. Calculez la moyenne de la varable -. Que remarquez-vous? TP 5 2006-2007 16/22
T.P. 5 Exercce supplémentare 3 Sére statstque ntroducton au calcul des varables centrées ou sem-rédutes (moyenne et écart type) et au calcul des coeffcents de symétre et d aplatssement. Voc l âge de 10 étudants en psycho. 1. Complétez la colonne -. Vous obtenez ans ce qu on appelle une varable centrée ou semrédute. N arrondssez pas. - ( ) 2 - ( - ) 3 ( - ) 4 1 19 2 19 3 22 4 20 5 20 6 19 7 19 8 20 9 21 10 19 N = 1 2. Complétez les cellules vdes du tableau des données. 3. Calculez la moyenne, la varance et l écart type de sur base des sommes calculées sur la dernère lgne du tableau. Arrondssez la réponse fnale à deux décmales. TP 5 2006-2007 17/22
4. Calculez la moyenne et l écart type de la varable. Que remarquez-vous? Remarque : Le calcul de la varable centrée élevée aux pussances 3 et 4 permet de calculer les moments centrés d ordre 3 et 4, qu permettront eux-mêmes de calculer respectvement des paramètres d évaluaton de la symétre et de l aplatssement du polygone des effectfs, donc de la forme de la dstrbuton. TP 5 2006-2007 18/22
T.P. 5 Exercce supplémentare 4 Proprétés de la varance et de l'écart type Complétez le tableau c-dessous : 2 5 4 2 3 9 5 = 4,67 S = 4,89 S = 2,21 = 2 = S 2 = S = 2 = +1 = 5,67 S = S = 2 = = S = S = = Z = = = S S 2 Z S Z = S Z = a) Sur base des résultats que vous venez de calculer, dédusez la relaton lant : 2 2 1) à, S à S et S à S : 2 2 2) à, S à S et S à S : 2 2 3) à, S à S et S à S : b) Quelle est la caractérstque de la sére statstque consttuée des observatons, = 1,2,...6? Z TP 5 2006-2007 19/22
T.P. 5 Exercce supplémentare 5 Dstrbuton normale Utlsaton de la table standardsée Connassances préalables : Buts spécfques : Outls nécessares : Consgnes générales : Noton classque de probablté. Calcul de probabltés d événements. Table de dstrbuton Z. Donnez successvement les résultats sous forme de fracton et sous forme de décmale avec une précson de quatre décmales. 1. En sachant que la dstrbuton est normale, contnue et symétrque, on peut dédure du graphque c-dessus, la probablté lée à dfférentes surfaces représentées sous la courbe. PROBABILITÉ CONSIDÉRÉE VALEUR NUMÉRIQUE JUSTIFICATION 1. P ( 0 Z 1) 2. P ( Z 0) 3. P ( Z 1) 4. P ( Z > 1) 5. P ( Z = 1) 6. P ( Z 1) 7. P ( Z 1) 8. P ( Z 0) TP 5 2006-2007 20/22
9. P ( 2 Z 1) 10. P ( 1 Z 2) 2. Sur base de la table de dstrbuton Z, détermnez les probabltés suvantes : PROBABILITÉ RECHERCHÉE 1. P ( Z 1) 2. P ( Z 3) 3. P ( Z 2) 4. P ( Z 2) 5. P ( Z 2) 6. P ( Z 2) 7. P ( Z 1,65) 8. P ( 0 Z 1,53) 9. P ( 0 Z 0,58) 10. P ( 1,25 Z 0) 11. P ( Z 1,95) 12. P ( 1,61 Z 0,73) 13. P ( 1 Z + 1) 14. P ( 2 Z + 2) 15. P ( 3 Z + 3) 16. P ( 4 Z + 4) 17. P ( Z 2,04) 18. P ( Z 1,72) 19. P ( Z 1,94) 20. P ( Z 0,48) VALEUR NUMÉRIQUE TP 5 2006-2007 21/22
3. Commentez les résultats obtenus pour P ( 1 Z + 1) et P ( 4 Z + 4) 4. Sur base de la table de dstrbuton Z, exprmez mathématquement les probabltés suvantes : VALEUR NUMÉRIQUE PROBABILITÉ RECHERCHÉE 1 PROBABILITÉ RECHERCHÉE 2 0..5000 1..9975 2..9564 3..2177 4..0000 5..3632 6..6844 7..0002 8..0119 9..7422 10..1064 11..4983 TP 5 2006-2007 22/22