haptre III- Actons et énerge magnétques III.- Force magnétque sur une partcule chargée e qu a été aux chaptres précédents concerne plus partculèrement les aspects macroscopques, l nfluence mesurable d un champ magnétque sur un crcut électrque. Or, le courant crculant dans un crcut est dû au déplacement de partcules chargées. Nous prendrons donc le part c de poser l expresson de la force magnétque s exerçant sur une partcule (sans la démontrer) pus de montrer comment s exprme cette force sur un crcut. Hstorquement ben sûr, c est la force de Laplace qu a été mse en évdence la premère, la force de Lorentz n est venue que ben plus tard III..- La force de Lorentz La force totale, électrque et magnétque (on électromagnétque) sube par une partcule de charge q et de vtesse v mesurée dans un référentel galléen est F = q( E + v ) On appelle cette force la force de Lorentz. On peut la mettre sous la forme F e = qe F = Fe + Fm où Fm = qv où F e est la composante électrque et F m la composante magnétque. La composante magnétque de la force de Lorentz (parfos appelée force magnétque) possède un ensemble de proprétés remarquables :. La force magnétque ne fournt pas de traval. on applque la relaton fondamentale de la dynamque pour une partcule de masse m et charge q, on obtent F qv m dv m = = donc d d mv mv v mv dv qv v 0 = = = ( )=. L énerge cnétque de la partcule est donc ben conservée.. La force magnétque est une correcton en ( v/ c) à la force de oulomb, où c est la vtesse de la lumère (cf chaptre I).. Volaton du prncpe d acton et de réacton. On peut asément vérfer sur un cas partculer smple que la force magnétque ne satsfat pas au ème prncpe de Newton. Pour cela, l sufft de prendre une partcule se drgeant vers une partcule. Le champ magnétque créé par sera alors nul à l emplacement de la partcule, µ 0q = v 0 u =, 4πr
4 et donc la force F / sera nulle. Mas s la deuxème partcule ne se drge pas vers la premère, son champ magnétque sera non nul en et l y aura une force F / non nulle III..- Trajectore d une partcule chargée en présence d un champ magnétque onsdérons une partcule de masse m et charge q placée dans un champ magnétque unforme avec une vtesse ntale v( t= 0) = v0. La relaton fondamentale de la dynamque s écrt dv q = m v Pusque la force magnétque est nulle dans la drecton du champ, cette drecton est prvlégée. On va donc trer part de cette nformaton et décomposer la vtesse en deux composantes, l une parallèle et l autre perpendculare au champ, vt ()= vp + v. L équaton du mouvement s écrt alors dv p = 0 dv q = m v La trajectore reste donc rectlgne unforme dans la drecton du champ. Prenons un repère cartésen dont l axe z est donné par le champ = k. z y L équaton portant sur la composante perpendculare se décompose alors en deux équatons -e R L v 0 = v 0 x dv dv x y = ωvy où ω = q m = ωv x as partculer d une partcule de charge négatve (rotaton dans le sens drect) e système se ramène à deux équatons de la forme dv = ω v (pour = x,y) et a donc pour soluton dx = vx = v cosωt 0 dy = vy = v t snω 0 où l on a chos une vtesse ntale suvant x, v = v. En ntégrant une deuxème fos ce 0 0 système on obtent
5 v 0 x = snωt ω v 0 y = t cosω ω où les constantes d ntégraton ont été choses nulles (chox arbtrare). La trajectore est donc mv un cercle de rayon R = 0 L, le rayon de Larmor, décrt avec la pulsaton ω = q q m, e pulsaton gyro-synchrotron. e cercle est parcouru dans le sens conventonnel postf pour des charges négatves. Le rayon de Larmor correspond à la «dstance» la plus grande que peut parcourr une partcule dans la drecton transverse avant d être dévée de sa trajectore. ela correspond donc à une sorte de dstance de pégeage. A mons de recevor de l énerge cnétque supplémentare, une partcule chargée est ans pégée dans un champ magnétque. Il est ntéressant de noter que plus l énerge cnétque transverse d une partcule est élevée (grande masse ou grande vtesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétque est élevé et plus ce rayon est pett. Remarque : Nous avons vu au haptre II qu une charge en mouvement créé un champ magnétque. Donc, une partcule mse en rotaton par l effet d un champ magnétque extéreur va créer son propre champ. Il n en a pas été tenu compte dans le calcul précédent, celu-c étant la plupart du temps néglgeable. III..- Dstncton entre champ électrque et champ électrostatque Nous allons trater c un problème un peu subtl. En mécanque classque, l y a tros prncpes fondamentaux : le prncpe d nerte, la relaton fondamentale de la dynamque et le prncpe d acton et de réacton. Nous avons déjà vu que la force magnétque F = m qv ne satsfasat pas au ème prncpe. Mas l y a pre. Pour pouvor applquer la relaton fondamentale de la dynamque, l faut se chosr un référentel galléen. e chox étant arbtrare, les los de la physque dovent être ndépendantes de ce chox (nvarance galléenne). Autrement, les vértables forces dovent être ndépendantes du référentel. Il est clar que ce n est pas le cas de la force magnétque F m. En effet, consdérons une partcule q se déplaçant dans un champ magnétque avec une vtesse constante dans le référentel du laboratore. Dans ce référentel, elle va subr une force magnétque qu va déver sa trajectore. Mas s on se place dans le référentel propre de la partcule (en translaton unforme par rapport au laboratore, donc galléen), sa vtesse est nulle. Il n y a donc pas de force et elle ne devrat pas être dévée! omment résoudre ce paradoxe? est Lorentz qu a donné une soluton formelle à ce problème, mas c est Ensten qu lu a donné un sens grâce à la théore de la relatvté. La vértable force, électromagnétque, est la force de Lorentz F = q( E + v ) upposons que cette partcule sot soumse à un champ électrostatque E s et un champ magnétque, mesurés dans le référentel R du laboratore. Dans un référentel R où la partcule est au repos, le terme magnétque sera nul. on exge alors l nvarance de la force, on dot écrre
( s ) F = qe = F = q E + v Le champ E «vu» dans le référentel R est donc la somme du champ électrostatque E s et d un autre champ, appelé champ électromoteur Em = v. Ans, on a ben conservé l nvarance de la force lors d un changement de référentel, mas au prx d une complexfcaton du champ électrque qu n est plus smplement un champ électrostatque! Deux conséquences mportantes :. La crculaton d un champ électrque E = Es + Em est en générale non nulle à cause du terme électromoteur (d où son nom d alleurs) : celu-c peut donc créer une dfférence de potentel qu va engendrer un courant, ce qu n est pas possble avec un champ purement électrostatque.. Le champ électrque «vu» dans R dépend du champ magnétque «vu» dans R. On ne peut donc pas applquer la règle de changement de référentel classque (transformaton galléenne) mas une autre, plus complexe (transformaton de Lorentz). hamps électrque et magnétque dépendent tous deux du référentel, la compréhenson de ce phénomène électromagnétque ne pouvant se fare que dans le contexte de la relatvté. ec, nous utlserons tout de même l expresson de la force magnétque ou de Lorentz pour calculer, par exemple, des trajectores de partcules dans le formalsme de la mécanque classque. On ne devrat pas obtenr des résultats trop aberrants tant que leurs vtesses restent très nféreures à celle de la lumère. Une dernère remarque : nous avons mplctement supposé que la charge q de la partcule état la même dans les deux référentels. ela n est a pror pas une évdence. Nous pouvons en effet mposer que toute proprété fondamentale de la matère sot effectvement nvarante par changement de référentel. Le concept de masse, par exemple, nécesste une attenton partculère. En effet, tout corps massf possède un nvarant appelé «masse au repos». ependant sa «masse dynamque» (mpulson dvsée par sa vtesse) sera d autant plus élevée que ce corps aura une vtesse s approchant de celle de la lumère. Nous admettrons donc que la charge électrque est ben un nvarant ( relatvste). 6 III.- Actons magnétques sur un crcut fermé III..- La force de Laplace Nous avons vu que la force sube par une partcule chargée en mouvement dans un champ magnétque, la force de Lorentz, s écrt ; F = q( E+ v ). onsdérons un mleu comportant espèces dfférentes de partcules chargées, chaque espèce ayant une densté volumque n, et une vtesse v. es dvers porteurs de charges sont donc responsables d une densté locale de courant j = nqv. Par alleurs, chaque partcule étant soumse à la force de Lorentz, la force s exerçant sur un élément de volume dv comportant ndv partcules s écrt
7 df = nq( E+ v ) dv On vot donc apparaître une force due au champ électrque. ependant, s le volume élémentare que l on consdère est suffsamment grand pour que s y trouve un grand nombre de partcules e s le conducteur est électrquement neutre, on dot avor nq = 0 ce qu annule la force électrque. On obtent alors df= nqv dv= ( nqv) dv, c est à dre df= j dv Nous avons donc c-dessus l expresson générale de la force créée par un champ magnétque extéreur sur une densté de courant quelconque crculant dans un conducteur neutre (la résultante est évdemment donnée par l ntégrale sur le volume). Dans le cas partculer d un conducteur flforme, l élément de volume s écrt dv= d dl, où dl est un élément de longueur nfntésmal orenté dans la drecton de j et d une surface nfntésmale. d j dl : secton du fl Dans le cas d un crcut flforme (très mnce donc où l on peut consdérer que le champ est constant), la force qu s exerce par unté de longueur s écrt df = ( j ) d dl = ( jd ) dl = ( j d ) dl = Idl La force qu s exerce sur un conducteur fermé, parcouru par un courant permanent I, appelée force de Laplace, vaut F = I dl crcut ette force s applque sur un crcut qu est un solde. Dans ce cours, on ne consdèrera que des crcuts pour lesquels on pourra applquer le prncpe fondamental de la mécanque, en
8 assmlant ceux-c à des ponts matérels (leur centre d nerte). Aucun élément de longueur ne sera prvlégé : la force df = Idl s applque au mleu de chaque porton dl. Remarques :. Ayant été étable à partr d équatons valables unquement en régme permanent, cette expresson n est vrae que pour un courant permanent. Il faut en partculer fare attenton à ntégrer la force sur le crcut fermé.. Pour des crcuts fermés de forme complexe, l devent dffcle de calculer la force magnétque à partr de l expresson de la force de Laplace. Dans ce cas, l vaut meux utlser une méthode énergétque (travaux vrtuels, vor plus bas).. A partr de la force de Lorentz, qu est une force mcroscopque agssant sur des partcules ndvduelles et qu ne travalle pas, nous avons obtenu une force macroscopque agssant sur un solde. ette force est capable de déplacer le solde et donc d exercer un traval non nul. omment comprendre ce résultat? Il faut nterpréter la force de Laplace comme la résultante de l acton des partcules sur le réseau crstalln du conducteur. est donc une sorte de réacton du support à la force de Lorentz agssant sur ses consttuants chargés. Au nveau mcroscopque cela se tradut par la présence d un champ électrostatque, le champ de Hall. 4. en que la force de Lorentz ne satsfasse pas le prncpe d Acton et de Réacton, la force de Laplace entre deux crcuts, elle, le satsfat! La rason profonde résde dans l hypothèse du courant permanent parcourant les crcuts (I le même, partout dans chaque crcut) : en régme permanent, l n y a plus de problème de déla lé à la vtesse de propagaton fne de la lumère. III..- Défnton légale de l Ampère onsdérons le cas de deux fls nfns parcourus par un courant I et I, stués à une dstance d l un de l autre. I I u d Grâce au théorème d Ampère, l est alors facle de calculer le champ magnétque créé par chaque fl. La force par unté de longueur sube par le fl à cause du champ vaut df/ = Idl = Idl = df/ 0II = µ d u π ette force est attractve s les deux courants sont dans le même sens, répulsve snon. Pusqu l y a une force magnétque agssant sur des crcuts parcourus par un courant, on peut
9 mesurer l ntensté de celu-c. est par la mesure de cette force qu a été étable la défnton légale de l Ampère (A) : L Ampère est l ntensté de courant passant dans deux fls parallèles, stués à mètre l un de l autre, et produsant une attracton récproque de.0-7 Newtons par unté de longueur de fl. II..- Moment de la force magnétque exercée sur un crcut Pusqu un crcut électrque est un solde, l faut utlser le formalsme de la mécanque du solde (ème année de DEUG). On va ntrodure c les concepts mnmaux requs. ot un pont P quelconque appartenant à un crcut électrque et le pont O, le centre d nerte de ce crcut. ce crcut est parcouru par un courant permanent I et plongé dans un champ magnétque, alors chaque élément de crcut dl = dop, stué autour de P, subt une force de Laplace df = Idl. Le moment par rapport à O de la force de Laplace sur l ensemble du crcut est alors Γ= OP df crcut oent tros axes, passant par le centre d nerte O du crcut et engendrés par les vecteurs untares u. Le moment de la force s écrt alors Γ = = Γu. L exstence d un moment non nul se tradut par la mse en rotaton du crcut autour d un ou pluseurs axes. Autrement, par une modfcaton de la «quantté de rotaton» du solde, c est à dre son moment cnétque. Le moment cnétque du solde par rapport à O est J = OP vdm crcut où dm est la masse élémentare stuée sur l élément dop, et v sa vtesse. Dans tous les cas de fgure étudés dans ce cours, on admettra que le moment cnétque d un crcut peut se mettre sous la forme J = IΩ u =[] I Ω = où Ω est le vecteur nstantané de rotaton et I les moments d nerte du crcut par rapport aux axes ([I] est la matrce d nerte, c dagonale). Le moment d nerte par rapport à l axe est défn par I = dmr crcut où r est la dstance d un pont P quelconque du crcut à l axe. La dynamque d un crcut soums à pluseurs moments de forces extéreures est donnée par le théorème du moment cnétque (pour un solde) dj = Γ ext Dans le cas d un crcut tournant autour d un seul axe Oz, avec une vtesse angulare Ω= Ωu = «θ z u et un moment d nerte I constant, on obtent l équaton smplfée suvante z z θ «= Γ I z z
0 II..4- Exemple du dpôle magnétque O + M onsdérons le cas smple d un dpôle magnétque, c est à dre d une spre parcourue par un courant I permanent, plongé dans un champ magnétque extéreur constant (sot dans tout l espace, sot ayant une varaton spatale sur une échelle ben plus grande que la talle de la spre). Γ I La force de Laplace s écrt alors F = Idl = I( dl) = 0 spre spre Un champ magnétque constant ne va donc engendrer aucun mouvement de translaton de la spre. Le moment de la force de Laplace par rapport au centre d nerte 0 de la spre s écrt c est à dre Γ= OP df = OP ( I dop ) spre spre = I dop ( OP ) I ( OP dop) = I dop ( OP ) 0 spre spre spre = I ( dx + dy j) ( xx + yy)= Iy ydx + Ix j xdy spre ( x y ) = ( x y ) = I j I xdy I j I spre spre = In (où n = k,vor calcul du dpôle) Γ= M Malgré une résultante des forces nulle, le champ magnétque exerce un moment qu va avor tendance à fare tourner la spre sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétque dpolare M s algne dans la drecton de. spre Remarques :. ette expresson n est valable que dans le cas d un dpôle.. On utlse souvent le terme «couple magnétque» pour décrre le moment des forces magnétques sur un crcut, cec pour évter de confondre avec le moment magnétque dpolare.. Les matéraux ferromagnétques sont ceux pour lesquels on peut assmler leurs atomes à des dpôles algnés dans le même sens. Ms en présence d un champ magnétque externe, ls auront tendance à se mettre dans la drecton du champ, ce qu va produre un mouvement macroscopque d ensemble.
II..5- omplément : force de Laplace et prncpe d Acton et de Réacton On va démontrer que le prncpe d Acton et de Réacton est ben vérfé pour la force de Laplace s exerçant entre deux crcuts et quelconques, parcourus par des courant permanents I et I. La force exercée par sur s écrt µ 0IdP u 0II dp u F / = IdP = IdP dp 4 PP 4 PP = µ π π où P (resp. P ) est un pont quelconque de (resp. ) et PP = PP u. La force exercée par sur vaut µ I dp u II F I dp I dp dp dp u 0 0 / = = 4 PP 4 PP = µ π π pusque u = u. Par alleurs, on a dp ( dp u )= dp( dp u ) u( dp dp ) dp ( dp u )= dp( dp u ) u( dp dp ) Il nous sufft donc de calculer le premer terme pusque le second est dentque dans les deux expressons des forces. Mathématquement, les expressons []= [] sont effectvement équvalentes s ce qu se trouve dans le crochet (la foncton à ntégrer) est symétrque par rapport aux varables de chacune des deux ntégrales. Mas dans celle de gauche, le pont P reste d abord constant lors de l ntégrale portant sur, tands que dans celle de drote, c est le pont P qu est mantenu constant lors de l ntégraton sur. Ans, on peut écrre ( ) = dp dp u PP dp dp u PP ( ) = dp dp u dp u dp PP PP Posant r= PP et remarquant que dp = dpp + dp, on obtent dp u dr r dr ( ) = = = 0 PP r r pusque l on fat un tour complet sur et l on revent donc au pont de départ. Le résultat est évdemment le même pour l ntégrale portant sur. En résumé, on obtent F / µ 0II dp u µ 0II µ 0II = dp = u dp dp u ( )= 4π PP 4π 4π dp dp = F / ec achève la démonstraton. ( )
III.- Energe potentelle d nteracton magnétque III..- Le théorème de Maxwell Un crcut électrque parcouru par un courant produt un champ magnétque engendrant une force de Laplace sur un deuxème crcut, s celu-c est lu-même parcouru par un courant. haque crcut agt sur l autre, ce qu sgnfe qu l y a une énerge d orgne magnétque mse en jeu lors de cette nteracton. D une façon générale, un crcut parcouru par un courant permanent placé dans un champ magnétque ambant possède une énerge potentelle d nteracton magnétque. Pour la calculer, l sufft d évaluer le traval de la force de Laplace lors d un déplacement vrtuel de ce crcut (méthode des travaux vrtuels, comme en électrostatque). dl d n dr onsdérons un élément dl d un crcut flforme, orenté dans la drecton du courant I. et élément subt une force de Laplace df. Pour déplacer le crcut d une quantté dr, cette force dot fournr un traval I dw= df dr = Idl ( ) dr = Idr ( dl) = Id n où dnest la surface élémentare décrte lors du déplacement de l élément de crcut (les tros vecteurs dr, dl, n forment un trèdre drect). On reconnaît alors l expresson du flux magnétque à travers cette surface balayée, appelé flux coupé. Pour l ensemble du crcut, le traval dû à un déplacement élémentare dr est dw = d W = Id Φc = IdΦc crcut Théorème de Maxwell : Le déplacement d un crcut électrque fermé dans un champ magnétque extéreur engendre un traval des forces magnétques égal au produt du courant traversant le crcut par le flux coupé par celu-c lors de son déplacement. W = IΦc crcut ommentares sur la noton de Flux coupé Le nom de flux coupé provent de notre représentaton du champ magnétque sous forme de lgnes de champ. Lors du déplacement du crcut, celu-c va en effet passer à travers ces lgnes, donc les «couper». La noton de flux coupé est très mportante car elle permet parfos consdérablement de smplfer les calculs. Par alleurs, dans le cas d un champ magnétque constant dans le temps,
nous allons démontrer que le flux coupé par le crcut Φ c lors de son déplacement est exactement égal à la varaton du flux total Φ. d d d f Poston fnale du crcut Poston ntale d du crcut ot un crcut orenté, parcouru par un courant I et déplacé dans un champ magnétque extéreur. e crcut défnt à tout nstant une surface s appuyant sur. Lors du déplacement de sa poston ntale vers sa poston fnale, une surface fermée = + f + d est ans décrte, où d est la surface balayée lors du déplacement. On chost d orenter les normales à chaque surface vers l extéreur. La conservaton du flux magnétque mpose alors c est à dre Φ = Φ + Φ + Φ = f d 0 Φ = Φ Φ d f on réorente les normales par référence au courant, on a Φ f Φ, Φ Φ et Φ ± Φ d. Autant l est possble de défnr correctement et en toute généralté le sgne des d flux totaux, celu du flux à travers la surface balayée, autrement, le flux coupé, dépend de chaque stuaton. ependant, on a donc ben Φ c = qu est vérfé algébrquement. Ne pas oubler que ce rasonnement n est valable que pour un champ magnétque extéreur statque (pas de varaton temporelle du champ au cours du déplacement du crcut). Φ f III..- Energe potentelle d nteracton magnétque onsdérons un crcut électrque parcouru par un courant permanent I et placé dans un champ magnétque statque. Le crcut est donc soums à la force de Laplace : cela sgnfe qu l est susceptble de se déplacer et donc de développer une vtesse. On pourra calculer cette vtesse en applquant, par exemple, le théorème de l énerge cnétque Ec = W = I Φ. Mas d où provent cette énerge? l on en crot le prncpe de conservaton de l énerge, cela sgnfe que le crcut possède un réservor d énerge potentelle W m, lé à la présence du champ magnétque extéreur. L énerge mécanque du crcut étant E = Ec + Wm, on obtent dwm = dw. L énerge potentelle magnétque d un crcut parcouru par un courant permanent I et placé dans une champ magnétque extéreur est donc Wm = IΦ + onstante
4 La valeur de la constante, comme pour toute énerge potentelle d nteracton, est souvent chose arbtrarement nulle à l nfn. III..- Expressons générales de la force et du couple magnétques L exstence d une énerge potentelle se tradut par une acton possble (reconverson de cette énerge). Ans, la résultante F = dfdes forces magnétques exercées sur le crcut est crcut donnée par Wm dwm = dx = dw = F dr = Fdx = x = où les dx mesurent les déplacements (translatons) dans les tros drectons de l espace par rapport au centre d nerte du crcut (là où s applque la force magnétque). On obtent ans l expresson générale de la force de Laplace agssant sur un crcut parcouru par un courant permanent, c est à dre Wm F = x ou, sous forme vectorelle F = grad W = I grad Φ Remarques :. La force totale (s exerçant donc sur le centre d nerte du crcut) a tendance à pousser le crcut vers les régons où le flux sera maxmal.. ette expresson est valable unquement pour des courants permanents. Noter qu elle s applque néanmons pour des crcuts déformés et donc pour lesquels l y aura auss une modfcaton du flux sans réel déplacement du crcut. On peut fare le même rasonnement dans le cas d un mouvement de rotaton pure du crcut. Prenons le cas général de rotatons d angles nfntésmaux d autour de tros axes, passant par le centre d nerte O du crcut et engendrés par les vecteurs untares u. ot le vecteur r = OP = ru relant un pont P quelconque d un crcut et le pont O. La vtesse du pont P s écrt en toute généralté (vor cours de mécanque) m I O u r d dr dr = dr u + Ω r où le premer terme correspond à une translaton pure et le second à une rotaton pure, décrte par le vecteur «nstantané de rotaton Ω «= d u «=. L expresson générale du moment de la force magnétque par rapport à O est Γ = = Γu.
5 Le traval dû à la force de Laplace lors d une rotaton pure ( r = OP reste constant) s écrt dw = df dr = df du r d où crcut crcut = = du r df d u crcut = Γ = = = IdΦ Φ = I d = Γ Φ = I Autrement, le moment de la force magnétque par rapport à un axe passant par le centre d nerte O du crcut, dépend de la varaton de flux lors d une rotaton du crcut autour de cet axe. Exemple : Le dpôle En supposant que le champ magnétque extéreur est constant à l échelle d un dpôle de moment magnétque dpolare M = In, on obtent un flux Φ= n. La force magnétque totale s écrt alors F = I grad Φ = In c est à dre F = grad M ( ) ( ) Le moment de la force magnétque (couple magnétque) s écrt Φ In Γ = I = I ( n)= M = Or, le moment magnétque dpolare vare de la façon suvante lors d une rotaton M dm = d u M = d = = et on obtent donc Γ = ( u M)= ( M ) u c est à dre l expresson vectorelle Γ= M Remarquer que ce calcul est ben plus facle que le calcul drect effectué à la secton II..4.
6 III..4- La règle du flux maxmum Un solde est dans une poston d équlbre stable s les forces et les moments auxquels l est soums tendent à le ramener vers cette poston s l en est écarté. D après le théorème de Maxwell on a dw = IdΦ = I( Φ Φ ) = F dr la poston est stable, cela sgnfe que l opérateur dot fournr un traval, autrement un déplacement dr dans le sens contrare de la force (qu sera une force de rappel), donc dw < 0 ou Φ < Φ. f Un crcut tend toujours à se placer dans des conons d équlbre stable, où le flux du champ est maxmum. ette règle est très utle pour se forger une ntuton des actons magnétques. f