Mécnique : conséquence de l effet de Mée su l distnce ee-une Extit du concous commun olychnique MP 00 (hysique1, tie B) I Étude de l effet de mée 1 Quel est le mouvement du éféentiel dns le éféentiel de Coenic? MP Physique-chimie evoi suveillé S n 7- bis : coigé Si l on néglige l ésence de l une, est nimé d un mouvement de tnsltion qusi ciculie En tou igueu, n est s gliléen Exession de l quntité d ccélétion dns S ésultn des foces ou exession : F = F + mg ( P ) + mg ( P ) + mg ( P ) étnt nimé d un mouvement de tnsltion ot à, il n ît s de foce de Coiolis : les foces d inetie dns se limint à l seule foce d entînement eltion fondmentle de l dynmique dns m P = mg P + mg P + mg P m ) Exime ( ) s écit donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pou chque ticule i Soit ( ) ( ) ( ) S, nous vons : F = m G ( ) + m G ( ) + m G ( ) i i i i i i S i ( ) ( ( ) ( ) ) F = m G + m G + gd G + m G + gd G i i i i i i S i S i i Il es donc : ee étnt ésumée de symétie shéique, nous vons : m G ( ) = 0 Fi = ( mi ( G ( ) + GS ( )) + mi ( G ( ) + ( i gd ) G ) + mi ( GS ( ) + ( i gd ) GS )) = m G + G + m gd G + G ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) i S i i S Étnt donné l eltion ( mi i ) = 0, l oéu ( m i i gd ) déduit : F i = m ( G ( ) + G S ( )) Finlement donc : = G + G ( ) ( ) ( ) S est identiquement nul et l on en b) Monte que l on eut écie : m ( P) = mg ( ) ( ) ( ) P + mc P + mcs P Ptnt de l eltion m ( P) = mg ( ) ( ) ( ) ( ) P + mg P + mgs P m démontée à l question, nous en déduisons : m ( P) = mg ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) P + mg P + mgs P m G + GS ), m P = mg P + m G P G + m G P G soit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) S S En osnt C ( P) = G ( P) G ( ) et C ( P) = G ( P) G ( ) S S S m ( P) = mg ( P) + mc ( P) + mc ( P) S, nous obnons l eltion tndue : Jen e Hi, 8 ms 008 Pge 1 su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis 4 Évlue les chms de mée C ( P1 ) et C ( P ) en considént que Gm Nous vons G ( ) = e, ( ) Gm x G P1 = ( ) e et ( ) Gm x = ( + ) G P e x P e x P 1 Nous en déduisons : Gm Gm Gm Gm C ( P1 ) = G ( P1 ) G ( ) = e 1 1 x = e x + e x ( ) Gm Gm Gm Gm C ( P ) = G ( P ) G ( ) = e 1 1 x = + e x e x ( + ) lictions numéiques : Gm 1,10 10 m s 6 = et Gm S S = 0,50 10 m s 6 e chm de mée dû u Soleil est deux fois lus fible que le chm de mée dû à l une II- jectoie de l une, se conseve 1) Monte que ( ) e système {ee, une} est considéé comme un système isolé e théoème du moment cinétique eximé dns le éféentiel bycentique s écit donc : d (, ) = M = 0 ou encoe (, ) = C, CQF 1b) Monte que Ω et Ω sont invints Considéons exemle l ction de l une su l ee une étnt de symétie shéique, son chm de gvittion est un chm centl Newtonien identique u chm que céeit une msse m lcée en Considéons une même msse dm en deux oints 1 et de l ee symétiques ot u ln (, Ω ) et eximons les moments en, cente de l ee, des foces centles de GM gvittion df 1 = dm GM 1 et df = dm execées l une : 1 JH 80008 Pge su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis GM GM GM dm ( 1) = 1 dm 1 = 1 dm ( 1) = H1 dm 1 1 1 GM GM GM dm ( ) = dm = dm ( ) = H dm vec H1 = H et 1 dm 1 = dm =, nous en déduisons que ( ) ( ) Cet oiété, éndue à l ensemble des coules de oints { 1, } en des foces execées l une su l ee est nul imlique que le moment ésultnt dm ( 1 ) H df 1 dm df 1 ( ) P liction à l ee du théoème du moment cinétique bycentique (en ) dns le éféentiel gliléen, nous en déduisons que ( ) = C Il nous es à lique le théoème de König à l ee ou exime l eltion ente ( ) et ( ) : = + m v = ( ) ( ) ( ) insi, vons-nous démonté que le moment cinétique de l ee u cente de l ee, dns le éféentiel est constnt Il en est de même du moment cinétique de l une u cente de l une, dns le éféentiel = C = C : ( ) et ( ) = J Ω et ( ) = J Ω es eltions de définition ( ) nous déduisons que les visses ngulies de ottion de l ee su elle-même et de l une su elle-même sont consevtives : Ω = C et Ω = C C = + C m v ès l eltion des moments dns : ( ) ( ) ( ) C = C = + C m v Nous vons déjà monté à l question écéden que ( ) = ( ) et nous obnons donc l ) Monte que ( ) ( ) eltion demndée : ( ) ( ) C = + C m v C = + b) onne l eltion nlogue ou ( ) : ( ) ( ) C m v C JH 80008 Pge su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis c) En déduie que (, ) eut se mette sous l fome (, ) = + ( ) + ( ) ob liquons les ésultts démontés à l question écéden :, = + = + C m v + + C m v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C En osnt ob = C m v + C m v, moment cinétique obitl bycentique du système, = + + ee-une, nous obnons l eltion tndue : ( ) ( ) ( ) ) Clcule les vecus C et C et en déduie les visses v ob et v P définition du cente de msse, nous vons m C + m C = 0, d où l on déduit : m m C = et C = m + m m + m dc m d m dcm m µ Nous vons donc : v = = = = v M = v M m + m m + m m + m m m µ Et de même : v = v M = v M m + m m b) Écie l eltion fondmentle de l dynmique dns Gmm dv Gmm dv M Pou l une : = m = CM = +µ CM Gmm dv Gmm dv M Pou l ee : + = m = + CM = µ CM ns les deux cs, cel evient à écie que l une fictive obéit dns soumise à l foce execée l ee su l une 4) En eximnt, monte que le mouvement de l ticule fictive est ln ob à l seconde loi de Newton, m C m v C m v CM v CM v m ( ) ( ) ob = + = µ M + +µ M m + m m + m ob = CM µ v M étnt une constn du mouvement toujous othogonle à l tjectoie, nous en déduisons que l tjectoie de l ticule fictive est lne 4b) oximtion m m e oint C est los confondu vec le cente de l ee et M vec le cente de l une e éféentiel est los confondu vec le éféentiel este 5) Étbli l éqution de l tjectoie 1 dθ dθ C Posons u = constnce du moment cinétique s écit C = =, soit : = = Cu m JH 80008 Pge 4 su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis Nous vons donc : d d d 1 du = Cu = Cu = C dθ dθ u dθ d d u dθ d u = C = C u dθ dθ Eximons l ccélétion centle en fonction de u : Et liquons le incie fondmentl de l dynmique : θ d d d u = = C u C u dθ d u Gm m u = m C u m C u dθ Nous obnons insi l éqution difféentielle à lquelle stisfit l fonction u ( θ ) : Gm Gm m + u = = d u dθ C Posons le second membe constnt égl à 1 Nous vons ffie à une éqution difféentielle du second ode vec second membe 1 Gm m Nous identifions une solution ticulièe u = = de l éqution comlè solution généle de l éqution sns second membe s écit u K cos( ) deux constns éelles quelconques = θ θ où K et θ 0 sont = 1 1 0 = + θ θ où encoe, en fisnt le choix ticulie d un xe olie diigé ves le éigée de l obi : solution généle de l éqution comlè est donc de l fome u K cos( ) = 1 + ecos θ tjectoie est ellitique est le mète de l obi E est l excenticité e moment cinétique mssique los ou exession : Gm m = 5b) émine et e e éigée et, esectivement, l ogée ont ou exession Nous en déduisons : e = + et = lictions numéiques : e = 0,0547 et + = 8,9 10 km 5c) Monte que l tjectoie de l une eut-ête ssimilée à un cecle = et, esectivement, 1 + e 0 = 1 e Effectivement, l excenticité est eu imotn et l on eut vec une oximtion isonnble considée que l une une tjectoie ciculie de yon = Il ne fud ceendnt s fie de clcul de distnce à mieux que 10% ès e moment cinétique los ou exession = m Gm = mω et nous en déduisons : JH 80008 Pge 5 su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis lictions numéiques : Gm Gm ω = et v = ω = 6 1 ω =,65 10 d s et 6) Évlue et come les difféents moments cinétiques 4 1 ob = mv =,87 10 kg m s 1 m 5 4 4 1 ( ) = Ω = 0, 708 10 kg m s ob m 5 9 1 5 ( ),9 10 kg m s = Ω = 0,8 10 v = 1,0 km s ob e moment cinétique de ottion oe de l ee est du même ode de gndeu que le moment cinétique obitl P conte, le moment cinétique de ottion oe de l une est d un ode de gndeu tès inféieu 6b) Exession simlifiée du moment cinétique du système ee-une ob mv ez m Gm ez et ( ) = JΩ e z, = + + + Nous vons monté que ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ob ob m Gm J e Et donc : ( ) ( + Ω ), z CQF III- Éloignement de l une 1 Msse des bouelets d eu 4 4 mb = πb π ρ vec b = et = + h, cel donne : 4 mb = π hρ liction numéique : 16 m = 8,50 10 kg b Exime le moment des foces execées l une su l ensemble {ee+bouellets} Il suffit ou cel de eo les exessions déminées dns l emièe tie 1 1 M1 = P1 F1 = mbp1 C ( P1 ) = mbp1 ( G ( P1 ) G ( )) 1 1 M = P F = mbp C ( P ) = mbp ( G ( P ) G ( )) 1 M = M + M = m P G P G P ) émine ( ( ) ( )) 1 1 1 b dω Pojetons su e d d( J ) d sin( ) z : M z = = Ω = J Ω = α JH 80008 Pge 6 su 7
YCÉE E KEICHEN MP-Physique-chimie evoi suveillé n 7 - bis Finlement : liction numéique : α Gmbm h dω sin( ) ( + ) sin( α) = = J J dω = 4,64 10 d s b) Vition de l duée du jou este d d π π dω = = Ω Ω liction numéique : d 1 1 5 1 = 5,48 10 s s = 1,7 10 s n Cet vleu est effectivement du même ode de gndeu que l vleu obsevée de 5 1 1,65 10 s n c) Vition de l distnce ee-une m Gm + J Ω e e moment cinétique ( ) ( ) m Gm + J Ω = C, z est constnt, donc éivons cet exession : ( ) 1 d m Gm + J Ω d dω = m Gm + J = 0 Nous en déduisons : 4 Ω d m d = 5 G m d 9 1 1 liction numéique : = 1,04 10 m s =,8 cm n e modèle, bien que sommie, emet d oche l élité à 10% ès JH 80008 Pge 7 su 7