Équirépartitio presque sûre pour f (x) = x modulo 1 Jea-Baptiste Bardet 6 mai 005 O étudie le comportemet des suites défiies par récurrece x = f (x 1 ) = f (x), où x 0 = x [0;1) et f (x) = x mod 1, et o motre que Théorème 1. Pour Lebesgue presque tout poit x [0;1), la suite ( f (x)) 0 est équirépartie sur [0;1), c est-à-dire vérifie que pour tous 0 a < b 1 Card0 < : a f (x) < b} = b a Remarques : Si o coaît le théorème ergodique de Birhoff, il suffit de motrer que la mesure de Lebesgue est ergodique pour f, ce qui est très simple, et de coclure avec le théorème ergodique. L objectif ici est d utiliser u outil plus simple, la loi des grads ombres pour des variables aléatoires de Beroulli idépedates. O peut aussi cosidérer que f est défiie sur le tore R/Z, où elle est cotiue, mais ça e chagerait rie aux argumets. O travaillera doc ici sur I = [0;1), où l utilisatio d itervalles semi-ouverts permettra d elever toute ambiguité sur les écritures diadiques des réels. 1. Les cas les plus simples sot ceux où x 0 est u poit périodique (ou so orbite aboutit à ue orbite périodique). O trouve facilemet les poits périodiques de f : x est périodique de période f (x) = x = x + x = 1 pour 0 < 1 Le ombre de poits périodiques augmete doc expoetiellemet vite avec la période, mais ils doet peu d iformatio sur la dyamique globale, car ils sot tous répulsifs (la dérivée de f est partout égale à ), doc ue orbite, même passat très près d ue orbite périodique, s e éloige esuite expoetiellemet vite.. O commece par démotrer le théorème pour le cas particulier où a = 1/ et b = 1. Pour cela, o subdivise l itervalle I e deux sous-itervalles I 0 = [0;1/) et 1
I 1 = [1/;1), et o associe à chaque x [0;1) u codage par ue suite (X (x)) 0 défiie par 0 si x I 0 0 si f (x) I 0 X 0 (x) = X 1 (x) = X 0 ( f (x)) = 1 si x I 1 1 si f (x) I 1 X (x) = X 0 ( f (x)) La propriété essetielle de ce codage est i.e. f (x) I X (x) Lemme 1. Pour tout 1, x I (x) = [ 1 X (x) 1 +1 ; X (x) +1 + 1 ) (1) Démostratio. O démotre par récurrece sur que x I (x) et f est liéaire croissate (de pete ) bijective de I (x) sur [0;1) : pour = 1, par défiitio de X 0, x appartiet à I X0 (x) = [ X 0(x) ; X 0(x) + 1 ) = I 1 (x), et I 0 et I 1 sot les deux itervalles de bijectivité de f. Si f est liéaire croissate de I (x) sur [0;1) et f (x) I X (x), alors x I (x) f (I X (x)) = I +1 (x) itervalle sur lequel f +1 = f f est liéaire de pete +1 par compositio. O e déduit, e faisat tedre vers l ifii, Lemme. La suite X doe ue écriture diadique de x X (x) x = 0 +1 m. O muit maiteat I de la tribu boréliee B et de la mesure de Lebesgue Lemme 3. Sur l espace de probabilité (I,B,m), la suite (X ) 0 est ue suite de variables aléatoires idépedates idetiquemet distribuées de loi de Beroulli de paramètre 1/.
Démostratio. Il suffit de vérifier que pour tout 1 et tous (l 0,l 1,...,l 1 ) 0;1} m ( ) 1 x : X 0 (x) = l 0, X 1 (x) = l 1,..., X 1(x) = l 1 = ce qui est immédiat e remarquat que l expressio (1) se reformule x : X0 (x) = l 0, X 1 (x) = l 1,..., X 1 (x) = l 1 } = [ 1 1 l +1 ; l +1 + 1 ) O peut alors appliquer la loi des grads ombres 1 à cette suite de variables aléatoires, avec S (x) = Propositio 1. Pour m-presque tout x 1 X (x) = Card 0 < : 1/ f (x) < 1} Card 0 < : 1/ f (x) < 1} = 1 = E(X 0) ou, de maière équivalete, l écriture e base de m-presque tout x cotiet ue proportio 1 de 1 (et ue proportio 1 de 0). 3. L étape suivate cosiste à remarquer qu o peut faire exactemet la même chose pour l écriture e toute base etière r : o cosidère f r (x) = rx mod 1, le découpage e sous-itervalles I (r) j = [ j r ; j+1 ], la suite X (r) (x) défiie par fr (x) I (r) X (r) (x), qui vérifie ecore la suite (X (r) r (x) r +1 X (x)) 0 doe l écriture de x e base r : x = (r) 0 sur l espace de probabilité (I,B,m), (X (r) aléatoires idépedates de même loi 1 r r 1 j=0 δ j}. La loi des grads ombres doe alors ) 0 est ue suite de variables 1 Remarque importate, il suffit ici d ivoquer la versio L 4, très simple à obteir, de la loi des grads ombres. 3
Propositio. Pour m-presque tout x, pour tout 0 j < r Card 0 < : fr (x) I (r) j } = 1 r ou, de maière équivalete, l écriture e base r de m-presque tout x cotiet ue proportio 1 r de chaque chiffre. O otera das la suite Ω r le sous-esemble de I de mesure 1 sur lequel cette propositio est valable. Il est remarquable que pour x r Ω r, esemble qui est ecore de mesure 1, les chiffres de l écriture de x sot équidistribués e toute base. 4. O reviet au cas de f = f, et o remarque que les itervalles de la forme [ i ; i+1 ) = I (l ) l l i apparaisset aturellemet das la décompositio e base l, pour laquelle f l = f l. Par ailleurs, il est utile de remarquer que pour tout borélie A de [0;1) la mesure de Lebesgue m vérifie que m(a/) = m(a)/, où A/ = x/ : x A} et est ivariate par traslatio ; f 1 (A) est l uio disjoite de A/ et 1/ + A/ ; doc m( f 1 (A)) = m(a). Aisi, l esemble Ω l = l 1 j=0 f j (Ω l) est de mesure 1, et pour tout x Ω l o a pour tout 0 i < l Card0 < ql : f (x) [ i ; i+1 )} l l q + ql l 1 1 = q + l j=0 e appliquat la Propositio à x, f (x),..., f l 1 (x). Card0 < q : f l+ j (x) [ i ; i+1 )} l l = 1 q l E écrivat l l = l l + r ( l + 1)l, o obtiet aisémet Card0 < : f (x) [ i ; i+1 )} l l = 1 l Il peut être raisoable de s arrêter ici pour faire u développemet respectat le timig... O a pas démotré à propremet parler l équirépartitio de la suite ( f (x)) 0 aocée e Théorème, mais l équidistributio (presque sûre) des chiffres e toute base, résultat itéressat e soi. 4
Il reste alors à traiter le cas d u itervalle [a;b) quelcoque. O défiit deux suites approximates a l et b l par a l l a < a l + 1 b l l l b < b l + 1 l ce qui implique [ a l+1 l ; b l l ) [a;b) [ a l l ; b l+1 l ) et b l l l a l+1 b l + 1 l = l l a l l = b a et etraîe doc pour tout x Ω = l 1 Ω l (avec m(ω) = 1)) Card0 < : a f (x) < b} = b a 5. Remarque subsidiaire : évidemmet le raisoemet du poit 4, doc le théorème, se gééraliset aussi, de la même maière, à toutes les foctios f r, avec r etier plus grad que. Référeces [1] P. Billigsley, Probability ad measure (3rd editio). Joh Wiley & Sos, Ic., New Yor (1995). 5