ETUDE D UN ASCENSEUR

Mise en situation ETUDE D UN ASCENSEUR Les ascenseus se distinguent, ente autes, pa le type de taction utilisé pou déplace la cabine : Déplacement pa teuil : Une poulie de taction est actionnée pa un moto-éducteu. Elle entaîne des câbles dont une extémité est fixée à la cabine d ascenseu et l aute à un contepoids. Déplacement hydaulique (la cabine se déplace à l aide d un véin). Pou assue la sécuité du tanspot, les appaeils destinés à l'usage de pesonnes, sont soumis à des nomes édictées pa les aêtés des pays concenés et à des diectives et nomes éditées pa la Commission Euopéenne (Nomes CE). Ces nomes tès stictes visent pincipalement à assue la sécuité des utilisateus, notamment en imposant des limiteus de vitesse mécanique ainsi que des dispositifs de blocage en cas de chute. L objet de note étude est de véifie cetaines pefomances du cahie des chages d un ascenseu. Une vue d ensemble d un ascenseu à teuil est donnée dans l annexe 1. Annexe1 M Salette- Lycée izeux- Quimpe : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 1 su 15

Pésentation du système L analyse SADT est donnée dans l annexe 2. La lectue attentive de ces diagammes n est pas nécessaie. Annexe 2 SADT - DIAGRAMME A- SADT - DIAGRAMME A : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 2 su 15

Annexe 3 DIAGRAMME A3 Enegie électique Enegie électique = E Odes PC = O Réglages positions, tempoisations,.. = R Pesanteu Obstacles E O Infos de suvitesse Conveti l'énegie O R A31 Moteu électique Adapte l'énegie mécanique A32 E O R uits = Chage Teuil + fein + éducteu poulie + câble Recevoi, guide les chages Acquéi gandeus A33 Infos capteus Chage "eçue" déplacée et contôlée A3 Rails + cabine + potes + capteus DIAGRAMME A33 : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 3 su 15

CPGE / Sciences Industielles pou l Ingénieu Etude de la fonction A3 : «Recevoi et déplace les chages» Commande de l embayage fein Volant d inetie Le teuil est constitué : D un moteu électique D un éducteu oue et vis sans fin D une poulie de taction D un volant d inetie D un embayage fein à tambou Embayage fein Moteu électique éducteu poulie Données de l'étude : - masse de la cabine avec sa chage maxi : mc = 1 kg - masse du contepoids : mp = 8 kg - moteu : Plan d appui de la machineie - puissance mécanique nominale : Pm = 4,7 kw - couple moteu (supposé constant) : Cm = 3Nm - vitesse de otation en chage : ω m = 15 t/min - éducteu + poulie : - appot de éduction du éducteu : λ = 1/5 - diamète de la poulie : dp - endement de l ensemble éducteu + poulie : η - hypothèse : pas de glissement du câble su la poulie la y - moment d'inetie : - poulie + oue du éducteu + axe : Ip - oto + vis du éducteu + tambou du fein : Im - volant d inetie : Iv - câbles : masses négligées, donc exclus de l étude G - l'action du système de guidage su la cabine est un glisseu vetical passant pa G (cente de gavité de l ensemble cabine + chage) qui a pou module F (fottement). L'action du système de guidage su le contepoids est négligée. - le cahie des chages impose l accéléation Γ max <.5 m.s 2 - la vitesse (hos phase d'accéléation ) est V Détemination de l inetie du volant Pou limite l accéléation et la décéléation de la cabine, les teuils d ascenseu sont équipés d un volant d inetie monté su l abe moteu. L objet de cette pemièe étude est de détemine les dimensions de ce volant de façon à éponde au cahie des chages en teme d accéléation. En pemièe appoximation, le volant est considéé comme un disque plein homogène d épaisseu e imposée et de diamète D à détemine. La masse volumique de l acie est notée ρ. : ascenseu CCP PSI 25.doc Page 4 su 15

Q 1. Donne l expession littéale du moment d inetie I V du volant autou de son axe de otation en fonction de D, e et ρ. Pou détemine le moment d inetie Iv (et donc D) du volant, on popose d utilise le théoème de l énegie cinétique appliqué à l ensemble E = {E 1 + E 2 + E 3 }avec : E 1 : ensemble des solides en tanslation veticale. E 2 : ensemble des solides solidaies de la poulie (ayant la vitesse de otation de la poulie ω p ). E 3 : ensemble des solides solidaies de l abe moteu (ayant la vitesse de otation du moteu ω m ). Pou la suite, le moment d inetie du volant sea simplement noté I V. Remaque : Pou les questions 2 à 7, on expimea les ésultats en fonction du paamète cinématique V, vitesse de la cabine, et non pas ω, vitesse de otation du moteu. Les calculs se feont dans le cas de la montée de la cabine à l accéléation. Q 2. Donne l expession de l énegie cinétique Ec 1 de l ensemble E 1. Q 3. Donne l expession de l énegie cinétique Ec 2 de l ensemble E 2. Q 4. Donne l expession de l énegie cinétique Ec 3 de l ensemble E 3. Q 5. Donne l expession littéale de la puissance des actions extéieues à l ensemble E. Q 6. Donne l expession littéale de la puissance des actions intéieues. Q 7. En déduie l expession littéale de I V pou que Γ max ne soit jamais dépassée. m. Etude de la poulie Pou les installations d ascenseu, la nome impose l utilisation de plusieus câbles. Pou simplifie l étude, on fait l hypothèse que l installation ne compote qu un seul câble (les ésultas obtenus sont facilement tansposables au système éel). α Les goges sont de fome tapézoïdale. Le poblème éel posé est de détemine l angle α au sommet de la goge pou que les câbles ne glissent pas pa appot à la poulie. Etude du contact câble - poulie : On note : Fcp cable ˆ F cabine cable ˆ : action du contepoids su un bin du câble. : action de l ensemble cabine+chage su l aute bin. On étudie l équilibe d un petit élément de câble, que l on suppose plat et d épaisseu négligeable, en contact avec la poulie. y p O p x p Fcp cable ˆ F cabine cable ˆ : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 5 su 15

y Cet élément de couoie est soumis : dt uu uuu dn x aux actions F 1 et F 2 des bins du câble situés avant et apès avec F1 = F + df et F2 = F à l action de la poulie F 2 C dθ 2 dθ 2 F 1 Hypothèse : L action élémentaie de la poulie su un élément de câble est un glisseu passant pa C et de ésultante : df (poulie câble) = dn+ dt dn = dn y et d T = f d N x 1 Avec f 1 facteu de fottement ente le câble et la poulie. O p Q 8. Ecie les équations scalaies obtenues en appliquant le théoème de la ésultante statique à l élément de couoie étudié. Q 9. En négligeant les éléments difféentiels du second ode et en considéant que dθ est tès petit, df monte que les équations de la question pécédente conduisent à l équation difféentielle = f1dθ. F Q 1. Avec F qui vaie de Fcp cable ˆ à Fcabine cable ˆ pou θ vaiant de à π, monte que l on aive à la Fcabine cable ˆ f1π elation = e. F cp cable ˆ Etude du cas où le câble de section ciculaie est en contact avec une goge tapézoïdale Dans l étude pécédente, on a fait l hypothèse que le câble était plat et d épaisseu négligeable. L expession obtenue este vaie pou une fome difféente à condition de emplace f 1 facteu de fottement ente le câble et la poulie pa un facteu µ à détemine. N ( poulie câble) Pou cela, on va utilise une epésentation simplifiée du contact ente le câble et la poulie : l élément de câble est epésenté pa une sphèe et la poulie pa une ainue tapézoïdale, de sote que le contact câble / poulie soit ponctuel. T ( poulie câble) Q 11. Su le document éponse 1, mette en place les actions de contact nomale et tangentielle en M 1 et M 2 de la poulie su le câble, losque le câble est à la limite du glissement pa appot à la poulie. Q 12. T Détemine µ = où N et T sont les composantes nomale et tangentielle de la ésultante N des actions de la poulie su le câble, en fonction de f 1 et α. Q 13. En appliquant le pincipe fondamental de la dynamique à la cabine, puis au contepoids, détemine les actions et F du contepoids et de la cabine su les deux bins du Fcp cable ˆ cabine cable ˆ câble. Les calculs se feont dans le cas de la montée de la cabine à l accéléation. : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 6 su 15

Q 14. Détemine, à pati des expession pécédentes, et du ésultat de la question 1, l expession de l angle α pou que le câble ne glisse pas pa appot à la poulie. Etude de la fonction A334 «Contôle une chute éventuelle» L ensemble limiteu de vitesse - paachute est l ogane mécanique de sécuité qui, en cas de uptue des câbles de taction ou de suvitesse ves le bas, pemet de bloque la cabine. Fonctionnement : Los de la tanslation de la cabine, et donc du bloc paachute (lié à la cabine) (voi annexe 1 et 4), le câble du limiteu fait toune le limiteu de vitesse. Annexe 4 : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 7 su 15

Annexe 5 y Limiteu de vitesse came poulie ceux A galet balancie C Pote-balancie bâti (légèement tanspaent pou plus de claté) Axe de la liaison pivot alancie / galet x Pote-balancie A Zone d accoche Axe de la liaison pivot Pote-balancie / bâti Axe de la liaison pivot balancie / potebalancie balancie Le limiteu de vitesse est constitué (voi annexe 5) : D une poulie et d une came solidaie en liaison pivot d axe ( A, z ) avec le bâti. D un pote-balancie en liaison pivot d axe ( A, z ) avec le bâti. D un balancie en liaison pivot d axe (, z ) avec le pote-balancie. D un galet en liaison pivot d axe ( C, z ) avec le balancie. D un essot non epésenté, pemettant le contact ente le galet et la came en fonctionnement nomal. : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 8 su 15

capteu Contact ente le pote-balancie et le bâti Limiteu non bloqué Le pote-balancie este vetical Ruptue du contact Limiteu bloqué Le pote-balancie a touné de quelques degés. En cas de suvitesse, le galet ped le contact avec la came. Le balancie bascule alos et son extémité vient se loge dans l un des quate ceux de la came, bloquant net la poulie. Cet aêt butal povoque également une uptue du contact ente le pote-balancie et le bâti. Le pote-balancie toune alos de quelques degés et vient s appuye su un capteu, ce qui a pou effet de coupe l alimentation du teuil. Une tension appaaît donc dans le bin du câble qui suppote la tingleie de commande du paachute (annexes 4 et 6). Le système du paachute est actionné. La cabine d ascenseu se bloque alos gâce au coincement d un galet ente le bloc paachute solidaie de la cabine et le guide cabine. L objet de cette étude est de compende le fonctionnement de ce système de sécuité et d évalue cetaines de ses caactéistiques. Q 15. Compléte su le document éponse 1 le schéma cinématique spatial du limiteu de vitesse. On se limitea aux pièces : poulie, came, balancie, A galet et pote-balancie. On suppose le galet sans masse. La matice d inetie du balancie expimée en dans son epèe R (, x, y, z ) est : J x F I ( balancie) = F J y J z [ ] y y x x θ C est dans le plan de la symétie matéielle du balancie. R(, x, y, z) est un epèe lié au sol. R (, x, y, z ) est un epèe lié au balancie. : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 9 su 15

Annexe 6 paachute A 1 H galet 4 2 y C z x 3 E D Liaisons : Liaison pivot d axe ( A, z ) ente 1 et 2. Liaison pivot d axe (, z ) ente 1 et 4. Liaison pivot d axe ( C, z ) ente 3 et 4. Liaison pivot d axe ( D, z ) ente 2 et 3. Liaison pivot d axe ( E, z ) ente 3 et le galet. Les contacts galet / et galet / 4 existeont los du blocage de la cabine. Q 16. Justifie la fome de cette matice d inetie. Q 17. Détemine le moment dynamique du balancie en dans son mouvement pa appot au bâti : δbalancie bati ˆ (le pote-balancie est fixe). On pose : θ = ( x, x ). / Hypothèses : Un essot (non epésenté) gaantit le contact ente le galet et la came en fonctionnement nomal, en exeçant un couple supposé constant C autou de (, z ) su le balancie. On négligea l action de la pesanteu. Q 18. Détemine l accéléation angulaie limite du balancie pa appot au bâti ( && θ lim ) pou laquelle le galet ped le contact avec la came en fonction du couple C essot et du moment d inetie J z. On pécisea bien le ou les solides isolés, le bilan des actions mécaniques ainsi que le ou les théoèmes utilisés. essot : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 1 su 15

Afin de touve la vitesse angulaie limite de la poulie (et donc la vitesse limite autoisée de descente de l ascenseu), il faut elie l accéléation angulaie du balancie pa appot au bâti (θ && ) à la vitesse angulaie de la poulie pa appot au bâti (ω ). L objectif est de echeche la valeu de ω constante qui pemet d atteinde la valeu && θ lim touvée pécédemment. Hypothèse : Si ω = cste alos on supposea θ = θ sin(4 ωt). Q 19. Au vu de l annexe 7, valide cette hypothèse et détemine θ en degés. Q 2. Su le document éponse2, tace l épue du galet dans les positions extêmes. Retouve la valeu de θ. On laissea les taits de constuction. Q 21. Détemine la vitesse de otation limite le galet et la came en fonction de C essot, θ et z ωlim ayant pou conséquence la uptue du contact ente J. Q 22. A pati des coubes founies en annexe 7, touve le ésultat numéique de la question pécédente. Le ayon de la poulie du limiteu étant de 24 cm, détemine la vitesse maximale de l ascenseu. Etude du paachute (voi annexes 4 et 6) : Losque le limiteu se bloque, une tension appaaît dans le bin gauche du câble du limiteu, ce qui a pou effet d actionne la tingleie de commande du paachute (voi annexes 4 et 6). La cabine d ascenseu se bloque alos gâce au coincement d un galet ente le bloc paachute solidaie de la cabine et le guide-cabine. H Q 23. Su le document éponse 3, V 1/ 4 est donnée. E Tace la diection de la vitesse d appoche du galet pa appot à 4 : V 3/ 4. A pati de cette étude, justifie bague en caoutchouc l utilisation d une liaison élastique ente le galet et la pièce 3. galet axe de 3 Etude du coincement du galet ente le paachute 4 et le té. Q 24. Su la vue de détail, document éponse 5, place les diections des effots en I et J (effots du paachute 4 su le galet los du blocage). On négligea les effots du levie 3 su le galet (pa l intemédiaie de la bague en caoutchouc) devant les effots en I et J. Q 25. Touve alos le facteu de fottement minimal à impose ente les difféentes pièces pou assue le coincement? : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 11 su 15

Annexe 7 Un logiciel de simulation nous a pemis de tace la position angulaie du balancie pa appot au bâti. ( ( θ ) en fonction du temps pou une vitesse angulaie de la came pa appot au bâti de 1 tou / s). θ (degés ) 6-6 1 2 Temps (s) 6 4 F galet came (N) ω poulie/ bati ˆ tous/s 1 F galet came en newton epésenté pa un tait fin : 2.5 1.5 2 Temps (secondes ).5 ω en tou / poulie / bati ˆ seconde epésenté pa un tait fot : : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 12 su 15

Document-Réponse 1 Q11. actions de contact nomale et tangentielle de la poulie su le câble en M 1 et M 2 losque le câble est à la limite du glissement pa appot à la poulie. Coupe A- A M 1 M 1 M 2 T ( câble poulie) α 2 N( câble poulie) N( câble poulie) A Q15. schéma cinématique spatial du limiteu de vitesse. : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 13 su 15

Document-Réponse 2 Q2. Epue du galet dans les positions extêmes. A Echelle 1:2 distance C = 8 mm (mesue éelle) (C est le cente du galet) diamète du galet = 46 mm (mesue éelle) θ = : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 14 su 15

Document-Réponse 3 E Q23 Vitesse d appoche du galet pa appot à 4 : V 3/ 4. 4 H V 1/ 4 A H 1 D C 2 E 3 Q24 Diections des effots en I et J. Q25 Facteu de fottement minimal à impose ente les difféentes pièces pou assue le coincement. I J E f = : ascenseu CCP PSI 25.doc- Page 15 su 15