ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est l donnée d une subdivision = [ 0, ], 2 = [, 2 ],..., n = [ n, n ] de (vec = 0 n = b) et d un «pointge» de cette prtition, c.-à.-d. des points t,...,t n n. On l noter P = {(,t ),...,( n,t n )}, et on ppeller les t i des points de mrquge de P. Définition.2. Soient f une fonction numérique quelconque définie sur l intervlle [, b], et P = {(,t ),...,( n,t n )} une subdivision pointée de [,b]. On ppelle somme de Riemnn de f ssociée à P l quntité : n S(f, P) = k f(t k ). k= Définition.3. Un ps, ou juge, est une fonction δ définie sur [,b] et à vleurs dns ]0,+ [. Une subdivision pointée P = {(,t ),...,( n,t n )} ser dite dptée u ps, ou encore δ-fine, si, pour tout k n on k [t k δ(t k) 2,t k + δ(t k) 2 ]. On remrque en prticulier que k δ(t k ). Définition.4. Soit f une fonction numérique définie sur [,b]. L fonction f est dite intégrble s il eiste un nombre réel S tel que, pour tout ε > 0, il eiste une juge δ ε sur [,b] telle que, pour toute subdivision δ ε -fine P, on it S(f, P) S < ε. On noter ([,b]) l ensemble des fonctions intégrbles sur [,b]. Le nombre S ci-dessus est ppelé intégrle de l fonction f sur [,b] et est noté [,b] f()d ou encore b f()d, voire Lemme. (Lemme de Cousin). Pour toute juge δ > 0 sur [, b], il eiste une subdivision δ-fine. Théorème. (Critère de Cuchy). Une fonction f : = [, b] R est intégrble si et seulement si, pour tout ε > 0, il eiste une juge δ ε telle que, si P et Q sont deu subdivisions δ ε -fines, lors S(f, P) S(f, Q) ε. Définition.5. On dit que f est Lebesgue-intégrble sur [,b] si f et f sont intégrbles. [,b] f ou b f.
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 2 2 Propriétés élémentires Théorème 2.. Une fonction continue sur [, b] est intégrble (et même Riemnnintégrble : on peut se iter u juges δ ε constntes sur [,b]). Théorème 2.2 (Linérité). Si f et g sont des fonctions intégrbles sur, et si λ est un nombre réel, lors f + g et λf sont intégrbles, et l on les identités (f + g) = f + g et λf = λ f. Théorème 2.3 (positivité). Si f () vérifie f 0, lors f 0. En prticulier, si f, g () vérifient f g, lors f g. Théorème 2.4 (Reltion de Chsles). Soient f : [,b] R et c ],b[. Alors f est intégrble sur [,b] si, et seulement si, ses restrictions à [,c] et [c,b] le sont. Dns ce cs, on l reltion f = f + f. [,b] C est pourquoi l on note ussi l intégrle de f sur l intervlle [,b] sous l forme b f = f. [,b] [,c] 3 Formule fondmentle du clcul différentiel et intégrl Théorème 3.. Soit F : [, b] R dérivble sur [, b] ( c.-à.-d. dérivble sur ], b[ et dmettnt en (resp. en b) une dérivée à droite (resp. à guche)), de dérivée f. Alors f est intégrble et l on b [c,b] f = F(b) F(). Soit f une fonction intégrble sur [,b] ; on sit, comme l intégrle l propriété de restriction u sous-intervlles, que f est intégrble sur [,] pour tout [,b], et l on peut donc définir ψ f () = f, [,b]. Théorème 3.2 (Primitive des fonctions continues). Toute fonction continue f dmet une primitive, égle à une constnte près à ψ f. Théorème 3.3 (ntégrtion pr prties). Soient F et G deu fonctions dérivbles sur [, b]. Alors F G est intégrble si et seulement si FG l est. Dns ce cs, on l formule b F G = [FG] b Théorème 3.4 (Chngement de vrible). Soient g une ppliction dérivble sur l intervlle compct [,b], et f une fonction dmettnt une primitive sur l intervlle g([,b]). Alors g(b) g() f()d = b b FG. f(g(t))g (t)dt.
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 3 Théorème 3.5 (Formule de l moyenne). Soient f, g deu fonctions définies sur [, b]. On suppose f,g et fg intégrbles, g positive, et f bornée. Alors inf{f(), [,b]} b g()d b f()g()d sup{f(), [,b]} Si de plus f est continue, lors il eiste un point c [,b] tel que b f()g()d = f(c) b g() d. Corollire 3.. Si f est continue sur [,b], lors il eiste c ],b[ telle que 4 Clcul de primitives b f()d = (b )f(c). b g() d. Remrque : pour cette prtie, refire les eercices des trvu dirigés. Primitives usuelles : α d = α + α+ + C, α d = Log + C e (+ib) d = + ib e(+ib) + C, + ib 0 sin d = cos + C cos d = sin + C tn d = Log cos + C tn sin d = Log ( tn π + C 2 cos d = Log 4 + ) + C 2 cotg d = Log sin + C cos 2 d = tn + C sin 2 = cotg + C d = Log tn + C sin cos sh d = ch + C ch d = sh + C th th d = Log ch + C sh d = Log + C 2 ch d = 2rctn(e ) + C d = Log sh + C th ch 2 d = th + C d = Log th + C shch 2 2 d = 2 Log + + C 2 + d = Log( + 2 + 2 ) + C 2 ( 2 + ) 3/2 d = 2 + + C Frctions Rtionnelles : sh 2 d = coth + C 2 + 2 d = rctn + C d = rcsin 2 2 + C 2 d = Log + 2 2 + C 2 ( 2 ) 3/2 d = + C, 0 2 Théorème 4. (Décomposition en éléments simples). Soient P et Q deu polynômes à coefficients complees sns rcine commune. Soient,..., r les pôles de P/Q. Alors il eiste un
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 4 polynôme E, des nombres entiers α i N, i r (α i est ppelé multiplicité du pôle i ), et des nombres complees A j,k, k r, j α k, tels que P() r Q() = E() + α k k= j= A j,k ( k ) j. Frctions rtionnelles en sinus et cosinus : soient P et Q deu polynômes de deu vribles, à coefficients réels. On cherche à intégrer une fonction de l forme P(cos,sin )/Q(cos,sin ), et pour celà on rppelle les formules de trigonométrie suivntes : si l on pose t = tn(/2), lors sin = On obtient lors fcilement le d, qui est donné pr 2t t2 et cos = + t2 + t 2. d = 2dt + t 2, et l on en déduit que P(cos,sin ) P(( t 2 Q(cos,sin ) d = )( + t 2 ),(2t)( + t 2 ) ) 2dt Q(( t 2 )( + t 2 ),(2t)( + t 2 ) ) + t 2. 5 ntégrles «impropres» On peut étendre les définitions de subdivision, de juge, de finesse, de somme de Riemnn u intervlles non compcts, et donc définir l intégrle de Riemnn générlisée, insi que l intégrle de Lebesgue (les fonctions bsolument intégrbles) pour des intervlles non compcts : ouverts ou non borné. Ce qu il fut cependnt retenir, c est le théorème suivnt : Théorème 5. (Théorème de Hke). L fonction f : [, + [ R est intégrble si, et seulement si, pour tout c [,+ [, f est intégrble sur [,c], et si l ite c + c f()d = L eiste. On lors + f()d = L. Corollire 5.. Avec les mêmes nottions, f est Lebesgue-intégrble sur [, b[ si, et seulement si, pour tout c [,b[, f est Lebesgue-intégrble sur [,c], et si les ites eistent. c + c f() d et c + c f() d Un théorème nlogue est vlble pour les fonctions définies sur un intervlle semi-ouvert borné, du type ],b]. Une notion très importnt est celle de fonction Lebesgue-intégrble sur R : Proposition 5.. L fonction f : R R est intégrble si, et seulement si, l ite eiste. Dns ce cs, b,b + L = R f()d = f()d = L + f()d. Enfin f est dite Lebesgue-intégrble sur R (on note f L(R)) si f et f sont intégrbles sur R.
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 5 Cette notion générlise celle de Lebesgue-intégrbilité sur un intervlle, pr simple prolongement trivil : si f est définie sur [,b] pr eemple, on peut l prolonger pr zéro hors de [,b], et l Lebesgueintégrbilité de f sur [,b] est équivlente à celle de l fonction prolongée sur R. Soit f une fonction définie sur l intervlle [, + [. On suppose f intégrble sur tout sousintervlle compct de [,+ [. L intégrle = + f()d est dite convergente si f est intégrble sur [,+ [. Elle est dite bsolument convergente si f est Lebesgue-intégrble sur [, + [. Sinon, on dit qu elle est divergente. Le cs des utres types d intervlle donne lieu à une terminologie nlogue. Proposition 5.2. Si f est continue sur [,+ [, l convergence bsolue de implique s convergence. Proposition 5.3 (Critères de convergence en + ). Avec les mêmes nottions que cidessus, on. Si f() α pour un certin α > et pour tout ssez grnd, lors est bsolument convergente. 2. Si f() ep( η) pour un certin η > 0 et pour tout ssez grnd, lors est bsolument convergente. 3. Si f() α pour un certin α lors est divergente. Soit f une fonction définie sur l intervlle ],b], intégrble sur [c,b] pour tout < c b. L intégrle = b f()d est dite convergente si f est intégrble sur ],b]. Elle est dite bsolument convergente si f est Lebesgue-intégrble sur ],b]. Sinon, on dit qu elle est divergente. Proposition 5.4 (Critères de convergence en un point fini). Avec les mêmes nottions que ci-dessus, on. Si f() / α pour un certin α < et pour tout ssez proche de, lors est bsolument convergente. 2. Si f() η Log pour un certin η > 0 et pour tout ssez proche de, lors est bsolument convergente. 3. Si f() / α pour un certin α lors est divergente. Théorème 5.2 (Comprison séries-intégrles). Soit f une fonction positive sur l intervlle [,+ [. Pour que l intégrle = + f()d soit (bsolument) convergente, il fut et il suffit qu il eiste une suite croissnte ( n ), tendnt vers +, et telle que l série de terme générl soit (bsolument) convergente. u n = + n f()d
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 6 6 Théorèmes de convergence, pplictions Définition 6.. Soient un intervlle queconque de R et f : R; on dit que f est intégrble u sens de Lebesgue (ou Lebesgue-intégrble, ou «L», ou bsolument intégrble) si f et f sont intégrbles. On note L() l espce des fonctions Lebesgue-intégrbles sur. Proposition 6.. Soient f,g deu fonctions intégrbles, telles que pour tout, on it Alors f est Lebesgue-intégrble, et f() g(). f f g. Proposition 6.2. L espce L() est un espce vectoriel. Pr illeurs, si f, g L(), lors m{f,g} et min{f,g} sont ussi Lebesgue-intégrbles. Si de plus g est bornée, lors fg L(). Théorème 6. (Convergence monotone). Soit (f n ) une suite de fonctions définies sur, et f une fonction définie sur. On suppose que. les fonctions f n sont Lebesgue-intégrbles, 2. l suite f n est croissnte, 3. elle converge simplement vers f, 4. et l suite des intégrles f n est mjorée. Alors f est Lebesgue intégrble et f n ()d = f n()d = f()d. Théorème 6.2 (Convergence dominée de Lebesgue). Soit (f n ) une suite de fonctions Lebesgue-intégrbles sur, convergent simplement vers une fonction f. On suppose qu il eiste une fonction Lebesgue-intégrble g telle que Alors f est Lebesgue-intégrble sur, et f n = f n () g(),, n N. f n = f. Corollire 6.. En reprennt les mêmes nottions, si est compct, si chque fonction f n est Lebesgue-intégrble, si l suite (f n ) est uniformément bornée sur [,b] (c.-à.-d. il eiste une constnte M > 0 telle que f n () M,,n) et converge simplement vers f, lors b f n ()d = b f()d. Corollire 6.2. Si (f n ) est une suite de fonctions Lebesgue-intégrbles sur [,b] qui converge uniformément vers f sur [,b], lors f est intégrble et b f n ()d = b f()d. Théorème 6.3 (Continuité sous le signe intégrl). Soient = [,b] et T = [c,d], et f(,t) une fonction définie sur [,b] [c,d]. On suppose que :. Pour tout t T, l fonction f(,t) est Lebesgue-intégrble en l vrible sur,
Université de Provence, licence de mthémtiques, ntégrtion 7 2. pour tout, l fonction t f(,t) est continue en l vrible t sur T, 3. il eiste une fonction Lebesgue-intégrble g sur telle que f(,t) g(), (,t) T. Alors l fonction est continue sur T = [c,d]. t f(,t)d Théorème 6.4 (Dérivbilité sous le signe intégrl). Avec les même nottions que plus hut, on suppose que :. Pour tout t 0 T tel-que f(,t 0 ) est Lebesgue-intégrble. 2. Pour tout, l fonction t f(,t) est dérivble. 3. l eiste g, Lebesgue intégrble sur, telle que f t g. Alors pour tout t, les fonctions sont Lebesgue-intégrbles sur [,b], et l fonction f(,t) et f t (,t) est dérivble sur T, de dérivée t b f(,t)d d dt b f(,t)d = b f t (,t)d.