Termiale S. Lycée Desfotaies Melle Chapitre 11 Probabilité Coditioemet et idépedace I. Probabilité coditioelle 1- Exemple Das u lycée coteat N élèves, 4% des élèves sot des filles, % des garços. Parmi les filles, 30% sot iteres et 70% exteres. Parmi les garços, 60% sot iteres et 40% exteres. O tire au hasard ue fiche das le fichier de tous les élèves du lycée, o ote le résultat obteu qui peut être "fille itere", "fille extere", "garço itere" ou "garço extere". O peut représeter cette situatio par le graphique ci-cotre, appelé arbre podéré. Remarquez que la somme des probabilités iscrites sur les braches issues d u même œud est égale à 1. Ceci est vrai quelque soit l arbre podéré. Cette loi est coue sous le om de loi des œuds. Le chemi -0.4 F 0.7 E représete l évéemet "la fiche tirée est celle d ue fille extere". O le ote l évéemet F E Calculos la probabilité de cet évéemet : Si N est la populatio totale des élèves, le ombre de filles est 0.4 N et puisque parmi elles, 70% sot exteres, le ombre de filles exteres est 0.70 0.4 N. Aisi, parmi les N élèves, 0.70 0.4 N sot des filles exteres doc e supposat l équiprobabilité (du fait que le tirage se fait au b de filles exteres hasard), P(F E)= = 0.70 0.4 N =0.4 0.70 b total d élèves N Notos que cette probabilité est le produit des ombres iscrits sur chaque brache du chemi. Iterprétos les ombres sur chaque brache : Le ombre iscrit sur la brache -0.4 F est la probabilité que la fiche soit celle d ue fille, doc P(F)=0.4 Le ombre iscrit sur la brache F 0.7 E est la probabilité d obteir la fiche d u élève extere sachat que c est ue fille.. Cette probabilité se ote P F (E) et se lit "probabilité de E sachat F". O a doc P(F E)=P(F) P F (E) et doc P F (E)= P(F E) P(F) 2- Probabilité de B sachat A Défiitio : Soit A et B deux évéemets, A état de probabilité o ulle. La probabilité que l évéemet B se réalise sachat que l évéemet A est réalisé, est le ombre oté P A (B) et défii par P A (B)= P(A B) P(A) Coséqueces sur la probabilité d ue itersectio : Soit A et B deux évéemets de probabilités o ulles : Illustratio sur des arbres podérés : Le chemi e trait plei représete l évéemet A B. La probabilité de ce chemi cad de cet évéemet est le produit de ses braches : P(A B)=P A (B)P(A) P(A B)=P A (B)P(A)=P B (A)P(B) Le chemi e trait plei représete aussi l évéemet A B. La probabilité de ce chemi cad de cet évéemet est le produit de ses braches : P(A B)=P B (A)P(B) 1/6
Remarques : Soit A et B deux évéemets. A de probabilité o ulle. Alors ÒB =1 P (B). ÒA P A ( ÒB ) =1 P A (B) et P ÒA ( ) P A (A)=1 Si A et B sot icompatibles alors P A (B)=0 3- Formule de probabilités totales (a) Cas particulier Soit A u évéemet de probabilité o ulle. Alors, pour tout évéemet B, B état l uio des évéemets icompatibles A B et ÒA B o a : P(B)=P(A B)+P( ÒA B ) =P A (B)P(A)+P ÒA (B)P( ÒA ) P(A B) P( ÒA B ) (b) Gééralisatio Défiitio : Dire que les évéemets A 1, A 2,, A formet u système complet de Ω ou ue partitio de Ω sigifie que les évéemets A i sot o vides, icompatibles deux à deux ( i, j, A i A j =Ø) et que leur réuio est Ω ( A 1 A 2 A =Ω ). Théorème : Formule des probabilités totales Soit A 1, A 2,, A ue partitio de Ω. Alors pour tout évéemet B, B état la réuio des évéemets icompatibles B A 1, B A 2,, B A, P(B)=P( B A 1 ) +P( B A 2 ) + P( B A ) =P A1 (B)P( A 1 ) +P A2 (B)P( A 2 ) + +P A (B)P( A ) II. Idépedace 1. Idépedace de deux évéemets. Défiitio : O dit que deux évéemet A et B sot idépedats lorsque P(A B)=P(A) P(B). Cela reviet à dire, si P(A)ý0, que P A (B)=P(B) et si P(B)ý0 que P B (A)=P(A)) Remarque : La secode formulatio red plus aturelle la défiitio : il parait ormal de cosidérer comme "idépedats", au ses ituitif du terme, deux évéemets A et B dès lors que la réalisatio de B e déped pas de celle de A (et iversemet). Propriété : Si deux évéemets A et B sot idépedats alors ÒA et B le sot aussi, aisi que A et ÒB et que ÒA et ÒB. 2. Idépedace de deux variables aléatoires Défiitio : Soit Ω u uivers et P ue loi de probabilité sur Ω. Deux variables aléatoires sur Ω, X et Y sot dites idépedates lorsque pour toute valeur x prise par X et pour toute valeur y prise par Y : P(X=x et Y=y)=P(X=x) P(Y=y) III. Modélisatio d expérieces idépedates 1- Expérieces idépedates. Il est fréquet qu ue expériece aléatoire E cosiste à echaier plusieurs expérieces E 1, E 2,, E. Si chacue d elles se déroule das des coditios qui e dépedet pas des résultats des autres épreuves, o dit e lagage courat que ces épreuves E k sot idépedates. Das ce cas, u résultat de E est la doée d ue liste ordoée doat les résultats obteus aux épreuves E 1, E 2,, E. E accord avec les règles de foctioemet des arbres podérés, o modélise l expériece aléatoire E e défiissat la probabilité d ue liste de résultats comme le produit des probabilités de chacu de ces résultats. 2/6
U exemple : O cosidère l expériece aléatoire E qui cosiste à echaier les trois expérieces suivates : E 1 : O lace ue pièce de moaie équilibrée; les issues de l expériece sot otés P et F. E 2 : O tire au hasard u jeto das ue ure qui cotiet jetos dot 3 umérotés "1" et 2 umérotés "4"; les issues de l expériece serot otés J 1 et J 4 E 3 : O tire au hasard ue boule das ue ure qui cotiet 2 boules rouges et 1 boule verte; les issues de l expériece serot otés R et V. Lorsque l o effectue successivemet les trois expérieces E 1, E 2, E 3, l issue de l ue quelcoque des trois expérieces e déped pas de l issue des autres expérieces; ces expérieces sot doc idépedates. L arbre ci-cotre idique toutes les listes de résultats possibles pour E : (o "podère" les braches de l arbre e adoptat pour chaque expériece E 1, E 2, E 3, le modèle de la loi équirépartie et e appliquat l idépedace des expérieces (aisi par exemple P F( J 1 ) =P( J 1 ) = 3 ). La probabilité d obteir la liste ( P,J 1,V) est le produit des probabilités des évéemets P, J 1 et V cad 1 2 3 1 3. 2- Cas particuliers où les expérieces répétées sot idetiques et idépedates. Il s agit du cas particulier où les expérieces E 1, E 2,, E sot les répétitios d ue même épreuve. U exemple : tirages successifs avec remise. Ue ure cotiet 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules oires. O tire au hasard ue boule de l ure, o ote sa couleur et o la remet das l ure puis o tire à ouveau ue boule de l ure. Le fait que la première boule tirée soit remise etre les deux tirages red ces tirages idetiques et idépedats. L arbre cicotre idique les listes de résultats possibles : O cosidère l évéemet S :"obteir ue boule rouge exactemet". S est réalisé par les listes (evts élémetaires) (R,V), (R,N), (V,R) et (N,R) doc la probabilité d u évéemet état la somme des probabilités des évéemets élémetaires qui le costituet, P(S)=P((R,V))+P((R,N))+P((V,R))+P((N,R)). Or la probabilité d ue liste de résultats est le produit des probabilités de chacu des résultats doc P((R,V))= 4 3 ; P((R,N))= 4 2 ; P((V,R))= 3 4 ; P((N,R))= 2 4. D où P(S)= 4 2 + 3 4 + 2 4 = 40 81. O effectue maiteat tirages successifs avec remise (Ã2). Ces tirages sot doc idetiques et idépedats. Calculos la probabilité p pour qu au mois ue des boules soit rouges : Notos A l évéemet :"au mois ue des boules est rouge". L évéemet cotraire est A : "aucue des boules est rouge" cad que A est composé que de l évéemet élémetaire ( ÒR,ÒR,,ÒR ). Les tirages état idetiques et idépedats, P ( A ) Détermios le plus petit etier tel que p Ã0. : p Ã0.ñ1 Ã0.ñ ñ l l0.01 Âl0.01 ñ Ã l d où p =P( ) = Ã-0.01ñ Â0.01ñl (car l l0.01 <0). Or l A =1 P ( ) A =1 Âl0.01 (car la fct l est strictemet croissate sur IR +* ) ó7.8 doc le plus petit etier tel que p Ã0. est 8. (cad que le ombre miimum de tirages à faire pour que la proba de tirer au mois ue boule rouge soit supérieure à % est de 8).. 3/6
IV. Exercices Exercice 1 A l aide de l arbre ci-cotre, préciser : P( ÒA ), P A ( ÒB ) et P ÒA ( ÒB ). E déduire P(A B), P( ) P( ÒA B ) et P( ÒA ÒB ). A ÒB, Exercice 2 O doe P(A)= 1 2, P(B)= 1 4 et P(A B)= 1 10. Calculer P A(B) et P B (A). Exercice 3 O doe P(A)= 1 2, P(B)= 1 3 et P(A B)= 2 3. Calculer P(A B), P A(B) et P B (A). Exercice 4 O doe P(A)= 1 3, P A(B)= 1 4 et P ÒA (B)= 1. Calculer P(B) 2 Exercice O doe P(A)= 1 2, P(B)= 3 4 et P(A B)= 2. Calculer P A(B), P B (A), P( ÒA ÒB ), P ÒA ( ÒB ). Exercice 6 Das ue populatio, 20% des idividus ot les yeux bleus. parmi ceux-ci, 70% ot les cheveux clairs et parmi les autres, 40% ot les cheveux clairs. U idividu arrive. 1. Quelle est la probabilité pour qu il ait les cheveux clairs. 2. L idividu a les cheveux clairs; calculer la probabilité pour qu il ait les yeux bleus. Exercice 7 (BAC ES jui 2001, Amérique du Nord) Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10-3 près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves de classes de termiale, o appred que 60% des élèves sot des filles. De plus 40% des filles et 30% des garços fumet. 1. O choisit u élève au hasard. O ote A l évéemet : "l élève choisi fume" et F l évéemet : "l élève choisi est ue fille". Quelle est la probabilité que : (a) cet élève soit ue fille qui fume? (b) Cet élève soit u garço qui e fume pas? (c) Cet élève fume? 2. L equête permet de savoir que : - parmi les élèves fumeurs, la moitié ot des parets qui fumet ; - parmi les élèves o fumeurs, 6% ot des parets o fumeurs. O ote B l évéemet : "l élève choisi a des parets fumeurs". (a) Calculer P(B). (b) Calculer la probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets fumeurs. (c) Calculer la probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets o fumeurs. Exercice 8 (Atilles-Guyae, jui 2001) Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme de fractios irréductibles. U joueur achète 10 u billet permettat de participer à u jeu costitué d u grattage suivi d ue loterie. Il gratte ue case sur le billet. Il peut alors gager 100 avec ue probabilité de 1 ou bie e rie gager. 0 G désige l évéemet : "le joueur gage au grattage". Il participe esuite à ue loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gager 100, ou 200, ou bie e rie gager. L 1 désige l évéemet : "le joueur gage 100 à la loterie". L 2 désige l évéemet : "le joueur gage 200 à la loterie". P désige l évéemet : "le joueur e gage rie à la loterie". Si u joueur a rie gagé au grattage, la probabilité qu il gage 100 à la loterie est 1, et la probabilité qu il gage 200 à la loterie est 1 40. 70 4/6
1. (a) Faire u arbre sur lequel o idiquera les reseigemets qui précèdet. (b) Calculer la probabilité pour que le joueur e gage rie à la loterie, sachat qu il a rie gagé au grattage. Compléter l arbre avec cette valeur. (c) Au bout de chaque brache, idiquer le gai algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déductio faite du prix du billet. 2. O ote X la variable aléatoire qui représete le gai algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déductio faite du prix du billet. 2 La probabilité de l évéemet "X=0" est 12. (a) Motrer que la probabilité que le joueur gage 100 à la loterie, sachat qu il a gagé 100 au grattage, est égale à 1 10. (b) Calculer la probabilité que le joueur gage rie à la loterie, sachat qu il a gagé100 au grattage. (c) Détermier la loi de probabilité de X. Calculer l espérace de X. Exercice Ue machie M 1 est costituée de deux élémets A et B. U défaut d u seul élémet suffit à mettre la machie hors service et o exclut toute autre évetualité de pae. Les défauts évetuels des élémets A et B sot deux évéemets idépedats qui se produiset avec les probabilités respectives a=0.1 et b=0.2. 1. Calculer la probabilité pour que A et B soiet hors service e même temps. 2. Calculer la probabilité pour que la machie M 1 soit hors service. 3. Calculer la probabilité pour que la machie M 1 foctioe. 4. Calculer la probabilité de l évéemet V : "u seul élémet est e pae".. O suppose que la machie M 1 est hors service. Quelle est la probabilité d avoir u seul élémet e pae? Exercice 10 Ue ure cotiet quatre boules : deux rouges portat les uméros 1 et 2, ue verte umérotée 1 et ue jaue umérotée 2. O extrait au hasard ue boule de l ure. O cosidère les variables aléatoires X, Y et Z associat respectivemet à chaque tirage : - le uméro porté par la boule; - le ombre de boules rouges obteues (0 ou 1) - le ombre de boules jaues obteues (0 ou 1). 1. Détermier la loi de probabilité de chaque variable aléatoire. 2. (a) Etudier l idépedace des variables aléatoires X et Y. (b) Etudier l idépedace des variables aléatoires X et Z. Exercice 11 O sait que 3% des idividus d ue populatio lycéee pratiquet le cyclisme (sport A), que 2% pratique le teis (sport B) et que 1% pratiquet les sports A et B. 1. O iterroge au hasard ue persoe de la populatio cosidérée. (a) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique au mois u des sports cosidérés? (b) Quelle est la probabilité pour que cette persoe e pratique aucu des sports cosidérés? (c) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique le sport A et e pratique pas le sport B? (d) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique u et u seul des sports cosidérés? 2. O iterroge au hasard ue persoe de la populatio cosidérée pratiquat le sport A. Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique le sport B? (o doera le résultat sous forme de fractio irréductible) 3. O désige par u etier supérieur ou égal à 2. O choisit, au hasard et de faço idépedate, persoes de la populatio cosidérée (o assimilera ces choix à tirages avec remise). (a) Quelle est la probabilité p pour qu au mois ue des persoes choisies pratique le sport A? (b) Détermier le plus petit etier tel que p Ã0.. Exercice 12 (Réuio-jui 2002) Das u lot de 100 pièces de moaie toutes de même apparece, ot été mélagées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d apparitio de "PILE" lors d u jet d ue pièce truquée est 3 4. La probabilité d apparitio de "PILE" lors d u jet d ue pièce équilibrée est 1 2. O suppose que les différets lacers dot il sera questio das la suite sot idépedats les us des autres. Les résultats serot doés sous forme de fractios irréductibles. 1. O pred ue pièce au hasard et o la lace : Soit T l évéemet : "la pièce est truquée". /6
Soit P l évéemet : "o obtiet PILE". (a) Calculer la probabilité d obteir "PILE". (o pourra s aider d u arbre) (b) Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachat que l o a obteue "PILE"? 2. O pred ue pièce au hasard et o la lace 4 fois. - si au cours des quatre lacers o obtiet 4 fois "PILE", o décide d élimier la pièce, - das le cas cotraire, o décide de coserver la pièce. - O ote E l évéemet : "la pièce est élimiée" (a) Quelle est la probabilité que la pièce soit élimiée sachat qu elle est équilibrée? (b) Quelle est la probabilité que la pièce soit coservée sachat qu elle est truquée? (c) Quelle est la probabilité d avoir pris ue pièce équilibrée et de l avoir élimiée ou d avoir ue pièce truquée et de l avoir coservée? Exercice 13 (Réuio-jui 200) O cosidère trois ures U 1, U 2 et U 3. L ure U 1 cotiet deux boules oires et trois boules rouges; l ure U 2 cotiet ue boule oire et quatre boules rouges; l ure U 3 cotiet trois boules oires et quatre boules rouges. Ue expériece cosiste à tirer au hasard ue boule de U 1 et ue boule de U 2, à les mettre das U 3, puis à tirer au hasard ue boule de U 3. Pour i preat les valeurs 1,2 et 3, o désige par N i (respectivemet R i ) l évéemet "o tire ue boule oire de l ure U i " (respectivemet "o tire ue boule rouge de l ure U i ") 1. Reproduire et compléter l arbre de probabilités ci-cotre : 2. (a) Calculer la probabilité des évéemets N 1 N 2 N 3 et N 1 R 2 N 3. (b) E déduire la probabilité de l évéemet N 1 N 3. (c) Calculer de faço aalogue la probabilité de l évéemet R 1 N 3. 3. Déduire de la questio précédete la probabilité de l évéemet N 3. 4. Les évéemets N 1 et N 3 sot ils idépedats?. Sachat que la boule tirée das U 3 est oire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U 1 soit rouge? Exercice 14 (Polyésie jui 2006) O a posé à 1000 persoes la questio suivate : "Combie de fois êtes-vous arrivé e retard au travail au cours de deux deriers mois?". Les réposes ot été regroupées das le tableau ci-cotre : 1. O choisit au hasard u idividu de cette populatio. (a) Détermier la probabilité que l idividu ait eu au mois u retard le premier mois. (b) Détermier la probabilité que l idividu ait eu au mois u retard le deuxième mois sachat qu il e a pas eu le premier mois. 2. O souhaite faire ue étude de l évolutio du ombre de retards sur u grad ombre de mois ( u etier aturel o ul). O fait les hypothèses suivates : - si l idividu a pas eu de retard le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est 0.46. - si l idividu a eu exactemet u retard le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est 0.66. - si l idividu a eu deux retards ou plus le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est ecore 0.66. O ote A l évéemet "l idividu a eu aucu retard le mois " B l évéemet "l idividu a eu exactemet u retard le mois " C l évéemet "l idividu a eu deux retards ou plus le mois " Les probabilités des évéemets A, B, C sot otées respectivemet p, q et r. (a) Pour le premier mois (=1), les probabilités p 1, q 1 et r 1 sot obteues à l aide du tableau précédet. Détermier les probabilités p 1, q 1 et r 1. (b) Exprimer p +1 e foctio de p, q et r. O pourra s aider d u arbre. (c) Motrer que, pour tout etier aturel o ul, p +1 =-0.2p +0.66. (d) Soit la suite ( u ) défiie pour tout aturel o ul par u =p -0.. Démotrer que ( u ) est ue suite géométrique dot o doera la raiso. (e) Détermier lim +õ u. E déduire lim +õ p. 6/6