Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler être ue erreur d'éocé, il le sigalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositio e epliquat les raisos des iitiatives qu il a été ameé à predre **** Le sujet comporte 6 pages Notatios : O ote : : l esemble des ombres réels, l : la foctio logarithme épérie Pour tout ombre réel tel que la série coverge), o ote (resp coverge (resp la série l f l e ) la somme de cette série e Objectifs : O se propose d étudier quelques propriétés des foctios et f Das la partie I, o calcule trois valeurs eactes et ue valeur approchée de aturels La partie II est cosacrée à ue étude de la foctio f e liaiso avec partie III, o étudie de faço plus précise la cotiuité et le caractère pour quatre etiers C de la foctio 2 Das la / 6
PARTIE I Quelques valeurs de la foctio I/ Calcul de I/ Préciser, selo la valeur du ombre réel, la limite de vers lorsque l etier ted I2/ Motrer que l esemble de défiitio de la foctio est E ; 4 I3/ Pour tout etier aturel, o pose J tat dt I3/ Préciser ue primitive de la foctio t tat et calculer J I32/ Motrer que la suite J est covergete et préciser sa limite I33/ Calculer J J 2 pour tout etier aturel I34/ E utilisat le résultat obteu e I33/, établir (par eemple par récurrece), pour tout etier aturel o ul, la relatio : I35/ E déduire la valeur de k 2k k J J 2 I2/ Ue valeur approchée de 3 Pour tout etier aturel o ul, o pose S k k k 3 I2/ Décrire, e fraçais, u algorithme de calcul de doé S pour etier aturel o ul I22/ E utilisat l algorithme précédet et la calculatrice, doer la valeur décimale approchée par défaut de S3 à la précisio -4 I23/ Motrer que est aussi la valeur décimale approchée par défaut de 3 à la précisio -4 2 / 6
I3/ Calcul de 2 et 4 O cosidère la foctio g défiie sur, à valeurs réelles, 2 -périodique et vérifiat : g 2 pour tout ; Pour tout etier aturel, o pose 2 cos d I3/ Calculer pour tout etier aturel I32/ Epliciter les coefficiets de Fourier réels a O rappelle que pour tout etier aturel : g et b g de la foctio g a g g cos d et b g g si d I33/ Justifier la covergece, pour tout réel, de la série 2 cos sa somme 2 cos I34/ E déduire la valeur de 2 pour tout ; et epliciter I35/ Justifier la covergece de la série 4 et calculer la valeur de sa somme 4 I36/ 3 si E utilisat le résultat obteu e I33/, établir la covergece de la série et epliciter sa somme 3 si pour ; I37/ Justifier, pour tout réel, la covergece de la série 4 cos somme 4 cos pour ; e foctio de et 4 et calculer sa I38/ E déduire la valeur de 4 3 / 6
PARTIE II Etude d ue foctio Pour tout etier aturel et tout ombre réel, o ote u l e Pour tout ombre réel tel que la série u coverge, o ote f u la somme de cette série O se propose d étudier quelques propriétés de la foctio f e utilisat e particulier 2 2 II/ Motrer que la foctio f est défiie sur ; O ote désormais E l image par f de l itervalle ; II2/ Motrer que la foctio f est cotiue sur ; II3/ Motrer que la foctio f est strictemet mootoe sur ; II4/ Justifier l affirmatio : E est u itervalle de II5/ Motrer que la foctio f admet ue limite fiie (que l o précisera) e II6/ Pour tout ombre réel strictemet positif, o désige par la foctio défiie sur par : t t l e II6/ Justifier la covergece de l itégrale t dt II62/ Etablir, pour tout ombre réel >, la double iégalité : t dt f l2 t dt II63/ Motrer l eistece de l itégrale l y dy y et eprimer sa valeur e foctio de 2 4 / 6
II64/ Motrer qu il eiste ue costate (que l o précisera) telle que pour tout ombre réel strictemet positif, o ait la double iégalité : f II65/ E déduire la limite de f lorsque ted vers et préciser l itervalle E PARTIE III Propriétés de la foctio Rappel : III/ Motrer que pour tout ombre réel de E ; 2, o a la double iégalité III2/ E déduire que la foctio est borée sur E et qu elle admet ue limite fiie e ; o précisera cette limite III3/ Cotiuité de la foctio III3/ E utilisat la otio de covergece ormale, motrer que la foctio sur l itervalle ; est cotiue III32/ Motrer que la foctio est cotiue sur E III4/ Caractère C de la foctio III4/ Soit u ombre réel fié strictemet positif, o désige par la foctio défiie l t sur l itervalle 2; par t t Etudier les variatios de la foctio sur l itervalle 2; ; o précisera l étude das les deu cas : III4/ lorsque l2 III42/ lorsque ; l2 5 / 6
III42/ Démotrer de faço rigoureuse que la foctio est de classe C III42/ sur l itervalle ; l2, III422/ sur l itervalle ; III43/ Détermier le sige III43/ de '2, III432/ de ' Fi de l'éocé 6 / 6