L.Glli age sr Lois discrètes Lois discretes Qelqes formles classiqes, très tiles : ; Remarqe : Il existe des formles de récrrece doat e foctio de, Ce sot les formles de Newto, Exercice calcl de? Doc E sommat de à il viet, arès simlificatio : Doc [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] Coclsio : Exercice : Démotrer qe Cas articlier : Corrigé : o a La coefficiet de das est or obteir le coefficiet de das Je fais la somme des rodits des coefficiets de das ar les coeficiets de das E osat Ce rodit est Cas articlier : o a La coefficiet de das est
or obteir le coefficiet de das das Je fais la somme des rodits des coefficiets de ar les coefficiets de Or doc Doc das or. doc Exercice : loi iformetirages éqibrobables! doc déombremets Calcler l esérace et la variace d e loi iforme sr [ ;] : E V E [ E ] V V Exercice 5 feille L.Glli age sr Lois discrètes
L.Glli age sr Lois discrètes Corrigé :? Ω La ème bole oire et être tirée ax ème, ème,..ième tirage { } ;...; ; Ω?, la ème bole blache est tirée a dexième tirage doc la remière blache est tirée a er tirage? la ème bole oire est tirée a ème tirage doc la ère bole oire a été tirée a er et e bole blache est tirée ème tirage o e BB est tirée a er tirage et e BN est tirée a ème tirage? la ème bole oire est tirée a ème tirage doc la ère bole oire a été tirée a er o a ème o a ème tirage les atres boles tirées état blaches Vérificatio E Or doc E
L.Glli age sr Lois discrètes E E V V V V Or doc [ ] V V Exercice feille d exercices O cosidère lot de chassres comortat 5 aires de chassres oires, aires de chassres roges et aires de chassres vertes. E dehors de la coler, totes les chassres sot idetiqes. O red dex chassres a hasard. est la variable de Berolli défiie ar si les dex chassres choisies formet e aire véritable, et sio. Doer la loi, l'esérace et la variace de. Corrigé : les dex chassres ot la même coler et l e est droite l atre est gache or qe soit réalisé Je choisis la coler :
i la coler est oire : e choisis la remière chassre armi les 5 Gaches oires 5choix is la ème chassre armi les 5 droites oires a total 5 choix ossibles i la coler est roge : e choisis la remière chassre armi les Gaches roges choix is la ème chassre armi les droites roges a total 9 choix ossibles i la coler est verte : e choisis la remière chassre armi les Gaches vertes choix is la ème chassre armi les droites vertes a total choix ossibles A total 59 5 cas favorables! Nombre de cas ossibles 7 *!! 5 5 5 ; 7 5 5* E ; V L.Glli age 5 sr Lois discrètes
Exercice feille d exercices A et B sot dex avios ayat resectivemet et moters. Chaqe moter a la robabilité de tomber e ae et les moters sot idéedats les s des atres.chaqe avio arrive à destiatio si mois de la moitié de ses moters tombet e ae. Qel avio choisissez vos? Corrigé : L avio A arrive à destiatio si o moters tombet e ae L avio B arrive à destiatio si moter tombet e ae Exercice feille Corrigé : sit e loi B ;.. E, ;V*.*.7, 7.. 7,, voir table 9 < F.. 7.. 7.. 7, > I 5 5 F 5 F F > / 5, 5 5 F 5 F 5 Exercice feille : L.Glli age sr Lois discrètes
Corrigé : O étdie les variatios de la site!!!!!!! [ ]!!! [ ]!! est d sige de [ ] Etde d sige de [ ] a i < alors or tot, < doc est maximm or b alors or >, < et or <, > Dex cas evet avoir lie : Cas A : est etier oté o a alors doc Et alors or >, < et or <, > est maximm or et Cas B : est as etier Notos alors Et < > < or, > doc < <... < < et or, doc > >... > est maximm or Et Et et L.Glli age 7 sr Lois discrètes
Exercice slémetaire : Dex oers lacet e ièce de moaie éqilibrée fois chac. Calcler la robabilité q ils obtieet le même ombre de fois ile. Corrigé : Notos et les VAR égales a ombre de iles obtes ar chac des oers. et sivet des lois biômiales B,/ L évéemet se décomose e... à disoits et idéedats doc [ ] [ ] [ ] Or doc doc L.Glli age sr Lois discrètes
Exercice : L oral d cocors comorte a total sets ; les cadidats tiret a sort trois sets et choisisset alors le set traité armi ces trois sets. U cadidat se résete e ayat révisé sets sr les.. Qelle est la robabilité or qe le cadidat ait révisé : a les trois sets tirés ; b exactemet dex sets sr les trois sets ; c ac des trois sets.. Défiir e variable aléatoire associée à ce roblème et doer sa loi de robabilité, so esérace. La variable aléatoire associée à ce roblème est «ombre de sets révisés armi les» ; red ses valers das l esemble {; ; ; }. La loi de est e loi hyergéométriqe isqe l évéemet [ ], or comris etre et, se rodit si le cadidat tire sets armi les révisés, et sets armi les o révisés. Alors :. Les trois sets tirés ot été révisés : [ ]. Dex des trois sets tirés ot été révisés : [ ]. Ac des trois sets : [ ] [ ] M Esérace : E, N Exercice : Das e boîte, il y a boles roges et boles aes. O tire a hasard boles de la boîte, sas remise. oit resectivemet le ombre de boles roges resectivemet aes tirées armi les. / Exliciter la loi de. / Calcler : L.Glli age 9 sr Lois discrètes
a E []. b E []. c Var. / Les variables et sot-elles idéedates? Corrigé / Loi de. O choisit a hasard l'e des combiaisos éqirobables de boles armi les. armi ces combiaisos, il y e a comortat boles roges choisies armi les, et boles aes choisies armi les,. La robabilité qe, égale à la robabilité qe, est doc doée ar la loi hyergéométriqe : [ ] ; / Eséraces et variace. E [] 5,. E [] E [ ] E [],7. Var Var Var E [ ] E [] E [ ] 5 Var,. / Idéedace. L'évéemet { } est le même qe l'évéemet { }, doc { } I { } { } et l'o a : [{ } I { }] [{ }] [{ }] [{ }] [{ }] La relatio [{ } I { }] [{ }] [{ }] motre qe les variables et e sot as idéedates. L.Glli age sr Lois discrètes
L.Glli age sr Lois discrètes Corrigé : * 95,! e * 99 9,!! e e e e e 595,,, / > > > > 7 9 59 5.,, F F 9799 595 595 99 5.... / > < < > > < > < F F F
Exercice Calcl de l esérace et de la variace d e loi de oisso de aramètre α Corrigé : α e α α α E!!! V E α α α α α e α e α e α e α E α α e α e α α α!!! α α α α e α e e E α Doc α Et V E α α α α α Exercice : α α α e osos a O a ; a a a a... ar rodit o obtiet a a! a a Et doc a doc a! Doc a e! EERCICE : doc e! e loi de oisso de aramètre! e Corrigé : L.Glli age sr Lois discrètes
osos a a a e a!, o étdie cette site e a a a a! a a < a < i a < alors or tot N a a le mode est a i a le mode est a a i a > or tot tel qe Eta o a a < a Le mode est a Et a EERCICE : Corrigé : O tire le remier roi a ième tirage si : O a as tiré de roi as - remiers tirages et o tire roi a ième tirage. 7 Z E Z Z Or 7 x x doc x 7 x x 7 Doc 7 doc E Z V Z E Z E Z Z Z Z Z Z Or 7 x x x Doc 7 7 E Z 7 7 7 7 doc E Z Z Z E Z 7 L.Glli age sr Lois discrètes
roblème EDHEC L.Glli age sr Lois discrètes
Corrigé : artie Vérifier qe Ω { } ; is doer la loi de Le rotocole d délacemet d mobile dit qe : a L'abscisse d mobile à l'istat t est { ; Ω { } b A l istat sivat t le mobile e et avoir qe ositios ossibles soit l abscisse, soit reveir à l origie { L'abscisse d mobile à l'istat t est o doc Ω { ; }. Motrer ar récrrece qe N : Ω ; ;...; Iitialisatio : Le rotocole d délacemet dit qe Ω { } doc est vraie. Hérédité : soit N tel qe soit vraie. ;;...; Le rotocole dit qe le mobile e et qe soit avacer d e abscisse, soit reveir à ar coséqet la ositio d mobile à l istat t est soit soit élémet de { ; ;...; } doc élémet de { ; ; ;...; } Ω ; ; ;...;, doc est vraie. { } état vraie, la ositio d mobile à l istat t est alors élémet de { } Coclsio : { } a Motrer qe N * U i i système comlet d ' évéemets { ; ;...;} L évéemet { L.Glli age 5 sr Lois discrètes
L.Glli age sr Lois discrètes Doc { [ ] i i i i i i Or, doc or tot i i Doc { Or doc b e dédire qe N { } ;...; ; ; or, si { } ;...; ; ; alors doc, ar défiitio de or * N d arès a o a { } ;...; ; Doc Doc... Doc or * N { } ;...; ; Il reste à étdier le cas * N et alors défiitio de ar E résmé o a N { } ;...; ; ; c E remarqat qe N { } ;...; ; ; motrer qe N isqe alors faisos le chagemet d idice o a bie N d retrover les valers de ; is détermier ; N doc or o a c est à dire
or o obtiet doc doc Doc 5 or o obtiet facilemet et or a Motrer qe N * E E D arès a N * { ; ;...;} Qi et s écrire O ecore Doc E ar coséqet o a bie b E E E E E E.. E E E E E sommat membre à membre les égalités ci-desss O obtiet E E ar chgt idice E or E d où E c or tot N * doer la valer de D arès c o a or tot N et vérifier qe Doc or tot N *, e reat N o obtiet De ls N Dédire des dex résltats récédets qe or tot N *, isqe et Alors d Motrer qe or tot N *, D arès la qestio récédete o a or tot N *. Détermier lim E, L.Glli age 7 sr Lois discrètes
Or doc doc et Doc < doc Et doc Doc doc et doc Or est divergete Riema α doc lim E artie : a T sigifie qe le mobile reviet or la remière fois e O à l istat doc or T sigifie qe le mobile reviet or la remière fois e O à l istat Doc ax istats récédets, il était as e T... C est à dire bdoc T [... ] E aliqat la formle des robabilités comosées gééralisées T... I i i i i i i I i Remarqe : car la ositio d mobile à l istat i Ne déed qe de sa ositio à l istat récédet i- doc T... Or Or i i i i i doc i c facile T T T... T lim T lim lim lim Doc T T E T T série divergete ET existe as. L.Glli age sr Lois discrètes