1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 1 su 10 Ch11 : Suites aithmétiques et géométiques Das tout le chapite, les eties cosidéés sot atuels 1 SUITES ARITHMÉTIQUES DÉFINITION 1 O dit qu'ue suite u est aithmétique si, à pati de so pemie teme, chaque teme est obteu e ajoutat au pécédet u même ombe Aisi, il existe u éel tel que pou tout etie, = u + Le ombe est appelé aiso de la suite aithmétique u ; il est égal à la difféece ete deux temes cosécutifs quelcoques : pou tout etie, = u Exemples : 1) La suite {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; } des eties impais, de teme gééal u = + 1, est ue suite aithmétique de pemie teme 1 et de aiso ) La suite v de teme gééal v = 'est pas ue suite aithmétique E effet, v 0 = 0 ; v 1 = 1 ; v = 4, : pou passe d'u teme au suivat, o 'ajoute pas toujous le même ombe THÉORÈME 1 Soit u ue suite aithmétique de aiso Alos pou tout etie, u + Plus gééalemet, pou tous eties p et k, u p = u k + (p k) À pati de, o obtiet u e ajoutat fois la aiso : u + + + + + O a alos u p + p et u k + k Doc u p u k + p k = (p k), soit u p = u k + (p k) THÉORÈME Soit u ue suite aithmétique de aiso Si > 0, la suite u est stictemet coissate Si < 0, la suite u est stictemet décoissate Si = 0, la suite u est costate Voi la démostatio à l'execice 35, page 183 La démostatio du théoème est tès simple : est égal à la difféece ete deux temes cosécutifs quelcoques Illustatio : Gaphiquemet, les poits de coodoées ( ; u ) appatieet à la doite d'équatio y + x So coefficiet diecteu est Si > 0, la foctio affie x u + x est coissate : 0 les temes sot de plus e plus gads Si < 0, la foctio affie x u + x est 0 décoissate : les temes sot de plus e plus petits Execice coigé : Démote qu'ue suite est, ou 'est pas, aithmétique Les suites suivates sot-elles aithmétiques? Si oui, détemie le pemie teme et la aiso 1) Pou tout etie, u = 7 4 ) Pou tout etie, v = 1 3) Pou tout etie, w = ( + 1) Solutio : Méthode : 1) = 7 4 0 = 7 ; u 1 = 7 4 1 = 3 ; u = 7 4 = 1 Avat toute chose, calcule les tois
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page su 10 Il semble que la difféece ete deux temes cosécutifs soit 4, doc idépedate de pemies temes de la suite pou cojectue le ésultat Pou tout etie : u = [7 4( + 1)] (7 4) = 4 Pou démote qu'ue suite u est La suite u est aithmétique de pemie teme = 7 et de aithmétique, o pouve que la difféece u aiso 4 + 1 u est costate, c'est-à-die idépedate de ) v 0 = 0 1 = 1 ; v 1 = 1 1 = 0 ; v = 1 = 3 Pou démote qu'ue suite u 'est pas O a v 1 v 0 = 1 difféet de v v 1 = 3 aithmétique, il suffit de touve u exemple motat que la difféece ete Doc la suite v 'est pas aithmétique deux temes cosécutifs 'est pas costate 3) O a w 0 = 1 ; w 1 = 3 ; w = 5 : la difféece ete deux temes cosécutifs semble costate et égale à Pou tout etie : w + 1 w = [( + ) ( + 1) ] [( + 1) ] E développat, o touve : w + 1 w = Doc la suite w est aithmétique de pemie teme w 0 = 1 et de aiso Execice 1 page 169 Das chacu des cas suivats, die si la suite u, défiie su IN, est aithmétique Si oui, pécise le pemie teme et la aiso a) u = 5 + 1 ; b) u = 4 1 + 1 ; c) u = + 1 u = 5( + 1) + 1 (5 + 1) = 5 u 5 = 1 u = ( 1)( + 1) + 1 = 1 u = 1 = 0 u 1 = 1 u = 3 u 1 u u 1 u Execice 3 page 169 O a epéseté ci-cote la suite u de pemie teme = 0, défiie pa écuece pa = f (u ) pou tout etie 1) Lie les valeus u 1, u et u 3 ) Quelle est la foctio f? 3) E déduie que la suite u est aithmétique et e doe la aiso u 1 = u = 4 u 3 = 6 f [0 ; +[ f (x) = x + = f (u ) = u + SUITES GÉOMÉTRIQUES u = 0 DÉFINITION O dit qu'ue suite u est géométique si, à pati de so teme iitial, chaque teme est obteu e multipliat le pécédet pa u même ombe Aisi, il existe u éel q tel que pou tout etie, = u q Le ombe q est appelé aiso de la suite géométique u Das le cas où la suite u e s'aule pas, q est égal au quotiet de deux temes cosécutifs quelcoques :
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 3 su 10 q = (éel fixé idépedat de l'etie ) u Exemples : 1) La suite {1 ; ; 4 ; 8 ; } des puissaces de, de teme gééal u =, est ue suite géométique de pemie teme 1 et de aiso ) La suite v de teme gééal v = ( + 1) 'est pas ue suite géométique E effet, v 0 = 1 ; v 1 = 4 ; v = 9, Pou passe d'u teme au suivat, o e multiplie pas toujous pa le même ombe THÉORÈME 3 Soit u ue suite géométique de aiso q o ulle Alos pou tout etie, u q Plus gééalemet, pou tous eties p et k, u p = u k q p k À pati de, o obtiet u e multipliat fois pa la aiso : u q q q q O a alos u p q p et u k q k Comme q 0, = u k q k, alos u p = u k q k qp, soit u p = u k q p k THÉORÈME 4 Soit q u éel o ul Si q > 1, la suite (q ) est stictemet coissate Si q = 1, la suite (q ) est costate égale à 1 Si 0 < q < 1, la suite (q ) est stictemet décoissate Si q = 0, la suite (q ) est costate égale à 0, à pati du ag 1 Si q < 0, la suite (q ) 'est pas mootoe Voi la démostatio à l'execice 54, page 185 Illustatio : Gaphiquemet, à l'aide de la calculatice : Si q > 1 Si 0 < q < 1 Si q < 0 Execice coigé : Démote qu'ue suite est, ou 'est pas, géométique Les suites u, v et w sot-elles géométiques? Si oui, e doe le pemie teme et la aiso Pou tout etie : a) u = 5 ; b) v = 3 3 ; c) w + 1 = w + 3 et w 0 = 4 Solutio : Méthode : a) = 5 0 = 1 = ; u 1 = 5 1 = 5 ; u = 5 = 5 Avat toute chose, o calcule les tois pemies temes O cojectue que pou passe d'u teme au suivat, o multiplie pa 1 5 Pou démote qu'ue suite u est géométique : Pou tout etie, = 5 + 1 = 1 5 5 = 1 5 u La suite u est géométique de pemie teme = et de aiso 1 5 b) v 0 =- 1 ; v 1 = 4 7 ; v = 16 79 O cojectue que pou passe d'u teme au suivat, o multiplie pa 4 7 o expime sous la fome q u ;
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 4 su 10 La suite v est à temes stictemet positifs O a pou tout etie : v + 1 = + 33 v 3 + 3 = 3 3 3 = 4 7 La suite v est géométique de aiso 4 7 et de pemie teme v 0 = 1 c) w 0 = 4 ; w 1 = 7 ; w = 4 O costate que l'o e multiplie pas toujous pa u même ombe pou passe d'u teme au suivat : la suite w 'est pas géométique Execice 4 page 171 Les suites u et v, défiies su IN, sot-elles géométiques? Si oui, pécise le pemie teme et la aiso a) u = 5 + 3 ; b) v = 3 + + 1 si les temes sot o uls, o pouve que le quotiet est costat, c'est-à-die idépedat de u Pou démote qu'ue suite u 'est pas géométique, il suffit de touve u exemple motat que le quotiet de deux temes cosécutifs 'est pas costat u = 5 + 5 5 + 3 = 5 + 5 ( + 3) = 5 = 5 u = 5 + 3 = 5 5 3 = (5 ) 15 = 15 5 5 = 5 u u 5 = 15 v 0 = v 1 = 5 v = 8 3 v 1 v 0 = 5 4 v = 16 v 1 15 v Execice 41 page 184 Das chacu des cas suivats, die si la suite u, dot o doe la défiitio su IN, est géométique : a) u = 4 3 ; b) u est la suite des eties pais o uls ; u = 4 1 3 = u 1 = 4 u = 6 u c) u = 3 = u 3 100 u = 0,97 u,97 ; d) = 4 = 0,5u + 3 1 3 = 4 = 3 = 4 u 1 = 5 u = 11 u 1 u u 1 u 3 CALCULS DE SOMMES DE TERMES CONSÉCUTIFS THÉORÈME 5 Soit u etie atuel o ul Alos la somme des pemies eties o uls est : ( + 1) 1 + + 3 + + =
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 5 su 10 O dispose côte-à-côte des ectagles de lageu 1 et de hauteu 1,, 3,,, de faço à obtei la suface bleue, et so symétique la suface vete L'aie de chaque suface est : 1 + + 3 + + O la éuio des sufaces vete et bleue est u ectagle de côtés et + 1 Doc : (1 + + 3 + + ) = ( + 1) ; d'où le ésultat Exemples : 10 11 1) 1 + + 3 + + 10 = = 55 ) 10 + 11 + + 50 = (1 + + 3 + + 50) (1 + + 3 + + 9) = 50 51 9 10 = 1 30 Remaque : Pou tout etie 1, la somme 1 + + 3 + + est etièe Le théoème ci-dessus pemet aisi d'affime que (+ 1) est toujous etie Ce qui se justifie aisémet pa ailleus : comme les eties et + 1 sot cosécutifs, l'u des deux est pai ; le poduit ( + 1) est doc u ombe pai Execice 6 page 187 Calcule les sommes doées = 1 + + 3 + + 009 + 010 + 011 S = 010 + 011 + 01 + + 9 999 + 10 000 = 011 01 = 03 066 S = (1 + + + 10 000) (1 + + + 009) = Execice 63 page 187 Calcule les sommes doées = + 6 + 10 + 14 + + 598 + 60 S = 1 4 9 14 999 10 000 10 001 009 010 = 47 985 955 Coseil : Pou, véifie tout d'abod que : = + ( + 4) + ( + 4) + + ( + 150 4), puis que : = 151 + 4 (1 + + + 150) = + ( + 4) + ( + 4) + + ( + 150 4) = 151 + 4 (1 + + + 150) = 151 + 4 150 151 = 45 60 S = 1 ( 4 + (4 + 5) + (4 + 5) + + (4 + 5 199) ) S = 1 ( 00 4 + 5(1 + + + 199) ) S = 1 800 + 5 199 00 S = 100 99 THÉORÈME 6 Soit u etie atuel o ul et q u éel difféet de 1 Alos : 1 + q + q + + q = 1 q + 1 1 q O pose S = 1 + q + q + + q O a q S = q + q + q 3 + + q + 1 E soustayat : S q S = (1 + q + q + + q ) (q + q + + q + 1 ) E aulat les sommes de temes opposés : S q S = 1 q + 1
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 6 su 10 D'où (1 q) S = 1 q + 1, et comme q 1, o obtiet : S = 1 q + 1 1 q Remaque : Das le cas où q = 1, o a pou tout etie 1 : 1 + q + q + + q = 1 + 1 + 1 + + 1 = + 1 Exemples : 1) 1 + + + + 10 = 1 11 1 = 047 ) 1 + 1 + + 1 10 = 1 + 1 + + 1 1 1 10 1 = 1 1 O peut aussi calcule cette somme e factoisat pa 1 : 1 + 1 + + 1 10 = 1 1 + 1 + 1 + + 1 9 = 1 1 1 1 1 Execice coigé : Calcule des sommes 11 1 = 11 1 10 = 1 03 1 04 10 = 10 1 10 = 1 03 1 04 1) Calcule les sommes suivates : a) S = 3 + 7 + 11 + + 03 b) S = 11 + + 44 + + 360 448 ) Quelle est la somme des multiples de 7 compis ete 100 et 000? Solutio : Méthode : 1) a) Les temes de la somme sot les temes cosécutifs de O idetifie la atue de la suite mise jeu la suite aithmétique de pemie teme 3 et de aiso 4 avec so pemie teme et sa aiso Pou calcule ue somme de temes Comme 7 = 3 + 4 1, et 03 = 3 + 4 50, S = 3 + (3 + 4 1) + (3 + 4 ) + + (3 + 4 50) cosécutifs d'ue suite aithmétique : o écit chaque teme e foctio du pemie teme et de la aiso : u + ; D'où S = 3 + 3 + + 3 + 4 (1 + + + 50) o egoupe les temes idetiques et o factoise au maximum ; 50 51 Doc S = 3 51 + 4 = 5 153 ( + 1) o utilise la fomule : 1 + + 3 + + = b) Les temes de la somme sot les temes cosécutifs de la suite géométique de pemie teme 11 et de aiso Pou calcule ue somme de temes cosécutifs d'ue suite géométique : Comme = 11, et 360 448 = 11 15, S = 11 + 11 + 11 + + 11 15 o utilise l'expessio de chaque teme e foctio du pemie teme et de la aiso q : u q ; D'où S = 11 (1 + + + + 15 ) o factoise pa ; Doc S = 11 1 16 1 = 11 (16 1) = 70 885 ) Le pemie multiple supéieu à 7 est 105 et le deie iféieu à 000 est 1 995 Il faut calcule la somme S = 105 + 11 + + 1 995 La suite utilisée est ue suite aithmétique de pemie teme 105 et de aiso 7 Comme 1 995 = 105 + 7 70 : S = 105 + (105 + 7) + (105 + 7 ) + + (105 + 7 70) S = 105 + 105 + + 105 + 7 (1 + + + 70) 70 71 Doc S = 105 71 + 7 = 84 550 La somme chechée est 84 550 Execice 67 page 187 Calcule les sommes doées = 1 + 1 3 + 1 9 + 1 7 + 1 79 ; S = 1 + 4 8 + + 1 04 o utilise la fomule : 1 + q + q + + q = 1 q + 1, pou q 1 1 q
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 7 su 10 7 1 = 1 + 1 3 + + 1 3 6 1 1 3 = 1 1 3 7 = 3 1 3 6 1,499 S 11 1 S = 1 + ( ) + ( ) + + ( ) 10 = 1 ( )11 1 ( ) = 1 + 11 = 683 3 Execice 68 page 187 Calcule les sommes doées = + 5 + 5 + + 15 65 S = 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + + 10 6 Coseil : Pou, véifie tout d'abod que : = 1 + 1 5 + 1 5 + + 1 5 6 = 1 + 1 5 + 1 5 + + 1 1 1 7 5 6 = 5 1 1 = 5 1 5 6,499 5 S = 10 + 1 + 1 10 + 6 1 1 1 + + 1 10 10 10 = 10 + 1 1 10 Execice 70 page 188 u est la suite géométique de pemie teme = 8 et de aiso q = 1 7 = 100 9 1 9 10 6 11,11 Soit S la somme des 1 pemies temes de la suite u : S + u 1 + + 1) Mote que S (1 + q + q + + q 0 ) ) E déduie la valeu exacte de S u q S (1 + q + q + + q 0 ) S 1 1 1 q1 1 q = 8 1 1 1 = 16 1 17 16 4 APPROCHE DU COMPORTEMENT À L'INFINI THÉORÈME 7 Soit u ue suite aithmétique de aiso o ulle Si > 0, la suite u divege ves + : lim u + = + Si < 0, la suite u divege ves + : lim + u = Soit u ue suite aithmétique de aiso 0 So teie gééal est : u + Si > 0, u 1 000 dès que 1 000 Plus gééalemet, pou tout éel M, u M dès que M Si < 0, u 1 000 dès que 1 000 Plus gééalemet, pou tout éel M, u M dès que M ; u 10 000 dès que 10 000 1 3 : la suite u divege ves + ; u 10 000 dès que 1 000 : la suite u divege ves
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 8 su 10 Illustatio : Gaphiquemet, à l'aide de la calculatice : pou = 1,5 et = 1 : pou = 1 et = : THÉORÈME 7 Soit q u éel difféet de 1 Si q > 1, la suite (q ) divege ves + : lim + q =+ Si 1 < q < 1, la suite (q ) covege ves 0 : lim + q = 0 Si q 1, la suite (q ) divege et 'admet pas de limite Ce théoème est admis Illustatio : Gaphiquemet, à l'aide de la calculatice : pou q = 0,7 : pou q = 0,7 : pou q = 1,4 : pou q = 1,3 : Exemple : Soit u la suite géométique de pemie teme 3 et de aiso 0,5 Pou tout etie, u = 3 ( 0,5) Comme 1< q < 1, lim + ( 0,5) = 0 Doc la suite u covege ves 0 Numéiquemet, à l'aide de la calculatice ou d'u tableu, o a:: u < 0,001 dès que 1 ; u < 10 6 dès que 1 ; u < 10 1 dès que 4 Execice coigé : Examie le compotemet à l'ifii Soit u la suite aithmétique de aiso 0,8 et de pemie teme = 10 Soit v la suite géométique de aiso 1, et de pemie teme v 0 = Soit w la suite géométique de aiso 3 4 et de pemie teme w 0 = 5 1) Détemie les limites des suites u, v et w ) Détemie le ag à pati duquel : a) u 10 6 ; b) v 10 6 ; c) w 10 6 ; Solutio : Méthode : 1) La suite u est aithmétique de aiso = 0,8, doc > 0 Pou détemie la limite d'ue suite La suite u divege doc ves + : lim u + = + aithmétique, o examie le sige de sa aiso (positif ou égatif)
1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 9 su 10 Comme 1, > 1, lim + 1, = + Le teme gééal de la suite v est v = (1,) Pou détemie la limite d'ue suite géométique de aiso q, o détemie d'abod le compotemet à l'ifii de la suite (q ) e egadat si q est : - supéieu à 1 ; - compis ete 1 et 1 ; - iféieu à 1 E multipliat pa (égatif), o obtiet ue suite v qui divege ves : lim v + = Comme 1< 3 < 1, lim 4 + 3 = 0 4 Le teme gééal de la suite w est w = 5 3 4 E multipliat pa 5, o obtiet ue suite w qui covege ves 0 : lim w + = 0 ) a) Le teme gééal de u est : u = 10 + 0,8 O ésout : 10 + 0,8 10 6 équivalet à : 106 + 10, et 0,8 à : > 1 50 01,5, où est u etie Doc u 10 6 dès que 1 50 013 b) La suite v est décoissate, ca pou tout etie, v + 1 v = 0,4(1,), doc v + 1 v < 0 Il suffit de touve u ag N tel que v N 10 6 : 7 coviet Alos pou tout etie 7, o a v 10 6 Puis o ped e compte le pemie teme de la suite Pou détemie u ag à pati duquel u > 10 6, o peut, pa exemple : - si c'est possible, ésoude algébiquemet l'iéquatio ; - sio, utilise les vaiatios de la suite u et la calculatice pou détemie le plus petit ag N véifiat u N 10 6 c) La suite w est décoissate, ca pou tout etie, w + 1 w = 5 4 3, 4 doc v + 1 v < 0 Il suffit de touve u ag N tel que w < 10 6 : 54 coviet Alos pou tout etie 54, o a w < 10 6 Execice 11 page 175 Soit u ue suite aithmétique de pemie teme et de aiso Das chaque cas, détemie la limite de la suite u : 1) = et = 3 ) = 3 et = 3) = et = 3 4) = 3 et = = 3 u = u + = 3 u = u + Execice 1 page 175 Soit v ue suite géométique de pemie teme v 0 et de aiso q Das chaque cas, pécise si la suite v admet ue limite Si oui, la détemie 1) v 0 = et q = 3 ) v 0 = et q = 3 3) v 0 = et q = 0,5 4) v 0 = 3 et q = ( 5) 7 3 > 1 v 0 = + 3 < 1 0,5 ] 1 ; 1[ 0 5 7 ] 1 ; 1[ 0
Execice 8 page 190 Les suites géométiques u, v et w sot epésetées ci-cote 1) E admettat que les tedaces obsevées se pousuivet à l'ifii, doe la limite de chaque suite? ) Pécise des valeus possibles de la aiso pou chaque suite 1 e S - pogamme 011 mathématiques ch11 cahie élève Page 10 su 10 Suite u Suite v Suite w lim u + = + lim v + = 0 u q > 1 lim w + = 0 v q 1 < q < 0 w q 0 < q < 1