Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu Cadre d étude : n réseau électrque (ensemble de dpôles électrocnétques relés par des conducteurs flformes de résstance néglgeable) consttue un crcut lnéare s l ensemble des dpôles sont lnéares (l exste une relaton affne entre et u ou une équaton dfférentelle lnéare à coeffcents constants relant et u). Ce crcut lnéare peut être étudé : - en régme statonnare (ou régme permanent) : les grandeurs électrques, sont ndépendantes du temps. On s ntéresse au cas partculer du régme contnu. Les dpôles passfs seront donc des résstors lnéares car comme on l a vu dans le chaptre 2, un condensateur déal est assmlé à un coupe-crcut et une bobne déale à un court-crcut en régme contnu. Les dpôles actfs seront des électromoteurs lnéares caractérsés par (E, R) ou ( o, R). - en régme varable : les grandeurs électrques dépendent du temps (t), u(t). Dans le cadre partculer de l RQS présenté au chaptre 1, les résultats du régme statonnare seront également valables s les seuls éléments passfs sont des résstors lnéares.. MSE EN EQTON - LOS DE KRCHHOFF 1) Rappel : los de Krchhoff Lo des nœuds. = 0 avec = = + 1 pour un courant arrvant vers N 1 pour un courant partant de N Exemple : N 1 2 4 3 noeud N : 1-2 + 3-4 = 0 Lo des malles.u = 0 avec = = + 1 s u est orentée dans le sens chos 1 s u est orentée en sens nverse Exemple : 5 1 2 D 1 D 2 D 5 1 + 2-3 - 4 + 5 = 0 D 4 D 3 4 3 Remarque : les los de Krchhoff sont également valables s le réseau comporte des éléments non lnéares. pplcaton : assocaton sére et parallèle de dpôles (vor.1) - Exercce 1 du TD Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
vantages et nconvénents des los de Krchhoff Leur utlsaton est smple et systématque mas pour un réseau complqué (comportant un grand nombre de malles) les calculs seront longs. Lorsqu'on ne s'ntéresse qu'à la valeur de l'ntensté du courant dans une branche ou à la valeur de la tenson aux bornes d'un dpôle partculer, l'étude peut être consdérablement smplfée en remplaçant une parte du réseau comprse entre 2 nœuds par un dpôle équvalent (vor parte ). 2) Lo de Poullet Consdérons une malle unque ne comportant que des sources de tenson et des résstances. E 1 r 1 Lo des malles : - r 2 + E 2 - R - E 1 - r 1 - R = 0 R r 2 R E2 E1 Sot = r + r + R + R ' 1 2 E 2 Plus généralement, pour une malle ne comportant que des sources de tenson E et des résstances R n parcourues par la même ntensté : Lo de Poullet :.E = R n = n = + 1 s E est orenté dans le sens de 1 dans le cas contrare Remarque : S une malle unque comporte un générateur de courant (c.e.m. o ), l ntensté est mposée par ce générateur et égale à o pplcaton : Exercce 4 du TD 3) Théorème de Mllman a) Lo des nœuds en termes de potentels Soent un générateur réel de tenson (,, un générateur réel de courant (, et un résstor dsposés respectvement entre les ponts,, et le nœud N d un crcut. Les potentels en et N sont notés et. On note l ntensté du courant dans la branche, orenté vers N. Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
Exprmer les ntenstés en foncton des potentels et, des résstances, de E et. Exprmer la lo des nœuds en N en termes de potentels. La relaton obtenue précédemment se généralse à n branches (d ndce ) parvenant en N comportant des résstances (conductance : ) et éventuellement des sources de tenson (f.e.m : ) ou de courant (c.e.m: ): 0 1 é, 1. b) Théorème de Mllman l s agt d une varante de la lo des nœuds où l on exprme le potentel du nœud N. La relaton précédente condut à : 1 é, 1. Dans un crcut, on ne mesure pas un potentel mas la dfférence entre deux potentels (tenson). On peut chosr comme référence le potentel d un pont M du crcut noté (souvent 0 - masse du crcut - ). La relaton précédente s écrt : 1 é, 1. pplcaton : exercce 2 du TD Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
4) Théorème d Helmholtz Nous admettrons le théorème d Helmholtz de superposton des états électrques. L état d un crcut lnéare comportant une dstrbuton quelconque de sources ndépendantes (tenson ou courant) est obtenu en superposant les états assocés à chaque source supposée seule dans le crcut (on étent les autres sources) : - L ntensté du courant crculant dans une branche est la somme des ntenstés produtes par chaque source supposée seule ; - La tenson aux bornes d un dpôle est la somme des tensons produtes par chaque source supposée seule. Etendre une source c'est donner une valeur nulle à sa f.e.m. ou à son c.e.m. sources déales E sources étentes = 0 * étendre une source de tenson équvaut à la remplacer par un court -crcut (E = 0). o = 0 * étendre une source de courant : équvaut à la remplacer par un crcut ouvert ( o = 0). ttenton, dans le cas des sources non déales, les résstances nternes dovent être conservées. pplcaton : exercce 3 du TD Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
. SMPLFCTON DE L ETDE - DPOLE EQVLENT Rappel : Deux dpôles sont équvalents s t, ayant même tenson à leurs bornes, ls sont parcourus par la même ntensté. 1) Dpôle passf lnéare ssocaton d'éléments de même nature (vor chaptre 2) ssocaton en sére ssocaton en parallèle u 1 u 2 u n D 1 D 2 Dn n D 2 u équvalent à D eq équvalent à 1 2 n D 1 D 2 u Dn u D eq u D équvalent à D 1 en sére avec D 2 :, u = u 1 +u 2 obnes déales d'nductance L en sére : d d d u = u1 + u 2 +... = L 1. + L 2. +... = L eq. dt dt dt L eq = L 1 + L 2 + =L Condensateurs déaux de capacté C en sére : u = u + u +... d 'où 1 2 du du1 du 2 = + +... = + +... = dt dt dt C C C 1 1 1 1 = + +...= C C C C 1 2 eq eq 1 2 Résstors de résstance R en sére : R eq = R 1 +R 2 +...= R pplcaton : dvseur de tenson D équvalent à D 1 en parallèle avec D 2 : u, = 1 + 2 obnes déales d'nductance L en parallèle : d d1 d2 1 1 1 = + +.. =.u +.u +.. =.u dt dt dt L L L 1 2 eq 1 1 1 1 = + +..= L L L L eq 1 2 Condensateurs déaux de capacté C en parallèle : du du du = 1 + 2 +... = C 1. + C 2. +... = C eq. dt dt dt C = C + C +...= C eq 1 2 Résstors de résstance R en parallèle : G eq = G 1 + G 2 +... = G avec G = 1 R pplcaton : dvseur de courant ssocaton quelconque * Combner les règles d'assocaton sére et parallèle dans les cas smples. * Cas plus complexes : exprmer, en travallant sur le dpôle réel vu de et, en foncton de. En dédure R e = /. Les proprétés de symétre du réseau pourront être utlsées pour smplfer l'étude : s le réseau possède un axe (ou un plan) de symétre, des branches symétrques seront parcourues par la même ntensté, des ponts symétrques par rapport à cet axe seront au même potentel... pplcaton : exercce 5 du TD Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
2) Dpôle actf lnéare a) Théorèmes de Thévenn et de Norton D 1 D 2 Hypothèses : *D 1 est un dpôle lnéare actf. * Le dpôle D 2 peut être quelconque. Dpôles équvalents à D 1 D 1 étant un dpôle actf lnéare on pourra donc le représenter (vor chaptre 2) par une source de tenson déale en sére avec une résstance (modélsaton de Thévenn) ou une source de courant déale en parallèle avec la même résstance (modélsaton de Norton). E eq pente : - R eq o,eq = E eq - R eq. (1) = o,eq - G eq. (2) avec E eq = R eq. o,eq et G eq = 1/R eq (1) Modélsaton de Thévenn (2) Modélsaton de Norton R eq E eq o,eq R eq Les grandeurs E eq, o,eq et R eq ne dépendent que du dpôle D 1. Détermnaton de ces grandeurs (algébrques pour E eq et o,eq ) : * E eq = CO = (V - V ) CO dfférence de potentel aux bornes du dpôle en crcut ouvert ( = 0), c'est à dre calculée en déconnectant le dpôle D 2. * R eq = - pente de la caractérstque = - (/) sources étentes : résstance équvalente au dpôle - calculée sources ndépendantes étentes. * o,eq = CC ntensté de court-crcut, c'est à dre ntensté débtée par le dpôle de vers lorsque ses 2 bornes sont relées par un fl parfatement conducteur. Remarques : *Les relatons permettant le calcul des grandeurs caractérstques E eq, o,eq et R eq, sont données c avec le chox de sortant de D 1. On peut fare le chox nverse avec entrant en, alors : (1') = E eq + R eq. (2') = o,eq + G eq. même défnton pour E eq mas o,eq= - G eq.e eq et R eq = (/) sources étentes *Les modèles équvalents donnés ne le sont que pour la caractérstque externe du dpôle D 1. On ne peut ren en conclure s l'on s'ntéresse à des grandeurs nternes. *Les deux représentatons sont évdemment équvalentes : on chosra celle qu sera la plus commode pour l'étude du dpôle extéreur D 2. Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu
Résumé : Théorèmes de Thévenn et de Norton Théorème de Thévenn : n dpôle consttué d'un ensemble de dpôles lnéares est équvalent pour tout dpôle extéreur, à un générateur de tenson réel : - de f.e.m. E eq égale à la d.d.p. lorsqu'l est débranché du dpôle externe ; - de résstance équvalente R eq égale à sa résstance lorsque ses sources (lbres) sont étentes. Théorème de Norton : n dpôle consttué d'un ensemble de dpôles lnéares est équvalent pour tout dpôle extéreur, à un générateur de courant réel : - de c.e.m. o,eq égal au courant de court-crcut ; - de conductance équvalente G eq égale à sa conductance lorsque ses sources (lbres) sont étentes. pplcaton : exercces 3 et 4 du TD b) ssocaton d'éléments de même nature Sources de courant ndépendantes en parallèle o,1 R o,n 1 R n Sources de tenson ndépendantes en sére E 1 E E R n 1 R R n Vu de et équvalent à : Vu de et équvalent à : o,eq R eq E eq R eq,, =+1 s o, a même sens que celu chos pour o,eq (snon -1). = +1 s E de même sens que celu chos pour E eq (snon -1). Delacour - Physque - PTS Paul Constans ELECTROCNETQE Chaptre 3 : Méthodes d étude des crcuts lnéares en régme contnu