1 L3 Physque et Mécanque Mécanque Lagrangenne (Verson du 23 mars 2016) Luc PASTUR
Table des matères 1 Repères hstorques 3 1.1 Cnématque........................................ 3 1.2 Dynamque........................................ 4 1.3 Energe.......................................... 7 2 Un nouveau prncpe fondamental en mécanque 10 2.1 Prncpe de Hamlton................................... 10 2.2 Equatons de Lagrange.................................. 11 2.3 Exemple : la partcule lbre............................... 12 2.4 Déplacements et travaux vrtuels............................ 12 2.5 Prncpe de d Alembert................................. 13 3 Systèmes sous contrantes 15 3.1 Introducton........................................ 15 3.2 Une classfcaton des contrantes............................ 16 3.3 Multplcateurs de Lagrange............................... 16 3.4 Forme d une corde pesante................................ 19 3.5 Foncton dsspaton................................... 20 4 Théorèmes de conservaton 21 4.1 Lagrangens équvalents................................. 21 4.2 Moment conjugué et varable cyclque......................... 21 4.3 Energe et translaton dans le temps.......................... 22 4.4 Impulson et translaton dans l espace......................... 23 4.5 Moment cnétque et rotaton.............................. 23 5 Un prncpe fondamental en physque 25 5.1 Vers une théore lagrangenne des champs....................... 25 5.2 Force de Lorentz et équatons de Maxwell....................... 27 2
Chaptre 1 Repères hstorques S c est une conventon de dre que la Terre tourne, c est également une conventon de dre qu elle exste, et ces deux conventons se justfent par des rasons dentques. Paul PAINLEVÉ Sommare 1.1 Cnématque................................. 3 1.2 Dynamque.................................. 4 1.3 Energe..................................... 7 1.1 Cnématque La cnématque est la scence qu permet de décrre le mouvement (poston, vtesse, accélératon) des corps, relatvement à d autres corps qu servent de référentel (le sol, le solel, les étoles fxes), tands que la dynamque s attache à explquer le mouvement des corps et les causes qu lu ont donné jour. On se donne un repère, pour la mesure des longueurs, et une horloge, pour la mesure des durées. Selon le problème consdéré, on utlse l un ou l autre des repères suvants : Le système de coordonnées cartésennes (e x, e y, e z ), fxe dans le référentel chos. Le système de coordonnées cylndrques (e ρ, e θ, e z ), partculèrement adapté lorsque le système présente un axe de symétre. C est le cas par exemple du mouvement des corps célestes dans le plan de l éclptque. Le système de coordonnées sphérques (e r, e θ, e φ ), adapté pour les problèmes qu présentent une symétre sphérque. Le système de coordonnées curvlgnes, attaché au corps solde et qu l accompagne dans son mouvement. L étude du mouvement des corps, par la détermnaton de leur accélératon, suggère déjà le prncpe fondamental de Newton et permet de révéler des constantes du mouvement. L étude de la chute lbre des corps, lâchés suvant la vertcale ou sur un ral nclné, permet de 3
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 4 mettre en évdence les mouvement unformément accélérés, tels que a(t) = a 0 v(t) = v 0 + a 0 (t t 0 ) x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) + 1 2 a 0(t t 0 ) 2 Il apparaît en outre une constante du mouvement G = 1 2 v2 a 0 x qu n est autre que l énerge mécanque du système : ( ) dg dv dt = v dt a 0 = 0. L étude du mouvement des planètes permet également d établr emprquement les los du mouvement qu devendront par la sute des conséquences du prncpe fondamental de la dynamque lorsque la force applquée est centrale et nversement proportonnelle au carré de la dstance entre le Solel et la planète. Johannes Kepler, reprenant plus précsément l analyse du mouvement de la planète Mars commencée par son maître et am Tycho Brahé, et supposant que la trajectore de la Terre est crculare autour du Solel, établt par l observaton les los suvantes : Premère lo : les centres des planètes décrvent des ellpses dont l un des foyers est occupé par le solel Seconde lo : les rayons vecteurs balaent en des temps égaux des ares égales Trosème lo : les cubes des grands axes des orbtes sont proportonnels aux carrés des temps de révoluton. Du pont de vue de la Dynamque, les deux premères los mplquent une force centrale varant en 1/r 2 ; la trosème lo permet quant à elle d établr que la constante de gravtaton ne dépend pas des planètes. 1.2 Dynamque On peut rasonnablement consdérer le prncpe de causalté comme la base de la scence moderne [9]. Dans son expresson la plus smple, ce prncpe peut s énoncer de la manère suvante : (A) S à deux nstants, les mêmes condtons sont réalsées, transportées seulement dans l espace et le temps, les mêmes phénomènes se reproduront, transportés seulement dans l espace et le temps. Cet énoncé ntutf repose en fat sur notre hableté à défnr l espace et le temps, et notre capacté à mesurer des longueurs et des durées. Cette mesure ne peut porter, en pratque, que sur des quanttés relatves, c est-à-dre rapportées à un étalon, de longueur ou de temps. Ans, s la règle utlsée se racourct ou s allonge quand on se déplace dans l espace (par rapport au mètreétalon), ou qu on mesure le temps à l ade d une horloge qu prend de l avance ou du retard (par rapport à l horloge sdérale), les deux phénomènes comparés, dentques dans le premer système de mesure, apparaîtront dfférents dans le second. En langage postf, le prncpe s énoncerat ans d une manère légèrement remanée : On peut mesurer la dstance et le temps de telle façon que l énoncé (A) sot vra. Implctement, le prncpe de causalté suppose l exstence d un système de référence absolu dans l espace et le temps, par rapport auquel les los de la mécanque dovent être rapportées. C est sur ce postulat fondamental que les mouvements absolus satsfont rgoureusement au prncpe de causalté que s est construte la Mécanque. Du prncpe de causalté, l devat résulter que l état ntal du système suffsat à détermner son mouvement. Les scolastques 1 et les coperncens 2 acceptaent le prncpe de causalté ; les premers pensaent que l état ntal du système état 1. Ecole de pensée reposant sur les dées arstotélcennes, ntégrées au dogme de l Eglse. 2. Adeptes de la doctrne de Copernc dans laquelle le Solel occupe le centre du monde et les planètes tournent autour de lu.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 5 entèrement donné par les postons de ses éléments à un nstant donné, les seconds que les postons seules ne suffsent pas et que les vtesses ntales de chacun des éléments dovent être également connues. La prse en compte des vtesses ntales du système, résulte de cette observaton que le mouvement d un corps solé tend à rester le même. Le prncpe de causalté ans nterprété condut donc à la concluson qu un élément matérel nfnment élogné de tous les autres reste absolument fxe s la vtesse ntale est nulle, et décrt une drote s l est anmé d une vtesse ntale. Pour certanes rasons de smplcté, appuyées sur des observatons astronomques, les coperncens admettaent de plus que le mouvement absolu du système est non seulement rectlgne, mas également unforme, qu donnera le prncpe de l nerte reprs par Gallee pus posé comme premère lo par Newton. La force se défnt alors comme l acton qu fat déver un corps de son mouvement rectlgne unforme. La grandeur drgée qu représente mathématquement la force dot donc avor le sens de la dévaton et être proportonnelle à la fos à la grandeur de cette dévaton et à la quantté de matère dévée. Le changement de la vtesse d un corps par une force, durant un temps nfnment pett, condut Gallée à défnr la noton d accélératon et ses successeurs à nventer le calcul dfférentel. L opératon de dfférentaton est ans capable de résoudre les phénomènes les plus complexes du mouvement en actons élémentares, c est-à-dre en actons qu s exercent entre éléments de matère pendant un temps nfntésmal. A l nverse, le calcul ntégral permet d effectuer l opératon nverse et de calculer le mouvement fn d un coprs matérel à partr de la connassance des forces qu s exercent sur lu à chaque nstant, et des condtons ntales proprement défnes. Le prncpe de composton des forces, établ en Statque depus l antquté, Galllée et Newton l admettent pour la Dynamque ; elle permet de décomposer la force totale qu un corps quelconque S exerce sur un élément matérel P en forces exercées sur P par les dvers éléments de S. La trosème lo, dte de l acton et de la réacton, résulte de l acceptaton que la force qu s exerce entre deux corps ne dépend que de leurs postons et non de leur vtesses absolues. Cette hypothèse, acceptée comme évdente par Gallée, n est pas dctée par l expérence mas est hértée des ancens prncpes scholastques. Ce postulat a néanmons sngulèrement contrbué au développement de la Mécanque. Toutes les défntons supposent que les éléments matérels sont formés d atomes (au sens éthymologque du terme) dentques. Cette hypothèse, longtemps restée nvérfable, peut être remplacée par l adjoncton d un nombre, défn comme la masse, qu répond aux condtons suvantes : ) l reste le même quelles que soent les transformatons subes par l élément, pourvu que celu-c ne perde n n acquère aucune parcelle de matère ; ) toutes les propostons énéoncées jusqu c reste vraes en regardant la masse d un élément comme le nombre de ses atomes. Le corps des axomes de la mécanque se trouve ans consttué ndépendamment de toute arrère-pensée sur la composton de la matère. Newton fat la dstncton entre mouvements relatfs ceux auxquels nous avons accès, et absolus rapportés à l espace absolu. Un référentel est donc nécessare, par rapport auquel est rapporté le mouvement d un corps, et dans ce référentel un repère, fxe ou attaché au corps, est chos qu permet de mesurer les caractérstques du mouvement au cours du temps. Il s agt d énoncer une ou pluseurs los sur les causes du changement du mouvement. La grandeur fondamentale ntrodute par Descartes est la quantté de mouvement p = mv, qu résulte du produt de la masse de l objet par sa vtesse. Les los de la mécanque, selon Newton 3, s énoncent selon les tros prncpes suvants : 3. Robert Hooke revendquat auss la paternté de l énoncaton des prncpes fondamentaux de la Dynamque ; malgré son ndénable contrbuton aux prncpes énoncés par Newton, ce derner refusa toujours à Hooke les remercements qu l lu réclamat.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 6 1. Prncpe d nerte Tout corps solé subsste dans son état de repos ou de mouvement rectlgne unforme. 2. Prncpe fondamental de la dynamque La varaton de la quantté de mouvement d un corps est drectement proportonnelle à la somme de toutes les forces externes applquées : dp dt = F app (1.1) 3. Prncpe de réacton mutuelle Deux corps en nteracton exercent l un sur l autres des actons égales en ntensté et opposées en sens. Il est utle c de fare un certan nombre de remarques : La masse qu ntervent dans le prncpe fondamental de la dynamque est la masse nerte, qu s oppose à la mse en mouvement d un corps ou à un changement de mouvement. Il est mportant c de remarquer que la masse grave, ou masse pesante, qu ntervent dans la force d attracton gravtatonnelle, est à pror dfférente de la masse nerte. C est un fat d expérence que le rapport des masses graves de deux corps est égal au rapport de leurs masses nertes (à mons de 10 12 ). La coïncdence de ces deux grandeurs, toujours nexplquée, est à la base du prncpe d équvalence énoncé par Ensten en relatvté générale. L état de repos correspond à un mouvement rectlgne unforme à vtesse nulle, ce qu peut smplfer encore l énoncé du premer prncpe. Lorsque la masse d un corps est constante, le second prncpe se rédut à ma = F app (1.2) où a est le vecteur accélératon. La queston de la constance de la masse nerte est à la base des développements de la Mécanque, en ce que l on reconnaît aux corps une qualté qu se conserve au cours du temps, tantôt assmlée à sa quantté de matère (le premer à défnr la masse de cette manère fut Newton), tantôt défne comme le rapport nverse des accélératons mutuellement ndutes par deux corps qu nteragssent (ce que ft E. Mach pour évter le pège de la quantté de matère qu l jugeat vde de sens) [8]. La force de Lorentz est un cas étrange, en ce sens que cette force ne dépend plus seulement de la poston relatve de la partcule chargée mas auss de sa vtesse : F = q(e + v B). Une conséquence est que l acton mutuelle que deux corps chargés en mouvement exercent l un sur l autre ne se trouve pas portée par l axe qu rele les deux partcules, comme c est généralement le cas des forces gravtatonnelle mg ou électrostatque qe. Le prncpe de l acton et de la réacton reste valable, mas dans une forme fable. Une autre conséquence est que la force de Lorentz, adjonte aux équatons de Maxwell, ne sont pas nvarantes lors du passage d un référentel d nerte à un autre. Woldemar Vogt, George Ftzgerald, Hendrk Lorentz, Henr Poncaré et Albert Ensten, ont contrbué, à des degrés dvers, à développer la théore nouvelle, (mproprement) dénommée relatvté restrente [12]. La transformaton de Lorentz-Poncaré lasse les équatons de l électromagnétsme nvarantes par changement de référentel nertel [5]. Ben qu Ernst Mach reconnasse plenement le géne ntellectuel d Isaac Newton, et notamment des concepts clarement formulés dont la Mécanque lu est redévable, l n en est pas mons très crtque à l égard de sa formulaton des prncpes de base de la Mécanque.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 7 Ans, selon Mach, une formulaton approprée, économque pour reprendre son expresson, serat la suvante [8] : A. Prncpe expérmental. Deux corps en présence l un de l autre détermnent l un sur l autre, dans des crconstances qu dovent être données par la physque expérmentale, des accélératons opposées suvant la drecton de la drote qu les unt. (Le prncpe de l nerte se trouve déjà nclu dans cette proposton). B. Défnton. On appelle rapport des masses de deux corps l nverse, prs en sgne contrare, du rapport de leurs accélératons récproques. C. Prncpe expérmental. Les rapports des masses des corps sont ndépendantes des crconstances physques (qu elles soent électrques, magnétques ou autres) qu détermnent leurs accélératons récproques. Ils restent auss les mêmes, que ces accélératons soent acquses drectement ou ndrectement. D. Prncpe expérmental. Les accélératons que pluseurs corps A, B, C,... détermnent sur un corps K sont ndépendantes les unes des autres. (Le théorème de la composton géométrque des forces est une conséquence mmédate de ce prncpe). E. Défnton. La force motrce est le produt de la valeur de la masse d un corps par l accélératon détermnée sur ce corps. 1.3 Energe Une formulaton équvalente de la Mécanque repose sur les notons hstorques de traval et force vve, regroupées sous le vocable moderne d énerge. Le premer a en avor perçu la portée fut le physcen néerlandas Chrstaan Huygens dans la résoluton du problème du centre d oscllaton. Par-delà sa pertnence en Mécanque, elle permet en plus de rapprocher dfférents champs de la physque en posant comme prncpe que celle-c pusse subr des transformatons, qu la font changer de qualtés, de sorte que la quantté totale d énerge se conserve. Parm ses formes, la plus subtle et nattendue révélée par les développements de la scence au XX e sècle, résde dans l équvalence entre masse (nertelle) et énerge, lées par une constante fondamentale de la physque, c, qu apparaît dans la transformaton de Lorentz-Poncaré et a les dmensons d une vtesse 4 : E = mc 2. Parm toutes les formes prses par l énerge, l en est une qu reçut très tôt la plus grande attenton de la Mécanque. La force vve, aujourd hu appelée énerge cnétque, permet à un corps anmé d une vtesse de s élever jusqu à une hauteur égale (ou légèrement nféreure) à celle de laquelle l avat été lâché sans vtesse ntale. Huygens remarqua que la hauteur h varat comme le carré de la vtesse du corps. Cette force vve étant par alleurs proportonnelle à la masse nertelle des corps, elle s écrt naturellement mv 2. Remarquant que la relaton entre la hauteur de chute et la vtesse acquse est exactement h = v 2 /2, l s ensut la défnton ben connue de l énerge cnétque : T = 1 2 mv v = 1 2 mv2, (1.3) Changer l état de mouvement d un corps sur la dstance dl mplque l acton d une force qu travalle selon : δw F = F dl, (1.4) qu a la dmenson est celle d une énerge, exprmée en Joule : [W ] = J = ML 2 T 2. Une force perpendculare au mouvement ne peut pas être à l orgne de ce mouvement. 4. Vtesse qu on assmle à celle de la lumère.
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 8 Remarque : Le mouvement étant relatf au référentel chos, l énerge cnétque ou le traval d une force sont également relatfs à ce référentel. L énerge étant une grandeur addtve, l énerge d un système est la somme des énerges de chacune de ses partes. La pussance P d une force est l énerge susceptble d être forune par la force sur une durée nfntésmale : L unté de pussance est le Watt, P = δw dt. (1.5) [P] = W = J s 1 = ML 2 T 3. Dans le système d untés nternatonal, l unté de temps est la seconde. S l on chost l heure pour unté de temps, le kw pour l unté de pussance, alors l énerge s exprme en kwh utlsée pour quantfer la consommaton d électrcté : 1 kwh = 1000 W 3600 s = 3.6 MJ. Un théorème extrêmement mportant peut être établ lorsqu on s ntéresse à la manère dont le traval d une force modfe le mouvement d un corps : W A B = = = B A B A B A F dl m v dt v dt 1 2 mv2 dt dt = 1 2 m(v2 B v 2 A) La varaton d énerge cnétque est égale au traval des forces applquées au cours du mouvement entre A et B : T = T B T A = W A B (1.6) qu est le théorème de l énerge cnétque. Certanes forces dérvent d une foncton scalare, l énerge potentelle V : C est par exemple le cas de la force de pesanteur : F = V. (1.7) mg = V avec V = mgz. Dans un tel cas de fgure, le traval des forces s écrt : W A B = B A = V A V B = V V dl La varaton d énerge potentelle du corps est égale à l opposé du traval des forces applquées durant le mouvement. Le théorème de l énerge cnétque se rédut alors à : T + V = 0
CHAPITRE 1. REPÈRES HISTORIQUES 9 c est-à-dre que la somme T + V est égale à une constante, que l on défnt comme l énerge mécanque totale du système. La force F, dans ce cas, est dte conservatve car elle ne dsspe pas l énerge.
Chaptre 2 Un nouveau prncpe fondamental en mécanque L acton est proportonnelle au produt de la masse par la vtesse et par l espace. Mantenant, voc ce prncpe, s sage, s dgne de l Être suprême : lorsqu l arrve quelque changement dans la Nature, la quantté d Acton employée pour ce changement est toujours la plus pette qu l sot possble. Perre Lous Moreau de MAUPERTUIS Sommare 2.1 Prncpe de Hamlton............................ 10 2.2 Equatons de Lagrange........................... 11 2.3 Exemple : la partcule lbre........................ 12 2.4 Déplacements et travaux vrtuels..................... 12 2.5 Prncpe de d Alembert........................... 13 2.1 Prncpe de Hamlton Dans sa Méchanque Analtque, Lagrange propose de consdérer les problèmes de mécanque de la façon suvante. Au leu de détermner la poston r(t) et la vtesse v(t) d une partcule à l nstant t connassant son état ntal r(0), v(0), l demande : quelle est la trajectore effectvement suve par la partcule s, partant de r 1 à l nstant, elle arrve en r 2 à t 2? Pour smplfer, consdérons d abord le cas d une seule dmenson d espace. Parm l nfnté de trajectores possbles, quelle est la lo qu détermne la bonne? Lagrange sat qu on peut répondre à cette queston par le prncpe d économe naturelle de Fermat, reprs par Maupertus. Le prncpe varatonnel comme nous le présentons c n a pas la forme utlsée par Lagrange. Il a été reformulé par Hamlton en 1834. Nous l exposons sous cette forme, plus générale que celle proposée par Lagrange (NB : L dépend de coordonnées q et dérvées) : La trajectore d un système de l nstant à l nstant t 2 est tel que l ntégrale d acton S S = Ldt, (2.1) où L = T V, a une valeur statonnare pour la trajectore vrae du mouvement. 10
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE 11 Autrement dt, de tous les chemns possbles que le pont-système pourrat emprunter entre ses postons aux temps et t 2, l empruntera effectvement le chemn qu rend S statonnare, c està-dre pour lequel S conserve sa valeur, au premer ordre en les dfférences nfntésmales entre trajectores vosnes, qu dffèrent de la trajectore optmale par des déplacements nfntésmaux. Autrement dt encore, la trajectore est telle qu une varaton de la lgne ntégrale S, pour des temps et t 2 fxés, est nulle : δs(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) = δ L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) dt = 0, (2.2) 2.2 Equatons de Lagrange Le prncpe de mondre acton stpule que le chemn {q (t)} emprunté par le système est celu qu optmse l ntégrale d acton, c est-à-dre tel que δs = δ L(q1,..., qn, q 1,..., q n, t) dt = 0. On dfférence des trajectores vosnes, dans l espace des confguratons, en ntrodusant un paramètre ɛ tel que q(t) = q(t, ɛ). La trajectore optmale est défne par q (t) = q(t, 0), qu est le chemn soluton que l on cherche. Un chemn vosn du chemn optmal est alors défn par q 1 (t, ɛ) = q 1 (t, 0) + ɛη 1 (t). q n (t, ɛ) = q n (t, 0) + ɛη n (t) (2.3) où les η (t) sont des fonctons arbtrare du temps, ndépendantes, qu s annulent aux ponts extrêmes du chemn (en et t 2 ) et sont dérvables jusqu à l ordre 2. On recherche donc la soluton q(t, 0) q (t) pour laquelle ( ) ds δs dɛ = 0, (2.4) dɛ ɛ=0 qu se tradut par : Or, c est-à-dre q t2 q ɛ dt = ds t2 dɛ = q ( q q 2 q t ɛ dt = ɛ + q [ q ) q ɛ ] t2 q t2 ɛ ds t2 ( dɛ = q d ) q dt q ɛ La condton de statonarté (2.5) est alors équvalente à : Ans, δs = ( q d dt q ) ( ) q ɛ ɛ=0 dt = 0. (2.5) d dt ( ) q q ɛ dt. (2.6) dt = 0. (2.7) dt = 0. (2.8) ( q d ) δq dt = 0. (2.9) dt q en ayant défn le déplacement nfntésmal δq par : ( ) q δq dɛ. (2.10) ɛ ɛ=0
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE 12 ( ) Les fonctons q ɛ = η(t), ou δq, étant arbtrares, sauf aux extrémtés, et contnues par hypothèse, l équaton (2.9) est vérfée, sur tout le chemn, s et seulement s q d = 0. (2.11) dt q qu sont les équatons d Euler-Lagrange. La notaton δ est utle pour défnr des varatons ntégrales lors de la manpulaton de famlles paramétrques de chemns varables tels que défns par l équaton (2.3). 2.3 Exemple : la partcule lbre Une partcule lbre n étant soumse à aucun potentel, toute son énerge est cnétque et L = mv 2 /2. En coordonnées cartésennes, les équatons d Euler-Lagrange se rédusent trvalement à mẍ = 0, mÿ = 0, m z = 0. Nous retrouvons le prncpe d nerte : tout corps lbre persste dans son mouvement rectlgne unforme. Exprmé en coordonnées sphérques, le Lagrangen devent : et les équatons d Euler-Lagrange : L = 1 2 m (ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ φ 2), r = r θ 2 + r sn 2 θ φ 2, θ = φ sn θ cos θ, φ = 0. Une soluton évdente est φ = 0, θ = 0, r = 0, qu représente ben un mouvement rectlgne unforme depus (ou vers) le pont O, mas cela n épuse à pror pas toutes les solutons. 2.4 Déplacements et travaux vrtuels Un déplacement vrtuel, nfntésmal, d un système, tradut un changement dans la confguraton du système dû à un changement nfntésmal des coordonnées δr cohérent avec les forces et les contrantes applquées au système à un nstant t. Ce changement est dt vrtuel pour le dstnguer d un déplacement réel du système se produsant sur un ntervalle de temps dt, durant lequel les forces et les contrantes peuvent changer. À l équlbre, la résultante F des forces applquée (F (a) partcule, est nulle, F = F (a) + F (c) ) et de contrantes (F (c) ), sur chaque = 0. Le traval vrtuel de la force F, au cours d un déplacement δr, est alors nul. Il en va de même du traval vrtuel total du système : F δr = F (a) δr + F (c) δr = 0. (2.12) On se restrent alors aux systèmes pour lesquels le traval vrtuel total des forces de contrantes est nul. Cette condton est valable pour les corps rgdes, mas l est également pour de nombreux autres systèmes et contrantes. Ans, s une partcule est contrante de se déplacer sur une surface, la force de contrante est perpendculare à la surface, tands que le déplacement vrtuel dot être tangent à la surface, de telle sorte que le traval vrtuel s annule. Ce n est plus vra s des forces de frottement sont présentes, et de tels systèmes dovent être exclus de la formulaton. Cette restrcton n est néanmons pas rédhbtore, pusque le frottement est essentellement un phénomène macroscopque. D autre part, les forces de frottement assocées au roulement ne volent pas cette condton, pusque ces forces agssent en un pont momentanément au repos et ne peut fournr aucun traval durant un déplacement nfntésmal cohérent avec la contrante de roulement. Il est à noter que s le pont est contrant sur une surface qu bouge elle-même dans le temps,
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE 13 la force de contrante est nstantanément perpendculare à la surface et le traval durant un déplacement vrtuel reste nul, même s le traval durant un déplacement dans le temps dt n est pas nécessarement nul. Ans, le prncpe du traval vrtuel stpule qu un système est à l équlbre lorsque le traval vrtuel des forces applquées est nul : F (a) δr = 0. (2.13) Les coeffcents des δr ne peuvent pas, en général, être annulés, F (a) 0, car les δr ne sont pas tous ndépendants. Pour pouvor annuler les coeffcents, l est nécessare d écrre le prncpe sous une forme fasant ntervenr les déplacements vrtuels des q, qu sont ndépendants. Les déplacements vrtuels δr et δq sont relés par : δr = j r q j δq j. (2.14) Les varatons temporelles dt n ntervennent pas c pusque les déplacements vrtuels, par défnton, ne font ntervenr que des varatons dans les coordonnées. C est à cette seule condton que le déplacement vrtuel peut être perpendculare à la force de contrante s celle-c évolue dans le temps. Le prncpe du traval vrtuel se réécrt, dans le système de coordonnées généralsées (q j ) : F δr =,j F r q j δq j = j où les Q j sont les composantes de la force généralsée, défne comme : Q j δq j, (2.15) Q j = F r q j. (2.16) De la même façon que les q n ont pas la dmenson d une longueur, les Q n ont pas nécessarement la dmenson d une force. En revanche, le procdut Q j δq j dot toujours avor la dmenson d un traval. 2.5 Prncpe de d Alembert L équaton (2.13) ne concerne que les équlbres statques. Le prncpe du traval vrtuel est généralsé au mouvement général d un système par le prncpe de d Alembert. L équaton du mouvement, écrte sous la forme : F dp = 0. (2.17) dt ndque que les partcules d un système sont à l équlbre sous l acton d une force égale à la force effectve plus une force renversée effectve ṗ. L Eq. (2.13) se généralse en ( ) F (a) ṗ δr = 0, (2.18) en supposant toujours que le traval vrtuel des forces de contrante est nul. L Eq. (2.18) est souvent appelée prncpe de d Alembert. Pour l exprmer en foncton des coordonnées généralsées q j, on fat emplo de l Eq. (2.18) et on transforme ṗ δr en : Il faut remarquer que m r r q j = ṗ δr =,j m r r q j δq j. (2.19) ( ( d m ṙ r ) m ṙ d dt q j dt ( r q j )). (2.20)
CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MÉCANIQUE 14 Le derner terme de cette équaton se développe en : ( ) d r = ( 2 ) r q k dt q j q j q k t + 2 r t q j k = q j k ( r q k + r ). (2.21) q k t On reconnaît, dans le derner terme de cette équaton, la vtesse v de la partcule : v = dr (q, t) = ( r q k + r ) dt q k t k de laquelle on dédut également l égalté : (2.22) v q j = r q j, (2.23) ce qu permet de transformer encore l équaton (2.20) en : m r r = ( ( d m v v ) m v v ). (2.24) q j dt q j q j Le prncpe de d Alembert s écrt alors en foncton des coordonnées généralsées sous la forme : ( ( )) d 1 Q j dt q j 2 m v 2 1 q j 2 m v 2 δq j = 0. (2.25) j c est-à-dre, en dentfant 1 2 m v 2 à l énerge cnétque T du système : ( ( d T Q j T )) δq j = 0. (2.26) dt q j q j j Remarque : en coordonnées cartésennes, la dérvée partelle de T par rapport à q j s annule, de sorte que ce terme résulte de la courbure des coordonnées q j. En coordonnées polares, par exemple, la force centrfuge (accélératon centrpète) résulte de la dérvaton partelle de T par rapport à l une des coordonnées angulares. Les q j étant des varables ndépendantes, tout déplacement vrtuel δq j est ndépendant du déplacement vrtuel δq k, s k j, de sorte que la seule manère de satsfare l équaton (2.26) est d annuler chacun de ses coeffcents, smultanément : d T T = Q j, (2.27) dt q j q j condusant à n équatons ndépendantes. Lorsque les forces F dérvent d une foncton potentel scalare V (r 1,..., r N, t) : F = V (2.28) les forces généralsées Q j s écrvent : Q j = et les équatons (2.27) se ré-écrvent : F r q j = V r q j = V q j, (2.29) d (T V ) (T V ) = 0, (2.30) dt q j q j dans la mesure où V/ q j = 0. On défnt alors une nouvelle foncton scalare, le Lagrangen, par : et le système (2.27) prend la forme des equatons de Lagrange : L = T V, (2.31) d = 0. (2.32) dt q j q j
Chaptre 3 Systèmes sous contrantes Il ne faut pas attendre de la mécanque analytque de nouveaux éclarcssements de prncpe sur la nature des phénomènes mécanques. Ben plus, la connassance de prncpe dot être achevée dans ses trats essentels avant qu l sot possble de songer à la consttuton d une mécanque analytque, dont le seul but est la domnaton pratque la plus smple de tous les problèmes que l on peut rencontrer. Celu qu méconnaîtrat cette stuaton ne pourrat comprendre l mportante contrbuton de Lagrange, qu est essentellement économque. Ernst MACH Sommare 3.1 Introducton................................. 15 3.2 Une classfcaton des contrantes..................... 16 3.3 Multplcateurs de Lagrange........................ 16 3.4 Forme d une corde pesante......................... 19 3.5 Foncton dsspaton............................. 20 3.1 Introducton Dans certans cas, des contrantes s applquent sur le système de telle manère que les coordonnées ne peuvent pas varer ndépendamment les unes des autres. C est par exemple ce qu se produt dans le problème dt sopérmétrque, qu consste à chercher dans le plan la courbe fermée qu a la plus grande are pour un pérmètre donné. Dans le plan mun d un repère cartésen, on cherche donc l equaton y(x) de cette courbe telle que l are A[x, y] = y dx sot maxmale pour un pérmètre donné : p[x, y] = 1 + y 2 dx. 15
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES 16 3.2 Une classfcaton des contrantes Il est souvent possble d établr des relatons entre dfférentes coordonnées du système. Certanes sont évdentes, comme dans les corps soldes, où les contrantes mposent aux dfférents ponts qu composent le solde de rester à une dstance constante les uns des autres. D autres le sont mons, par exemple lorsqu un prncpe de conservaton s applque au système. En fat, une certane hableté et surtout une bonne pratque sont requses pour poser, et résoudre, effcacement un problème. Les contrantes peuvent être classées de dfférentes manères. Une contrante est dte holonome s l est possble d établr une relaton entre les coordonnées, et éventuellement le temps, sous la forme : f(r 1, r 2,..., r N, t) = 0 (3.1) La dstance entre deux ponts A et B d un corps solde, de cordonnées respectves (x A, y A, z A ) et (x B, y B, z B ), s écrt ans (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 = AB 2, qu est une contrante de la forme (3.1). Les contrantes non holonomes peuvent elles-mêmes être de deux natures dfférentes : elles sont dtes blatérales lorsqu elles s écrvent sous la forme d une égalté, unlatérales lorsqu elles font ntervenr une négalté. Les paros d un récpent mposent une contrante non holonome aux molécules de gaz contenues à l ntéreur : r 2 a 2 0 (3.2) où a est le rayon du récpent sphérque. Une contrante ne fasant pas ntervenr explctement le temps : f t = 0 (3.3) est dte scléronome. Snon elle est dte rhéonome. Un corps tournant à vtesse angulare Ω constante autour d un axe mpose la contrante θ = Ωt, s θ est la coordonnée utlsée pour repérer la poston angulare du corps dans un plan perpendculare à l axe de rotaton. La contrante est dans ce cas holonome rhéonome. Les contrantes ntrodusent deux types de dffcultés dans la résoluton de problèmes de mécanque : Les coordonnées r ne sont plus ndépendantes pusqu elles sont lées par des équatons de contrantes, de sorte que les équatons du mouvement ne sont pas ndépendantes ; les forces de contrantes ne sont pas données à pror. Elles font ans parte des nconnues et dovent être obtenues à partr de la soluton recherchée. En effet, mposer des contrantes au système est une autre façon de dre que des forces sont présentes dans le problème qu ne peuvent être drectement spécfées, mas qu sont plutôt connues en foncton de leur effet sur le mouvement du système. Dans le cas de contrantes holonomes, la premère dffculté est résolue par l ntroducton des coordonnées généralsées. Pour surmonter le second problème, on amerat pouvor énoncer la mécanque de telle sorte que les forces de contrantes dsparassent, afn de n avor plus qu à consdérer les forces applquées connues. Une façon de procéder est de remarquer, par exemple dans le cas de contrantes nternes, que le traval des forces nternes s annule. C est l dée développée dans le cadre du traval vrtuel du chaptre??. 3.3 Multplcateurs de Lagrange Le prncpe de Hamlton peut être étendu, du mons formellement, à certans types de systèmes non holonomes. En dérvant les équatons de Lagrange sot à partr du prncpe de Hamlton, sot du prncpe de d Alembert, le recours à des contrantes holonomes n apparaît qu à la dernère étape, lorsque les varatons des q sont supposées ndépendantes les unes des autres. Dans le calcul
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES 17 varatonnel, δq représente un déplacement vrtuel depus un pont du chemn réel vers un pont du chemn vosn. Avec des coordonnées ndépendantes, c est le chemn varatonnel fnal qu est mportant, et pas la façon de le construre. Lorsque les coordonnées ne sont pas ndépendantes, mas lées par des relaton de contrantes, l devent mportant de consdérer s le chemn est construt en adéquaton avec les contrantes. Il s avère que des systèmes non holonomes peuvent être étudés sur un prncpe varatonnel seulement s les q peuvent être relés par des relatons dfférentelles de la forme : a lk dq k + a lt dt = 0. (3.4) k Les coeffcents a lk, a lt peuvent être des fonctons des q et de t. On supposera qu l exste m relatons de ce type, l = 1, 2,..., m. Les déplacements menant aux chemns vosns dovent satsfare les équatons (3.4). Or, aucun chemn ne peut être construt selon ces prescrptons, à mons que les équatons (3.4) soent ntégrables, auquel cas les contrantes sont holonomes. Les équatons de contrante pour des déplacements vtuels s écrvent : a lk δq k = 0, (3.5) k et les chemns construts ne vérferont pas en général les équatons (3.4). La procédure, pour rédure le nombre de déplacements vrtuels afn de les rendre ndépendants les uns des autres, est d ntrodure des multplcateurs de Lagrange, λ. Les équatons (3.5) peuvent se ré-écrre : λ l a lk δq k = 0, (3.6) k où les λ l, avec l = 1, 2..., m, sont des grandeurs ndetermnées, fonctons en général des coordonnées q et du temps t. D autre part, le prncpe de Hamlton δi = δ L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) dt = 0, (3.7) est supposé rester valable pour les systèmes non holonomes, ce qu mplque : dt ( d ) δq k = 0. (3.8) q k dt q k k On peut combner les équatons (3.8) avec les m équatons de contrante sur les déplacements vrtuels δq k, en sommant les équatons (3.6) sur l et en ntégrant le résultat par rapport au temps entre les ponts 1 et 2 : λ l a lk δq k = 0. (3.9) En sommant les équatons (3.8) et (3.9), on obtent : ( t2 n dt d + q k dt q k l k=1 k,l λ l a lk ) δq k = 0. (3.10) Les δq k ne sont toujours pas ndépendants : n m d entre eux sont ndépendants, tands que m sont relés par les équatons (3.5). Néanmons, les λ l étant arbtrares, on peut en chosr certans tels que : d + λ l a lk = 0, k = n + m + 1, n + m + 2,..., n, (3.11) q k dt q k l
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES 18 de sorte que mantenant, seules les n m coordonnées ndépendantes ntervennent dans les équatons (3.10) ( t2 n m dt d + ) λ l a lk δq k = 0. (3.12) q k dt q k l k=1 Les δq k sont cette fos ndépendants, ce qu condut à : d + q k dt q k l λ l a lk = 0, k = 1, 2,..., n m, (3.13) sot au fnal, en combnant les équatons (3.11) et (3.13) : d = dt q k q k l λ l a lk = Q k, k = 1, 2,..., n, (3.14) qu sont les équatons de Lagrange pour les systèmes non holonomes. Nous avons donc n m nconnues, les n coordonnées q k et les m multplcateurs de Lagrange λ l, alors que l on ne dspose, selon (3.13), que de n équatons. Les n m équatons manquantes sont les équatons de contrante lant les q k, (3.4), écrtes sous la forme d équatons dfférentelles ordnares du premer ordre : a lk q k + a lt = 0. (3.15) k De la forme (3.14), on vot que les termes l λ la lk = Q k sont les forces généralsées de contrante : ces forces ne sont donc pas élmnées de la formulaton, mas font parte de la soluton. En fat, le prncpe de Hamlton adopté c pour les systèmes non holonomes requert que les contrantes ne travallent pas lors des déplacements vrtuels. Cela peut se vor en ré-écrvant le prncpe de Hamlton sous la forme : qu peut se mettre sous la forme ou encore : δ L dt = δ T dt δ U dt = 0, (3.16) δ T dt = ( U d U q k dt q k k δ T dt = ) δq k dt, (3.17) Q k δq k dt. (3.18) Ans, la dfférence dans l ntégrale temporelle de l énerge cnétque entre deux chemns vosns est opposée à l ntégrale temporelle du traval fourn lors des déplacements vrtuels entre les deux chemns. Le traval est celu produt par les forces qu dérvent du potentel généralsé. Le prncpe de Hamlton ne peut rester valde pour les systèmes non holonomes que s les forces de contrante non holonomes ne travallent pas durant le déplacement vrtuel δq k. En pratque, cette restrcton est peu contragnante, car la plupart des problèmes dans lesquels le formalsme non holonome est utlsé est lée aux roulements sans glssement, où les contrantes ne travallent pas. En fat, s l hypoyhèse de contrantes sans traval est fate dès le départ, les arguments physques qu condusent aux équatons (3.14) peuvent être drectement étendus pour dérver la forme complète des équatons de Lagrange non holonomes, cf équatons (3.14). La condton de forces de contrantes à traval nul peut s écrre Q kδq k = 0. (3.19) k k
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES 19 Dans le même temps, les équatons de contrantes mplquent que λ l a lk δq k = 0, l = 1, 2,..., m. (3.20) k Ans, l équaton (3.19) est satsfate s les forces de contrante sont telles que : Q k = l λ l a lk, (3.21) où les λ l sont les multplcateurs de Lagrange. Le reste de l analyse procède des équatons (3.13) et suvantes. Les contrantes non holonomes ne se rédusent pas toutes à la forme (3.4), comme c est le cas par exemple des contrantes qu s écrvent sous la forme d négaltés. D autre part, la forme (3.4) nclut auss les contrantes hohlonomes. En effet, une contrante holonome s écrvant sous la forme : f(q 1, q 2,..., q n, t) = 0 (3.22) est équvalente à la forme dfférentelle : c est-à-dre que l on a f dq k + f dt = 0, (3.23) q k t k k a lk = f q k, a lt = f t (3.24) dans l équaton (3.4). Ans, la méthode des multplcateurs de Lagrange peut également être employée pour des contrantes holonomes lorsque ) l n est pas appropré de rendre toutes les coordonnées ndépendantes, ) on veut détermner les forces de contrantes. 3.4 Forme d une corde pesante Consdérons une corde de masse lnéque µ constante et de longueur L, dans le plan (xoz). La corde est fxée à ses extrémtés en A(0, 0) et B(x B, z B ). On veut détermner la forme de la corde à l équlbre. La corde étant supposée non élastque, on dot mposer la contrante x 2 B + z2 B L2. La poston d équlbre z(x) de la corde correspond à la confguraton d énerge potentelle gravtatonnelle mnmale. L élément de longueur de la corde, sur l ntervalle [x, x + dx], est dl = dx 2 + dz 2 = 1 + z (x) 2 dx. L énerge potentelle de la corde est dv = µgzdl, où g est l accélératon de la pesanteur. Il s agt mantenant de mnmser l ntégrale : sous la contrante V = xb 0 L = On cherche donc à mnmser la quantté : V + λl = µgz(x) 1 + z (x) 2 dx, xb 0 xb 0 1 + z (x) 2 dx. µg(z z λ ) 1 + z 2 dx, où l on a ntrodut le multplcateur de Lagrange λ = µgz λ. L équaton d Euler-Lagrange devent : (z z λ )z = 1 + z 2,
CHAPITRE 3. SYSTÈMES SOUS CONTRAINTES 20 dont la soluton est du type chaînette : ( ) x x0 z(x) = z λ + c cosh. c Elle dépend des tros paramètres z λ, c, et x 0, qu on peut exprmer en terme des condtons aux lmtes et de la contrante sur la longueur L. En effet, z(0) = 0 de sorte que z λ = c cosh(x 0 /c) ; z(x B ) = z B mpose z B = c [cosh((x B x 0 )/c) cosh(x 0 /c)], xb xb ( ) ( ) x x0 xb L = 1 + z (x) 2 x 0 dx = cosh dx = c snh + snh (x 0 /c). c c 0 0 La soluton présente une symétre par dlatatons : s l on multple toutes les quanttés homogènes à une longueur par le même facteur κ on obtent une soluton pour une corde de longueur κl qu passe par les ponts (0, 0) et (κx B, κz B ). Dans ce cas, c est remplacé par κc. C est donc c qu caractérse les untés de longueur choses. Cette symétre est due au fat que le lagrangen ne dépend pas d une échelle de longueur explcte. Nous trouvons pour le rapport z B /L : ( xb 2x 0 z B /L = cosh ((x B x 0 )/c) cosh (x 0 /c) snh ((x B x 0 )/c) + snh(x 0 /c) = tanh Le mnmum de la chaînette est stué au pont x 0 qu peut ou non se trouver dans l ntervalle [0, a]. Par alleurs, pour c = 1, x 0 = x B /2 arctanh(z B /L), ce qu mplque x 0 pour z B /L 1 (corde vertcale orentée vers le haut), x 0 = x B /2 pour z B = 0 (corde symétrque par rapport à x B /2), et x 0 + pour z B /L 1. 3.5 Foncton dsspaton Lorsque certanes forces ne peuvent pas être dérvées d un potentel, la forme des équatons de Lagrange est donnée par le système d équaton (2.27) : 2c ). d = Q j, (3.25) dt q j q j où L content le potentel des forces conservatves et Q j représente les forces qu ne dérvent pas d un potentel. C est ce qu se produt par exemple en présence de forces de frottement. Néanmons, lorsque ces forces sont proportonnelles à la vtesse de la partcule, c est-à-dre s : F fx = k x v x, alors ces forces dérvent d une foncton F, dte foncton de dsspaton de Raylegh, défne par : F = 1 ( kx vx 2 + k y vy 2 + k z v 2 ) z, (3.26) 2 où la sommaton s effectue sur toutes les partcules du systèmes. Ans, F f = v F (3.27) Physquement, le traval fourn par le système contre les forces de frottement est dw f = F f dr = F f vdt = ( k x v 2 x + k y v 2 y + k z v 2 z) dt de sorte que 2F représente le taux de dsspaton de l énerge due aux frottements. La composante de la force généralsée résultant de la force de frottement est alors donnée par : Q j = F f r q j = v F r q j = Les équatons de Lagrange devennent dans ce cas : v F ṙ q j = F q j. (3.28) d + F = 0, (3.29) dt q j q j q j et deux fonctons scalares, L et F, dovent être spécfées pour obtenr les équatons du mouvement.
Chaptre 4 Théorèmes de conservaton Among the successors of those llustrous men, Lagrange has perhaps done more than any other analyst, to gve extent and harmony to such deductve researches, by showng that the most vared consequences respectng motons of systems of bodes may be derved from one radcal formula ; the beauty of the method so sutng the dgnty of the results, as to make of hs great work a knd of scentfc poem. Wllam Rowan HAMILTON Sommare 4.1 Lagrangens équvalents........................... 21 4.2 Moment conjugué et varable cyclque.................. 21 4.3 Energe et translaton dans le temps................... 22 4.4 Impulson et translaton dans l espace.................. 23 4.5 Moment cnétque et rotaton....................... 23 4.1 Lagrangens équvalents Pour un système d équatons du mouvement donné, l n exste pas un chox unque du lagrangen L. En effet, s F (q, t) est une foncton dfférentable quelconque des coordonnées généralsées et du temps, alors L (q, q, t) = L(q, q, t) + df dt, (4.1) est un nouveau Lagrangen condusant aux mêmes équatons du mouvement. En effet, d dt q q = d dt q q + d dt q df dt df q dt. 4.2 Moment conjugué et varable cyclque Lorsque le Lagrangen d un système ne dépend pas explctement d une coordonnée q, alors qu l peut dépendre de q, la coordonnées est dte cyclque ou gnorable. Dans ce cas, les équatons du mouvement d dt q q = 0 21
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION 22 se rédusent à d = 0. (4.2) dt q En défnssant le moment généralsé p, assocé à la coordonnée q, par : p = q, (4.3) on vot que l équaton (4.2) mpose à p d être une constante du mouvement. Le moment généralsé p est également souvent appelé moment conjugué ou moment canonque. De sorte que (théorème de Noether 1 ) : Le moment généralsé conjugué d une coordonnées cyclque se conserve. Il est à noter que le moment conjugué d une coordonnée cartésenne est la quantté de mouvement, dans la drecton de la coordonnée 2 ; le moment conjugué d une coordonnée angulare est le moment cnétque assocé à l angle autour duquel la varable angulare permet de décrre la rotaton du système, etc. Une telle constante du mouvement peut être formellement utlsée pour élmner la coordonnée cyclque du problème, qu peut être entèrement résolu en foncton des coordonnées généralsées restantes. La procédure, ntée par Routh, consste à modfer le Lagrangen de telle manère qu l ne dépende plus de la vtesse q assocée à la coordonnée cyclque q, mas de son moment conjugué p. C est la formulaton Hamltonenne. 4.3 Energe et translaton dans le temps Consdérons la dérvée totale du Lagrangen par rapport au temps : dl dt = q q t + q q t + t (4.4) D après l équaton de Lagrange : d où dl dt = d q + dt q q = d dt q q + q t = ( ) d q + dt q t Il en résulte : ( ) d q L + = 0. (4.5) dt q t On vot apparaître une nouvelle grandeur, souvent défne comme la foncton énerge ou nvarant de Jacob : h(q, q, t) = q L, (4.6) q dont la varaton temporelle, donnée par : dh dt = t, (4.7) 1. Amale Emmy Noether (23 mars 1882-14 avrl 1935) est une mathématcenne allemande spécalste d algèbre et de physque théorque. En physque, le théorème de Noether explque le len fondamental entre symétres et los de conservaton. 2. En électromagnétsme, lorsque φ et A ne dépendent n l un n l autre de x, x est une varable cyclque, et le moment conjugué prend la forme p x = mẋ + qa x/c.
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION 23 est nulle s le Lagrangen ne dépend pas explctement du temps : t = 0. Par un changement de varables appropré, la foncton énerge est assmlable au Hamltonen H du système, exprmé en foncton des n varables ndépendantes q j et de leurs dérvées q j (le hamltonen étant défn comme foncton des 2n varables ndépendantes q j et p j ). Dans la plupart des cas h peut se rédure à l énerge mécanque du système. Notons également que, ben que L sot défn comme L = T V, h dépend en ampltude et pour sa forme fonctonnelle du chox spécfque des coordonnées généralsées, de sorte que pour un système donné, dfférents h, de sgnfcatons physques dfférentes, peuvent être défns. S par alleurs les forces dsspatves dérvent d une fonctonnelle F : Q = F q j, q j j alors dh dt + t = j q j q j = 2F (4.8) s F est quadratque en q j, de sorte que, s / t = 0, alors 2F représente le taux de varaton de h. 4.4 Impulson et translaton dans l espace Supposons que le problème est nvarant par translaton dans l espace. C est le cas d une partcule lbre, mas c est également le cas d un système de partcules dont les nteractons ne dépendent que des coordonnées relatves : V ( r r j ). Dans cette hypothèse, pour toute transformaton nfntésmale r r + ɛ, le lagrangen est nvarant δl = r ɛ = 0 ɛ, ce qu mplque : = r }{{} Eq. Euler-Lagrange d = d dt ṙ dt ṗ = 0. L nvarance par translaton dans l espace mplque la conservaton de la quantté de mouvement totale d un système de partcules. Remarquons que l nvarance par translaton dans une drecton donnée mplque la conservaton de la composante de la quantté de mouvement selon cette drecton. 4.5 Moment cnétque et rotaton Consdérons mantenant les rotatons. Une rotaton nfntésmale d un angle δφ autour d un axe porté par le vecteur untare e z transforme les postons et vtesses comme : r r + δφ e z r, ṙ ṙ + δφ e z ṙ. Dans cette transformaton, la varaton du lagrangen est : δl = ( (δφ e z r ) + ) (δφ e z ṙ ), r ṙ ou encore : δl = ( ) r + ṙ e z δφ. r ṙ
CHAPITRE 4. THÉORÈMES DE CONSERVATION 24 S l y a nvarance par rotaton, alors δl = 0 quel que sot e z δφ. En revenant à la défnton des moments conjugués et de leurs dérvées, on obtent, en utlsant les équatons du mouvement : (r ṗ + ṙ p ) = 0, Sot : d dt r p = d J = d dt dt J = 0, où le moment cnétque (généralsé) J de chaque partcule et le moment cnétque (généralsé) total J sont défns par J = r p, J = J. L nvarance par rotaton correspond à la conservaton du moment cnétque total.
Chaptre 5 Un prncpe fondamental en physque Comme la constructon du monde est la plus parfate possble et qu elle est due à un créateur nfnement sage, l n arrve ren dans le monde qu ne présente des proprétés de maxmum ou de mnmum. C est pourquo aucun doute ne peut subsster sur ce qu l sot également possble de détermner tous les effets de l unvers par leurs causes fnales, à l ade de la méthode des maxma et des mnma, auss ben que par leurs causes effcentes. Leonhard EULER Sommare 5.1 Vers une théore lagrangenne des champs............... 25 5.2 Force de Lorentz et équatons de Maxwell............... 27 5.1 Vers une théore lagrangenne des champs Il nous faut étendre le formalsme lagrangen aux systèmes contnus, donc aux systèmes à un nombre nfn de degrés de lberté. Le prototype de système physque qu permet d étuder la transton vers le contnu en mécanque est la corde vbrante. On consdère une corde élastque tendue horzontalement entre les ponts d abscsses x = 0 et x = l. Sa masse lnéque ρ est unforme. On ne tent pas compte c de la pesanteur, et on ne consdère que les déformatons de la corde dans le plan transverse (ondes transversales). On note ψ(x, t) l élongaton transverse du pont d abscsse x par rapport à sa poston d équlbre à l nstant t. On suppose, pour smplfer, que cette élongaton se produt dans une seule drecton l axe vertcal. On peut, par la pensée, consdérer la corde comme l ensemble d un grand nombre d éléments de longueur ndvduelle dl obéssant chacun aux los de la dynamque. A la lmte, cela se transforme en un système à nombre nfn de degrés de lberté. Consdérons un élément de la corde de longueur dl. Son énerge cnétque est dt = 1 2 dm v2 = 1 ( ) 2 ψ 2 ρ dl 1 t 2 ρ dx ( ) 2 ψ, t lorsque la déformaton peut être consdérée comme pette, ( ψ/ x) 2 1. Notons γ la tenson de la corde. La corde est élastque ; d après la lo de Hooke, l énerge potentelle dv assocée à une 25
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE 26 élongaton de la corde est proportonnelle à cette élongaton et vaut : ( ) ( ) 2 dv = γ ψ(x + dx) ψ(x))2 + dx 2 dx = γ ψ 1 + 1 dx x Dans l hypothèse de pettes déformatons, l énerge potentelle V de la corde se réécrt : V = 1 2 γ l 0 ( ) 2 ψ dx. x Le lagrangen de la corde : L = 1 2 l 0 [ ρ ( ) 2 ψ γ t ( ) ] 2 ψ dx. x est la somme des lagrangens élémentares dl = dt dv, dans laquelle apparaît la densté de lagrangen L de la corde : ( L ψ, ψ t, ψ ) = ρ x ( ) 2 ψ γ t ( ) 2 ψ, x Ic, L ne dépend pas de ψ. Nous verrons la sgnfcaton physque d une telle ndépendance. L équaton du mouvement de la corde est obtenue en mnmsant l acton de la corde : S = L dx dt = 1 [ ( ) 2 ( ) ] 2 ψ ψ dt dx ρ γ. 2 t x Le problème fat ntervenr deux varables x, t, dont dépend la foncton nconnue ψ(x, t). Nous connassons parfatement les états ntal, ψ(x, ) = 0, et fnal, ψ(x, t 2 ) = 0, de la corde, ans que les condtons aux deux extrémtés, ψ(0, t) = 0 et ψ(l, t) = 0. La soluton que nous recherchons dot rendre l acton S statonnare : ( δs = dt dx δψ + δψ t + ) δψ x = 0, ψ ψ t ψ x où ψ t = ψ/ t et ψ x = ψ/ x. En ntégrant par partes les deux derners termes de l ntégrant, et en annulant les termes de bord, l vent : ( δs = dt dx ψ ) δψ = 0, δψ, t ψ t x ψ x de sorte que l on obtent l équaton d Euler-Lagrange : ψ = 0. t ψ t x ψ x Dans le cas présent, / ψ = 0, l équaton du mouvement devent donc : 2 ψ t 2 ψ c2 x 2 = 0, où c 2 = γ/ρ est la célérté des ondes. L équaton d onde dérve donc du prncpe varatonnel de Hamlton. Notons qu un terme lnéare en ψ dans L aurat donné un terme constant dans le membre de drote de cette équaton, représentant l acton d une force constante sur la corde.
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE 27 5.2 Force de Lorentz et équatons de Maxwell La force exercée sur une charge électrque q, en mouvement à la vtesse v dans le référentel chos, s écrt : F = q (E + 1c ) (v B), (5.1) c est la force de Lorentz, qu ne dérve pas smplement d une foncton scalare V. Les équatons de Lagrange peuvent néanmons garder leur forme (2.32), même s la force ne dérve pas smplement d une énerge potentelle V : l sufft que les forces généralsées pussent s écrre en foncton d une foncton potentel généralsé U(q, q), ou potentel dépendant des vtesses, tel que : Q j = d U U ; (5.2) dt q j q j Le Lagrangen est alors donné dans ce cas par L = dt du. C est ce qu se produt dans un D champ de force électro-magnétque obéssant aux équatons de Maxwell : E + B t = 0 E = ρ ɛ 0 B ɛ 0 E t = µ 0j B = 0 où E, B sont respectvement les champs électrque et magnétque, ρ la densté de charge et j la densté de courant électrques. Le produt de la permttvté ɛ 0 et de la perméablté µ 0 du vde est égal à l nverse de la vtesse c de la lumère. Dans l expresson du Lagrangen, l sera nécessare de défnr l énerge cnétque élémentare dt du champ électromagnétque. Le champ B étant solénode, l dérve d un potentel vecteur A : B = A. La premère des quatre équatons de Maxwell peut donc se mettre sous la forme : ( E + A ) = 0 t c est-à-dre que du potentel scalare φ dérve la quantté : E + A t = φ. Les potentels scalare φ et vecteur A sont mantenant les champs fondamentaux de notre formulaton, les champs E et B étant défns à partr de φ et A par les relatons précédentes. La force de Lorentz s écrt en foncton des potentels φ et A comme : ( F = q φ A ) + (v ( A)). (5.4) t (5.3) En remarquant que : l vent : v ( A) = (v A) (v )A, F = q (φ } {{ v A) } U/q ( A t ) + (v )A. } {{ } da/dt
CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE 28 La dérvée du potentel généralsé U = q (φ v A) par rapport à la vtesse condut à : de sorte que : v U = qa, q da dt e j d U dt v j et la force de Lorentz se met ben sous la forme : F = d dt vu r U. Les équatons de Maxwell peuvent dès lors être dérvées du prncpe de Hamlton. La densté de Lagrangen s écrt dans ce cas : L = 1 2 (ɛ 0 E 2 B2 µ 0 ) du, avec du = ρφ j A. Les coordonnées généralsées sont à présent les champs φ et A. L équaton d Euler-Lagrange pour la varable φ : donne la lo de Gauss : φ t φ }{{}}{{} t ρ 0 x φ x }{{} ɛ 0E e x ρ + ɛ 0 E = 0. De façon analogue, les équatons d Euler-Lagrange pour le potentel vecteur A condusent à la lo d Ampère : j + ɛ 0 E t 1 µ 0 B = 0. Les deux autres équatons de Maxwell provennent smplement de la défnton des champs E et B en foncton des champs φ et A. = 0,
Bblographe [1] Joseph BERTRAND Théorème relatf au mouvement d un pont attré vers un centre fxe. Comptes Rendus des Séances de l Académe des Scences, Pars, 77 (1873) 849-853. [2] Herbert GOLDSTEIN, Classcal Mechancs, second edton, Addson-Wesley Publshng compagny, 1980. [3] Chrstan GRUBER, Wlly BENOIT, Mécanque générale, Presses polytechnques et unverstares romandes, 1998. [4] Jean HLADIK, Introducton à la relatvté restrente de Poncaré, édtons Dunod, 2001. [5] Jean HLADIK, Comment le jeune et ambteux Ensten s est appropré la relatvté restrente de Poncaré, édtons Ellpses, 2004. [6] Chrstoph KOPPER, Prncpes varatonnels et Mécanque analytque, Cours de l Ecole Polytechnque (2014). [7] Lev LANDAU, Evguen LIFCHITS, Mécanque, cnquème édton en france, Mr - Ellpses, 1994. [8] Ernst MACH, La Mécanque exposé hstorque et crtque de son développement, édtons Jacques Gabay, 1987 ; rémpresson de la traducton franças publée par A. Hermann en 1904. [9] Paul PAINLEVÉ, Les axomes de la Mécanque examen crtque, édtons Jacques Gabay, 1995 ; rémpresson de l édton orgnale publée par Gauther-Vllars en 1922. [10] Henr POINCARÉ, Sur la dynamque de l électron, Comptes-Rendus de l Académe des Scences, Pars, CXL, no 23, 1905, pp. 1504-1508 ; Sur la dynamque de l électron, Rend. Crc. Matem. Palermo XXI (1906) pp. 129-176 ; La dynamque de l électron, Revue des Scences 1908, pp. 386-402 ; La dynamque de l électron, Supplément aux Annales des Postes, Télégraphes et Téléphones, Mars 1913, edtons A. Dumas. [11] Henr POINCARÉ, La valeur de la Scence, édton Ernest Flammaron, 1905. [12] http ://www.dffuson.ens.fr/ndex.php?res=conf&dconf=710# [13] Ncolas SATOR, Introducton au prncpe varatonnel et à la mécanque analytque, cours de l Ecole Normale Supéreure de Cachan (2011). [14] John R. TAYLOR, Classcal Mechancs, Unversty Scence Book, 2005. 29