CONIQUES L pluprt des démonstrtions liées à e fihier se trouvent dns le fihier «Eeries» et pourront être effetuées à titre d entrînement. I. INTRODUCTION Etmologiquement, une onique est une oure plne otenue en oupnt un ône de révolution pr un pln. Les oniques propres otenues insi sont les erles, les ellipses, les proles, les hperoles, mis dns ertins s, l intersetion d un ône et d un pln donne un point, une droite ou deu droites, e sont des oniques impropres ou dégénérées. Plusieurs définitions des oniques sont possiles (foers et diretrie, définition ifole,..), l seule qui engloe tous les s prtiuliers est l définition nltique suivnte : une onique est une oure plne définie pr une éqution qui peut s érire sous l forme + + + d + e + f =(étude dns le V) II. DEFINITIONS PAR FOYER, DIRECTRICE ET EXCENTRICITE. Définitions Soit F un point du pln, e un réel >, et D une droite ne ontennt ps F, on ppelle onique de foer F, d eentriité e, et de diretrie D, l ensemle Γ des points M du pln P tels que : MF=e d(m,d) où d(m,d) est l distne de M à l droite D. On peut ussi noter donner l définition insi : M Γ MF = emh où H est le projeté orthogonl de M sur D Si < e <, l onique Γ est une ellipse Si e =, l onique Γ est une prole H D diretrie M e fol Si e >, l onique Γ est une hperole H F M Sur le dessin i-dessus, on MF = emh ve e tel que < e < (e de l ordre de,6)
On ppelle e fol de l onique l droite perpendiulire à D et pssnt pr F. L'e fol d'une onique est un e de smétrie pour l onique. Un sommet de l onique est un point d'intersetion entre l onique et son e fol. M N F H D diretrie H Qutre oniques nt même foer et même diretrie Prole (e=) : MF=MH et NF=NH. Sommets sur l e fol Une onique C étnt donnée pr un foer F, son eentriité e et une diretrie D, herhons les points de l e fol qui pprtiennent à l onique. Soit K est le projeté orthogonl de F sur D. Les points M herhés doivent vérifier MF=e d(m,d), soit ii MF=eMK, les points M,F,K étnt lignés. Si e= MF=MK entrîne que le seul point de l onique sur l e fol est le milieu S de [FK ] (sommet de C ) Sinon MF=eMK, les points M,F,K étnt lignés, el entrîne que MF = emk ou MF = em K Il don deu points ppelés sommets qui pprtiennent à l onique et qui sont sur l e fol: e S tel que SF = esk soit SF + esk =, S est le rentre de ( F,);( Ke, ), on don FS = F K + e S e et : S tel que SF ' = esk ' soit SF ' esk ' =, S est le rentre de ( F,);( K, e), on don FS = F K e Cs e= : prole Cs <e< : ellipse Cs e> : hperole K S D diretrie D D Ae fol SF=SK Ae fol K S F K S F S D diretrie Dessin ve e=,5 SF=eSK S K D S F Dessin ve e= SF=eSK diretrie Ae fol
III. EQUATION REDUITE ET FORME DES CONIQUES : PREMIERE APPROCHE. Proles Soit F un point du pln, e un réel >, et D une droite ne ontennt ps F, On onsidère l prole P de foer F, d eentriité e=, et de diretrie D. C est l ensemle des points M du pln P tels que MF=d(M,D) ou enore M P MF = MH où H est le projeté orthogonl de M sur D Soit K le projeté orthogonl de F sur D. Considérons un repère orthonormé ( O, i, où O est le milieu de [ FK ] et i = KF. KF Notons p=kf, p est ppelé le prmètre de l prole Alors, dns e repère, de l églité définissnt l prole MF=d(M,D), on déduit D K Ω j i une éqution réduite de l prole ² = p (f. eerie CO ) H M. Ellipses Soit F un point du pln, e un réel de ], et D une droite ne ontennt ps F. ;[ On onsidère l ellipse E de foer F, d eentriité e, et de diretrie D. C est l ensemle des points M du pln P tels que MF=ed(M,D) ou enore M E MF = emh où H est le projeté orthogonl de M sur D E dmet deu sommets S et S' (f.ii) où S est le rentre de ( F,);( Ke, ),et S est le rentre de ( F,);( K, e), Considérons un repère orthonorml ( O, i, tel que O est le milieu de [ SS '] et ve K projeté orthogonl de F sur D, i = OS. OS Notons = OS, = OF et = Alors, dns e repère, de l églité définissnt l ellipse MF=ed(M,D), on déduit j i D Diretrie H K Ae fol une éqution réduite de l ellipse (f. eerie CO ) + = Dessin ve =5, =3, =4, e=,8 MF=eMH, SF=eSK, S F=eSK L éqution réduite étnt invrinte pr trnsformtion de en et de en, on en déduit que les ellipses dmettent deu es de de smétrie (O) et (O) et don un entre de smétrie O. De + =, on déduit = et don que l ellipse E est l réunion des oures des fontions et. Ces deu oures sont smétriques pr rpport à (O), et les fontions sont ; toutes deu définies sur [ ] 3
3.Hperoles Soit F un point du pln, e un réel e> et D une droite ne ontennt ps F. On onsidère l hperole H de foer F, d eentriité e, et de diretrie D. C est l ensemle des points M du pln P tels que MF=ed(M,D) ou enore M H MF = emh où H est le projeté orthogonl de M sur D H dmet deu sommets S et S' (f.ii) où S est le rentre de ( F,);( Ke, ),et S est le rentre de ( F,);( K, e), Considérons un repère orthonorml ( O, i, tel que O est le milieu de [ SS ' et ve K projeté orthogonl de F sur D, i = OS. Notons, = OF et = OS = OS Alors, dns e repère, de l églité définissnt l hperole MF=ed(M,D), on déduit une éqution réduite de l hperole = (f. eerie CO ) ] j i H K Dessin ve =3, =6, e=,5 MF=eMH, SF=eSK et S F=eS K L éqution réduite étnt invrinte pr trnsformtion de en et de en, on en déduit que les ellipses dmettent deu es de smétrie (O) et (O) et don un entre de smétrie O. De =, on déduit = et don que l hperole H est l réunion des oures des fontions et. Ces deu oures sont smétriques pr rpport à (O), et les fontions sont toutes deu définies sur ; ; + IV. PARABOLES, ELLIPSES ET HYPERBOLES. Proles Soit p un réel non nul.. Coures Proles d e (O) Dns un repère orthonormé ( O, i, d éqution l oure d éqution p = pest l prole de foer F, et de diretrie p =. p est le prmètre de l prole, O est le sommet de l prole L prole d éqution pr rpport à (O) = p est l réunion des oures des fontions p et p smétriques 4
Prole = p ve p > Prole = p ve p < p p = p = p Proles d e (O) Dns un repère orthonormé ( O, i, l oure d éqution p = p est l prole de foer F, p d éqution =. p est le prmètre de l prole. O est le sommet de l prole et de diretrie Prole = p ve p > Diretrie = p Prole = p ve p < p p Diretrie = p. Remrques Quelques éléments pour retrouver rpidement l forme des proles à prtir d une éqution : Pour une éqution = p, ou = du tpe = k, l prole (O) omme e de smétrie omme p l oure d éqution = 5
De plus = p si p >, pour tout, = don p si p <, pour tout, Pour une éqution = p, l prole est l réunion des oures des fontions p et p, Ces deu oures sont smétriques pr rpport à (O), et les fontions sont toutes deu définies sur [, + [ si p> et définies sur ],] si p< 3. Tngentes Eqution et «règle du dédoulement»: Pour une prole d éqution : = p : une éqution de l tngente en M est : = p( + ) Pour une prole d éqution : = p : une éqution de l tngente en M est : = p( + ) Démonstrtion en eerie, es équtions se retrouvent très filement en utilisnt l «règle du dédoulement»,, + et + En pssnt de l éqution de l oure à l éqution de l tngente, ( ) ( ) Propriété géométrique T étnt le point d intersetion de l tngente en M ve l diretrie D M T est l méditrie de [ FH ], et le tringle M FT est un tringle retngle en F. L tngente ( ) H M T H D diretrie T M D diretrie. Ellipses. Coures Soient > et > Dns un repère orthonormé ( O, i, - si =, E est un erle, soit E l oure d éqution + = -et si, E est une ellipse de sommets A(,), A (-,), B(,) et B (,-), de entre O Toute ellipse dmet etement deu foers et deu diretries ssoiées. 6
Ellipse + = ve > Ellipse + = ve < Ave Ae fol (O) =, foers F(,) et F (-,) Diretries =±, eentriité e = Ave Ae fol (O) =, foers F(,) et F (,-) Diretries = ±, eentriité e = Remrque : Pour une ellipse E d éqution + = ve >, est souvent ppelé le «demi grnd e» et le «demi petit e» (grnd e= et petit e =). Dns le s où <, est qui est ppelé le «demi grnd e» et le «demi petit e».. Tngentes Eqution et «règle du dédoulement»: Pour une ellipse d éqution : + = : une éqution de l tngente en M est : + = Démonstrtion en eerie, el se retrouve très filement en utilisnt l «règle du dédoulement» On psse de l éqution de l oure à l éqution de l tngente,, Propriété géométrique T étnt le point d intersetion de l tngente en M ve l diretrie D, le tringle M FT est un tringle retngle en F M D diretrie T 7
3. Hperoles 3. Coures Soient > et > Dns un repère orthonormé ( O, i,, les oures H et H d équtions respetives sont des hperoles de entre, d es (O) et(o) Toute hperole dmet etement deu foers et deu diretries ssoiées. = et = Hperole = Hperole = ou enore = Ae fol (O), smptotes =± Ave = +, foers F(,) et F (-,) Diretries D,D =±, eentriité e = Ae fol (O), smptotes =± Ave = +, foers F(,) et F (,-) Diretries D,D = ±, eentriité e = = = = D D = D D - si =, l hperole est dite équiltère Propriété : Dns le repère nt pour es les smptotes et ', l'éqution de l'hperole est de l forme = k. k (on retrouve les fontions ) (f. eerie) 3. Tngentes Eqution et «règle du dédoulement»: Pour une hperole d éqution : = : une éqution de l tngente en M est : = 8
Pour une hperole d éqution : = : une éqution de l tngente en M est : = Démonstrtion en eerie. Ces équtions se retrouvent très filement en utilisnt l «règle du dédoulement» On psse de l éqution de l oure à l éqution de l tngente,, Propriété géométrique T étnt le point d intersetion de l tngente à l hperole en M ve l diretrie D, le tringle M FT est un tringle retngle en F T M T M D 4. Définition ifole des ellipses et des hperoles 4. Ellipses Propriété : Soit E une ellipse de foers F et F, de grnd e [ ' ] tout point M de l ellipse MF + MF' = AA, de entre O. Si on note =OA, lors, pour Propriété : Etnt donnés deu points F et F tels que FF = et un réel >, l ensemle des points M du pln tels que MF + MF' = est l ellipse de foers F et F et dont l longueur du grnd e est égle à Applition : onstrution d une ellipse :ovle des jrdiniers pour trer une ellipse, on peut fier les etrémités d une fielle en deu points (F et F ), l fielle étnt de longueur l= ve l> FF. On peut ensuite fire oulisser un stlo le long de l fielle tendue. L position du stlo étnt notée M, à tout instnt on MF+MF= l =. Le stlo dérit ien l ellipse de foer Fet F. Ce prinipe est utilisé pr les jrdiniers pour trer des prterres ovoïdes. Une orde étnt tthée à ses etrémités à deu pieu, en fisnt oulisser un moreu de ois, ils peuvent insi trer un sillon dns le sol. 4. Hperoles Propriété : Soit H une hperole de foers F et F, de sommets A et A, de entre O. Si on note =OA, lors, pour tout point M de l hperole MF MF' = 9
Propriété : Etnt donnés deu points F et F tels que FF = et un réel <<, l ensemle des points M du pln tels que MF MF' = est l hperole de foers F et F et dont l distne entre les sommets est égle à V. EQUATION GENERALE DES CONIQUES Le pln étnt rpporté à un repère orthonormé (,, ) d'éqution O i j : dns le s le plus générl, une onique Γ est une oure P(, ) = + + + d + e + f = ve ( de,,,, ) (,,,,) Différents s se présentent : le plus trivil est elui où (,, ) = (,,), on otient lors une droite (onique dégénérée). Eqution du tpe + + d + e + f = ve (, ) (,) On se ple ii dns le s où dns l éqution, il n ps de terme en, ( =) si = et d ou si = et e, Γ est une prole (l éqution ontient u moins un terme en, ps de terme en et un terme en, ou l éqution ontient u moins un terme en, ps de terme en si et --si = (oeffiient de et un terme en ) = oeffiient de ) Γ est un erle, un point ou l'ensemle vide --si et sont de même signe lors Γ est une ellipse, un point ou l'ensemle vide --si et sont de signe ontrire lors Γ est une hperole, ou deu droites Quelques eemples représenttifs à étudier soigneusement : + 3+ 5= e ( ) Eqution : ( ) ( l éqution ontient u moins un terme en e + = 3 5, ps de terme en et un terme en ) (on utilise ensuite l mise sous forme nonique est à dire qu on érit e + = 3 4 6 ( ) 3 Soit I ; ), si M (, ) 4 8 Don dns le repère ( ) de sommet I (remrque 3 5 soit ( ) dns le repère ( I, i, I, i, j, l éqution devient X X = Y Y don e + = 3 + 4 8, lors M (, ) = Y ou 3 + sous l forme de ( +...) = 5 don ( ) X Y dns ( I, i, 3 X 3 3 e + = 4 8 X = I = + 4 ve 3 Y = I = 8 = Y l onique est don une prole d e (IY), 3 l oure est «u dessus» de l droite d éqution = 3 8 8 ) Eqution 4 + + 3 + = (termes en en et en préédés de oeffiients de même signe don Γ est une ellipse, un point ou l'ensemle vide) 3 4 + + 3 + = 4 + + + = (on utilise ensuite l mise sous forme nonique 4 est à dire qu on fit pprître dns + un développement de ( +...) et idem ve 4 3 )
don M ( Γ, ) 3 9 4 + + + = 4 4 6 3 don M ( Γ, ) 4 65 3 3 6 + + = ou + + 4 8 65 65 4 = en multiplint pr 8 65 de mnière à fire pprître dns le seond memre on don M 3 I( ; 4 ellipse du tpe ( Γ, ) 3 + 4 + = ei nous montre que l onique est une ellipse de entre 65 65 3 6 X Y I, i, j, l éqution deviendrit + = ), 65 65 3 6 65 65 65 + = ve < ii =, = = ellipse d e fol (IY) 3 6 4 ) (dns le repère ( ) Eqution 3 3 + 3 + 6 9+ = (oeffiient de l'ensemle vide Γ 3 3 M (, ) M ( Γ, ) ( ) = oeffiient de + + + = don M ( Γ, ) ( ) 3 35 + + = 3 L onique est don le erle de entre I( ; ) et de ron Eqution 4 : M ( Γ, ) M ( Γ, ) Ave X = 4 3 Y = 4 + + 3+ = 3 4 4 + + = 3 4 + = 4 3 4 35 soit enore soit enore 3 9 + + + = 4 3 ) Γ est un erle, un point ou don 3 9 4 + + = 4 6 4 3 4 + = 3 3 6 8 3 ( est à dire en prennt I ; omme nouvelle origine, on otient 4 X Y + = 3 3 6 8
Soit une éqution du tpe X Y 3 3 ve et + = = 6 = 8 L onique est don une hperole de entre I, d e fol (I) dont les smptotes ont pour éqution, smptotes Y =± X 3 soit =± 4 Ave F (,Y= - = + = 39 4 ) Diretries D,D 39 39 =, les foers F(,Y= 39 6 4 4 ) et 3 4 3 Y =± =± 8 39 3 Y Hperole d éqution 4 + + 3+ = X. Equtions du tpe P(, ) = + + + d + e + f = ve L différene pr rpport u prgrphe préédent vient du fit que l éqution ontient un terme en. Mis, en fit, on peut toujours se rmener u s où =, ei pr un hngement de repère ien hoisi (f prgrphe ). Approhe rpide : éqution u pentes Considèrons (, ) P = + + + d + e + f A (, ) B (, ) De l même mnière que pour une fontion, pour déterminer les pentes des smptotes oliques (diretions f ( ) smptotiques) il fut d ord herher lim, ii, on fit pprître l epression m = et on s'intéresse u ± omportement de l'epression qund et tendent vers l'infini, leur rpport m restnt onstnt En divisnt pr l éqution initile, el donne ( ) ( ) + + + d + e + f = On don A (, ) = + + = m + m+ m m On ne onsidère que + + = + +, les utres devennt négligeles. Méthode : On étudie l éqution du seond degré : m + m + = (éqution u pentes) si B (, ) ( B (, ) = d + e + f ) Disussion selon les rines de : m + m + = --si l'éqution n' ps de rine : il n' ps de rnhes à l'infini, l onique est une ellipse
--si l'éqution rines distintes m e t m : il rnhes à l'infini, l onique est une hperole d smptotes de pentes m et m --si l'éqution une rine doulem lors, il n' qu'une rnhe à l'infini, l onique est une prole d e de pente m Eemple : + + + + =, on divise pr l éqution initile + + + + = m m+ = m = il rine doule m =. l'éqution u pentes est soit ( ) C'est une prole dont l'e est prllèle à l droite de pente m (m=), soit = si B (, ) = ( B (, ) = d + e + f ) (, ) = + + =, disussion selon les rines de : m + m + = --si l'éqution n' ps de rine : il n' ps de points qui vérifient l éqution P(, ) = + + = --si l'éqution rines distintes m et m : l onique est dégénérée : on deu droites d éqution = m et = m --si l'éqution une rine doulem : l onique est dégénérée on une droite d éqution = m P Eemple : pour 6 =, l éqution u pentes est solution don l ensemle des points qui vérifient = et = 3 (f. utre méthode en eerie CO ). Centre de l onique 6 m m+ = 6, elle dmet m= et m= 3 omme = est l réunion des deu droites d éqution On se ple ii dns le s où l onique est non dégénérée B (, ) = d + e + f Dns le s où l onique est une onique à entre (erle, ellipse, hperole) : Les oordonnées o et o du entre sont solution de : Si e sstème n ps de solution, l onique est une prole P (, ) P (, ) = et = Eemple : Pour + = + + + + =, le sstème s érit + = Le sstème n ps de solution don l onique est une prole. 3. Aes de smétrie d une hperole: Les es de smétrie d une hperole sont les issetries des smptotes, m + m ils font un ngle ϕ et ϕ + π/ ve les es de oordonnées ve tn ϕ = = mm ils pssent pr le entre ( o, o ) de l hperole, d'où leur éqution : o = tgϕ et o = o o tgϕ (f. eerie) 3
VI. PARAMETRAGES ET COORDONNEES POLAIRES. Représenttions prmétriques des oniques = Rosθ θ ππ = Rsinθ Un prmétrge d un erle C de entre O et de ron R est [ ; [ Cel signifie qu un point M(,) pprtient à C si et seulement si il eiste un réel θ de [ ππ ; [ tel que = Rosθ = Rsinθ Un prmétrge d un erle C de entre = + Rosθ I( ; ) et de ron R est θ [ ππ ; [ = + Rsinθ Un prmétrge d une ellipse de entre O d éqution + = est [ ; [ = osθ θ ππ = sinθ Un prmétrge d une ellipse d éqution ( ) ( ) = + osθ θ ππ = + sinθ [ ; [ Un prmétrge d une prole d éqution Un prmétrge d une prole d éqution Un prmétrge d une hperole d éqution + = de entre I( ; ) est = p est t = p = t t = p est = t t = p t = ht = est = sht t. Eqution polire d une onique, l origine étnt u foer Soit O point origine, soit D une droite ne pssnt ps pr O, hoisissons (O) orthogonle à D. Soit d le réel tel que l éqution de D peut s érire =d. Un point M pprtient à l onique de foer O et d eentriité e ( e > ) et de diretrie D si OM = emh ( M F = emh où F foer) qui équivut à OM = e MH Cette églité donne en oordonnées polires : r e = ( ros θ d) d où r =± e( ros θ d) D H d O θ M (O) e fol on otient en résolvnt en r, ed r = ou + eosθ ed r = e os θ Ces deu équtions représentent l même oure : il suffit de hnger θ en π θ pour s en onvinre. 4
ed L éqution de l onique de foer O, de diretrie D =d, et d eentriité est don r = + e os θ p Propriété : Soient p et e deu réels positifs. L oure d éqution polire r = + eosθ est une onique non dégénérée d eentriité e et de foer O. VII. RESUME ET APPLICATIONS DES CONIQUES. Résumé Eqution d'une onique Dns un repère orthonormé, l'éqution d'une onique est de l forme : A² + B² + C + D + E + F = ve (A, B, C) (,, ) Eqution réduite d'une onique Dns des repères orthonormés judiieusement hoisis, les oniques ont les équtions suivntes ppelées équtions réduites : Proles Ellipses Equtions réduites ² = p ou ² = p (p onstnte réelle non nulle) + = Hperoles = ou = Prole Eqution réduite dns le repère (, i, Ω : ² = p Si l'éqution est ² = p, on permute dns les résultts préédents sisse et ordonnée. Sommet Ω Eentriité e = Foer F(p/, ) Diretrie D : = p/ 5
Ellipse Eqution réduite dns ( Ω, i, + = > Centre (de smétrie) Ω milieu de [F, F'] Eentriité e = /, e <, = Foers F(, ) et F'(, ) Diretries D : = ²/, et D' : = ²/ si <, on permute dns les résultts préédents et insi qu'sisse et ordonnée Définition ifole : Γ = {M P, MF + MF' = } Eqution réduite Centre (de smétrie) = Ω milieu de [F, F'] Eentriité e = /, e > Foers F(, ) et F'(, ) Diretries D : =, et D' : Ave = + Asmptotes : Définition ifole = =, et ' : Hperoles = Γ = {M P, MF MF' = } Si l'éqution est = ou enore et, insi qu'sisse et ordonnée. =, on permute dns les résultts préédents 6
.Quelques pplitions prtiques des oniques.prole Pour des réepteurs proliques des rons prllèles à l'e sont onentrés u foer de l prole ette propriété est utilisée dns les ntennes de télévision pr stellites, ertins rdrs, les fours solires, plus pproimtivement, les phres de voitures et.. Ellipse * Dns le métro prisien ertines sttions en profondeur ont une setion prtiellement elliptique (figure), les points gris représentent les foers de l'ellipse. personnes plées sur es foers peuvent prfitement onverser, en ttendnt leur métro, sns être oligées d'élever l voi Etrit du livre "Fulgene Bienvenüe et l onstrution du métropolitin de Pris" Clude Berton et Alendre Ossdzow "Sttions en profondeur L voûte de elles-i l forme d une prfite ellipse [ ]. L ellipse se dessine utour de foers et présente l prtiulrité que tous les sons émis dns un pln trnsversl à prtir d un des foers se regroupent, près réfleion sur l proi oure, sur l utre foer. Lorsque, quelques nnées près l ouverture, les ontrôleurs et ontrôleuses seront logés etement u foers, ils pourront insi, éloignés de 4 m, se prler d un qui à l utre sns esoin d élever l voi". 7