th Internatonal Conference on Computer Integrated Manufacturng CIP 007 0-0 November 007 Analyse de l'exacttude d un Robot Parallèle " Delta " BENTALEB Toufk Ecole Mltare Polytechnque (EMP Labo. Mécanque des Structures BP 7, 6 B.E.B., Alger, Algére. BELOUCRANI Med El Amne Ecole Mltare Polytechnque (EMP Labo. Géne des Matéraux BP 7, 6 B.E.B., Alger, Algére. ENINI Noureddne Ecole Natonale Polytechnque (ENP Labo. Automatque BP 8, El-arrach, Alger, Algére Bentaleb.toufk@yahoo.fr nbelouch@yahoo.fr henn_nour@yahoo.fr Résumé- Les robots parallèles Delta sont de plus en plus utlsés dans les applcatons où la précson a une plus grande mportance. Des méthodes pour évaluer l'exacttude de ces robots sont donc nécessares. L'exacttude des robots parallèles ben conçus, construts et calbrés dépend dans la plupart du temps des erreurs d'entrée (capteurs et erreurs de commande. Cependant, l'ndustre a beson d'une connassance précse des erreurs de sorte maxmum de poston à une confguraton nomnale donnée. Dans cet artcle, on propose une méthode smple basé sur une analyse détallée des erreurs des robots parallèles Delta. Les résultats de la smulaton sont présentés et dscutés. Mots-clés-Robots parallèles Delta ; espace de traval ; analyse de l exacttude. I. INTRODUCTION Les robots parallèles de sont plus en plus utlsés pour la précson de postonnement. Les robots parallèles Delta sont les plus utlsés dans les applcatons ndustrelles, leur exacttude a donc une très grande mportance. Par conséquent, les méthodes smples et rapdes pour calculer l'exacttude d'une concepton donnée de robot sont nécessares afn de les employer dans les procédures d'optmsaton de concepton qu recherchent l'exacttude maxmum. Les erreurs de poston et d orentaton d'un robot parallèle sont dues à pluseurs facteurs : erreurs de fabrcaton, qu peuvent cependant être prses en consdératon par le calbrage ; jeu de denture, qu peut être élmné par le chox appropré des composants mécanques ; la complance, qu peut également être élmnée par l'utlsaton des structures plus rgdes (cependant cec augmenterat l'nerte et dmnuerat la vtesse de fonctonnement ; erreurs des actonneurs, venant de la résoluton fne des encodeurs, des erreurs de capteurs et des erreurs de commande. Par conséquent, les erreurs des actonneurs (erreurs d'entrée sont la source des erreurs la plus sgnfcatve dans un robot parallèle correctement conçu, construt, et calbré []. Nous allons étuder le calculer de l'exacttude d'un robot parallèle en présence unquement les erreurs des actonneurs. Au cours de cet artcle, le terme '' exacttude '' se rapportera donc aux erreurs de poston d'un robot parallèle qu est soums unquement aux erreurs des actonneurs. L'approche classque consste à émettre des erreurs à l entrée pus de les récoltés à la sorte : δp= J dq ( Où le dq représente le vecteur des erreurs des actonneurs (entrée, le δp le vecteur des erreurs de sorte et J est la matrce de Jacobenne du robot [7]. Cependant, cette méthode donnera unquement une approxmaton de l'erreur maxmale de sorte. En effet, comme nous allons le vérfer dans cet artcle, avec une confguraton nomnale donnée et quelques rangs d'ncerttude pour les varables des actonneurs, une erreur maxmum locale de poston se produse non seulement aux dfférents ensembles de varables des actonneurs, mas ces varables des actonneurs ne sont pas nécessarement toutes aux lmtes de leurs rangs d'ncerttude. En rason des exacttudes d actonneurs de jusqu un ±ε, les varables réelles des artculatons actves sont quelque part dans les ranges [q - ε, q + ε] avec ε= 0 - degré. Dans cet artcle, nous allons analyser l exacttude des robots parallèles Delta [], pour cec nous allons procéder comme sut : En premer temps, nous allons présenter une descrpton de ce type de robots. Ensute, une analyse de leurs modèles géométrques drect et nverse. Pus, nous détermnerons leur espace de traval. Vent alors la parte qu présentera la méthode de calcul des erreurs de postonnement de l organe moble tout en explctant l erreur maxmale. Enfn une concluson, sur la méthode de calcul des erreurs maxmales locales de postonnement sera donnée. Fg.. Robot Delta [R(S/S].
th Internatonal Conference on Computer Integrated Manufacturng CIP 007 0-0 November 007 II. DESCRIPTION DU ROBOT PARALLELE DELTA Le Robot Delta est né d'un beson ndustrel dont les performances vsées (cadence de traval élevée, grande précson, pussance consommée fable. Le robot Delta Fg. a une structure plenement légère, l est consttué d'une base fxe et de plate-forme moble appelée auss nacelle. Elles sont lées par tros chaînes cnématques dentques consttuées d'un bras et de deux barres parallèles formant un parallélogramme. Chaque bras est entraîné par un moteur-réducteur, soldare de la base. La nacelle reste toujours parallèle à la base, les mouvements de translaton de cette dernère résultent du mouvement combné des tros actonneurs [6]. III. ANALYSE DES MODELES GEOMETRIQUES DIRECT ET INVERSE Les dfférents ponts nécessares à la modélsaton de la structure sont les suvants Fg. : A : centres des lasons motorsées entre les bras et la base ( =,,, B : centres des lasons cardans entre les bras et les parallélogrammes, C : centres des lasons cardans entre les parallélogrammes et la nacelle, O 0 : barycentre des ponts A, O: barycentre des ponts C. Le pont O 0 est l orgne du repère de base R 0, l axe x 0 passe par le pont A et l axe z 0 est normal au plan défn par les ponts A. Les paramètres dmensonnels du modèle sont les longueurs La = 60 mm des bras, Lb = 80 mm des avants bras ans que la dfférence R entre les rayons de base et de nacelle (R b = 9 mm et R n =0 mm. Les paramètres angulares sont, outre les varables artculares α de chaque bras, les angles θ (0, 0 et 0 qu donnent l orentaton des axes z de chaque jont actonné de révoluton aux ponts A. Les postons des ponts B et C sont défnes dans le repère de base R 0 par les transformatons homogènes suvantes (avec R et T qu représentent respectvement les matrces homogènes de rotaton et de translaton. O O PB = R(z,θ.T(x, Rb. R(y,α P = T(x, X.T(y,Y.T(z, Z. R(z,θ C B B A A Nacelle z 0 O 0 C C y0 x 0 A C.T(x, La.T(x, Bras B R n Avant-Bras ( A. Modèle Géométrque Drect (MGD Pour la modélsaton géométrque des robots à structures fermées, une méthode proposée par Khall et Dombre [8] conssterat à ouvrr les boucles cnématques au nveau de la nacelle pus à étuder chaque chaîne séparément en foncton des contrantes mposées par les autres chaînes (contrantes de fermeture des boucles. Mas le fat que la nacelle n effectue que des mouvements de translaton permet une formulaton plus smple des modèles géométrques. Cette smplfcaton proposé par Clavel [] est obtenue par une translaton de l ensemble bras-barres parallèles de telle sorte que les ponts O et A soent confondus, de même pour les ponts B et P Fg.. Fg.. Chaîne cnématque équvalente en smulant la nacelle par un pont. Clavel [] propose une smplfcaton basée sur les relatons de la géométre analytque, elle consste à exprmer les ntersectons d une sphère avec cercles. Le pont P peut être consdéré comme le centre d une sphère de rayon Lb, les ponts A sont les centres de cercles de rayon La appartenant au plan π et les ponts C sont donnés par les ntersectons des tros cercles de rayon La avec la sphère de rayon Lb centrée en P. Les projectons dans le repère de la base donnent les coordonnées du pont C : [( R La cosα cosθ, ( R + La cosα snθ, La snα ] + ( L équaton de la sphère de centre P (x, y, z et de rayon Lb est : ( X x + ( Y y + ( Z z = Lb ( Pour les ponts C appartenant à la sphère, remplaçons-les coordonnées de ( dans ( : Fg.. Modélsaton de la structure.
th Internatonal Conference on Computer Integrated Manufacturng CIP 007 0-0 November 007 D où : x y (( R + La cosα cosθ x + (( R + La cosα snθ y + ( La snα z = Lb x ( R + La cosα ( R + La cosα = Lb La snθ + z R cosθ + y + z La snα R La cosα L équaton (6 peut être résolue selon x, y, z pour obtenr le modèle géométrque drect et selon α pour le modèle nverse. Pour smplfer l écrture du MGD, nous ntrodusons les enttés suvantes : D = Lb + La + R + R La cosα E = ( R + La cosα cosθ F = ( R + La cosα snθ = E tgθ G = La snα (7 = EG EG EG + EG + EG EG = EF + EF + E F E F EF + EF = ED + ED + E D E D ED + ED = F D F D F D + F D + F D F D = F G + F G + FG FG FG + FG Alors : x = z + (8 ( (6 y = z + (9 Remplaçons les expressons de x et y dans l équaton (6 pour = : Avec : M = N = M ± z = L = + + + M L + L N E + E + F G F + D (0 ( B. Modèle Géométrque Inverse (MGI Le modèle géométrque nverse vse le calcul des coordonnées artculares α correspondant à une stuaton donnée (x, y, z de l organe termnal. Il faut donc résoudre l équaton (6 selon les varables artculares motorsées, la résoluton donne l expresson suvante [] []. R R S z ± ( z + R S + Q + Q R α La La tg = R R S Q La Avec : Q = x cosθ + y snθ S = ( x y z + Lb La R La IV. ESPACE DE TRAVAIL ( ( Le calcul de l espace de traval est évdement très mportant dans la phase de concepton. La représentaton de l espace de traval est généralement basée sur l llustraton en dmensons [] de l espace accessble par l extrémté de l organe termnal. Dans notre cas, la zone accessble par le centre du plateau moble (centre de la nacelle est dépendante de l orentaton de ce plateau. Dans cet espace, les contrantes qu lmtent le mouvement du robot sont de tros types : les lmtatons sur les coordonnées artculares : les artculatons actves ont un angle mnmum et un angle maxmum. les butées mécanques sur les artculatons passves : artculaton de cardan et rotule. les collsons entre segments. Tout ça pour évter les confguratons sngulères. On a lmté les angles γ, β et α Fg., comme sut : γ γ ( max γ max ( α + β mn α + β ( α + β max ( Les expressons des angles γ et β sont données à partr du modèle géométrque nverse MGI de la chaîne drecte [6] comme sut : x snθ y cosθ γ = arcsn (6 Lb z + La snα cosθ β = arctg (7 R + La cosθ cosα + Lb snγ snθ x La fgure Fg., représente l approxmaton de l espace de traval en D (lmtatons nclus.
th Internatonal Conference on Computer Integrated Manufacturng CIP 007 0-0 November 007 Fg.. Approxmaton de l espace de traval en D. Fg. 6. Représentaton du cube lmtant le domane d étude dans l espace de traval. V. CALCUL DES ERREURS DE POSITIONNEMENT DE L ORGANE MOBILE La procédure suve pour le calcul des erreurs de postonnement est présenté dans l équaton (. L observaton des erreurs dans le plan correspondant à z=-00 mm Fg., révèle que la lmtaton adoptée sur les artculatons motorsées a montré son effcacté. En effet, au-delà de l espace de traval lmté, l y a une augmentaton sgnfcatve dans l erreur de l organe termnal du robot. Pour ce la on a chose un cube de longueur de 00 mm au centre de l espace de traval du robot Fg. 6, pour la smulaton. Fg. 7. Erreur de postonnement de l organe termnal en focton de la poston nomnale de x et y dans le plan z=-00 (mm. Fg.. Erreur de postonnement de l organe termnal en focton de la poston nomnale de x et y dans le plan z=-00 (mm. Les erreurs de postonnement à travers le domane d étude dans l espace de traval pour dfférentes poston de z (-00, -00, -00 et -600 mm sont présentées dans les fgures 7, 8, 9, et 0. Fg. 8. Erreur de postonnement de l organe termnal en focton de la poston nomnale de x et y dans le plan z=-00 (mm.
th Internatonal Conference on Computer Integrated Manufacturng CIP 007 0-0 November 007 Fg. 9. Erreur de postonnement de l organe termnal en focton de la poston nomnale de x et y dans le plan z=-00 (mm. [] J-P. Merlet, Computng the worst case accuracy of a PKM over a workspace or a trajectory, The th Chemntz Parallel Knematcs Semnar, Chemntz, Germany, pp. 8 96, 006. [] J.-P. Merlet, D. Daney, Dmensonal synthess of parallel robots wth a guaranteed gven accuracy over a specfc workspace, n: IEEE Internatonal Conference on Robotcs and Automaton, Barcelona, Span, 00. [] J-P. Merlet, Détermnaton de l espace de traval d un robot parallèle pour une orentaton constante, Mech. Mach.Theory vol. 9, No. 8, pp. 099-, 99. [] R. Clavel, Concepton d un robot parallèle rapde à degrés de lberté, Thèse Doctorat N 9, Ecole Polytechnque fédérale de Lausanne (EPFL, 99. [6] R. Clavel, Delta, a fast robot wth parallel geometry, 8th Internatonal Symposum on Industral Robot, Lausanne, pp. 9 00, 6 8 Aprl 988. [7] T. Bentaleb, K. Zennad, et M. A. Belouchran, Etalonnage Géométrque du Robot Parallèle "Delta" Méthodes et Applcatons, Conférence sur les Scences de la Mécanque, Oum El Bouagh, Algére, 9- Novembre 006. [8] W. Khall, et E. Dombre, Modélsaton et commande des robots, Édtons ermes, Pars, 999. Fg. 0. Erreur de postonnement de l organe termnal en focton de la poston nomnale de x et y dans le plan z=-600 (mm. VI. CONCLUSION Dans cet artcle, nous avons analysé l exacttude d un robot parallèle delta. On a procédé par la détermnaton de l erreur de postonnement de l organe termnal de ce robot dans leur espace de traval restrent par un cube pour dfférentes postons suvant des plans perpendculare de l axe z. Notre analyse démontre que notre robot effectue l erreur maxmale au centre du plan perpendculare au déplacement. Cette erreur est causée prncpalement par l ncerttude de postonnement des organes artculares. REFERENCES [] D. Yu, D. Cong et J. Wehal, Parallel Robots Pose Accuracy Compensaton Usng Artfcal Neural Networks, dans Proceedngs of the Fourth Internatonal Conference on Machne Learnng and Cybernetcs, Guangzhou, pages 9 à 98, Août 00.