1 UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérque Elémentare FchedeTDno2 1 Que peut-on dre d une méthode tératve dont la matrce a un rayon spectral nul? 2 Etuder les méthodes de Jacob et Gauss-Sedel pour les systèmes Ax b dans le cas des matrces A suvantes A 1 1 2 2 1 1 1, A 2 2 1 1 2 2 2 et A 3 1 a a a 1 a où a R 2 2 1 1 1 2 a a 1 3 Montrer que la méthode de Gauss-Sedel est convergente dans le cas d un système lnéare Ax b avec A une matrce à dagonale strctement domnante 4 Sot x et y dans R n et A, B dans M n (R), onpose: sx (x 1,,x n ) T, y (y 1,,y n ) T, x y s et seulement s x y pour tout 1,,n,et,sA (a,j ), B (b,j ), A B s et seulement s a,j b,j pour tout tout j On pose auss x ( x 1,, x n ) T, A ( a,j ) On dra que A est postve s 0 A (e a,j 0 pour tout, toutj) (a) Montrer que s x y et A 0, alorsax Ay (b) Sot B 0 Montrer que s ρ(b) < 1, (I B) 1 exste et est postve Récproquement, en consdérant une valeur propre λ quelconque de B, prouverques(i B) 1 0 alors ρ(b) < 1 Soent A, B, C dans M n (R) On dt que A B C est un éclatement réguler de A s C 0 et s B est nversble avec B 1 0 (c) On suppose A nversble, A 1 0 et A B C un éclatement réguler On pose H B 1 C En utlsant les relatons (I + H + + H m )(I H) I H m+1 et B 1 (I H)A 1,prouverque O (I + H + + H m )B 1 (I H m+1 )A 1 A 1 pour tout enter m 0 En dédure que ρ(b 1 C) < 1, pus que les tératons x k+1 B 1 Cx k + B 1 b convergent vers A 1 b pour tout chox de x 0 (d) Sot A nversble telle que A 1 0 et a,j 0 dès que 6 j Montrer que la méthode de Gauss- Sedel pour résoudre le système Ax b converge (on vérfera tout d abord que a, > 0 pour tout 1,n) 5 (a) Soent α et β deux réels, on consdère la matrce n n (pour n 2) A(α, β) (a j ) défne par {1, 2,,n} j {1, 2,,n} ½ aj α a β s 6 j snon On note I la matrce dentté d ordre n Montrer que le détermnant de A(α, β) est égal à (α, β) (β +(n 1)α)(β α) n 1 Donner l expresson du polynôme caractérstque de A(α, β) que l on notera P (α,β) (λ) (b) On suppose dans tout le reste de l exercce que A(α, β) est nversble Résoudre le système A(α, β)x b dans les deux cas suvants: toutes les composantes de b valent 1 b est un vecteur quelconque (c) On suppose que β 6 0et on applque la méthode de Jacob au système A(α, β)x b
2 Calculer la matrce d tératon B J ntervenant dans la méthode de Jacob Quel est le rayon spectral de B J? Donner une condton nécessare et suffsante sur la matrce A(α, β) pour que la méthode de Jacob converge v Montrer que s la méthode de Jacob converge, alors celle de Gauss-Sedel converge auss 6 Sot A M n (R) unematrcesymétrquedéfne postve dont les valeurs propres sont notées 0 < λ 1 λ 2 λ n On consdère l applcaton J de R n dans R défne par J (v) 1 2 vt Av b T v où b est un vecteur fxé On note x l unque soluton du système lnéare Ax b (a) Montrer que nf J (v) J (x) v Rn Quelles condtons dovent satsfare M et sa transposée pour que ce résultat reste valable lorqu on ne suppose plus la matrce symétrque défne postve (b) On consdère la méthode tératve suvante pour la résoluton du système lnéare Ax b: x k+1 x k ω (Ax k b) x 0 η R où ω est un paramètre strctement postf Cette méthode est-elle adaptée au problème? Donner une condton nécessare et suffsante pour que la méthode sot convergente Montrer que l on peut chosr un ω optmal, pour lequel on donnera une majoraton de l erreur kx x k k 2 7 Sot A M n (R) une matrce symétrque défne postve de la forme A I L U où L est une matrce trangulare nféreure à dagonale nulle (et U T L) Pour b donné dans R n, on cherche à résoudre Ax b à l ade de la méthode tératve suvante, x (0) étant donné dans R n, (a) Mettre la méthode précédente sous la forme (I L) x (k+ 1 2) Ux (k) + b (I U) x (k+1) Lx (k+ 1 2) + b x (k+1) B d x (k) + c et explcter B d et c (b) On pose B (I L)(I U) et C LU Démontrer que A B C est un éclatement P-réguler de A (c) En dédure que la méthode présentée est convergente 8 Soent A 1 et A 2 deux matrces défnes postves de M n (R) e Pour b donné, on veut résoudre le système (a) Montrer que (1) admet une soluton unque x T A 1 x>0 et x T A 2 x>0 pour tout x 6 0 R n (A 1 + A 2 ) x b (1)
3 (b) Sot (r k ) k N une sute de nombres rééls postfs On consdère la méthode tératve suvante, x (0) étant donné dans R n (A 1 + r k I) x (k+ 1 2) (rk I A 2 ) x (k) + b (2) (A 2 + r k I) x (k+1) (r k I A 1 ) x (k+ 1 2) + b (3) On pose ε k x (k) x Montrer que l on a k 1 Y ε k T (r j ) ε 0 (4) où T (r j ) est une matrce à détermner (c) On suppose mantenant que k, r k r On pose Trouver une relaton entre (T (r)) k et Montrer que j0 et (r) (A 2 + ri) T (r)(a 2 + ri) 1 ³ k T e (r) et (r) (ri A 1 )(ri + A 1 ) 1 (ri A 2 )(ri + A 2 ) 1 (5) Montrer que ³ ρ T e (r) ρ (T (r)) (6) (d) On suppose que les matrces A 1 et A 2 sont symétrques et on note λ (1) et λ (2) leurs valeurs propres respectves Détermner les valeurs propres de (ri A 1 )(ri + A 1 ) 1 Montrer que l on a r λ (1) ρ (T (r)) max 1,,n r + λ (1) max r λ (2) 1,,n r + λ (2) < 1 (7) En dédure un chox optmum du paramètre r 9 Exercce corrgé Sot A une matrce symétrque défne postve de dmenson n Nous allons nous ntéresser à la dagonalsaton de A par la méthode de Gauss (a) Montrer que le pvot maxmal β def max 1,j n A j est nécessarement sur la dagonale et qu l correspond à une composante postve, e β max 1 n (A ) (b) Sot P la matrce de permutaton qu amène le pvot maxmal en 1ère lgne et 1ère colonne, e µ β b PAP T T b B où b R n 1 et B M n 1 (R) Montrer qu une tératon de Gauss revent à fare le calcul suvant µ µ µ µ β 0 1 0 β b T 1 l T 0 M l I b B 0 I où l est un vecteur de dmenson n 1 que l on determnera Exprmer M en foncton de B et de β (c) Montrer que M est symétrque défne postve
4 (d) En dédure que max M j β 1,j n (e) En conclure que dans la méthode de Gauss de dagonalsaton d une matrce symétrque défne postve, la sute des pvots est décrossante mnorée par 0 (f) Quel est l ntérêt de permutter lgnes et colonnes et quel type de décomposton de A obtent-on s on s nterdt toute permutaton Correcton (a) Supposons qu l sot en dehors de la dagonale, par exemple égal à A j A j εa j, (e εe j ) T A (e εe j ) A εa j εa j + A jj (A A j )+(A jj A j ) < 0 ce qu est une contradcton avec A symétrque défne postve Le pvot est sur la dagonale et correspond évdemment avec un coeffcent postf pusque A e T Ae > 0 Une tératon de Gauss consste à fare apparatre des 0 sur la 1ère lgne et la 1ère colonne en dehors de la dagonale Fare apparatre des 0 sur la premère lgne revent à retrancher à chacune des colonnes 2 à n la premère colonne multplée par un facteur adéquat, ce qu se tradut matrcellement par une multplcaton à drote, e c 11 c 12 c 1n 1 c 12 /c 11 c 1n /c 11 c 11 0 0 c 21 c 22 c 2n 0 1 0 c 21 ec 22 ec 2n c n1 c n2 c nn 0 0 1 c n1 ec n2 ec nn et on fat apparatre de même des 0 sur la premère colonne en multplant à gauche S on effectuelecalculblocparbloc: µ µ µ µ µ 1 0 β b T 1 l T 1 0 β βl T + b T l I b B 0 I l I b bl T + B µ β βl T + b T βl + b βll T + lb T + bl T + B et donc βl + b 0donne l 1 β b Il vent du calcul précédent, en remplaçant l par son expresson en foncton de β et de b M B + β µ 1β µ b 1β bt 1 β bbt + b µ 1β bt sot M B 1 β bbt µ 0 (b) Sot ξ R n 1 non nul et vérfons que ξ T Mξ > 0 Onformex ξ et: µ β 0 ξ T Mξ x T x x 0 M LPAP T L T x P T L T x T A P T L T x > 0 µ 1 0 en notant L, et cec car A est symétrque défne postve et P l I L T x 6 0pusque P et L sont nversbles et x 6 0 (c) D après la premère queston, M étant symétrque défne postve, max j M kk 1,j n pour un certan k entre 1 et n 1 Mas 0 <M kk e T k Me k e T k Be k 1 e T β k b b T e k Bkk 1 β b2 k B kk β pusque β est le pvot maxmal de PAP T
5 (d) Ce que l on vent de fare est la premère étape d une récurrence, fasant ntervenr des matrces symétrques défnes postves de dmensons n, n 1, ; 1 et on a vu que le pvot de la matrce de dmenson n k est plus pett ou égal à celu de la matrce de dmenson n k +1,ettoujours postf pusque les matrces sont symétrques défnes postves, d où la concluson (e) L ntérêt de permutter lgnes et colonnes est evdemment numérque car cela permet de chosr a tout momentlepvotleplusgrandetdoncdemnmserl effet des erreurs de calcul S on s nterdt ce type de permutaton, on vot qu à chaque étape, on multple A à gauche par une matrce trangulare nféreure et à drote par sa transposée donc on aura à la fn delarécurrence D LAL T où L est trangulare nféreure et D dagonnale, sot encore, en posant L L 1 A LDL T et donc L et DL T est la décomposton LU de A et L D et DL T est sa décomposton de Cholesky 10 Thème d étude L ensemble des résultats suvants consttue le théorème de Perron-Frobénus Une matrce A est dte décomposable s par défnton l exste une matrce de permutaton P telle que µ B C PAP 1 0 D où B et D sont des matrces carrées de dmenson non nulle Dans le cas contrare, A est dte ndécomposable Pour toute matrces ou vecteurs A et B, on notera A B (resp >, <, ) s tous les coeffcents de la matrce ou du vecteur A sont (resp >, <, ) à ceux de B (a) Sot A 0 une matrce de dmenson n On note G le graphe de sommets {1, 2,,n} et dont les arcs orentés sont les couples (, j) tels que a j > 0 Montrer qu l exste un chemn de longueur l relant 0 à j 0 s et seulement s le coeffcent a (l) j de Al est > 0 (b) Sot A 0 une matrce ndécomposable de dmenson n Dédure de (a) que (I + A) n 1 > 0 (c) Posons r x mn 1,,n (P n j1 a ) jx j x et r sup{r x ; x 0,x6 0} Montrer que r est valeur propre de A Montrer qu l lu correspond un vecteur propre u>0 (d) Montrer que le rayon spectral de A est r (e) Montrer que s A B et A 6 B alors ρ (A) < ρ (B) (f) Montrer que ρ (A) est la seule valeur propre ayant un vecteur propre 0 (g) Montrer que ρ (A) est une valeur propre smple de A (h) Sot A une matrce postve Montrer que ρ (A) est valeur propre de A et qu l lu corespond un vecteur propre u 0