Bibliothèque d eercices Éocés L Feuille 5 Clculs d itégrles Utilistio de l défiitio Eercice Soit f l foctio défiie sur [, 3] pr si = si < < f() = 3 si = si < 4 si < 3 Clculer 3 f(t)dt Soit [, 3], clculer F () = f(t)dt 3 Motrer que F est ue foctio cotiue sur [, 3] L foctio F est-elle dérivble sur [, 3]? Eercice Motrer que les foctios défiies sur R, f() =, g() = et h() = e, sot itégrbles sur tout itervlle fermé boré de R E utilist les sommes de Riem, clculer les itégrles f()d, g()d et h(t)dt Eercice 3 Clculer l itégrle de f : [, b] R comme limite de sommes de Riem- Drbou ds les cs suivts : f() = si et f() = cos sur [, π] et k = kπ, k =,,,, g() = sur [, b] R + et k = q k, k =,,, (q étt à détermier), 3 h() = α sur [, b], α >, et k = + (b ) k, k =,,, Eercice 4 Les foctios suivtes sot-elles itégrbles u ses de Riem? f() = [] sur [, ] {[ ] si <, g : [, ] R, g() = si = { 3 h : [, ] R, h() = si ( ) si <, si = { si [, ] Q, 4 k : [, ] R, k () = si [, ]\Q
Eercice 5 Soit f : [, b] R ue foctio itégrble sur [, b] ( < b) O suppose que f est cotiue e u poit [, b] et que f( ) > Motrer que b f()d > E déduire que si f est ue foctio cotiue positive sur [, b] telle que b f()d = lors f est idetiquemet ulle O suppose que f est cotiue sur [, b], et que b f()d = Motrer que qu il eiste c [, b] tel que f(c) = 3 Applictio : o suppose que f est ue foctio cotiue sur [, ] telle que f(t)dt = Motrer qu il eiste d [, ] tel que f(d) = d Eercice 6 Soit f : [, b] R cotiue, positive ; o pose m = sup{f(), [, b]} Motrer que ( b ) lim (f()) d = m Eercice 7 Soit f : [, ] R ue pplictio strictemet croisste telle que f() =, f() = Clculer : Clculs de primitives lim f (t)dt Eercice 8 Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : ) rct d b) t d c) d d) d l + e) rcsi d f) d g) 3 + ep ( ) d h) 4 l d i) d j) cos ep d + ep d k) + + + d l) 3 4 Eercice 9 Clculer les primitives suivtes : si si + cos d et cos si + cos d Eercice Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : ) si 8 cos 3 d b) cos 4 d c) cos 3 si d d) + si + cos d 3 si e) d f) d g) d h) si cos cos + 3 t 7 + t d 3 Foctios défiies pr ue itégrle Eercice Soit f : R R ue foctio cotiue sur R et F () = f(t)dt Répodre pr vri ou fu u ffirmtios suivtes : F est cotiue sur R
F est dérivble sur R de dérivée f 3 Si f est croisste sur R lors F est croisste sur R 4 Si f est positive sur R lors F est positive sur R 5 Si f est positive sur R lors F est croisste sur R 6 Si f est T -périodique sur R lors F est T -périodique sur R 7 Si f est pire lors F est impire Eercice Soiet u et v deu foctios dérivbles sur R et f ue foctio cotiue sur R O pose F () = v() u() Clculer l dérivée de G() = f(t)dt Motrer que F est dérivble sur R et clculer s dérivée dt + t + t 4 Eercice 3 Soit F () = l t dt Quel est l esemble de défiitio de F F est-elle cotiue, dérivble sur so esemble de défiitio? Détermier lim + F () e comprt F à H() = t l t dt 4 Clculs d itégrles Eercice 4 Clculer les itégles suivtes : ) d) g) rct d b) + (rccos ) d e) l d h) Eercice 5 Clculer les itégrles suivtes : ( + ) rct d c) ( + d ) f) d + 4 + 7 i) π 3 si d 4 d 3 + ( + ) d π d et + si π si + si d Eercice 6 (Itégrles de Wllis) Soit I = Motrer que (I ) est positive décroisste π si () d si N Motrer que I + = + + I et epliciter I, e déduire ( ) d 3 Motrer que I I + 4 A l ide de ( + ) I I + motrer que I π 5 E déduire 3(+) 4() π 3
Eercice 7 Soit I = + d E mjort l foctio itégrée, motrer que lim + I = Clculer I + I + ( ) ( ) k+ 3 Détermier lim + k k= 5 Clculs d ires Eercice 8 Clculer R R R d (o poser θ = rcsi R disque de ryo R ) et e déduire l ire d u Eercice 9 Clculer l ire de l régio délimitée pr les courbes d équtio y = et y = + 6 Limites de suites et itégrles Eercice Clculer l limite des suites suivtes : u = k + ; v = k= k= ) ( + k 4
Bibliothèque d eercices Idictios L Feuille 5 Clculs d itégrles Idictio Il fut se souveir de ce que vut l somme des premiers etiers, l somme des crrés des premiers etiers et de l somme d ue suite géométrique L formule géérle pour les sommes de Riem est que b f()d est l limite (qud + ) de S = b k= f( + k b ) Idictio 3 O pourr peser que le cosius et le sius sot les prties réelles et imgiires de l foctio t e it O cherch doc d bord à clculer π eit dt O choisir q tel que q = b Idictio 5 Reveir à l défiitio de l cotiuité e pret ε = f( ) pr eemple Soit f est tout le temps de même sige (et lors utiliser l première questio), soit ce est ps le cs (et lors utiliser u théorème clssique) 3 O remrquer que b f(t) dt = b (f(t) t)dt Idictio 6 Essyez d ecdrer b f(t) dt m Idictio 7 Il s git de motrer que l limite vut Pour u α > fié o séprer l itégrle e deu prtie selo que f est plus petit ou plus grd que α Idictio 9 Clculer l somme et l différece de ces deu itégrles Idictio Se rmeer à ue compositio de foctios ou reveir à l défiitio de l dérivée vec le tu d ccroissemet Idictio 3 Soit fire comme l eercice, soit séprer l itégrle e deu, et pour l ue fire u chgemet de vrible u = H() se clcule eplicitemet et motrer qu e fit H est ue foctio costte, esuite il fut comprer H() et F () Idictio 6 Fire ue itégrtio pr prties pour I + Pour le clcul eplicite o distiguer le cs des pirs et impirs 3 Utiliser l décroissce de I pour ecdrer I + I 4 5 Idictio 7 Mjorer pr 3 O pourr clculer (I + I ) (I + I ) + (I + I 3 ) Idictio O pourr essyer de recoître des sommes de Riem Pour le produits composer pr l foctio l
Bibliothèque d eercices Correctios L Feuille 5 Clculs d itégrles Correctio O trouve 3 f(t)dt = +3 Il fut tout d bord trcer le grphe de cette foctio Esuite l vleur d ue itégrle e déped ps de l vleur de l foctio e u poit, c est-à-dire ici les vleurs e =, =, = ot ucue ifluece sur l itégrle Esuite o reviet à l défiitio de 3 f(t)dt : pour l subdivisio de [, 3] défiie pr { =, =, =, 3 = 3}, o trouve l vleur de l itégrle (ici le sup et l if sot tteit et égu pour cette subdivisio et toute subdivisio plus fie) C est l même chose, mis u lieu d ller jusqu à 3 o s rrête à, o trouve si F () = 3 si < 9 + 4 si < 3 3 Les seuls poits à discuter pour l cotiuité sot les poits = et =, mis les limites à droite et à guche de F sot égles e ces poits doc F est cotiue Pr cotre F est ps dérivble e = i e = Correctio E utilist les sommes de Riem, o sit que f()d est l limite (qud + ) de k= f( k ) Notos S = k= f( k ) Alors S = k= k= k = ( ) O utilisé que l somme des etiers de à vut ( ) Doc S ted vers Doc f()d = Même trvil : g()d est l limite de S = k= (+ k + k k= g( + k ) = k = k= k+ k= ( + k ) = ) E séprt l somme e trois ous obteos : S = (+ k= k ) = + ( ) + ( )( ) Doc à l limite o trouve S 3 6 ++ = 7 3 3 Doc g()d = 7/3 Remrque : o utilisé que l somme des crrés des etiers de à est ( )( ) 6 3 Même chose pour h(t)dt qui est l limite de S = k= g( k) = k= e k = k= (e ) k Cette derière somme est l somme d ue suite géométrique, doc S = (e ) = e = ( e e e ) qui ted vers e e Pour obteir cette derière limite o remrque qu e post u = o = e eu qui ted vers lorsque u (ce u qui est équivlet à + ) Correctio 3 O clcul d bord π eit dt Pr le théorème de Riem-Drbou c est l limite de S = ( k+ k ) f( k ) k=
Pour k = kπ (o obtiet e fit u somme de Riem) : S = π k= e ikπ π = k= (e iπ ) k Ce qui est ue somme géométrique de somme S = ( i) π e i π L limite de ce tu d ccroissemet est +i (e post u = π et e remrqut que eiu i qud u ) u Doc π eit dt = + i Mis e it = cos t + i si t doc π cos t dt + π si t dt = + i Pr idetifictio des prties réelles et imgiires o trouve : π cos t dt = et π si t dt = O veut k = q k ce qui doe bie =, mis il fut ussi = b doc q = b, doc q = b soit q = ( b ) Nous cherchos l limite de S = k= ( k+ k ) g( k ) Il est est ps trop dur de motrer que S = (q ) Pour trouver l limite qud + c est plus délict cr q déped de : S = (q ) = (( b ) ) = (e l b ) E post u = et e remrqut que l o obtiet u tu d ccroissemet o clcule : S = u (eu l b ) l b = l b l Doc b dt t = l b l 3 À l ide des sommes géométrique est des tu d ccroissemet o trouve b α t dt = eαb e α α Correctio 4 No 3 No 4 No Oui Correctio 5 Écrivos l cotiuité de f e vec ε = f( ) > : il eiste δ > tel que pour tout t [ δ, + δ] o it f(t) f( ) ε Avec otre choi de ε cel doe pour t [ δ, + δ] que f(t) f( ) Pour évluer b f(t) dt ous l coupos e trois morceu pr liérité de l itégrle : b f(t) dt = δ f(t)dt + +δ δ f(t)dt + b +δ f(t)dt Comme f est positive lors pr positivité de l itégrle δ f(t)dt et b f(t)dt +δ Pour le terme du milieu o f(t) f( ) doc +δ f(t)dt +δ f( ) δ dt = δ f( ) δ (pour l derière équtio o clcule juste l itégrle d ue foctio costte!) Le bil de tout cel est que b f(t) dt δ f( ) > Doc pour ue foctio cotiue et positive f, si elle est strictemet positive e u poit lors b f(t) dt > Pr cotrpositio pour ue foctio cotiue et positive si f(t) dt = lors f est idetiquemet ulle b Soit f est tout le temps positive, soit elle tout le temps égtive, soit elle chge (u mois u fois) de sige Ds le premier cs f est idetiquemet ulle pr l première questio, ds le secod cs c est preil (e ppliqut l première questio à f) Pour le troisième cs c est le théorème des vleurs itermédiires que ffirme qu il eiste c tel que f(c) =
3 Posos g(t) = f(t) t Alors g(t)dt = f(t)dt = Doc pr l questio précédete, g étt cotiue, il eiste d [, ] tel que g(d) =, ce qui est équivlet à f(d) = d Correctio 6 Notos I = b f(t) dt Comme f(t) m pour tout t [, b] lors I Ceci m implique que lim + I Fios α > (ussi petit que l o veut) Comme f est cotiue et m est s bore supérieure sur [, b] lors il eiste u itervlle [, y], ( < y), sur le quel f(t) m α Comme f est positive lors y f(t) y ( ) (m α) m α I dt = (y ) m m m Doc I (y ) m α Qud + o (y ), doc à l limite ous obteos m lim + I m α m Comme α est quelcoque, ous pouvos le choisir ussi proche de de sorte que m α est ussi m proche de que désiré Doc lim + I E coclusio ous trouvos que lim + I = ce qui étit l églité recherchée Correctio 7 Soit α > fié Soit < < tel que pour tout [, ], f() α Ce eiste bie cr f est strictemet croisste et f() =, f() = Sépros l itégrle e deu : f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt ( α) dt + dt ( α) + ( ) ( α) + ( ) cr Soit mitet doé u ε >, o choisit α > tel que ε (e remrqut que si α lors (α) ), puis il eiste ssez grd tel que ( α) ε Doc pour tout ε > il eiste ssez grd tel que f (t)dt ε Doc f (t)dt Correctio 8 - rct d = rct l ( + ) + c sur R (itégrtio pr prties) b- t d = t + c sur ] π + kπ, π + kπ[ c- d = l l + c sur ], [ ], + [ (chgemet de vrible : u = l ) l d- + d = ( ) ( + ) 3 + c sur ], + [ (chgemet de vrible : u = + ou itégrtio pr prties) e- rcsi d = rcsi + + c sur ], [ (itégrtio pr prties) f- d = l (3 ep + ) + c sur R (chgemet de vrible : u = ep ) 3+ep( ) 3 g- 4 d = rccos ( ) + c sur ], 4[ (chgemet de vrible : u = ) h- l d = rcsi (l ) + c sur ], e[ (chgemet de vrible : u = l) e i- +ep d = l ( + ep + ) + c sur R (chgemet de vrible : u = ep + ) j- d = l ++ ( + + ) ( ( 3 rct 3 + ) ) + c sur R k- + d = l + + 6 l 4 + c sur R \ {, 4} (décompositio e élémets 3 4 5 5 simples) l- cos ep d = (cos + si ) ep + c sur R (deu itégrtios pr prties) 3
Correctio 9 si d = ( l cos + si ) + c sur R si +cos cos d = ( + l cos + si ) + c sur R (e clcult l somme et l différece) si +cos Correctio - si 8 cos 3 d = 9 si9 si + c sur R b- cos 4 d = si 4 + si + 3 + c sur R 3 4 8 c- cos 3 si d = 4 cos4 + c sur R d- d = l cos si +cos +c = l t +c sur ]kπ, (k + ) π[ (chgemet de vrible u = cos ou u = t ) e- d = l ( +si cos si + c = l t + ) ] π 4 + c sur π + kπ, π + kπ[ (chgemet de vrible u = si ou u = t ) f- 3 si d = 7 l ( si ) + l + si + c sur R \ { π [π], π [π]} (chgemet de vrible u = si ) cos +3 t 5 3 3 g- d = 7 + l t + 7 + l cos +c sur R\{ rct ( 7) + kπ, π + kπ, k Z} 7+t 5 5 5 (chgemet de vrible u = t ) h- d = Arct +si +cos u = t(/)) Correctio Vri Vri ( +t(/) ) + c sur R \ {kπ, k Z} (chgemet de vrible 3 Fu! Attetio u vleurs égtives pr eemple pour f() = lors F est décroisste sur ], ] et croisste sur [, + [ 4 Vri 5 Vri 6 Fu Fire l clcul vec l foctio f() = + si() pr eemple 7 Vri Correctio Commeços plus simplemet vec l foctio H() = v() f(t)dt E fit H est l compositio de l foctio v() vec l foctio G : f(t)dt : H = G v L foctio v est dérivble et l foctio G ussi (c est ue primitive) doc l composée H = G v est dérivble, de plus H () = v () G (v()) E prtique comme G () = f() cel doe H () = v ()f(v()) Remrque : Il est ps écessire de coître cette formule mis il est importt de svoir refire ce petit risoemet O motrerit de même que l foctio f(t)dt est dérivble de dérivée u() u ()f(u()) Reveos à otre foctio F () = v() f(t)dt = f(t)dt+ v() f(t)dt, c est l somme u() u() de deu foctios dérivbles doc est dérivble de dérivée : F () = v()f(v()) u ()f(u()) O pplique ceci à u() = et v() = ous obteos : G () = + () + () 4 + + 4 4
Correctio 3 F est défiie sur ], [ ], + [ F est cotiue et dérivble sur ], [ et sur ], + [ Pour vois cel il suffit d écrire F () = dt + dt L première de l t l t ces foctios est cotiue et dérivble (c est ue primitive), l secode est l composée de vec dt et est doc ussi cotiue et dérivble O pourrit même l t clculer l dérivée Notos f(t) = et g(t) = O se plce sur ], + [ Bie évidemmet g(t) f(t), l t t l t mis ous vos ussi que pour ε > fié il eiste > tel que pour tout t [, ] o it + ε doc sur ], t ] ous vos f(t) ( + ε)g(t) Pr itégrtio de l iéglité g(t) f(t) ( + ε)g(t) sur [, ] ous obteos pour ssez proche de : H() F () ( + ε)h() Il e reste plus qu clculer H() E fit g(t) = h(t) = l(l t) Doc t l t est l dérivée de l foctio H() = dt t l t = [l(l t)] = l(l( )) l(l ) = l( l ) l(l ) = l l l = l Nous obteos lors, pour ε > fié et > ssez proche de, l ecdremet l F () ( + ε) l Doc l limite de F () qud + est l Correctio 4 - rct d = π (chgemet de vribles ou itégrtio pr prties) + 3 b- ( ) + rct d = 3π (chgemet de vribles u = et rct + rct = π) 4 c- π si d = (itégrtio pr prties) d- (rccos ) d = π + 4 ( itégrtios pr prties) e- d = π + (chgemet de vribles ou itégrtio pr prties) (+ ) 8 4 f- 3 4 d = π 3 (chgemet de vribles u = rcsi ) 3 g- l d = 8 l 7 (itégrtio pr prties) 3 9 h- d = π +4+7 6 + (chgemet de vribles u = 3 3 ) i- 3+ d = 3 l (décompositio e élémets simples) (+) Correctio 5 π π si +si d = π d = (chgemet de vribles u = t ) +si (utiliser l précédete) Correctio 6 Sur [, π] l foctio sius est positive doc I est positive De plus le si doc l suite (si ) est décroisste I + = π 5 si si + d
E post u () = si et v() = si + et e itégrt pr prties ous obteos I + = ( + ) π ( si ) si d = ( + )I ( + )I + Doc ( + )I + = ( + )I U petit clcul doe I = π et I = Doc pr récurrece pour pir ous obteos que 3( ) π I = 4, et pour impir : I = 4( ) 3 Avec le chgemet de vrible u = cos, o motre ssez fcilemet que ( ) d = ( ) d = I + 3 Comme (I ) est décroisste lors I + I + I, e divist le tout pr I > ous obteos I + I I + I Mis ous vos déjà clculer I + I = + + qui ted vers qud ted vers l ifii Doc I + I ted vers + doc I I + 4 Lorsque l o clcule ( + )I I + à l ide des epressios eplicitées à l deuième questio ous obteos ue frctio qui se simplifie presque complètemet : (+)I I + = π Mitet 5 doc 3 ( + ) 4 () I I I + = I π ( + ) π, π = ( + ) π I ( + ) π π 4 π Correctio 7 Pour > o +, doc I d = [ ] + + = + Doc I lorsque + I + I + = + d = + d = + 3 Soit S = (I + I ) (I + I ) + (I + I 3 ) ± (I + I ) Pr l questio précédete ous vos S = + + ± = ( ) k+ 3 4 k= Mis d utre prt cette somme k étt télescopique ous vos S = I ± I Alors l limite de S et doc de ( ) k+ k= k (qud + ) est doc I cr I U petit clcul motre que I = d = l + Doc l somme lterée des etiers coverge vers l Correctio 8 R R R d = π R Correctio 9 Aire de l régio délimitée pr les courbes d équtio y = et y = π (résoudre = ) 3 + 6 + =
+( k ) E post f() = + ous ve- Soit u k= = k + os d écrire l somme de Riem correspodt à Correctio k= f()d Cette itégrle ce clcule fcilemet : f(t)dt = d = [rct ] + = π L somme de Riem u 4 coverget vers f()d ous veos de motrer que u coverge vers π 4 Soit v = ( + k, otos k= ) w = l v = ) l ( + k k= E post g() = l( + ) ous recoissos l somme de Riem correspodt à I = g()d Clculos cette itégrle : I = g()d = l( + )d = [ l( + )] d pr itégrtio pr prties + = l + d = l + [rct ] = l + π Nous veos de prouver que w = l v coverge vers I = l + π, doc v = ep w coverge vers ep(l + π ) = e π Bil (v ) pour limite e π 7